Giải bài tập 5 trang 64 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều

Đề bài

Một chiếc oto được đặt trên mặt đáy dưới của một khung sắt có dạng hình hộp chữ nhật với đáy trên là hinhg chữ nhật ABCD, mặt phẳng (ABCD) song song với mặt phẳng nằm ngang . Khung sắt có được buộc vào móc E của chiếc cần cẩu sao cho các đoạn dây cáp EA, EB, EC, ED có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc bằng 60$^\circ$( hình 16 ). Chiếc cần cẩu kéo khung sắt lên theo phương thẳng đứng. Tính trọng lượng của chiếc xe oto ( làm tròn đến hàng đơn vị), biết rằng các lực căng $\overrightarrow {{F_1},} \overrightarrow {{F_2},} \overrightarrow {{F_3},} \overrightarrow {{F_4}}$ đều có cường độ là 4700N và trọng lượng của khung sắt là 3000N.

Lời giải chi tiết

Gọi ${A_1},{B_1},{C_1},{D_1}$ lần lượt là các điểm sao cho $\overrightarrow {E{A_1}}  = \overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {E{B_1}}  = \overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {E{C_1}}  = \overrightarrow {{F_3}} ,\overrightarrow {E{D_1}}  = \overrightarrow {{F_4}}$.

Vì EA, EB, EC, ED có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc bằng ${60^o}$ nê $E{A_1},E{B_1},E{C_1},E{D_1}$ bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng $({A_1}{B_1}{C_1}{D_1})$ một góc bằng ${60^o}$.

Vì ABCD là hình chữ nhật nên ${A_1}{B_1}{C_1}{D_1}$ cũng là hình chữ nhật.

Gọi O là tâm của hình chữ nhật ${A_1}{B_1}{C_1}{D_1}$.

Do đó, góc giữa đường thẳng $E{A_1}$ và mặt phẳng $({A_1}{B_1}{C_1}{D_1})$ bằng $\widehat {E{A_1}O}$.

Suy ra $\widehat {E{A_1}O} = {60^o}$.

Ta có $\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_4}} } \right| = 4700$ (N) nên $E{A_1} = E{B_1} = E{C_1} = E{D_1} = 4700$.

Tam giác $E{A_1}O$ vuông tại O nên $OE = E{A_1}\sin \widehat {E{A_1}O} = 4700\sin {60^o} = 2350\sqrt 3$.

Theo quy tắc ba điểm, ta có $\overrightarrow {E{A_1}}  = \overrightarrow {EO}  + \overrightarrow {O{A_1}} ,\overrightarrow {E{B_1}}  = \overrightarrow {EO}  + \overrightarrow {O{B_1}} ,\overrightarrow {E{C_1}}  = \overrightarrow {EO}  + \overrightarrow {O{C_1}} ,\overrightarrow {E{D_1}}  = \overrightarrow {EO}  + \overrightarrow {O{D_1}}$.

Vì O là trung điểm của ${A_1}{C_1}$ và ${B_1}{D_1}$ nên $\overrightarrow {O{A_1}}  + \overrightarrow {O{C_1}}  = \overrightarrow 0 ,\overrightarrow {O{B_1}}  + \overrightarrow {O{D_1}}  = \overrightarrow 0$.

Từ đó suy ra $\overrightarrow {E{A_1}}  + \overrightarrow {E{B_1}}  + \overrightarrow {E{C_1}}  + \overrightarrow {E{D_1}}  = 4\overrightarrow {EO}$.

Do đó $\overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}}  + \overrightarrow {{F_3}}  + \overrightarrow {{F_4}}  = 4\overrightarrow {EO}$.

Vì chiếc khung sắt chứa xe ô tô ở vị trí cân bằng nên $\overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}}  + \overrightarrow {{F_3}}  + \overrightarrow {{F_4}}  = \overrightarrow P$, ở đó $\overrightarrow P$ là trọng lực tác dụng lên khung sắt chứa xe ô tô.

Suy ra trọng lượng của khung sắt chứa chiếc xe ô tô là $\left| {\overrightarrow P } \right| = 4\left| {\overrightarrow {EO} } \right| = 4.2350\sqrt 3  = 9400\sqrt 3$ (N).

Vì trọng lượng của khung sắt là 3 000 N nên trọng lượng của chiếc xe ô tô là $9400\sqrt 3  - 3000 \approx 13281$ (N).