Bài 7 trang 27 SGK Hình học 10


Giải bài 7 trang 27 SGK Hình học 10. Các điểm A'(-4; 1), B'(2;4), C(2, -2) lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA và AB của tam giác ABC.

Đề bài

Các điểm \(A'(-4; 1), B'(2;4), C'(2, -2)\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(BC, CA\) và \(AB\) của tam giác \(ABC\). Tính tọa độ đỉnh của tam giác \(ABC\). Chứng minh rằng trọng tâm tam giác \(ABC\) và \(A'B'C'\) trùng nhau.

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+) \(I\) là trung điểm của \(AB\) thì: \(\left\{ \begin{array}{l}
{x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\\
{y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}
\end{array} \right..\)

+) \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) thì: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết

Giả sử \(A({x_A};{y_A}),B({x_B};{y_B}),C({x_C};{y_C})\)

\(A'\) là trung điểm BC \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = \frac{{{x_B} + {x_C}}}{2}\\{y_{A'}} = \frac{{{y_B} + {y_C}}}{2}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4 = \frac{{{x_B} + {x_C}}}{2}\\1 = \frac{{{y_B} + {y_C}}}{2}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} + {x_C} =  - 8\,\left( 1 \right)\\{y_B} + {y_C} = 2\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

\(B'\) là trung điểm CA \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{B'}} = \frac{{{x_C} + {x_A}}}{2}\\{y_{B'}} = \frac{{{y_C} + {y_A}}}{2}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 = \frac{{{x_C} + {x_A}}}{2}\\4 = \frac{{{y_C} + {y_A}}}{2}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} + {x_A} = 4\,\left( 3 \right)\\{y_C} + {y_A} = 8\,\left( 4 \right)\end{array} \right.\)

\(C'\) là trung điểm AB \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{C'}} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\\{y_{C'}} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\\ - 2 = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_B} = 4\,\left( 5 \right)\\{y_A} + {y_B} =  - 4\,\left( 6 \right)\end{array} \right.\)

Từ (1), (3) và (5) ta có hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_B} + {x_C} =  - 8\\{x_C} + {x_A} = 4\\{x_A} + {x_B} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} =  - 8 - {x_B}\\ - 8 - {x_B} + {x_A} = 4\\{x_A} + {x_B} = 4\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} =  - 8 - {x_B}\\{x_A} - {x_B} = 12\\{x_A} + {x_B} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} = 8\\{x_B} =  - 4\\{x_C} =  - 4\end{array} \right.\)

Từ (2), (4) và (6) ta có hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}{y_B} + {y_C} = 2\\{y_C} + {y_A} = 8\\{y_A} + {y_B} =  - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y_C} = 2 - {y_B}\\2 - {y_B} + {y_A} = 8\\{y_A} + {y_B} =  - 4\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y_C} = 2 - {y_B}\\{y_A} - {y_B} = 6\\{y_A} + {y_B} =  - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y_A} = 1\\{y_B} =  - 5\\{y_C} = 7\end{array} \right.\)

Vậy \(A\left( {8;1} \right),B\left( { - 4; - 5} \right),C\left( { - 4;7} \right)\).

Gọi \(G({x_G};y{}_G)\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\)

Khi đó ta có:

\(\left\{ \matrix{
{x_G} = {{{x_A} + {x_B} + {x_C}} \over 3} = {{8 - 4 - 4} \over 3} = 0 \hfill \cr
{y_G} = {{{y_A} + {y_B} + y{}_C} \over 3} = {{1 - 5 + 7} \over 3} = {1} \hfill \cr} \right.\)

Vậy \(G(0;1)\)  (*)

Gọi \(G'({x_{G'}};y{}_{G'})\) là trọng tâm của tam giác \(A'B'C'\)

Khi đó ta có:

\(\left\{ \matrix{
{x_{G'}} = {{{x_{A'}} + {x_{B'}} + {x_{C'}}} \over 3} = {{ - 4 + 2 + 2} \over 3} = 0 \hfill \cr
{y_{G'}} = {{{y_{A'}} + {y_{B'}} + y{}_{C'}} \over 3} = {{1 + 4 - 2} \over 3} = 1 \hfill \cr} \right.\)

Vậy \(G'(0;1)\)  (**)

Từ (*) và (**) ta thấy \(G \equiv G'\)

Vậy trọng tâm tam giác \(ABC\) và \(A'B'C'\) trùng nhau.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.4 trên 37 phiếu

Các bài liên quan: - Bài 4. Hệ trục tọa độ

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 10 - Xem ngay

>> Học trực tuyến Lớp 10 trên Tuyensinh247.com, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu


Gửi bài