Toán 12 Kết nối tri thức | Giải toán lớp 12 Kết nối tri thức Bài 2. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số ..

Giải bài tập 1.12 trang 19 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức


Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau: a) (y = 2{x^3} - 6x + 3) trên đoạn (left[ { - 1;2} right]); b) (y = {x^4} - 3{x^2} + 2) trên đoạn (left[ {0;3} right]); c) (y = x - sin 2x) trên đoạn (left[ {0;pi } right]); d) (y = left( {{x^2} - x} right){e^x}) trên đoạn (left[ {0;1} right]).

Đề bài

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:

a) \(y = 2{x^3} - 6x + 3\) trên đoạn \(\left[ { - 1;2} \right]\);

b) \(y = {x^4} - 3{x^2} + 2\) trên đoạn \(\left[ {0;3} \right]\);

c) \(y = x - \sin 2x\) trên đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\);

d) \(y = \left( {{x^2} - x} \right){e^x}\) trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về cách tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn để tính: Giả sử \(y = f\left( x \right)\) là hàm số liên tục trên \(\left[ {a;b} \right]\) và có đạo hàm trên (a; b), có thể trừ ra tại một số hữu hạn điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm. Giả sử chỉ có hữu hạn điểm trong đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) mà đạo hàm \(f'\left( x \right) = 0\).

Các bước tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\):

1. Tìm các điểm \({x_1},{x_2},...{x_n} \in \left( {a;b} \right)\), tại đó \(f'\left( x \right) = 0\) hoặc không tồn tại.

2. Tính \(f\left( {{x_1}} \right);f\left( {{x_2}} \right);...;f\left( {{x_n}} \right)\), f(a) và f(b).

3. Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Ta có:

\(M = \mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right),m = \mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right)\)

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(y' = 6{x^2} - 6,y' = 0 \Leftrightarrow 6{x^2} - 6 = 0 \Leftrightarrow x =  \pm 1\) (thỏa mãn)

\(y\left( { - 1} \right) = 7, y\left( 1 \right) =  - 1, y\left( 2 \right) = 7\)

Do đó, \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} y = y\left( 2 \right) = y\left( { - 1} \right) = 7,\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} y = y\left( 1 \right) =  - 1\)

b) Ta có: \(y' = 4{x^3} - 6x,y' = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} - 6x = 0 \Leftrightarrow x = 0;x = \frac{{\sqrt 6 }}{2}\) (do \(x \in \left[ {0;3} \right]\))

\(y\left( 0 \right) = 2;y\left( {\frac{{\sqrt 6 }}{2}} \right) = \frac{{ - 1}}{4};y\left( 3 \right) = 56\)

Do đó, \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;3} \right]} y = y\left( 3 \right) = 56,\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} y = y\left( {\frac{{\sqrt 6 }}{2}} \right) = \frac{{ - 1}}{4}\)

c) Ta có: \(y' = 1 - 2\cos 2x,y' = 0 \Leftrightarrow 1 - 2\cos 2x = 0 \Leftrightarrow \cos 2x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x =  \pm \frac{\pi }{6} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Mà \(x \in \left[ {0;\pi } \right] \Rightarrow x = \frac{\pi }{6};x = \frac{{5\pi }}{6}\)

\(y\left( 0 \right) = 0;y\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \frac{\pi }{6} - \frac{{\sqrt 3 }}{2};y\left( {\frac{{5\pi }}{6}} \right) = \frac{{5\pi }}{6} + \frac{{\sqrt 3 }}{2};y\left( \pi  \right) = \pi \)

Do đó, \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;\pi } \right]} y = y\left( {\frac{{5\pi }}{6}} \right) = \frac{{5\pi }}{6} + \frac{{\sqrt 3 }}{2},\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;\pi } \right]} y = y\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \frac{\pi }{6} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

d) \(y' = \left( {2x - 1} \right){e^x} + \left( {{x^2} - x} \right){e^x} = {e^x}\left( {{x^2} + x - 1} \right)\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow {e^x}\left( {{x^2} + x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\) (do \(x \in \left[ {0;1} \right]\))

\(y\left( 0 \right) = 0;y\left( {\frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}} \right) = \left( {2 - \sqrt 5 } \right){e^{\frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}}};y\left( 1 \right) = 0\)

Do đó, \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;1} \right]} y = y\left( 0 \right) = y\left( 1 \right) = 0,\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;1} \right]} y = y\left( {\frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}} \right) = \left( {2 - \sqrt 5 } \right){e^{\frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}}}\)


Bình chọn:
3.9 trên 9 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Kết nối tri thức - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store