Giải bài 9.19 trang 54 sách bài tập toán 9 - Kết nối tri thức tập 2

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và ngoại tiếp đường tròn (I). Tia AI cắt (O) tại X (khác A). Chứng minh rằng X là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác BIC.

Đề bài

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và ngoại tiếp đường tròn (I). Tia AI cắt (O) tại X (khác A). Chứng minh rằng X là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác BIC.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+ Chứng minh $\widehat {BIX} = \frac{{\widehat {BAC}}}{2} + \frac{{\widehat {ABC}}}{2}$, $\widehat {IBX} = \frac{{\widehat {ABC}}}{2} + \frac{{\widehat {CAB}}}{2}$ nên tam giác BIX cân tại X nên $XI = XB$.

+ Chứng minh tương tự ta có: $XI = IC$.

+ Suy ra, X là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác BIC.

Lời giải chi tiết

Vì I là giao điểm của các đường phân giác của tam giác ABC nên $\widehat {IAB} = \frac{{\widehat {BAC}}}{2};\widehat {IBA} = \widehat {IBC} = \frac{{\widehat {ABC}}}{2}$.

Ta có:

$\widehat {BIX} = {180^o} - \widehat {BIA} = \widehat {IAB} + \widehat {IBA} \\= \frac{{\widehat {BAC}}}{2} + \frac{{\widehat {ABC}}}{2}\;(1)$

Vì góc CBX và góc CAX là các góc nội tiếp của (O) cùng chắn cung nhỏ CX nên $\widehat {CBX} = \widehat {CAX}$.

Ta có:

$\widehat {IBX} = \widehat {IBC} + \widehat {CBX} = \frac{{\widehat {ABC}}}{2} + \widehat {CAX} \\= \frac{{\widehat {ABC}}}{2} + \frac{{\widehat {CAB}}}{2}\;(2)$

Từ (1) và (2) ta có: $\widehat {BIX} = \widehat {IBX}$ nên tam giác BIX cân tại X. Do đó, $XI = XB$.

Chứng minh tương tự ta có: $XI = IC$. Vậy X là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác BIC.

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài 9.20 trang 54 sách bài tập toán 9 - Kết nối tri thức tập 2
Cho $Delta ABCbacksim Delta A'B'C'$ với tỉ số đồng dạng (k > 0). Gọi (O, R) và (O’, R’) lần lượt là đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC và A’B’C’. Gọi (I, r) và (I’, r’) lần lượt là đường tròn nội tiếp các tam giác ABC và A’B’C’. Chứng minh rằng (frac{R}{{R'}} = frac{r}{{r'}} = k).
Giải bài 9.18 trang 54 sách bài tập toán 9 - Kết nối tri thức tập 2
Cho tam giác ABC vuông tại B nội tiếp đường tròn (O) và đường kính BD. Tính số đo của góc BAC, biết rằng (widehat {BAC} = 2widehat {CBD}).
Giải bài 9.17 trang 53 sách bài tập toán 9 - Kết nối tri thức tập 2
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Cho điểm M trên cạnh BC của tam giác ABC và điểm D trên cung nhỏ BC của (O) sao cho (widehat {BAD} = widehat {MAC}). Chứng minh rằng $Delta AMBbacksim Delta ACD$.
Giải bài 9.16 trang 53 sách bài tập toán 9 - Kết nối tri thức tập 2
Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I). Chứng minh rằng: (widehat {BIC} = {90^o} + frac{{widehat {BAC}}}{2};widehat {CIA} = {90^o} + frac{{widehat {CBA}}}{2};widehat {AIB} = {90^o} + frac{{widehat {ACB}}}{2}).
Giải bài 9.15 trang 53 sách bài tập toán 9 - Kết nối tri thức tập 2
Cho tam giác ABC có trực tâm H và nội tiếp đường tròn (O). Chứng minh rằng: a) (widehat {OBC} = {90^o} - widehat {BAC}); b) (widehat {BAH} = widehat {OAC}).
Giải bài 9.14 trang 53 sách bài tập toán 9 - Kết nối tri thức tập 2
Cho tam giác ABC vuông tại A nội tiếp đường tròn (O) có bán kính 2cm. Biết rằng (AC = 2cm), tính số đo các góc của tam giác ABC.
Giải bài 9.13 trang 53 sách bài tập toán 9 - Kết nối tri thức tập 2
Cho tam giác ABC vuông tại A có (AB = 4cm,AC = 6cm). Tính bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Giải bài 9.12 trang 53 sách bài tập toán 9 - Kết nối tri thức tập 2
Tính chu vi và diện tích của tam giác đều ngoại tiếp một đường tròn bán kính 3cm.
Giải bài 9.11 trang 53 sách bài tập toán 9 - Kết nối tri thức tập 2
Tính chu vi và diện tích của tam giác đều nội tiếp một đường tròn bán kính 3cm.
Giải bài 9.10 trang 53 sách bài tập toán 9 - Kết nối tri thức tập 2
Tính bán kính và chu vi của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có ba cạnh (AB = 6cm,AC = 8cm) và (BC = 10cm).
Giải bài 9.9 trang 53 sách bài tập toán 9 - Kết nối tri thức tập 2
Cho tam giác ABC cân tại A và nội tiếp đường tròn (O). Tính số đo các góc của tam giác ABC, biết rằng (widehat {BOC} = {100^o}).
Giải bài 9.8 trang 53 sách bài tập toán 9 - Kết nối tri thức tập 2
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Biết rằng (widehat {ACB} = {50^o},widehat {ABC} = {70^o}), tính số đo các cung nhỏ $oversetfrown{BC},oversetfrown{CA},oversetfrown{AB}$ của đường tròn (O).