Bài tập cuối chương 5 - Toán 12 Cánh diều

Giải bài tập 12 trang 88, 89 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều

Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho hình lập phương OBCD.O'B'C'D' có O(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; a; 0), O'(0; 0; a) với a > 0. a) Chứng minh rằng đường chéo O'C vuông góc với mặt phẳng (OB'D'). b) Chứng minh rằng giao điểm của đường chéo O'C và mặt phẳng (OB'D') là trọng tâm của tam giác OB'D'. c) Tính khoảng cách từ điểm B' đến mặt phẳng (C'BD). d) Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng (CO'D) và (C'BD).

Đề bài

Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho hình lập phương OBCD.O'B'C'D' có O(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; a; 0), O'(0; 0; a) với a > 0.

a) Chứng minh rằng đường chéo O'C vuông góc với mặt phẳng (OB'D').

b) Chứng minh rằng giao điểm của đường chéo O'C và mặt phẳng (OB'D') là trọng tâm của tam giác OB'D'.

c) Tính khoảng cách từ điểm B' đến mặt phẳng (C'BD).

d) Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng (CO'D) và (C'BD).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Chứng minh hai vectơ \(\overrightarrow {O'C} ,\left[ {\overrightarrow {OB'} ,\overrightarrow {OD'} } \right]\) cùng phương, từ đó suy ra \(\overrightarrow {O'C} \) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (OB'D'). Suy ra O'C vuông góc với mặt phẳng (OB'D').

b) + Viết phương trình tổng quát mặt phẳng (OB’D’).

+ Viết phương trình tham số đường thẳng O’C.

+ Tìm giao điểm G của mặt phẳng (OB’D’) và đường thẳng O’C.

+ Tìm G’ là trọng tâm của tam giác OB’D’.

+ Chứng minh được G trùng G’.

c) Sử dụng kiến thức về khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng để tính: Khoảng cách từ điểm \({M_o}\left( {{x_o};{y_o};{z_o}} \right)\) đến mặt phẳng (P): \(Ax + By + Cz + D = 0\) (\({A^2} + {B^2} + {C^2} > 0\)) được tính theo công thức: \(d\left( {{M_o},\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {A{x_o} + B{y_o} + C{z_o} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\).

d) Sử dụng kiến thức về côsin góc giữa hai mặt phẳng để tính: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right)\), \(\left( {{P_2}} \right)\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {{A_1};{B_1};{C_1}} \right)\), \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {{A_2};{B_2};{C_2}} \right)\). Khi đó ta có: \(\cos \left( {\left( {{P_1}} \right),\left( {{P_2}} \right)} \right) = \frac{{\left| {{A_1}{A_2} + {B_1}{B_2} + {C_1}{C_2}} \right|}}{{\sqrt {A_1^2 + B_1^2 + C_1^2} .\sqrt {A_2^2 + B_2^2 + C_2^2} }}\).

Lời giải chi tiết

Gọi \(C\left( {{x_C};{y_C};{z_C}} \right)\). Ta có: \(\overrightarrow {OB} = \left( {a;0;0} \right),\overrightarrow {DC} = \left( {{x_C};{y_C} - a;{z_C}} \right)\).

Vì OBCD.O'B'C'D là hình lập phương nên OBCD là hình vuông.

Do đó: \(\overrightarrow {DC} = \overrightarrow {OB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = a\\{y_C} - a = 0\\{z_C} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = a\\{y_C} = a\\{z_C} = 0\end{array} \right.\). Suy ra, C(a; a; 0).

Gọi \(D'\left( {{x_{D'}};{y_{D'}};{z_{D'}}} \right)\). Ta có: \(\overrightarrow {OO'} = \left( {0;0;a} \right),\overrightarrow {DD'} = \left( {{x_{D'}};{y_{D'}} - a;{z_{D'}}} \right)\).

Vì OBCD.O'B'C'D là hình lập phương nên ODD’O’ là hình vuông.

Do đó: \(\overrightarrow {DD'} = \overrightarrow {OO'} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{D'}} = 0\\{y_{D'}} - a = 0\\{z_{D'}} = a\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{D'}} = 0\\{y_{D'}} = a\\{z_{D'}} = a\end{array} \right.\). Suy ra, D’(0; a; a).

Gọi \(B'\left( {{x_{B'}};{y_{B'}};{z_{B'}}} \right)\). Ta có: \(\overrightarrow {OO'} = \left( {0;0;a} \right),\overrightarrow {BB'} = \left( {{x_{B'}} - a;{y_{B'}};{z_{B'}}} \right)\).

Vì OBCD.O'B'C'D là hình lập phương nên OBB’O’ là hình vuông.

Do đó: \(\overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {OO'} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{B'}} - a = 0\\{y_{B'}} = 0\\{z_{B'}} = a\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{B'}} = a\\{y_{B'}} = 0\\{z_{B'}} = a\end{array} \right.\). Suy ra, B’(a; 0; a).

a) Ta có: \(\overrightarrow {OB'} = \left( {a;0;a} \right),\overrightarrow {OD'} = \left( {0;a;a} \right)\)\(\left[ {\overrightarrow {OB'} ,\overrightarrow {OD'} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&a\\a&a\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}a&a\\a&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}a&0\\0&a\end{array}} \right|} \right) = \left( { - {a^2}; - {a^2};{a^2}} \right)\)

Mặt phẳng (OB’D’) nhận \(\left[ {\overrightarrow {OB'} ,\overrightarrow {OD'} } \right] = \left( { - {a^2}; - {a^2};{a^2}} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến.

Lại có: \(\overrightarrow {O'C} = \left( {a;a; - a} \right),\left[ {\overrightarrow {OB'} ,\overrightarrow {OD'} } \right] = - a.\overrightarrow {O'C} \) nên hai vectơ \(\overrightarrow {O'C} ,\left[ {\overrightarrow {OB'} ,\overrightarrow {OD'} } \right]\) cùng phương. Do đó, \(\overrightarrow {O'C} \) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (OB’D’). Vậy O'C vuông góc với mặt phẳng (OB'D').

b) Mặt phẳng (OB’D’) nhận \(\left[ {\overrightarrow {OB'} ,\overrightarrow {OD'} } \right] = \left( { - {a^2}; - {a^2};{a^2}} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến và đi qua điểm O(0; 0; 0) nên phương trình mặt phẳng (OB’D’) là:

\( - {a^2}\left( {x - 0} \right) - {a^2}\left( {y - 0} \right) + {a^2}\left( {z - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y - z = 0\) (Do \(a > 0\))

Đường thẳng O’C đi qua điểm O'(0; 0; a) và nhận \(\frac{1}{a}\overrightarrow {O'C} = \left( {1;1; - 1} \right)\) làm một vectơ chỉ phương nên phương trình tham số đường thẳng O’C là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = t\\z = a - t\end{array} \right.\) (t là tham số).

Gọi G là giao điểm của đường thẳng O’C và mặt phẳng (OB’D’).

Vì G thuôc O’C nên G(t; t; a-t). Vì G thuộc mặt phẳng (OB’D’) nên:

\(t + t - \left( {a - t} \right) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{a}{3}\). Do đó, \(G\left( {\frac{a}{3};\frac{a}{3};\frac{{2a}}{3}} \right)\).

Gọi G’ là trọng tâm của tam giác OB’D’ nên \(G'\left( {\frac{a}{3};\frac{a}{3};\frac{{2a}}{3}} \right)\).

Khi đó, G trùng với G’. Vậy giao điểm của đường chéo O'C và mặt phẳng (OB'D') là trọng tâm của tam giác OB'D'.

c) Gọi \(C'\left( {{x_{C'}};{y_{C'}};{z_{C'}}} \right)\). Ta có: \(\overrightarrow {OO'} = \left( {0;0;a} \right),\overrightarrow {CC'} = \left( {{x_{C'}} - a;{y_{C'}} - a;{z_{C'}}} \right)\).

Vì OBCD.O'B'C'D là hình lập phương nên \(\overrightarrow {CC'} = \overrightarrow {OO'} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{C'}} - a = 0\\{y_{C'}} - a = 0\\{z_{C'}} = a\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{C'}} = a\\{y_{C'}} = a\\{z_{C'}} = a\end{array} \right.\).

Suy ra, C’(a; a; a).

Ta có: \(\overrightarrow {C'B} = \left( {0; - a; - a} \right),\overrightarrow {C'D} = \left( { - a;0 - a} \right)\), \(\left[ {\overrightarrow {C'B} ,\overrightarrow {C'D} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - a}&{ - a}\\0&{ - a}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - a}&0\\{ - a}&{ - a}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - a}\\{ - a}&0\end{array}} \right|} \right) = \left( {{a^2};{a^2}; - {a^2}} \right)\)

Mặt phẳng (C'BD) nhận \(\left[ {\overrightarrow {C'B} ,\overrightarrow {C'D} } \right] = \left( {{a^2};{a^2}; - {a^2}} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến và đi qua điểm D(0; a; 0) nên có phương trình: \({a^2}.x + {a^2}\left( {y - a} \right) - {a^2}z = 0 \Leftrightarrow x + y - z - a = 0\)

Ta có: \(d\left( {B',\left( {C'BD} \right)} \right) = \frac{{\left| {a + 0 - a - a} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{a}{{\sqrt 3 }}\).

d) Ta có: \(\overrightarrow {O'C} = \left( {a;a; - a} \right),\overrightarrow {O'D} = \left( {0;a; - a} \right)\), \(\left[ {\overrightarrow {O'C} ,\overrightarrow {O'D} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}a&{ - a}\\a&{ - a}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - a}&a\\{ - a}&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}a&a\\0&a\end{array}} \right|} \right) = \left( {0;{a^2};{a^2}} \right)\)

Mặt phẳng (CO’D) nhận \(\frac{1}{{{a^2}}}\left[ {\overrightarrow {O'C} ,\overrightarrow {O'D} } \right] = \left( {0;1;1} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến, mặt phẳng (C'BD) nhận \(\frac{1}{{{a^2}}}\left[ {\overrightarrow {C'B} ,\overrightarrow {C'D} } \right] = \left( {1;1; - 1} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến.

Ta có: \(\cos \left( {\left( {CO'D} \right),\left( {C'BD} \right)} \right) = \frac{{\left| {1.0 + 1.1 - 1.1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{0^2} + {1^2} + {1^2}} }} = 0\).

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài tập 13 trang 89 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Hình 43 minh hoạ đường bay của một chiếc trực thăng H cất cánh từ một sân bay. Xét hệ trục toạ độ Oxyz có gốc toạ độ O là chân tháp điều khiển của sân bay; trục Ox là hướng đông (Ð), trục Oy là hướng bắc (B) và trục Oz là trục thẳng đứng, đơn vị trên mỗi trục là kilômét.
Giải bài tập 14 trang 89 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, đài kiểm soát không lưu sân bay có toạ độ O(0; 0; 0), mỗi đơn vị trên trục ứng với 1 km. Máy bay bay trong phạm vi cách đài kiểm soát 417km sẽ hiển thị trên màn hình ra đa. Một máy bay đang ở vị trí A(– 688; – 185; 8), chuyển động theo đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {91;75;0} \right)\) hướng về đài kiểm soát không lưu (Hình 44).
Giải bài tập 11 trang 88 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Tính góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right):2x + 2y - z - 1 = 0\) và \(\left( {{P_2}} \right):x - 2y - 2z + 3 = 0\).
Giải bài tập 10 trang 88 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Tính góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng (P) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ), biết \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 2t\\y = 4 - 3t\\z = - 1 + 4t\end{array} \right.\) (t là tham số) và \(\left( P \right):x + y + z + 3 = 0\).
Giải bài tập 9 trang 88 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Tính góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\), biết: \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + {t_1}\\y = 2 - \sqrt 2 {t_1}\\z = 3 + {t_1}\end{array} \right.\) và \({\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 3 + {t_2}\\y = 1 + {t_2}\\z = 5 - \sqrt 2 {t_2}\end{array} \right.\) ( là tham số) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ).
Giải bài tập 8 trang 88 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) trong mỗi trường hợp sau: a) \({\Delta _1}:\frac{{x + 1}}{3} = \frac{{y + 5}}{4} = \frac{{z - 5}}{{ - 1}}\) và \({\Delta _2}:\frac{{x + 13}}{5} = \frac{{y - 5}}{{ - 2}} = \frac{{z + 17}}{7}\); b) \({\Delta _1}:\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y + 1}}{3} = \frac{{z - 4}}{{ - 7}}\) và \({\Delta _2}:\frac{{x + 10}}{{ - 6}} = \frac{{y + 19}}{{ - 9}} = \frac{{z - 45}}{{21}}\); c) \({\Delta _1}:\frac{{x + 3}}{1} = \frac{{y - 5}}{1
Giải bài tập 7 trang 88 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Viết phương trình của mặt cầu (S) trong mỗi trường hợp sau: a) (S) có tâm I(4; -2; 1) và bán kính \(R = 9\); b) (S) có tâm I(3; 2; 0) và đi qua điểm M(2; 4; -1); c) (S) có đường kính là đoạn thẳng AB với A(1; 2; 0) và B(-1; 0; 4).
Giải bài tập 6 trang 87 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) trong mỗi trường hợp sau: a) (P) đi qua điểm M(-3; 1; 4) và có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {2; - 4;1} \right)\); b) (P) đi qua điểm N(2; -1; 5) và có cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1; - 3; - 2} \right)\) và \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 3;4;1} \right)\); c) (P) đi qua điểm I(4; 0; -7) và song song với mặt phẳng \(\left( Q \right):2x + y - z - 3 = 0\); d) (P) đi qua điểm K(-4; 9; 2)
Giải bài tập 5 trang 87 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Cho bốn điểm A(0; 1; 3), B(-1; 0; 5), C(2; 0; 2) và D(1; 1; -2). a) Tìm tọa độ của các vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) và một vectơ vuông góc với cả hai vectơ đó. b) Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng AB và AC. c) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (ABC). d) Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. e) Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (ABC).
Giải bài tập 4 trang 87 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Khoảng cách từ điểm M(a; b; c) đến mặt phẳng \(x - a - b - c = 0\) là: A. \(\left| {a + b} \right|\). B. \(\left| {b + c} \right|\). C. \(\left| {c + a} \right|\). D. \(\frac{{\left| {b + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\).
Giải bài tập 3 trang 87 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
a) Mặt cầu (S): có bán kính là: A. 10. B. 11. C. 12. D. 13. b) Tọa độ tâm của mặt cầu (S): \({\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y + 6} \right)^2} + {\left( {z - 7} \right)^2} = 8\) là: A. (-5; 6; 7). B. (5; 6; -7). C. (5; -6; 7). D. (-5; 6; 7).
Giải bài tập 2 trang 87 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Đường thẳng \(d:\frac{{x - 2}}{3} = \frac{{y - 3}}{6} = \frac{{z - 1}}{9}\) có một vectơ chỉ phương là: A. \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2;3;1} \right)\). B. \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {6;3;9} \right)\). C. \(\overrightarrow {{u_3}} = \left( {3;9;6} \right)\). D. \(\overrightarrow {{u_4}} = \left( {1;2;3} \right)\).
Giải bài tập 1 trang 87 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Mặt phẳng (P): có một vectơ pháp tuyến là: A. \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {3;4;5} \right)\). B. \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {3; - 4;5} \right)\). C. \(\overrightarrow {{n_3}} = \left( { - 3;4;5} \right)\). D. \(\overrightarrow {{n_4}} = \left( {3;4; - 5} \right)\).