Giải mục 3 trang 31, 32, 34, 35 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều

LT3

Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 31 SGK Toán 12 Cánh diều

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x + 6}}{{ - x + 2}}\).

Phương pháp giải:

 - Tìm tập xác định của hàm số.

- Xét sự biến thiên của hàm số.

- Vẽ đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết:

1) TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \{ 2\} \).

2) Sự biến thiên:

Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y =  + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y =  - \infty \). Do đó, đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  - 2\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y =  - 2\). Do đó, đường thẳng y = -2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Đạo hàm: \(y' = \frac{{10}}{{{{( - x + 2)}^2}}} > 0\), với mọi \(x \ne 2\).

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\), \(\left( {2; + \infty } \right)\).

Hàm số không có cực trị.

3) Đồ thị:

- Giao điểm của đồ thị với trục tung: (0;3).

- Giao điểm của đồ thị với trục hoành: (-3;0).

- Đồ thị hàm số đi qua các điểm (0;3), (-3;0), (4;-7) và (7;-4).

- Đồ thị hàm số nhận giao điểm (2;-2) của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

Ta vẽ được đồ thị \(y = \frac{{2x + 6}}{{ - x + 2}}\) như hình:

LT4

Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 32 SGK Toán 12 Cánh diều

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 3}}{{ - x + 2}}\).

Phương pháp giải:

 - Tìm tập xác định của hàm số.

- Xét sự biến thiên của hàm số.

- Vẽ đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết:

1) TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \{ 2\} \).

2) Sự biến thiên:

Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y =  - \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y =  + \infty \). Do đó, đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  - 1\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y =  - 1\). Do đó, đường thẳng y = -1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Đạo hàm: \(y' = \frac{{ - 1}}{{{{( - x + 2)}^2}}} > 0\), với mọi \(x \ne 2\).

Bảng biến thiên:

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\), \(\left( {2; + \infty } \right)\).

Hàm số không có cực trị.

3) Đồ thị:

- Giao điểm của đồ thị với trục tung: \(\left( {0; - \frac{3}{2}} \right)\).

- Giao điểm của đồ thị với trục hoành: (3;0).

- Đồ thị hàm số đi qua các điểm \(\left( {0; - \frac{3}{2}} \right)\), (-3;0), (1;-2) và \(\left( {\frac{5}{2};1} \right)\).

- Đồ thị hàm số nhận giao điểm (2;-1) của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

Ta vẽ được đồ thị \(y = \frac{{x - 3}}{{ - x + 2}}\) như hình:

LT5

Trả lời câu hỏi Luyện tập 5 trang 34 SGK Toán 12 Cánh diều

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \(y = \frac{{ - {x^2}}}{{x + 1}}\).

Phương pháp giải:

 - Tìm tập xác định của hàm số.

- Xét sự biến thiên của hàm số.

- Vẽ đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết:

1) TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \{  - 1\} \).

2) Sự biến thiên:

Hàm số trên có thể viết dưới dạng \(y = 1 - x - \frac{1}{{x + 1}}\).

Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} y =  + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} y =  - \infty \). Do đó, đường thẳng x = -1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  - \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y =  + \infty \). Đồ thị không có tiệm cận ngang.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {y - (1 - x)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{ - 1}}{{x + 1}} = 0\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left[ {y - (1 - x)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{ - 1}}{{x + 1}} = 0\). Do đó, đường thẳng y = x + 2 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Đạo hàm: \(y' = \frac{{ - {x^2} - 2x}}{{{{(x + 1)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \) x = 0 hoặc x = -2.

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (-2;-1) và (-1;0); nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Hàm số đạt cực đại tại x = 0, \({y_{CD}} = 0\); hàm số đạt cực tiểu tại x = -2, \({y_{CT}} = 4\).

3) Đồ thị:

- Đồ thị đi qua gốc tọa độ O(0;0).

- Đồ thị hàm số đi qua các điểm (0;0), (-2;4), \(\left( { - 3;\frac{9}{2}} \right)\), \(\left( { - 4; - \frac{{16}}{3}} \right)\) và \(\left( {2; - \frac{4}{3}} \right)\).

- Đồ thị hàm số nhận giao điểm (-1;2) của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

Ta vẽ được đồ thị \(y = \frac{{ - {x^2}}}{{x + 1}}\) như hình:

LT6

Trả lời câu hỏi Luyện tập 6 trang 35 SGK Toán 12 Cánh diều

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} + x - 3}}{{x - 1}}\).

Phương pháp giải:

 - Tìm tập xác định của hàm số.

- Xét sự biến thiên của hàm số.

- Vẽ đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết:

1) TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \{ 1\} \).

2) Sự biến thiên:

Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận:

Hàm số trên có thể viết dưới dạng \(y = 1 - x - \frac{1}{{x + 1}}\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y =  + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y =  - \infty \). Do đó, đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y =  - \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y =  - \infty \). Đồ thị không có tiệm cận ngang.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {y - (x + 2)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{ - 1}}{{x - 1}} = 0\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left[ {y - (x + 2)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{ - 1}}{{x - 1}} = 0\). Do đó, đường thẳng y = x + 2 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Đạo hàm: \(y' = \frac{{{x^2} - 2x + 2}}{{{{(x - 1)}^2}}} > 0\) với mọi \(x \ne 1\).

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \[\left( {1; + \infty } \right)\].

Hàm số không có cực trị.

3) Đồ thị:

- Giao điểm của đồ thị với trục tung: (0;3).

- Giao điểm của đồ thị với trục hoành: \(\left( {\frac{{ - 1 - \sqrt {13} }}{2};0} \right)\), \(\left( {\frac{{ - 1 + \sqrt {13} }}{2};0} \right)\).

- Đồ thị hàm số đi qua các điểm (0;1), (2;3), \(\left( {\frac{{ - 1 - \sqrt {13} }}{2};0} \right)\) và \(\left( {\frac{{ - 1 + \sqrt {13} }}{2};0} \right)\).

- Đồ thị hàm số nhận giao điểm (1;3) của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

Ta vẽ được đồ thị \(y = \frac{{{x^2} + x - 3}}{{x - 1}}\) như hình: