Giải bài tập 1.12 trang 19 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau: a) (y = 2{x^3} - 6x + 3) trên đoạn (left[ { - 1;2} right]); b) (y = {x^4} - 3{x^2} + 2) trên đoạn (left[ {0;3} right]); c) (y = x - sin 2x) trên đoạn (left[ {0;pi } right]); d) (y = left( {{x^2} - x} right){e^x}) trên đoạn (left[ {0;1} right]).

Đề bài

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:

a) \(y = 2{x^3} - 6x + 3\) trên đoạn \(\left[ { - 1;2} \right]\);

b) \(y = {x^4} - 3{x^2} + 2\) trên đoạn \(\left[ {0;3} \right]\);

c) \(y = x - \sin 2x\) trên đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\);

d) \(y = \left( {{x^2} - x} \right){e^x}\) trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về cách tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn để tính: Giả sử \(y = f\left( x \right)\) là hàm số liên tục trên \(\left[ {a;b} \right]\) và có đạo hàm trên (a; b), có thể trừ ra tại một số hữu hạn điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm. Giả sử chỉ có hữu hạn điểm trong đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) mà đạo hàm \(f'\left( x \right) = 0\).

Các bước tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\):

1. Tìm các điểm \({x_1},{x_2},...{x_n} \in \left( {a;b} \right)\), tại đó \(f'\left( x \right) = 0\) hoặc không tồn tại.

2. Tính \(f\left( {{x_1}} \right);f\left( {{x_2}} \right);...;f\left( {{x_n}} \right)\), f(a) và f(b).

3. Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Ta có:

\(M = \mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right),m = \mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right)\).

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(y' = 6{x^2} - 6\);

\(y' = 0 \Leftrightarrow 6{x^2} - 6 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\) (thỏa mãn).

\(y\left( { - 1} \right) = 7\), \( y\left( 1 \right) = - 1\), \(y\left( 2 \right) = 7\).

Do đó, \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} y = y\left( 2 \right) = y\left( { - 1} \right) = 7\), \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} y = y\left( 1 \right) = - 1\).

b) Ta có: \(y' = 4{x^3} - 6x\);

\(y' = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} - 6x = 0\)

\(\Leftrightarrow x = 0;x = \frac{{\sqrt 6 }}{2}\) (do \(x \in \left[ {0;3} \right]\)).

\(y\left( 0 \right) = 2\); \(y\left( {\frac{{\sqrt 6 }}{2}} \right) = \frac{{ - 1}}{4}\); \(y\left( 3 \right) = 56\).

Do đó, \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;3} \right]} y = y\left( 3 \right) = 56\), \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} y = y\left( {\frac{{\sqrt 6 }}{2}} \right) = \frac{{ - 1}}{4}\).

c) Ta có: \(y' = 1 - 2\cos 2x\);

\(y' = 0 \Leftrightarrow 1 - 2\cos 2x = 0 \Leftrightarrow \cos 2x = \frac{1}{2} \)

\(\Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{6} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Mà \(x \in \left[ {0;\pi } \right] \Rightarrow x = \frac{\pi }{6};x = \frac{{5\pi }}{6}\).

\(y\left( 0 \right) = 0\); \(y\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \frac{\pi }{6} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\); \(y\left( {\frac{{5\pi }}{6}} \right) = \frac{{5\pi }}{6} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\); \(y\left( \pi \right) = \pi \).

Do đó, \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;\pi } \right]} y = y\left( {\frac{{5\pi }}{6}} \right) = \frac{{5\pi }}{6} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\), \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;\pi } \right]} y = y\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \frac{\pi }{6} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

d) \(y' = \left( {2x - 1} \right){e^x} + \left( {{x^2} - x} \right){e^x}\)

\(= {e^x}\left( {{x^2} + x - 1} \right)\).

\(y' = 0 \Leftrightarrow {e^x}\left( {{x^2} + x - 1} \right) = 0 \)

\(\Leftrightarrow x = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\) (do \(x \in \left[ {0;1} \right]\)).

\(y\left( 0 \right) = 0\); \(y\left( {\frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}} \right) = \left( {2 - \sqrt 5 } \right){e^{\frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}}}\); \(y\left( 1 \right) = 0\).

Do đó, \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;1} \right]} y = y\left( 0 \right) = y\left( 1 \right) = 0\), \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;1} \right]} y = y\left( {\frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}} \right) = \left( {2 - \sqrt 5 } \right){e^{\frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}}}\).

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.1 trên 12 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài tập 1.13 trang 19 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Trong các hình chữ nhật có chu vi là 24cm, hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.
Giải bài tập 1.14 trang 19 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Một nhà sản xuất muốn thiết kế một chiếc hộp có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp, có đáy là hình vuông và diện tích bề mặt bằng (108c{m^2}) như Hình 1.17. Tìm các kích thước của chiếc hộp sao cho thể tích của hộp là lớn nhất.
Giải bài tập 1.15 trang 19 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Một nhà sản xuất cần làm ra những chiếc bình có dạng hình trụ với dung tích 1000 (c{m^3}). Mặt trên và mặt dưới của bình được làm bằng vật liệu có giá 1,2 nghìn đồng/(c{m^2}), trong khi mặt bên của bình được làm bằng vật liệu có giá 0,75 nghìn đồng/(c{m^2}). Tìm các kích thước của bình (bán kính đáy và chiều cao của bình) để chi phí vật liệu sản xuất mỗi chiếc bình là nhỏ nhất.
Giải bài tập 1.11 trang 19 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau: a) (y = {x^4} - 2{x^2} + 3); b) (y = x.{e^{ - x}}); c) (y = xln x); d) (y = sqrt {x - 1} + sqrt {3 - x} ).
Giải bài tập 1.10 trang 19 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau: a) (y = - {x^2} + 4x + 3); b) (y = {x^3} - 2{x^2} + 1) trên (left[ {0; + infty } right)); c) (y = frac{{{x^2} - 2x + 3}}{{x - 1}}) trên (left( {1; + infty } right)); d) (y = sqrt {4x - 2{x^2}} ).
Giải mục 2 trang 17, 18, 19 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Cách tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn
Giải mục 1 trang 15, 16, 17 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Định nghĩa
Giải câu hỏi mở đầu trang 15 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Từ một tấm bìa carton hình vuông có độ dài cạnh bằng 60 cm, người ta cắt bốn hình vuông bằng nhau ở bốn góc rồi gập thành một chiếc hộp có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp (H.1.14). Tính cạnh của các hình vuông bị cắt sao cho thể tích của chiếc hộp là lớn nhất.
Lý thuyết Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số Toán 12 Kết nối tri thức
1. Định nghĩa Khái niệm GTLN, GTNN của hàm số