Giải mục 2 trang 39, 40, 41, 42 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá

Hoạt động 2

Cho hàm số \(u(x) = {x^2}\) và \(v(x) = x\)

a, Tính \({u'}(x)\) và \({v'}(x)\)

b, Ở Ví dụ 4 của Bài 1 ta đã biết \({({x^2} + x)'} = 2x + 1\). Có nhận xét gì về mối liên hệ \({{\rm{[}}u(x) + v(x){\rm{]}}'}\) và \({u'}(x)\)+ \({v'}(x)\)

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức \({({x^n})'} = n.{x^{n - 1}}\)

Lời giải chi tiết:

a, Ta có: \({({x^2})'} = 2.{x^{2 - 1}} = 2x\)

               \({x'} = 1.{x^{1 - 1}} = 1\)

b, Từ kết quả câu a, ta có: \({{\rm{[}}u(x) + v(x){\rm{]}}'}\)= \({u'}(x)\)+ \({v'}(x)\)

Luyện tập 2

Tính \({f'}(1)\) và \({f'}(4)\)biết \(f(x) = {x^2} + \sqrt x  - \frac{1}{x}\)

Phương pháp giải:

Tính \({f'}(x)\) dựa vào công thức: \({({x^n})'} = n.{x^{n - 1}}\), \({(\sqrt x )'} = \frac{1}{{2\sqrt x }}\) và \({(\frac{1}{x})'} = \frac{{ - 1}}{{{x^2}}}\)

Thay x=1, x=4 để tính \({f'}(1)\), \({f'}(4)\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({f'}(x) = {({x^2} + \sqrt x  - \frac{1}{x})'} = 2x + \frac{1}{{2\sqrt x }} + \frac{1}{{{x^2}}}\)

\({f'}(1) = 2.1 + \frac{1}{{2.1}} + \frac{1}{{{1^2}}} = 2 + \frac{1}{2} + 1 = \frac{7}{2}\)

\({f'}(4) = 2.4 + \frac{1}{{2.\sqrt 4 }} + \frac{1}{{{4^2}}} = 8 + \frac{1}{4} + \frac{1}{{16}} = \frac{{133}}{{16}}\)

Hoạt động 3

Cho hàm số \(u(x) = {x^3}\) và \(v(x) = {x^2}\)

a, Tính đạo hàm của hàm số y= u(x).v(x)

b, Hoàn thành bảng 7.2

c, So sánh kết quả câu a và b và rút ra nhận xét.

Phương pháp giải:

a, Tính u(x). v(x) rồi tính đạo hàm theo công thức \({({x^n})'} = n.{x^{n - 1}}\)

b, Tính \({u'}(x)\) và \({v'}(x)\)  theo công thức \({({x^n})'} = n.{x^{n - 1}}\) và hoàn thành bảng

Lời giải chi tiết:

a, Ta có: \(u(x).v(x) = {x^3}.{x^2} = {x^5}\)

\( \Rightarrow {{\rm{[}}u(x).v(x){\rm{]}}'} = {({x^5})'} = 5{x^4}\)

b, Bảng 7,2

c, Nhận xét: \({{\rm{[}}u(x).v(x){\rm{]}}'} = \)\({u'}(x).v(x) + u(x).{v'}(x)\)

Luyện tập 3

Tính đạo hàm các hàm số sau:

a, \(y = ( - 2{x^2} + 3x + 1).\sqrt x \)

b, \(y = \frac{{2{x^2} - 1}}{{1 - 3x}}\)

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức đạo hàm: \({(u.v)'} = {u'}.v + u.{v'}\)

                                                \({(\frac{u}{v})'} = \frac{{{u'}.v - u.{v'}}}{{{v^2}}}\)

Lời giải chi tiết:

a, Ta có: \(\begin{array}{l}{y'} = {( - 2{x^2} + 3x + 1)'}.\sqrt x  + ( - 2{x^2} + 3x + 1).{(\sqrt x )'}\\ = ( - 4x + 3).\sqrt x  + ( - 2{x^2} + 3x + 1).\frac{1}{{2\sqrt x }}\\ =  - 4x\sqrt x  + 3\sqrt x  - x\sqrt x  + \frac{3}{2}\sqrt x  + \frac{1}{{2\sqrt x }}\\ =  - 5x\sqrt x  + \frac{9}{2}\sqrt x  + \frac{1}{{2\sqrt x }}\end{array}\)            

b, Ta có: \(\begin{array}{l}{y'} = \frac{{{{(2{x^2} - 1)}'}.(1 - 3x) - (2{x^2} - 1).{{(1 - 3x)}'}}}{{{{(1 - 3x)}^2}}}\\ = \frac{{4x.(1 - 3x) - (2{x^2} - 1).( - 3)}}{{{{(1 - 3x)}^2}}} = \frac{{4x - 12{x^2} + 6{x^2} - 3}}{{{{(1 - 3x)}^2}}}\\ = \frac{{4x - 6{x^2} - 3}}{{{{(1 - 3x)}^2}}}\end{array}\)

Vận dụng 1

Điện lượng Q ( đơn vị: C) truyền trong một dây dẫn tại thời điểm t ( giây) được tính bởi \(Q(t) = {t^3} - 3{t^2} + 5t + 1\). Biết rằng cường độ dòng điện tại thời điểm t là I(t) ( đơn vị :A) có giá trị bằng với \({Q'}(t)\)

a, Tính cường độ dòng điện tại thời điểm \(t = \frac{1}{2}\) giây và t= 2 giây. Tại thời điểm nào thì cường độ dòng điện lớn hơn.

b, Tìm thời điểm mà cường độ dòng điện đạt giá trị nhỏ nhất.

Phương pháp giải:

a, Tính I(t) = \({Q'}(t)\). Thay giá trị \(t = \frac{1}{2}\) và t= 2

b, Áp dụng hằng đẳng thức tìm min.

Lời giải chi tiết:

a, Ta có: I(t) = \({Q'}(t) = {({t^3} - 3{t^2} + 5t + 1)'} = 3{t^2} - 6t + 5\)

Thay giá trị \(t = \frac{1}{2}\) và t= 2 ta được:

\(I(\frac{1}{2}) = 3.{(\frac{1}{2})^2} - 6.\frac{1}{2} + 5 = \frac{3}{4} - 3 + 5 = \frac{{11}}{4}\)

\(I(2) = {3.2^2} - 6.2 + 5 = 5\)

b, Ta có: \(I(t) = 3{t^2} - 6t + 5 = 3.({t^2} - 2t + 1) + 2 = 3.{(t - 1)^2} + 2\)

Vì \({(t - 1)^2} \ge 0 \Rightarrow 3.{(t - 1)^2} + 2 \ge 2\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của cường độ dòng điện là 2(A) tại t= 2 giây.

Hoạt động 4

Cho hai hàm số \(f(u) = {u^4}\) và \(u(x) = 2{x^2} + 1\)

a, Tính giá trị của u(1) và f(u(1)

b, Trong biểu thức của f(u), nếu ta thay biến u bởi u(x) thì ta thu được một biểu thức theo biến x. Hãy viết ra biểu thức này.

Phương pháp giải:

Thay x=1 để tính u(1) và thay u(1) để tính f(u(1))

Lời giải chi tiết:

a, Thay x=1 ta được: \(u(1) = {2.1^2} + 1 = 3\)

Thay u(1)=3 vào f(u) ta được: f(u(1))=\({3^4} = 81\)

b, Ta có: \(f(u) = {u^4} = {(2{x^2} + 1)^4}\)

Luyện tập 4

Hàm số \(y = {e^{3x - {x^2}}}\) là hàm hợp của hai hàm số nào?

Phương pháp giải:

Hàm số là hàm hợp của \({e^u}\) và \(u = 3x - {x^2}\)

Lời giải chi tiết:

Hàm số là hàm hợp của \({e^u}\) và \(u = 3x - {x^2}\)

Hoạt động 5

Cho hàm số \(f(u) = {u^2}\) và \(u(x) = {x^2} + 1\). Hàm hợp của hàm số f và u là \(y = f(u(x)) = {({x^2} + 1)^2}\)

a, Tìm \({y'}\)bằng cách khai triển biểu thức \({({x^2} + 1)^2}\)và áp dụng quy tắc tính đạo hàm của hàm tổng

b, Một học sinh cho rằng: Vì \({({u^2})'} = 2u\) nên \({y'} = {\rm{[}}{({x^2} + 1)^2}{\rm{]}} = 2({x^2} + 1)\). Kết quả này đúng hay sai.

c, Tính \({f'}(u).{u'}(x)\) và so sánh kết quả \({y'}\) ở câu a, sau đó rút ra nhận xét.

Phương pháp giải:

a, Sử dụng khai triển hằng đẳng thức và áp dụng quy tắc tính đạo hàm

b, Dụa vào kết quả câu a và kết luận

c, Tính \({f'}(u).{u'}(x)\)

Lời giải chi tiết:

a, Ta có: \({({x^2} + 1)^2} = {x^4} + 2{x^2} + 1\)

\( \Rightarrow {y'} = {({x^4} + 2{x^2} + 1)'} = 4{x^3} + 4x\)

b, Kết quả của câu b là sai

c, Ta có: 

 \(\begin{array}{l}f'(u) = 2u\\u'(x) = 2x\\ \Rightarrow f'(u).u'(x) = 2u.2x = 2.({x^2} + 1).2x = 4{x^3} + 4x\end{array}\)

Nhận xét: \(f'(x) = f'(u).{u'}(x)\)

Luyện tập 5

Tính đạo hàm các hàm số sau:
a, \(y = \sqrt {7 - 3x} \)

b, \(y = {(2\sqrt x  + \frac{1}{x})^3}\)

Phương pháp giải:

Sử dụng đạo hàm của hàm hợp \(f'(x) = f'(u).{u'}(x)\) và các quy tắc tính đạo hàm

Lời giải chi tiết:

a, Ta có: \({y'} = {(\sqrt {7 - 3x} )'} = \frac{1}{{2\sqrt {7 - 3x} }}.{(7 - 3x)'} = \frac{{ - 3}}{{2.\sqrt {7 - 3x} }}\)

b, Ta có: \(\begin{array}{l}{y'} = 3.{(2\sqrt x  + \frac{1}{x})^2}.{(2\sqrt x  + \frac{1}{x})'} = 3.(2\sqrt x  + \frac{1}{x}).(2.\frac{1}{{2\sqrt x }} - \frac{1}{{{x^2}}})\\ = 3.(2.\sqrt x  + \frac{1}{x}).(\frac{1}{{\sqrt x }} - \frac{1}{{{x^2}}})\end{array}\)