Bài 11 trang 87 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A\) và \(D\)

Đề bài

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A\) và \(D\); \(AB = AD = 2a;CD = a\); số đo góc nhị diện \(\left[ {S,BC,A} \right]\) bằng \({60^ \circ }\). Gọi \(I\) là trung điểm của cạnh \(A{\rm{D}}\). Biết hai mặt phẳng \(\left( {SBI} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\) cùng vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\). Tính thể tích khối chóp \(S.ABCD\) theo \(a\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng công thức tính thể tích khối chóp: \(V = \frac{1}{3}Sh\).

Lời giải chi tiết

\(\left. \begin{array}{l}\left( {SBI} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SCI} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SBI} \right) \cap \left( {SCI} \right) = SI\end{array} \right\} \Rightarrow SI \bot \left( {ABCD} \right)\)

Kẻ \(IH \bot BC\left( {H \in BC} \right)\)

\(SI \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SI \bot BC\)

\( \Rightarrow BC \bot \left( {SIH} \right) \Rightarrow BC \bot SH\)

Vậy \(\widehat {AHI}\) là góc nhị diện \(\left[ {S,BC,A} \right]\)\( \Rightarrow \widehat {AHI} = {60^ \circ }\)

\(\begin{array}{l}{S_{ABC{\rm{D}}}} = \frac{1}{2}\left( {AB + C{\rm{D}}} \right).A{\rm{D}} = 3{a^2}\\AI = I{\rm{D}} = \frac{1}{2}A{\rm{D}} = a\\{S_{AIB}} = \frac{1}{2}AB.AI = {a^2},{S_{CI{\rm{D}}}} = \frac{1}{2}C{\rm{D}}.I{\rm{D}} = \frac{{{a^2}}}{2}\\ \Rightarrow {S_{BIC}} = {S_{ABC{\rm{D}}}} - {S_{AIB}} - {S_{CI{\rm{D}}}} = \frac{{3{a^2}}}{2}\end{array}\)

Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow BM = \frac{1}{2}AB = a,CM = AD = 2a \Rightarrow BC = \sqrt {B{M^2} + C{M^2}} = a\sqrt 5 \\ \Rightarrow IH = \frac{{2{{\rm{S}}_{BIC}}}}{{BC}} = \frac{{3a\sqrt 5 }}{5} \Rightarrow SI = IH.\tan \widehat {SHI} = \frac{{3a\sqrt {15} }}{5}\end{array}\)

\({V_{S.ABC{\rm{D}}}} = \frac{1}{3}{S_{ABC{\rm{D}}}}.SI = \frac{{3{a^3}\sqrt {15} }}{5}\)

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

3.8 trên 6 phiếu

Bài tiếp theo

Bài 12 trang 87 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo
Một chân cột bằng gang có dạng hình chóp cụt tứ giác đều có cạnh đáy lớn bằng \(2a\)
Bài 13 trang 87 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo
Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bên \(AA' = a\), đáy \(ABCD\) là hình thoi có \(AB = BD = a\).
Bài 10 trang 87 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a\), \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) và \(SA = a\).
Bài 9 trang 86 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo
Cho hình vuông \(ABCD\) và tam giác đều \(SAB\) cạnh \(a\) nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(AD\).
Bài 8 trang 86 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo
Thể tích của khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh đều bằng \(a\) là
Bài 7 trang 86 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo
Nếu hình hộp chữ nhật có ba kích thước là \(3;4;5\) thì độ dài đường chéo của nó là:
Bài 6 trang 86 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo
Cho chóp tứ giác \(S.ABCD\) có đáy là hình chữ nhật với \(AB = 4a,\) \(AD = 3a\). Các cạnh bên đều có độ dài \(5a\). Góc nhị diện \(\left[ {S,BC,A} \right]\) có số đo là
Bài 5 trang 86 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo
Thể tích của khối chóp cụt tam giác đều có cạnh đáy lớn bằng \(2a\), cạnh đáy nhỏ bằng \(a\) và chiều cao bằng \(\frac{{a\sqrt 6 }}{3}\) là
Bài 4 trang 86 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo
Cho hình chóp tam giác đều (S.ABC) cạnh đáy bằng (2a) và chiều cao bằng (asqrt 2 ).
Bài 3 trang 86 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo
Cho hình chóp (S.ABCD) có các cạnh bên và cạnh đáy đều bằng (a).
Bài 2 trang 86 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(b\), \(SA\) vuông góc với mặt đáy, \(SC = 2b\sqrt 2 \).
Bài 1 trang 86 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo
Cho hình chóp (S.ABCD) có đáy (ABCD) là hình vuông, (SA) vuông góc với mặt đáy.