Giải mục 3 trang 42, 43, 44, 45 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá


Xét hàm số y=sinx

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Hoạt động 6

Xét hàm số y=sinx

Cho biết limx0sinxx=1. Bằng định nghĩa hãy tính đạo hàm của hàm số y=sinx tại điểm x0 bất kì.

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa để tính đạo hàm của hàm số

Lời giải chi tiết:

Với mọi x0R ta có:

limxx0sinxsinx0xx0=limxx02.cosx+x02.sinxx02xx0=limxx0cosx+x02.limxx0sinxx02xx02=cosx0

Vậy y=cosx

Quảng cáo

Lộ trình SUN 2026

Hoạt động 7

a, Từ công thức cosx=sin(π2x) và quy tắc tính đạo hàm của hàm hợp, chứng minh rằng: (cosx)=sinx

b, Từ các công thức tanx=sinxcosx, cotx=cosxsinx và các quy tắc tính đạo hàm của thương, chứng minh rằng: (tanx)=1cos2x(cotx)=1sin2x

Phương pháp giải:

a, Sử dụng hàm hợp và (sinx)=cosx

b, Sử dụng quy tắc (uv)=u.vu.vv2

Lời giải chi tiết:

a, Ta có: (cosx)=[sin(π2x)]=cos(π2x).(π2x)=cos(π2x)=sinx

b, Ta có: (tanx)=(sinx).cosxsinx.(cosx)cos2x=cos2x+sin2xcos2x=1cos2x

              

               (cotx)=(cosx).sinxcosx.(sinx)sin2x=(sin2x+cos2x)sin2x=1sin2x

Luyện tập 6

Tính đạo hàm các hàm số sau:

a, y=3cotxtanx2+1                              

b, y=sinxx

Phương pháp giải:

Sử dụng các quy tắc :(tanx)=1cos2x ,(cotx)=1sin2x, (sinx)=cosx

Lời giải chi tiết:

a, y=(3cotxtanx2+1)=3sin2x12cos2x

b, y=(sinxx)=(sinx).xx.sinxx2=cosx.xsinxx2

Vận dụng 2

Phương trình chuyển động của một con lắc lò xo quanh vị trí cân bằng O là x=4.cos2t, trong đó t được tính bằng giây và x được tính bằng cm. Biết rằng vận tốc của con lắc ở thời điểm t được tính bởi v(t)=x(t)

a, Tính vận tốc của con lắc tại thời điểm t=7π12

b, Tìm thời điểm đầu tiên con lắc đạt vận tốc lớn nhất

Phương pháp giải:

a, Tính  v(t)=x(t) và thay t=7π12

b, Từ câu a tìm thời điểm con lắc đạt vận tốc lớn nhất

Lời giải chi tiết:

a, Ta có: v(t)=x(t)=(4.cos2t)=4.2.sin2t=8.sin2t

Thay t=7π12 ta được: v(7π12)=8sin(2.7π12)=8.sin(7π6)=4 (cm/s)

b, Ta có: 1sin2t188sin2t8

Con lắc đạt vận tốc lớn nhất khi sin 2t=-12t=3π2t=3π4

Hoạt động 8

Xét hàm số y=ex

Cho biết limx0ex1x=1.Bằng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số y=ex tại điểm x0 bất kì.

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa để tính đạo hàm

Lời giải chi tiết:

Với mọi x0R ta có:

limxx0exex0xx0=limxx0(exx01)ex0xx0=ex0

Vậy y=ex.

Hoạt động 9

a, Từ công thức ax=exlna và quy tắc tính đạo hàm của hàm hợp, hãy tìm công thức tính đạo hàm của hàm số y=ax

b, Từ công thức logax=lnxlna và các quy tắc tính đạo hàm đã biết, hãy tìm công thức tính đạo hàm của hàm số y=logax

Phương pháp giải:

a, Sử dụng công thức (ex)=ex

b, Sử dụng quy tắc (uv)=u.vu.vv2

Lời giải chi tiết:

a, Ta có: (ax)=(exlna)=(x.lna).ex.lna=lna.ex.lna=lna.ax

b, Ta có: (logax)=(lnxlna)=(lnx).lnalnx.(lna)ln2a=1x.lnaln2a=1x.lna

Luyện tập 7

Tính đạo hàm các hàm số sau:

a,y=4sinx+cosx                   

b, y=ln(1+x)                         

c, y=lnxx

Phương pháp giải:

a, Sử dụng đạo hàm hàm hợp y=(au)=uau.lna

b, Sử dụng đạo hàm hàm hợp y=(lnu)=uu

c, Sử dụng quy tắc (uv)=u.vu.vv2

Lời giải chi tiết:

a, Ta có: y=(4sinx+cosx)=(sinx+cosx).4sinx+cosx.ln4=(cosxsinx).4sinx+cosx.ln4

b, Ta có: y=[ln(1+x)]=(1+x)1+x=12x.(1+x)

c, Ta có: y=(lnxx)=(lnx).xx.lnxx2=1lnxx2

Vận dụng 3

Nồng độ C (ηg/l) của loại thuốc A một người uống vào sau t giờ cho bởi hàm số sau C(t)=6,2.t4.e0,5t. Biết rằng nồng độ C sẽ tăng lên trong 8 giờ đầu tiên và tốc độ tăng của nồng độ C tại thời điểm t được tính bởi công thức C(t):

a, Tính tốc độ tăng nồng độ của thuốc A tại thời điểm t0=1

b, Trong hai thời điểm t0=1t1=5 thời điểm nào nồng độ thuốc A tăng nhanh hơn?

Phương pháp giải:

a, Tính đạo hàm của hàm số C(t) và thay t0=1

b, Thay t0=1t1=5 và so sánh

Lời giải chi tiết:

a, Ta có:

C(t)=(6,2.t4.e0,5t)=6,2.(4t3.e0,5t+t4.(0,5).e0,5t)=24,8t3.e0,5t3,1.t4.e0,5t

C(1)=24,8.13.e0,53,1.14.e0,5=21,7.e0,513,1617

b, C(5)=24,8.53.e0,5.53,1.54.e0,5.595,4238

Vậy nồng độ tại thời điểm t=5 giây có nồng độ cao hơn.


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Xem thêm

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

>> 2K8! chú ý! Mở đặt chỗ Lộ trình Sun 2026: Luyện thi chuyên sâu TN THPT, Đánh giá năng lực, Đánh giá tư duy tại Tuyensinh247.com (Xem ngay lộ trình). Ưu đãi -70% (chỉ trong tháng 3/2025) - Tặng miễn phí khoá học tổng ôn lớp 11, 2K8 xuất phát sớm, X2 cơ hội đỗ đại học. Học thử miễn phí ngay.