Toán 11, giải toán lớp 11 chân trời sáng tạo
Bài 5. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện ..
Bài 1 trang 85 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo
Cho tứ diện đều (ABCD). Vẽ hình bình hành (BCED).
Đề bài
Cho tứ diện đều ABCD. Vẽ hình bình hành BCED.
a) Tìm góc giữa đường thẳng AB và (BCD).
b) Tìm góc phẳng nhị diện [A, CD, B], [A, CD, E].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
‒ Cách tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Tính góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó lên mặt phẳng.
‒ Cách xác định góc phẳng nhị diện [A, d, B]: Dựng mặt phẳng (P) vuông góc với d, gọi a, a' lần lượt là giao tuyến của (P) với hai nửa mặt phẳng chứa A, B, khi đó [A, d, B] = (a, a').
Lời giải chi tiết
a) Giả sử tứ diện đều có tất cả các cạnh bằng a.
Gọi I là trung điểm của CD, O là tâm của \(\Delta BCD\)
\(\Rightarrow AO \bot \left( {BCD} \right)\)
\( \Rightarrow \left( {AB,\left( {BCD} \right)} \right) = \left( {AB,OB} \right) = \widehat {ABO}\).
BI là trung tuyến của tam giác đều BCD
\( \Rightarrow BI = \frac{{BC\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow BO = \frac{2}{3}BI = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
\(\cos \widehat {ABO} = \frac{{BO}}{{AB}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow \widehat {ABO} \approx 54,7^o\)
Vậy \(\left( {AB,\left( {BCD} \right)} \right) \approx 54,7^o\).
b) \(\Delta ACD\) đều \( \Rightarrow AI \bot CD\).
\(\Delta BCD\) đều \( \Rightarrow BI \bot CD\).
Vậy \(\widehat {AIB}\) là góc phẳng nhị diện [A, CD, B].
\(OI = \frac{1}{3}BI = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\);
\(AO = \sqrt {A{B^2} - B{O^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\).
\(\tan \widehat {AIB} = \frac{{AO}}{{OI}} = 2\sqrt 2 \Rightarrow \widehat {AIB} \approx 70,5^o\).
\(\Delta ACD\) đều \( \Rightarrow AI \bot CD\).
\(\Delta ECD\) đều \( \Rightarrow EI \bot CD\).
Vậy \(\widehat {AIE}\) là góc phẳng nhị diện \(\left[ {A,CD,B} \right]\).
\(\widehat {AIE} = 180^o - \widehat {AIB} = 109,5^o\).
Bình luận
Chia sẻ
- Bài 2 trang 85 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo
- Bài 3 trang 85 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo
- Bài 4 trang 85 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo
- Bài 5 trang 85 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo
- Giải mục 2 trang 84, 85 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo
>> Xem thêm
Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Chân trời sáng tạo - Xem ngay
Group 2K9 Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
Các bài khác cùng chuyên mục
- Giải câu hỏi mở đầu trang 136 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo
- Giải câu hỏi mở đầu trang 130 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo
- Giải câu hỏi mở đầu trang 121 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo
- Giải câu hỏi mở đầu trang 113 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo
- Giải câu hỏi mở đầu trang 107 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Danh sách bình luận