Giải bài tập 3 trang 83 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo


Tốc độ của 20 xe hơi khi đi qua một trạm kiểm tra tốc độ (đơn vị: km/h) được thống kê lại như sau: a) Hãy tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên. b) Hãy lập bảng tần số ghép nhóm với nhóm đầu tiên là [42; 46) và độ dài mỗi nhóm bằng 4. c) Hãy tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm.

Đề bài

Tốc độ của 20 xe hơi khi đi qua một trạm kiểm tra tốc độ (đơn vị: km/h) được thống kê lại như sau:


a) Hãy tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên.
b) Hãy lập bảng tần số ghép nhóm với nhóm đầu tiên là [42; 46) và độ dài mỗi nhóm bằng 4.
c) Hãy tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là hiệu số giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu

Tìm trung vị Q2Q2

Tìm trung vị của nửa số liệu bên trái Q2Q2, ta được Q1Q1

Tìm trung vị của nửa số liệu bên phải Q2Q2, ta được Q3Q3

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là hiệu giữa tứ phân vị thứ ba Q3Q3 và tứ phân vị thứ nhất Q1Q1 của mẫu số liệu

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu S2S2, được tính bởi công thức:

S2=1n[n1(c1¯x)2+n2(c2¯x)2+...+nk(ck¯x)2]S2=1n[n1(c1¯¯¯x)2+n2(c2¯¯¯x)2+...+nk(ck¯¯¯x)2]

Trong đó: n=n1+n2+...+nkn=n1+n2+...+nk là cỡ mẫu

¯x=1n(n1c1+n2c2+...+nkck)¯¯¯x=1n(n1c1+n2c2+...+nkck) là số trung bình

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu SS, là căn bậc hai số học của phương sai.

c) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu số giữa đầu mút phải của nhóm cuối cùng và đầu mút trái của nhóm đầu tiên có chứa dữ liệu của mẫu số liệu.

Tứ phân vị thứ k, kí hiệu là QkQk, với k = 1, 2, 3 của mẫu số liệu ghép nhóm được xác định như sau:

Qk=um+kn4Cnm(um+1um)Qk=um+kn4Cnm(um+1um)

trong đó:

n=n1+n2+n3+...+nkn=n1+n2+n3+...+nk là cỡ mẫu

[um;um+1][um;um+1] là nhóm chứa tứ phân vị thứ k

nmnm là tần số của nhóm chứa tứ phân vị thứ k

C=n1+n2+n3+...+nm1C=n1+n2+n3+...+nm1

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu ΔQΔQ, là hiệu giữa tứ phân vị thứ ba Q3Q3 và tứ phân vị thứ nhất Q1Q1 của mẫu số liệu ghép nhóm đó, tức là ΔQ=Q3Q1ΔQ=Q3Q1.

Tính giá trị đại diện

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu S2S2, được tính bởi công thức:

S2=1n[n1(c1¯x)2+n2(c2¯x)2+...+nk(ck¯x)2]S2=1n[n1(c1¯¯¯x)2+n2(c2¯¯¯x)2+...+nk(ck¯¯¯x)2]

Trong đó: n=n1+n2+...+nkn=n1+n2+...+nk là cỡ mẫu

¯x=1n(n1c1+n2c2+...+nkck)¯¯¯x=1n(n1c1+n2c2+...+nkck) là số trung bình

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu SS, là căn bậc hai số học của phương sai.

Lời giải chi tiết

a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu: 61,1 – 42 = 19,1 (km/h)

Cỡ mẫu: n = 20

Gọi x1;x2;;x20x1;x2;;x20 là mẫu số liệu gốc về tốc độ của 20 xe hơi khi đi qua một trạm kiểm tra tốc độ được xếp theo thứ tự không giảm.

Trung vị Q2=12(x10+x11)=12(48,4+50,8)=49,6Q2=12(x10+x11)=12(48,4+50,8)=49,6

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của nửa số liệu bên trái Q2Q2 Q1=12(x5+x6)=12(46,7+46,8)=46,75Q1=12(x5+x6)=12(46,7+46,8)=46,75

Tứ phân vị thứ ba là trung bị của nửa số liệu bên phải Q2Q2: Q3=12(x15+x16)=12(54,8+55,6)=55,2Q3=12(x15+x16)=12(54,8+55,6)=55,2

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là: ΔQ=Q3Q1=8,45ΔQ=Q3Q1=8,45

Số trung bình: ¯x=42+43,4+...+61,120=50,945¯¯¯x=42+43,4+...+61,120=50,945

Phương sai: S2=422+43,42+...+61,122050,945232,2S2=422+43,42+...+61,122050,945232,2

Độ lệch chuẩn: σ=32,25,67σ=32,25,67

b)

c) Ta có: x1;...;x3[42;46)x1;...;x3[42;46); x4;;x10[46;50)x4;;x10[46;50);x11;;x14[50;54)x11;;x14[50;54);x15;;x17[54;58)x15;;x17[54;58);x18;...;x20[58;62)x18;...;x20[58;62)

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là 12(x5+x6)[46;50)12(x5+x6)[46;50). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: Q1=46+20437(5046)=3307

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là 12(x15+x16)[54;58). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: Q3=54+3.204(3+7+4)3(5854)=1663

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: ΔQ=Q3Q1=17221

 

Số trung bình: ¯x=3.44+7.48+4.52+3.56+3.6020=41,8

Phương sai: S2=3.442+7.482+4.522+3.562+3.6022041,82=364,96

Độ lệch chuẩn: σ=364,96=19,1


Bình chọn:
3.8 trên 4 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Chân trời sáng tạo - Xem ngay

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.