Bài 7 trang 27 SGK Hình học 10

Bình chọn:
4.8 trên 24 phiếu

Giải bài 7 trang 27 SGK Hình học 10. Các điểm A'(-4; 1), B'(2;4), C(2, -2) lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA và AB của tam giác ABC.

Đề bài

Các điểm \(A'(-4; 1), B'(2;4), C'(2, -2)\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(BC, CA\) và \(AB\) của tam giác \(ABC\). Tính tọa độ đỉnh của tam giác \(ABC\). Chứng minh rằng trọng tâm tam giác \(ABC\) và \(A'B'C'\) trùng nhau.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+) \(I\) là trung điểm của \(AB\) thì: \(\left\{ \begin{array}{l}
{x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\\
{y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}
\end{array} \right..\)

+) \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) thì: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết

 

Giả sử \(A({x_A};{y_A}),B({x_B};{y_B}),C({x_C};{y_C})\)

\(A'\) là trung điểm của cạnh \(BC\) nên \(-4 = \frac{1}{2} (x_B+ x_C)\)

\(\Rightarrow {x_B} + {x_C} =  - 8\)                       (1)

Tương tự ta có \({x_A} + {x_C} = 4\)       (2)

                       \({x_B} + {x_A} = 4\)         (3)  

Giải hệ (1), (2) và (3) ta được:

       \(\left\{ \matrix{
{x_A} = 8 \hfill \cr
{x_B} = - 4 \hfill \cr
x{}_C = - 4 \hfill \cr} \right.\)

Tương tự ta tính được:

      \(\left\{ \matrix{
{y_A} = 1 \hfill \cr
{y_B} = - 5 \hfill \cr
y{}_C = 7 \hfill \cr} \right.\)

Gọi \(G({x_G};y{}_G)\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\)

Khi đó ta có:

$$\left\{ \matrix{
{x_G} = {{{x_A} + {x_B} + {x_C}} \over 3} = {{8 - 4 - 4} \over 3} = 0 \hfill \cr
{y_G} = {{{y_A} + {y_B} + y{}_C} \over 3} = {{1 - 5 + 7} \over 3} = {1} \hfill \cr} \right.$$ 

Vậy \(G(0;1)\)  (*)

Gọi \(G'({x_{G'}};y{}_{G'})\) là trong tâm của tam giác \(A'B'C'\)

Khi đó ta có:

$$\left\{ \matrix{
{x_{G'}} = {{{x_{A'}} + {x_{B'}} + {x_{C'}}} \over 3} = {{ - 4 + 2 + 2} \over 3} = 0 \hfill \cr
{y_{G'}} = {{{y_{A'}} + {y_{B'}} + y{}_{C'}} \over 3} = {{1 + 4 - 2} \over 3} = 1 \hfill \cr} \right.$$

Vậy \(G'(0;1)\)  (2*)

Từ (*) và (2*) ta thấy \(G \equiv G'\)

Vậy trọng tâm tam giác \(ABC\) và \(A'B'C'\) trùng nhau.

loigiaihay.com

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 10 - Xem ngay

>>Học trực tuyến Lớp 10 trên Tuyensinh247.com, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu

Các bài liên quan