Giải bài 9 trang 18 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Đề bài

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

a) \(y = f\left( x \right) = {\log _{\frac{1}{{\sqrt 3 }}}}x\) trên đoạn \(\left[ {\frac{1}{3};3} \right]\);

b) \(y = f\left( x \right) = {\log _2}\left( {x + 1} \right)\) trên đoạn \(\left[ { - \frac{1}{2};3} \right]\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về sự biến thiên của hàm số \(y = {\log _a}x\) để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất:

+ Nếu \(a > 1\) thì hàm số \(y = {\log _a}x\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

+ Nếu \(0 < a < 1\) thì hàm số \(y = {\log _a}x\) nghịch biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Lời giải chi tiết

a) Hàm số \(y = f\left( x \right) = {\log _{\frac{1}{{\sqrt 3 }}}}x\) có cơ số \(\frac{1}{{\sqrt 3 }} < 1\) nên nghịch biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Do đó, \(\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {\frac{1}{3};3} \right]} y = f\left( {\frac{1}{3}} \right) = {\log _{\frac{1}{{\sqrt 3 }}}}\frac{1}{3} = 2,\mathop {\min }\limits_{x \in \left[ {\frac{1}{3};3} \right]} y = f\left( 3 \right) = {\log _{\frac{1}{{\sqrt 3 }}}}3 = - 2\)

b) Vì \( - \frac{1}{2} \le x \le 3 \Rightarrow \frac{1}{2} \le x + 1 \le 4\).

Hàm số \(y = f\left( x \right) = {\log _2}\left( {x + 1} \right)\) có cơ số \(2 > 1\) nên đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Do đó, \(\mathop {\min }\limits_{x \in \left[ { - \frac{1}{2};3} \right]} y = f\left( { - \frac{1}{2}} \right) = {\log _2}\left( {\frac{{ - 1}}{2} + 1} \right) = - 1,\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ { - \frac{1}{2};3} \right]} y = f\left( 3 \right) = {\log _2}\left( {3 + 1} \right) = 2\)