Chọn câu đúng.
-
A.
\(\dfrac{1}{{\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 3 + \sqrt 4 }} + .... + \dfrac{1}{{\sqrt {79} + \sqrt {80} }} = 1\)
-
B.
\(\dfrac{1}{{\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 3 + \sqrt 4 }} + .... + \dfrac{1}{{\sqrt {79} + \sqrt {80} }} < 3\)
-
C.
\(\dfrac{1}{{\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 3 + \sqrt 4 }} + .... + \dfrac{1}{{\sqrt {79} + \sqrt {80} }} < 4\)
-
D.
\(\dfrac{1}{{\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 3 + \sqrt 4 }} + .... + \dfrac{1}{{\sqrt {79} + \sqrt {80} }} > 4\)
+ Đặt \(A = \dfrac{1}{{\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 3 + \sqrt 4 }} + .... + \dfrac{1}{{\sqrt {79} + \sqrt {80} }}\) và \(B = \dfrac{1}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 4 + \sqrt 5 }} + .. + \dfrac{1}{{\sqrt {80} + \sqrt {81} }}\)
+ So sánh A và B
+ Tính \(A + B\) bằng cách biến đổi và sử dụng \(\dfrac{1}{{\sqrt k + \sqrt {k + 1} }} = \sqrt {k + 1} - \sqrt k \)
+ Từ đó suy ra đáp án.
Xét \(A = \dfrac{1}{{\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 3 + \sqrt 4 }} + .... + \dfrac{1}{{\sqrt {79} + \sqrt {80} }}\), \(B = \dfrac{1}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 4 + \sqrt 5 }} + .. + \dfrac{1}{{\sqrt {80} + \sqrt {81} }}\)
Vì \(\sqrt 1 + \sqrt 2 < \sqrt 2 + \sqrt 3 < \sqrt 3 + \sqrt 4 < ... < \sqrt {80} + \sqrt {81} \)
Nên \(\dfrac{1}{{\sqrt 1 + \sqrt 2 }} > \dfrac{1}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }};...;\)
\(\dfrac{1}{{\sqrt {79} + \sqrt {80} }} > \dfrac{1}{{\sqrt {80} + \sqrt {81} }}\) từ đó suy ra \(A > B\).
Lại có: \(A + B = \dfrac{1}{{\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 3 + \sqrt 4 }} + .... + \dfrac{1}{{\sqrt {79} + \sqrt {80} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {80} + \sqrt {81} }}\)
Mặt khác ta có: \(\dfrac{1}{{\sqrt k + \sqrt {k + 1} }} = \dfrac{{\left( {\sqrt {k + 1} - \sqrt k } \right)}}{{\left( {\sqrt {k + 1} + \sqrt k } \right)\left( {\sqrt {k + 1} - \sqrt k } \right)}} \)\(= \sqrt {k + 1} - \sqrt k \) \(\left( {k \ge 0} \right)\)
Suy ra: $A + B = \left( {\sqrt 2 - \sqrt 1 } \right) + \left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right) + ... + \left( {\sqrt {81} - \sqrt {80} } \right) = \sqrt {81} - 1 = 8.$
Do $A > B$ suy ra \(2A > A + B = 8 \Leftrightarrow A > 4\).
Đáp án : D
Các bài tập cùng chuyên đề
Rút gọn biểu thức \(P = \dfrac{{2\sqrt 6 + \sqrt 3 + 4\sqrt 2 + 3}}{{\sqrt {11 + 2\left( {\sqrt 6 + \sqrt {12} + \sqrt {18} } \right)} }}\) ta được
Rút gọn biểu thức \(A = \sqrt x - \sqrt {x - \sqrt x + \dfrac{1}{4}} \) khi \(x \ge 0\) ta được:
Cho biểu thức \(B = \sqrt {4x - 2\sqrt {4x - 1} } + \sqrt {4x + 2\sqrt {4x - 1} } \) (với \(\dfrac{1}{4} \le x \le \dfrac{1}{2}\)) . Chọn câu đúng.
Cho \(C = \sqrt {9 - \sqrt {5\sqrt 3 + 5\sqrt {8 + 10\sqrt {7 - 4\sqrt 3 } } } } \) và \(B = \sqrt[3]{{1 + \dfrac{{\sqrt {84} }}{9}}} + \sqrt[3]{{1 - \dfrac{{\sqrt {84} }}{9}}}\) . Chọn câu đúng.
Phương trình \(2\left( {1 - x} \right)\sqrt {{x^2} + 2x - 1} = {x^2} - 2x - 1\) có bao nhiêu nghiệm?
Tính \(x + y\) biết \(\left( {x + \sqrt {{x^2} + 2018} } \right)\left( {y + \sqrt {{y^2} + 2018} } \right) = 2018\).
Giải phương trình \(\sqrt {3x - 2} - \sqrt {x + 1} = 2{x^2} + x - 6\) ta được nghiệm duy nhất \({x_0}.\) Chọn câu đúng.
Cho \(x + \sqrt 3 = 2.\) Tính giá trị của biểu thức: \(H = {x^5} - 3{x^4} - 3{x^3} + 6{x^2} - 20x + 2024\).
Cho \(x = \sqrt {4 + \sqrt {10 + 2\sqrt 5 } } + \sqrt {4 - \sqrt {10 + 2\sqrt 5 } } \). Chọn đáp án đúng về giá trị biểu thức: \(P = \dfrac{{{x^4} - 4{x^3} + {x^2} + 6x + 12}}{{{x^2} - 2x + 12}}\)
Tính giá trị biểu thức \(P = x\sqrt {\dfrac{{\left( {1 + {y^2}} \right)\left( {1 + {z^2}} \right)}}{{1 + {x^2}}}} + y\sqrt {\dfrac{{\left( {1 + {z^2}} \right)\left( {1 + {x^2}} \right)}}{{1 + {y^2}}}} + z\sqrt {\dfrac{{\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + {y^2}} \right)}}{{1 + {z^2}}}} \) với \(x,y,z > 0\) và \(xy + yz + zx = 1\).
Với \(x;\,\,y;\,\,z\) là các số thực thỏa mãn \(x + y + z + xy + yz + zx = 6\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(P = \sqrt {4 + {x^4}} + \sqrt {4 + {y^4}} + \sqrt {4 + {z^4}} \).
Tổng các nghiệm của phương trình \(\sqrt {\dfrac{{{x^2}}}{4} + \sqrt {{x^2} - 4} } = 8 - {x^2}\) là:
Rút gọn biểu thức: \(C = \left( {\dfrac{{\sqrt a + 1}}{{\sqrt {ab} + 1}} + \dfrac{{\sqrt {ab} + \sqrt a }}{{\sqrt {ab} - 1}} - 1} \right):\left( {\dfrac{{\sqrt a + 1}}{{\sqrt {ab} + 1}} - \dfrac{{\sqrt {ab} + \sqrt a }}{{\sqrt {ab} - 1}} + 1} \right)\) ta được:
Phương trình $\sqrt {x + 1} + \sqrt {6x - 14} = {x^2} - 5$ có bao nhiêu nghiệm?
Giả sử \(a;\,\,b;\,\,c\) là các số thực dương. Chọn câu đúng.
Cho ba số thực dương: \(a,b,c \le 1\) thỏa mãn: \(a\sqrt {1 - {b^2}} + b\sqrt {1 - {c^2}} + c\sqrt {1 - {a^2}} = \dfrac{3}{2}\). Chọn câu đúng.
