Giải mục 3 trang 42, 43, 44, 45 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá
Xét hàm số y=sinx
Hoạt động 6
Xét hàm số y=sinx
Cho biết limx→0sinxx=1. Bằng định nghĩa hãy tính đạo hàm của hàm số y=sinx tại điểm x0 bất kì.
Phương pháp giải:
Sử dụng định nghĩa để tính đạo hàm của hàm số
Lời giải chi tiết:
Với mọi x0∈R ta có:
limx→x0sinx−sinx0x−x0=limx→x02.cosx+x02.sinx−x02x−x0=limx→x0cosx+x02.limx→x0sinx−x02x−x02=cosx0
Vậy y′=cosx
Hoạt động 7
a, Từ công thức cosx=sin(π2−x) và quy tắc tính đạo hàm của hàm hợp, chứng minh rằng: (cosx)′=−sinx
b, Từ các công thức tanx=sinxcosx, cotx=cosxsinx và các quy tắc tính đạo hàm của thương, chứng minh rằng: (tanx)′=1cos2x và (cotx)′=−1sin2x
Phương pháp giải:
a, Sử dụng hàm hợp và (sinx)′=cosx
b, Sử dụng quy tắc (uv)′=u′.v−u.v′v2
Lời giải chi tiết:
a, Ta có: (cosx)′=[sin(π2−x)]′=cos(π2−x).(π2−x)′=−cos(π2−x)=−sinx
b, Ta có: (tanx)′=(sinx)′.cosx−sinx.(cosx)′cos2x=cos2x+sin2xcos2x=1cos2x
(cotx)′=(cosx)′.sinx−cosx.(sinx)′sin2x=−(sin2x+cos2x)sin2x=−1sin2x
Luyện tập 6
Tính đạo hàm các hàm số sau:
a, y=3cotx−tanx2+1
b, y=sinxx
Phương pháp giải:
Sử dụng các quy tắc :(tanx)′=1cos2x ,(cotx)′=−1sin2x, (sinx)′=cosx
Lời giải chi tiết:
a, y′=(3cotx−tanx2+1)′=−3sin2x−12cos2x
b, y′=(sinxx)′=(sinx)′.x−x′.sinxx2=cosx.x−sinxx2
Vận dụng 2
Phương trình chuyển động của một con lắc lò xo quanh vị trí cân bằng O là x=4.cos2t, trong đó t được tính bằng giây và x được tính bằng cm. Biết rằng vận tốc của con lắc ở thời điểm t được tính bởi v(t)=x′(t)
a, Tính vận tốc của con lắc tại thời điểm t=7π12
b, Tìm thời điểm đầu tiên con lắc đạt vận tốc lớn nhất
Phương pháp giải:
a, Tính v(t)=x′(t) và thay t=7π12
b, Từ câu a tìm thời điểm con lắc đạt vận tốc lớn nhất
Lời giải chi tiết:
a, Ta có: v(t)=x′(t)=(4.cos2t)′=4.2.−sin2t=−8.sin2t
Thay t=7π12 ta được: v(7π12)=−8sin(2.7π12)=−8.sin(7π6)=4 (cm/s)
b, Ta có: −1≤sin2t≤1⇒−8≤−8sin2t≤8
Con lắc đạt vận tốc lớn nhất khi sin 2t=-1⇒2t=3π2⇒t=3π4
Hoạt động 8
Xét hàm số y=ex
Cho biết limx→0ex−1x=1.Bằng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số y=ex tại điểm x0 bất kì.
Phương pháp giải:
Sử dụng định nghĩa để tính đạo hàm
Lời giải chi tiết:
Với mọi x0∈R ta có:
limx→x0ex−ex0x−x0=limx→x0(ex−x0−1)ex0x−x0=ex0
Vậy y′=ex.
Hoạt động 9
a, Từ công thức ax=exlna và quy tắc tính đạo hàm của hàm hợp, hãy tìm công thức tính đạo hàm của hàm số y=ax
b, Từ công thức logax=lnxlna và các quy tắc tính đạo hàm đã biết, hãy tìm công thức tính đạo hàm của hàm số y=logax
Phương pháp giải:
a, Sử dụng công thức (ex)′=ex
b, Sử dụng quy tắc (uv)′=u′.v−u.v′v2
Lời giải chi tiết:
a, Ta có: (ax)′=(exlna)′=(x.lna)′.ex.lna=lna.ex.lna=lna.ax
b, Ta có: (logax)′=(lnxlna)′=(lnx)′.lna−lnx.(lna)′ln2a=1x.lnaln2a=1x.lna
Luyện tập 7
Tính đạo hàm các hàm số sau:
a,y=4sinx+cosx
b, y=ln(1+√x)
c, y=lnxx
Phương pháp giải:
a, Sử dụng đạo hàm hàm hợp y′=(au)′=u′au.lna
b, Sử dụng đạo hàm hàm hợp y′=(lnu)′=u′u
c, Sử dụng quy tắc (uv)′=u′.v−u.v′v2
Lời giải chi tiết:
a, Ta có: y′=(4sinx+cosx)′=(sinx+cosx)′.4sinx+cosx.ln4=(cosx−sinx).4sinx+cosx.ln4
b, Ta có: y′=[ln(1+√x)]′=(1+√x)′1+√x=12√x.(1+√x)
c, Ta có: y′=(lnxx)′=(lnx)′.x−x′.lnxx2=1−lnxx2
Vận dụng 3
Nồng độ C (ηg/l) của loại thuốc A một người uống vào sau t giờ cho bởi hàm số sau C(t)=6,2.t4.e−0,5t. Biết rằng nồng độ C sẽ tăng lên trong 8 giờ đầu tiên và tốc độ tăng của nồng độ C tại thời điểm t được tính bởi công thức C′(t):
a, Tính tốc độ tăng nồng độ của thuốc A tại thời điểm t0=1
b, Trong hai thời điểm t0=1 và t1=5 thời điểm nào nồng độ thuốc A tăng nhanh hơn?
Phương pháp giải:
a, Tính đạo hàm của hàm số C(t) và thay t0=1
b, Thay t0=1 và t1=5 và so sánh
Lời giải chi tiết:
a, Ta có:
C′(t)=(6,2.t4.e−0,5t)′=6,2.(4t3.e−0,5t+t4.(−0,5).e−0,5t)=24,8t3.e−0,5t−3,1.t4.e−0,5t
C′(1)=24,8.13.e−0,5−3,1.14.e−0,5=21,7.e−0,5≈13,1617
b, C′(5)=24,8.53.e−0,5.5−3,1.54.e−0,5.5≈95,4238
Vậy nồng độ tại thời điểm t=5 giây có nồng độ cao hơn.


- Bài 7.6 trang 45 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá
- Bài 7.7 trang 45 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá
- Bài 7.8 trang 45 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá
- Bài 7.9 trang 45 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá
- Giải mục 2 trang 39, 40, 41, 42 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá
>> Xem thêm
>> 2K8! chú ý! Mở đặt chỗ Lộ trình Sun 2026: Luyện thi chuyên sâu TN THPT, Đánh giá năng lực, Đánh giá tư duy tại Tuyensinh247.com (Xem ngay lộ trình). Ưu đãi -70% (chỉ trong tháng 3/2025) - Tặng miễn phí khoá học tổng ôn lớp 11, 2K8 xuất phát sớm, X2 cơ hội đỗ đại học. Học thử miễn phí ngay.
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Các bài khác cùng chuyên mục
- Lý thuyết Công thức nhân xác suất - SGK Toán 11 Cùng khám phá
- Lý thuyết Công thức cộng xác suất - SGK Toán 11 Cùng khám phá
- Lý thuyết Thể tích khối lăng trụ, khối chóp và khối chóp cụt đều - SGK Toán 11 Cùng khám phá
- Lý thuyết Khoảng cách - SGK Toán 11 Cùng khám phá
- Lý thuyết Hai mặt phẳng vuông góc - SGK Toán 11 Cùng khám phá
- Lý thuyết Công thức nhân xác suất - SGK Toán 11 Cùng khám phá
- Lý thuyết Công thức cộng xác suất - SGK Toán 11 Cùng khám phá
- Lý thuyết Thể tích khối lăng trụ, khối chóp và khối chóp cụt đều - SGK Toán 11 Cùng khám phá
- Lý thuyết Khoảng cách - SGK Toán 11 Cùng khám phá
- Lý thuyết Hai mặt phẳng vuông góc - SGK Toán 11 Cùng khám phá