Cho \(C = \sqrt {9 - \sqrt {5\sqrt 3 + 5\sqrt {8 + 10\sqrt {7 - 4\sqrt 3 } } } } \) và \(B = \sqrt[3]{{1 + \dfrac{{\sqrt {84} }}{9}}} + \sqrt[3]{{1 - \dfrac{{\sqrt {84} }}{9}}}\) . Chọn câu đúng.
-
A.
\(C = 2B\)
-
B.
\(B = 2C\)
-
C.
\(B = C\)
-
D.
\(B = - C\)
+ Sử dụng hẳng đẳng thức \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|\) và \(\sqrt[3]{{{A^3}}} = A\)
+ Áp dụng hằng đẳng thức \({\left( {u + v} \right)^3} = {u^3} + {v^3} + 3uv\left( {u + v} \right)\)
+ Tính giá trị \(C.\)
Vì \(7 - 4\sqrt 3 = {\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^2} \Rightarrow \sqrt {7 - 4\sqrt 3 } = 2 - \sqrt 3 \)
Suy ra \(C = \sqrt {9 - \sqrt {5\sqrt 3 + 5\sqrt {8 + 10(2 - \sqrt 3 )} } } = \sqrt {9 - \sqrt {5\sqrt 3 + 5\sqrt {28 - 10\sqrt 3 } } } \)\( = \sqrt {9 - \sqrt {5\sqrt 3 + 5\sqrt {{{\left( {5 - \sqrt 3 } \right)}^2}} } } .\) Hay \(C = \sqrt {9 - \sqrt {5\sqrt 3 + 5(5 - \sqrt 3 )} } = \sqrt {9 - \sqrt {25} } = \sqrt {9 - 5} = \sqrt 4 = 2\)
+ Tính giá trị \(B.\)
Áp dụng hằng đẳng thức: \({\left( {u + v} \right)^3} = {u^3} + {v^3} + 3uv\left( {u + v} \right).\) Ta có:
\(B = \sqrt[3]{{1 + \dfrac{{\sqrt {84} }}{9}}} + \sqrt[3]{{1 - \dfrac{{\sqrt {84} }}{9}}}\)
Suy ra \({B^3} = {\left( {\sqrt[3]{{1 + \dfrac{{\sqrt {84} }}{9}}} + \sqrt[3]{{1 - \dfrac{{\sqrt {84} }}{9}}}} \right)^3}\)\( = 1 + \dfrac{{\sqrt {84} }}{9} + 1 - \dfrac{{\sqrt {84} }}{9} + 3\left( {\sqrt[3]{{1 + \dfrac{{\sqrt {84} }}{9}}}.\sqrt[3]{{1 - \dfrac{{\sqrt {84} }}{9}}}} \right)\left( {\sqrt[3]{{1 + \dfrac{{\sqrt {84} }}{9}}} + \sqrt[3]{{1 - \dfrac{{\sqrt {84} }}{9}}}} \right).\)
Hay \({B^3} = 2 + 3\sqrt[3]{{\left( {1 + \dfrac{{\sqrt {84} }}{9}} \right)\left( {1 - \dfrac{{\sqrt {84} }}{9}} \right)}}.B \)\(\Leftrightarrow {B^3} = 2 + 3\sqrt[3]{{1 - \dfrac{{84}}{{81}}}}B \)\(\Leftrightarrow {B^3} = 2 - B \Leftrightarrow {B^3} + B - 2 = 0\)\( \Leftrightarrow {B^3} - {B^2} + {B^2} - B + 2B - 2 = 0\)\( \Leftrightarrow {B^2}\left( {B - 1} \right) + B\left( {B - 1} \right) + 2\left( {B - 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {B - 1} \right)\left( {{B^2} + B + 2} \right) = 0\) mà \({B^2} + B + 2 = {\left( {B + \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{7}{4} > 0\) suy ra \(B = 1\).
Do đó ta có \(C = 2;\,B = 1 \Rightarrow C = 2B.\)
Đáp án : A
Các bài tập cùng chuyên đề
Rút gọn biểu thức \(P = \dfrac{{2\sqrt 6 + \sqrt 3 + 4\sqrt 2 + 3}}{{\sqrt {11 + 2\left( {\sqrt 6 + \sqrt {12} + \sqrt {18} } \right)} }}\) ta được
Rút gọn biểu thức \(A = \sqrt x - \sqrt {x - \sqrt x + \dfrac{1}{4}} \) khi \(x \ge 0\) ta được:
Cho biểu thức \(B = \sqrt {4x - 2\sqrt {4x - 1} } + \sqrt {4x + 2\sqrt {4x - 1} } \) (với \(\dfrac{1}{4} \le x \le \dfrac{1}{2}\)) . Chọn câu đúng.
Phương trình \(2\left( {1 - x} \right)\sqrt {{x^2} + 2x - 1} = {x^2} - 2x - 1\) có bao nhiêu nghiệm?
Tính \(x + y\) biết \(\left( {x + \sqrt {{x^2} + 2018} } \right)\left( {y + \sqrt {{y^2} + 2018} } \right) = 2018\).
Giải phương trình \(\sqrt {3x - 2} - \sqrt {x + 1} = 2{x^2} + x - 6\) ta được nghiệm duy nhất \({x_0}.\) Chọn câu đúng.
Cho \(x + \sqrt 3 = 2.\) Tính giá trị của biểu thức: \(H = {x^5} - 3{x^4} - 3{x^3} + 6{x^2} - 20x + 2024\).
Cho \(x = \sqrt {4 + \sqrt {10 + 2\sqrt 5 } } + \sqrt {4 - \sqrt {10 + 2\sqrt 5 } } \). Chọn đáp án đúng về giá trị biểu thức: \(P = \dfrac{{{x^4} - 4{x^3} + {x^2} + 6x + 12}}{{{x^2} - 2x + 12}}\)
Tính giá trị biểu thức \(P = x\sqrt {\dfrac{{\left( {1 + {y^2}} \right)\left( {1 + {z^2}} \right)}}{{1 + {x^2}}}} + y\sqrt {\dfrac{{\left( {1 + {z^2}} \right)\left( {1 + {x^2}} \right)}}{{1 + {y^2}}}} + z\sqrt {\dfrac{{\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + {y^2}} \right)}}{{1 + {z^2}}}} \) với \(x,y,z > 0\) và \(xy + yz + zx = 1\).
Chọn câu đúng.
Với \(x;\,\,y;\,\,z\) là các số thực thỏa mãn \(x + y + z + xy + yz + zx = 6\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(P = \sqrt {4 + {x^4}} + \sqrt {4 + {y^4}} + \sqrt {4 + {z^4}} \).
Tổng các nghiệm của phương trình \(\sqrt {\dfrac{{{x^2}}}{4} + \sqrt {{x^2} - 4} } = 8 - {x^2}\) là:
Rút gọn biểu thức: \(C = \left( {\dfrac{{\sqrt a + 1}}{{\sqrt {ab} + 1}} + \dfrac{{\sqrt {ab} + \sqrt a }}{{\sqrt {ab} - 1}} - 1} \right):\left( {\dfrac{{\sqrt a + 1}}{{\sqrt {ab} + 1}} - \dfrac{{\sqrt {ab} + \sqrt a }}{{\sqrt {ab} - 1}} + 1} \right)\) ta được:
Phương trình $\sqrt {x + 1} + \sqrt {6x - 14} = {x^2} - 5$ có bao nhiêu nghiệm?
Giả sử \(a;\,\,b;\,\,c\) là các số thực dương. Chọn câu đúng.
Cho ba số thực dương: \(a,b,c \le 1\) thỏa mãn: \(a\sqrt {1 - {b^2}} + b\sqrt {1 - {c^2}} + c\sqrt {1 - {a^2}} = \dfrac{3}{2}\). Chọn câu đúng.
