Bài 7 trang 27 SGK Hình học 10
Các điểm A'(-4; 1), B'(2;4), C(2, -2) lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA và AB của tam giác ABC.
Đề bài
Các điểm \(A'(-4; 1), B'(2;4), C'(2, -2)\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(BC, CA\) và \(AB\) của tam giác \(ABC\). Tính tọa độ đỉnh của tam giác \(ABC\). Chứng minh rằng trọng tâm tam giác \(ABC\) và \(A'B'C'\) trùng nhau.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+) \(I\) là trung điểm của \(AB\) thì: \(\left\{ \begin{array}{l}
{x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\\
{y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}
\end{array} \right..\)
+) \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) thì: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\end{array} \right..\)
Lời giải chi tiết
Giả sử \(A({x_A};{y_A}),B({x_B};{y_B}),C({x_C};{y_C})\)
\(A'\) là trung điểm BC \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = \frac{{{x_B} + {x_C}}}{2}\\{y_{A'}} = \frac{{{y_B} + {y_C}}}{2}\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4 = \frac{{{x_B} + {x_C}}}{2}\\1 = \frac{{{y_B} + {y_C}}}{2}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} + {x_C} = - 8\,\left( 1 \right)\\{y_B} + {y_C} = 2\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
\(B'\) là trung điểm CA \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{B'}} = \frac{{{x_C} + {x_A}}}{2}\\{y_{B'}} = \frac{{{y_C} + {y_A}}}{2}\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 = \frac{{{x_C} + {x_A}}}{2}\\4 = \frac{{{y_C} + {y_A}}}{2}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} + {x_A} = 4\,\left( 3 \right)\\{y_C} + {y_A} = 8\,\left( 4 \right)\end{array} \right.\)
\(C'\) là trung điểm AB \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{C'}} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\\{y_{C'}} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\\ - 2 = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_B} = 4\,\left( 5 \right)\\{y_A} + {y_B} = - 4\,\left( 6 \right)\end{array} \right.\)
Từ (1), (3) và (5) ta có hệ:
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_B} + {x_C} = - 8\\{x_C} + {x_A} = 4\\{x_A} + {x_B} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = - 8 - {x_B}\\ - 8 - {x_B} + {x_A} = 4\\{x_A} + {x_B} = 4\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = - 8 - {x_B}\\{x_A} - {x_B} = 12\\{x_A} + {x_B} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} = 8\\{x_B} = - 4\\{x_C} = - 4\end{array} \right.\)
Từ (2), (4) và (6) ta có hệ:
\(\left\{ \begin{array}{l}{y_B} + {y_C} = 2\\{y_C} + {y_A} = 8\\{y_A} + {y_B} = - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y_C} = 2 - {y_B}\\2 - {y_B} + {y_A} = 8\\{y_A} + {y_B} = - 4\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y_C} = 2 - {y_B}\\{y_A} - {y_B} = 6\\{y_A} + {y_B} = - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y_A} = 1\\{y_B} = - 5\\{y_C} = 7\end{array} \right.\)
Vậy \(A\left( {8;1} \right),B\left( { - 4; - 5} \right),C\left( { - 4;7} \right)\).
Gọi \(G({x_G};y{}_G)\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\)
Khi đó ta có:
\(\left\{ \matrix{
{x_G} = {{{x_A} + {x_B} + {x_C}} \over 3} = {{8 - 4 - 4} \over 3} = 0 \hfill \cr
{y_G} = {{{y_A} + {y_B} + y{}_C} \over 3} = {{1 - 5 + 7} \over 3} = {1} \hfill \cr} \right.\)
Vậy \(G(0;1)\) (*)
Gọi \(G'({x_{G'}};y{}_{G'})\) là trọng tâm của tam giác \(A'B'C'\)
Khi đó ta có:
\(\left\{ \matrix{
{x_{G'}} = {{{x_{A'}} + {x_{B'}} + {x_{C'}}} \over 3} = {{ - 4 + 2 + 2} \over 3} = 0 \hfill \cr
{y_{G'}} = {{{y_{A'}} + {y_{B'}} + y{}_{C'}} \over 3} = {{1 + 4 - 2} \over 3} = 1 \hfill \cr} \right.\)
Vậy \(G'(0;1)\) (**)
Từ (*) và (**) ta thấy \(G \equiv G'\)
Vậy trọng tâm tam giác \(ABC\) và \(A'B'C'\) trùng nhau.
Loigiaihay.com
Bình luận
Chia sẻ
- Bài 8 trang 27 SGK Hình học 10
- Bài 6 trang 27 (Hệ trục tọa độ) SGK Hình học 10
- Bài 5 trang 27 (Hệ trục tọa độ) SGK Hình học 10
- Bài 4 trang 26 SGK Hình học 10
- Bài 3 trang 26 SGK Hình học 10
>> Xem thêm
Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Xem ngay
Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
