Giải bài tập 6.11 trang 78 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

Một bộ lọc được sử dụng để chặn thư rác trong các tài khoản thư điện tử. Tuy nhiên, vì bộ lọc không tuyệt đối hoàn hảo nên một thư rác bị chặn với xác suất là 0,95 và một thư đúng (không phải là thư rác) bị chặn với xác suất 0,01. Thống kê cho thấy tỉ lệ thư rác là 3%. a) Chọn ngẫu nhiên một thư bị chặn. Tính xác suất để đó là thư rác. b) Chọn ngẫu nhiên một thư không bị chặn. Tính xác suất để đó là thư đúng. c) Trong số các thư bị chặn, có bao nhiêu phần trăm là thư đúng? Trong số các thư kh

Đề bài

Một bộ lọc được sử dụng để chặn thư rác trong các tài khoản thư điện tử. Tuy nhiên, vì bộ lọc không tuyệt đối hoàn hảo nên một thư rác bị chặn với xác suất là 0,95 và một thư đúng (không phải là thư rác) bị chặn với xác suất 0,01. Thống kê cho thấy tỉ lệ thư rác là 3%.

a) Chọn ngẫu nhiên một thư bị chặn. Tính xác suất để đó là thư rác.

b) Chọn ngẫu nhiên một thư không bị chặn. Tính xác suất để đó là thư đúng.

c) Trong số các thư bị chặn, có bao nhiêu phần trăm là thư đúng? Trong số các thư không bị chặn, có bao nhiêu phần trăm là thư rác?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về công thức tính xác suất có điều kiện để tính: Cho hai biến cố A và B bất kì, với \(P\left( B \right) > 0\). Khi đó, \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}}\).

Sử dụng kiến thức về công thức xác suất toàn phần để tính: Cho hai biến cố A và B. Khi đó, ta có công thức sau: \(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)\).

Sử dụng kiến thức về công thức Bayes để tính: Cho A và B là hai biến cố, với \(P\left( B \right) > 0\). Khi đó, ta có công thức sau: \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}}\).

Lời giải chi tiết

Gọi A là biến cố: “Thư được chọn là thư rác”, B là biến cố: “Thư chọn bị chặn” thì \(\overline B \) là biến cố: “Thư chọn không bị chặn”.

Theo đầu bài ta có: \(P\left( A \right) = 0,03,P\left( {\overline A } \right) = 0,97,P\left( {B|A} \right) = 0,95,P\left( {B|\overline A } \right) = 0,01\)

a) Ta có: \(P\left( B \right) = P\left( {B|A} \right).P\left( A \right) + P\left( {B|\overline A } \right).P\left( {\overline A } \right) = 0,95.0,03 + 0,01.0,97 = 0,0382\)

Do đó, \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,95.0,03}}{{0,0382}} = \frac{{285}}{{382}} \approx 0,746\)

Vậy xác suất để chọn ngẫu nhiên một thư bị chặn là thư rác là khoảng 74,6%

b) Vì \(P\left( {B|\overline A } \right) = 0,01 \Rightarrow P\left( {\overline B |\overline A } \right) = 0,99,P\left( {B|A} \right) = 0,95 \Rightarrow P\left( {\overline B |A} \right) = 0,05\)

Theo công thức Bayes ta có:

\(P\left( {\overline A |\overline B } \right) = \frac{{P\left( {\overline A } \right).P\left( {\overline B |\overline A } \right)}}{{P\left( {\overline A } \right).P\left( {\overline B |\overline A } \right) + P\left( A \right).P\left( {\overline B |A} \right)}} = \frac{{0,97.0,99}}{{0,97.0,99 + 0,03.0,05}} = \frac{{3201}}{{3206}} \approx 0,998\)

Vậy xác suất để chọn ngẫu nhiên một thư không bị chặn là thư đúng là khoảng 99,8%.

c) Tỷ lệ phần trăm thư đúng trong các thư bị chặn là: \(\frac{{0,99.0,97}}{{0,0382}} = \frac{{9603}}{{382}}\)

Tỷ lệ phần trăm thư rác trong các thư không bị chặn là: \(\frac{{0,05.0,03}}{{0,9618}} = \frac{5}{{3206}}\)

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài tập 6.10 trang 78 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Có hai đội thi đấu môn Bắn súng. Đội I có 5 vận động viên, đội II có 7 vận động viên. Xác suất đạt huy chương vàng của mỗi vận động viên đội I và đội II tương ứng là 0,65 và 0,55. Chọn ngẫu nhiên một vận động viên. a) Tính xác suất để vận động viên này đạt huy chương vàng; b) Giả sử vận động viên được chọn đạt huy chương vàng. Tính xác suất để vận động viên này thuộc đội I.
Giải bài tập 6.9 trang 78 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Tại nhà máy X sản xuất linh kiện điện tử tỉ lệ sản phẩm đạt tiêu chuẩn là 80%. Trước khi xuất xưởng ra thị trường, các linh kiện điện tử đều phải trải qua khâu kiểm tra chất lượng để đóng dấu OTK. Vì sự kiểm tra không tuyệt đối hoàn hảo nên nếu một linh kiện điện tử đạt tiêu chuẩn thì nó có xác suất 0,99 được đóng dấu OTK; nếu một linh kiện điện tử không đạt tiêu chuẩn thì nó có xác suất 0,95 không được đóng dấu OTK. Chọn ngẫu nhiên một linh kiện điện tử của nhà máy X trên thị trường. a) Tính x
Giải bài tập 6.8 trang 78 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Có hai chuồng thỏ. Chuồng I có 5 con thỏ đen và 10 con thỏ trắng. Chuồng II có 7 con thỏ đen và 3 con thỏ trắng. Trước tiên, từ chuồng II lấy ra ngẫu nhiên 1 con thỏ rồi cho vào chuồng I. Sau đó, từ chuồng I lấy ra ngẫu nhiên 1 con thỏ. Tính xác suất để con thỏ được lấy ra là con thỏ trắng.
Giải bài tập 6.7 trang 77 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Trong quân sự, một máy bay chiến đấu của đối phương có thể xuất hiện ở vị trí X với xác suất 0,55. Nếu máy bay đó không xuất hiện ở vị trí X thì nó xuất hiện ở vị trí Y. Để phòng thủ, các bệ phóng tên lửa được bố trí tại các vị trí X và Y. Khi máy bay đối phương xuất hiện ở vị trí X hoặc Y thì tên lửa sẽ được phóng để hạ máy bay đó. Xét phương án tác chiến sau: Nếu máy bay xuất hiện tại X thì bắn 2 quả tên lửa và nếu máy bay xuất hiện tại Y thì bắn 1 quả tên lửa. Biết rằng xác xuất bắn trúng m
Giải mục 2 trang 75,76,77 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
CÔNG THỨC BAYES
Giải mục 1 trang 72,73,74 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
CÔNG THỨC XÁC SUẤT TOÀN PHẦN
Lý thuyết Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes Toán 12 Kết nối tri thức
1. Công thức xác suất toàn phần