Giải bài 5 trang 55 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo

Tính góc \(\alpha \) trong mỗi trường hợp sau: a) \(\alpha \) là góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( {1;1; - 1} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( {5;2;7} \right)\); b) \(\alpha \) là góc giữa hai đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 - \sqrt 3 t\\z = 5\end{array} \right.\) và \(d':\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - \sqrt 3 t'\\y = 7 + t'\\z = 9\end{array} \right.\). c) \(\alpha \) là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right):4x + 2y - z + 9 = 0\) và \(\

Đề bài

Tính góc \(\alpha \) trong mỗi trường hợp sau:

a) \(\alpha \) là góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( {1;1; - 1} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( {5;2;7} \right)\);

b) \(\alpha \) là góc giữa hai đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 - \sqrt 3 t\\z = 5\end{array} \right.\) và \(d':\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - \sqrt 3 t'\\y = 7 + t'\\z = 9\end{array} \right.\).

c) \(\alpha \) là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right):4x + 2y - z + 9 = 0\) và \(\left( Q \right):x + y + 6z - 11 = 0\);

d) \(\alpha \) là góc giữa đường thẳng \(d:\frac{x}{2} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{z}{1}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):{\rm{ }}x + y - z + 99 = 0\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

‒ Hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) có vectơ chỉ phương lần lượt là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {{a_1};{b_1};{c_1}} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( {{a_2};{b_2};{c_2}} \right)\). Khi đó ta có:

\(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} + {c_1}{c_2}} \right|}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} .\sqrt {a_2^2 + b_2^2 + c_2^2} }}\).

‒ Đường thẳng \(\Delta \) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {{a_1};{b_1};{c_1}} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {{a_2};{b_2};{c_2}} \right)\). Khi đó ta có:

\(\sin \left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} + {c_1}{c_2}} \right|}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} .\sqrt {a_2^2 + b_2^2 + c_2^2} }}\).

‒ Hai mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right)\) và \(\left( {{P_2}} \right)\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {{A_1};{B_1};{C_1}} \right),\)\(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {{A_2};{B_2};{C_2}} \right)\). Khi đó ta có:

\(\cos \left( {\left( {{P_1}} \right),\left( {{P_2}} \right)} \right) = \frac{{\left| {{A_1}{A_2} + {B_1}{B_2} + {C_1}{C_2}} \right|}}{{\sqrt {A_1^2 + B_1^2 + C_1^2} .\sqrt {A_2^2 + B_2^2 + C_2^2} }}\).

Lời giải chi tiết

a) \(\cos \alpha = \cos \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right) = \frac{{1.5 + 1.2 + \left( { - 1} \right).7}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{5^2} + {2^2} + {7^2}} }} = 0\).

Vậy \(\alpha = {90^ \circ }\).

b) Đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {1; - \sqrt 3 ;0} \right)\).

Đường thẳng \(d'\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {u'} = \left( { - \sqrt 3 ;1;0} \right)\).

Ta có: \(\cos \alpha = \cos \left( {d,d'} \right) = \frac{{\left| {1.\left( { - \sqrt 3 } \right) + \left( { - \sqrt 3 } \right).1 + 0.0} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - \sqrt 3 } \right)}^2} + {0^2}} .\sqrt {{{\left( { - \sqrt 3 } \right)}^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Vậy \(\alpha = {30^ \circ }\).

c) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {4;2; - 1} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {n'} = \left( {1;1;6} \right)\).

Ta có: \(\cos \alpha = \cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {4.1 + 2.1 + \left( { - 1} \right).6} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {6^2}} }} = 0\).

Vậy \(\alpha = {90^ \circ }\).

d) Đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {2; - 1;1} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {1;1; - 1} \right)\).

Ta có: \(\sin \alpha = \sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right)} \right| = \frac{{\left| {2.1 + \left( { - 1} \right).1 + 1.\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = 0\).

Vậy \(\alpha = {0^ \circ }\).

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài 6 trang 55 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Cho hình chóp (S.ABCD) có đáy (ABCD) là hình vuông cạnh bằng 4. Mặt bên (SAB) là tam giác cân tại (S) có chiều cao bằng 6 và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. a) Tính góc (alpha ) giữa hai đường thẳng (SD) và (BC); b) Tính góc (beta ) giữa hai mặt phẳng (left( {SAD} right)) và (left( {SCD} right)).
Giải bài 7 trang 55 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Người ta muốn dựng một cột ăng-ten trên một sườn đồi. Ăng-ten được dựng thẳng đứng trong không gian \(Oxyz\) với độ dài đơn vị trên mỗi trục bằng 1 m. Gọi \(O\) là gốc cột, \(A\) là điểm buộc dây cáp vào cột ăng-ten và \(M,N\) là hai điểm neo dây cáp xuống mặt sườn đồi (Hình 6). Cho biết toạ độ các điểm nói trên lần lượt là \(O\left( {0;0;0} \right),A\left( {0;0;6} \right),M\left( {3; - 4;3} \right),\)\(N\left( { - 5; - 2;2} \right)\). a) Tính độ dài các đoạn dây cáp \(MA\) và \(NA\). b) Tính
Giải bài 4 trang 54 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng (d) và (d') trong mỗi trường hợp sau: a) (d:left{ begin{array}{l}x = t\y = 1 + 3t\z = 1 - tend{array} right.) và (d':left{ begin{array}{l}x = 2 + 2t'\y = 7 + 6t'\z = - 1 - 2t'end{array} right.); b) (d:frac{{x - 2}}{2} = frac{y}{3} = frac{z}{1}) và (d':frac{x}{4} = frac{y}{6} = frac{z}{2}); c) (d:left{ begin{array}{l}x = 1 + t\y = 1 + t\z = 2 - tend{array} right.) và (d':frac{{x - 2}}{2} = frac{{y - 2}}{
Giải bài 3 trang 54 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Lập phương trình chính tắc của đường thẳng (d) trong mỗi trường hợp sau: a) (d) đi qua điểm (Mleft( {9;0;0} right)) và có vectơ chỉ phương (overrightarrow a = left( {5; - 11;4} right)); b) (d) đi qua hai điểm (Aleft( {6;0; - 1} right),Bleft( {8;3;2} right)); c) (d) có phương trình tham số (left{ begin{array}{l}x = 2t\y = - 1 + 7t\z = 3 - 6tend{array} right.).
Giải bài 2 trang 54 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Lập phương trình tham số của đường thẳng (d) trong mỗi trường hợp sau: a) (d) đi qua điểm (Aleft( {1; - 5;0} right)) và có vectơ chỉ phương (overrightarrow a = left( {2;0;7} right)); b) (d) đi qua hai điểm (Mleft( {3; - 1; - 1} right),Nleft( {5;1;2} right)).
Giải bài 1 trang 54 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Cho đường thẳng (d) có phương trình tham số (left{ begin{array}{l}x = 7 + 5t\y = 3 + 11t\z = 9 - 6tend{array} right.). Tìm một điểm trên (d) và một vectơ chỉ phương của (d).