Giải bài 5.20 trang 32 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Trong không gian Oxyz, hai con đường tại một nút giao thông tương ứng thuộc hai đường thẳng: \({\Delta _1}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{z}{1}\) và \({\Delta _2}:\frac{{x + 1}}{3} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 1}}{4}\). a) Nút giao thông trên có phải là nút giao thông khác mức hay không? b) Tại nút giao thông nói trên, hai con đường tạo với nhau một góc bằng bao nhiêu độ?

Đề bài

Trong không gian Oxyz, hai con đường tại một nút giao thông tương ứng thuộc hai đường thẳng:

\({\Delta _1}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{z}{1}\) và \({\Delta _2}:\frac{{x + 1}}{3} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 1}}{4}\).

a) Nút giao thông trên có phải là nút giao thông khác mức hay không?

b) Tại nút giao thông nói trên, hai con đường tạo với nhau một góc bằng bao nhiêu độ?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Ý a: Xác định vị trí tương đối giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\). Nếu chúng chéo nhau thì nút giao thông khác mức, các trường hợp còn lại là cùng mức.

Ý b: Tính góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\).

Lời giải chi tiết

a) Đường thẳng \({\Delta _1}\) đi qua điểm \(A\left( {1; - 1;0} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1;2;1} \right)\).

Đường thẳng \({\Delta _2}\) đi qua điểm \(B\left( { - 1;2; - 1} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {3;1;4} \right)\).

Ta có \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {7; - 1;5} \right)\) suy ra \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \cdot \overrightarrow {AB} = - 19 \ne 0\).

Do đó \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) chéo nhau. Vậy nút giao thông đó là nút giao thông khác mức.

b) Đường thẳng \({\Delta _1}\) có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2;2;1} \right)\), \({\Delta _2}\) có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {3;1;4} \right)\)Ta có \(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} \cdot \overrightarrow {{u_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {3 + 2 + 4} \right|}}{{\sqrt 6 \cdot \sqrt {26} }} = \frac{9}{{\sqrt {156} }} \Rightarrow \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) \approx {43,9^ \circ }\).

Vậy hai con đường tạo với nhau một góc khoảng \({43,9^ \circ }\).

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài 5.19 trang 32 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, đường băng của một sân bay thuộc trục Oy. Một máy bay sau khi chạy đà trên đường băng đó đã cất cánh tại điểm \(A\left( {0;2;0} \right)\) với vận tốc không đổi trong khoảng thời gian ngắn ban đầu, vectơ vận tốc \(\overrightarrow v = \left( {1;4;1} \right)\). Hỏi trong khoảng thời gian ngắn nói trên, máy bay chuyển động trên đường thẳng nào và góc cất cánh của máy bay bằng bao nhiêu?
Giải bài 5.18 trang 32 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2 + \sqrt 3 t\\z = - 3 + t\end{array} \right.\) a) Tính góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng (Oxy). b) Tính góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và trục Oy.
Giải bài 5.17 trang 32 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, tính góc giữa hai mặt phẳng: (left( P right):2x - y + 2z - 1 = 0) và (left( Q right):x + y - z = 0)
Giải bài 5.16 trang 32 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, tính góc giữa đường thẳng: \(\Delta :\frac{{x + 3}}{{ - 2}} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 1}}{2}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y - 2z + 3 = 0\)
Giải bài 5.15 trang 31 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, tính góc giữa hai đường thẳng: \(\Delta :\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 2}}{{ - 1}} = \frac{z}{2}\) và \(\Delta ':\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 2t\\y = - 1 + t\\z = 3 + t\end{array} \right.\)