Bài 1 trang 85 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo

Cho tứ diện đều (ABCD). Vẽ hình bình hành (BCED).

Đề bài

Cho tứ diện đều \(ABCD\). Vẽ hình bình hành \(BCED\).

a) Tìm góc giữa đường thẳng \(AB\) và \(\left( {BCD} \right)\).

b) Tim góc phẳng nhị diện \(\left[ {A,CD,B} \right];\left[ {A,CD,E} \right]\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

‒ Cách tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Tính góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó lên mặt phẳng.

‒ Cách xác định góc phẳng nhị diện \(\left[ {A,d,B} \right]\): Dựng mặt phẳng \(\left( P \right)\) vuông góc với \(d\), gọi \(a,a'\) lần lượt là giao tuyến của \(\left( P \right)\) với hai nửa mặt phẳng chứa \(A,B\), khi đó \(\left[ {A,d,B} \right] = \left( {a,a'} \right)\).

Lời giải chi tiết

a) Giả sử tứ diện đều có tất cả các cạnh bằng \(a\).

Gọi \(I\) là trung điểm của \(CD\), \(O\) là tâm của \(\Delta BC{\rm{D}}\)

\( \Rightarrow AO \bot \left( {BC{\rm{D}}} \right)\)

\( \Rightarrow \left( {AB,\left( {BC{\rm{D}}} \right)} \right) = \left( {AB,OB} \right) = \widehat {ABO}\)

\(BI\) là trung tuyến của tam giác đều \(BC{\rm{D}}\)

\( \Rightarrow BI = \frac{{BC\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow BO = \frac{2}{3}BI = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

\(\cos \widehat {ABO} = \frac{{BO}}{{AB}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow \widehat {ABO} \approx 54,{7^ \circ }\)

Vậy \(\left( {AB,\left( {BC{\rm{D}}} \right)} \right) \approx 54,{7^ \circ }\)

b) \(\Delta AC{\rm{D}}\) đều \( \Rightarrow AI \bot C{\rm{D}}\)

\(\Delta BC{\rm{D}}\) đều \( \Rightarrow BI \bot C{\rm{D}}\)

Vậy \(\widehat {AIB}\) là góc phẳng nhị diện \(\left[ {A,C{\rm{D}},B} \right]\).

\(OI = \frac{1}{3}BI = \frac{{a\sqrt 3 }}{6},AO = \sqrt {A{B^2} - B{O^2}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\)

\(\tan \widehat {AIB} = \frac{{AO}}{{OI}} = 2\sqrt 2 \Rightarrow \widehat {AIB} \approx 70,{5^ \circ }\)

\(\Delta AC{\rm{D}}\) đều \( \Rightarrow AI \bot C{\rm{D}}\)

\(\Delta EC{\rm{D}}\) đều \( \Rightarrow EI \bot C{\rm{D}}\)

Vậy \(\widehat {AIE}\) là góc phẳng nhị diện \(\left[ {A,C{\rm{D}},B} \right]\).

\(\widehat {AIE} = {180^ \circ } - \widehat {AIB} = 109,{5^ \circ }\)

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4 trên 9 phiếu

Bài tiếp theo

Bài 2 trang 85 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo
Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có \(O\) là tâm của đáy và có tất cả các cạnh bằng nhau.
Bài 3 trang 85 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo
Cho hình chóp cụt lục giác đều (ABCDEF.A'B'C'D'E'F') với (O) và (O') là tâm hai đáy
Bài 4 trang 85 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo
Một con dốc có dạng hình lăng trụ đứng tam giác với kích thước như trong Hình 9.
Bài 5 trang 85 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo
Người ta định đào một cái hầm có dạng hình chóp cụt tứ giác đều có hai cạnh đáy là 14 m và 10 m.
Giải mục 2 trang 84, 85 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Cho hai mặt phẳng (left( P right)) và (left( Q right)) cắt nhau theo giao tuyến (d).
Giải mục 1 trang 82, 83 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Cho đường thẳng (a) và mặt phẳng (left( P right)).
Lý thuyết Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện - Toán 11 Chân trời sáng tạo
1. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) bằng \({90^0}\).