Giải bài 44 trang 104 sách bài tập toán 11 - Cánh diều

Cho hình chóp $S.ABCD$ có $ABCD$ là hình chữ nhật, $\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABCD} \right)$ .

Đề bài

Cho hình chóp $S.ABCD$ có $ABCD$ là hình chữ nhật, $\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABCD} \right)$ . Gọi $M$ là trung điểm của $AD$ , $\left( {SBM} \right) \bot \left( {ABCD} \right)$ . Giả sử $SA = 5a$ , $AB = 3a$ , $AD = 4a$ và góc giữa đường thẳng $SA$ và mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ bằng $\varphi$ . Tính $\cos \varphi$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Gọi $H$ là giao điểm của $BM$ và $AC$ . Ta chứng minh $SH \bot \left( {ABCD} \right)$ , từ đó suy ra $\varphi = \widehat {SAH}$ .

Quảng cáo

Lời giải chi tiết

Gọi $H$ là giao điểm của $BM$ và $AC$ . Dễ dàng chứng minh được $SH$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ và $\left( {SBM} \right)$ . Hơn nữa, do $\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABCD} \right)$ và $\left( {SBM} \right) \bot \left( {ABCD} \right)$ , ta suy ra $SH \bot \left( {ABCD} \right)$ , tức $H$ là hình chiếu của $S$ trên $\left( {ABCD} \right)$ .

Do đó góc giữa đường thẳng $SA$ và mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ chính là góc $\widehat {SAH}$ , tức là $\varphi = \widehat {SAH}$ . Suy ra $\cos \varphi = \cos \widehat {SAH} = \frac{{AH}}{{SA}}$ .

Vì $ABCD$ là hình chữ nhật, nên $AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{{\left( {3a} \right)}^2} + {{\left( {4a} \right)}^2}} = 5a$ .

Ta có $AM = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}.4a = 2a$ .

Do $AM\parallel BC$ , ta suy ra $\frac{{AH}}{{HC}} = \frac{{AM}}{{BC}} = \frac{{2a}}{{4a}} = \frac{1}{2}$ . Như vậy $\frac{{AH}}{{AC}} = \frac{1}{3}$ .

Suy ra $AH = \frac{{AC}}{3} = \frac{{5a}}{3}$ .

Do đó $\cos \varphi = \frac{{AH}}{{SA}} = \frac{{\frac{{5a}}{3}}}{{5a}} = \frac{1}{3}$ .

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài 43 trang 104 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Cho hình chóp $S.ABCD$ có $ABCD$ là hình vuông, tam giác $SAB$
Giải bài 42 trang 104 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Cho hình chóp $S.ABC$ có $\widehat {ASB} = \widehat {ASC} = {90^o}$ .
Giải bài 41 trang 104 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Cho hình chóp $S.ABCD$ có $ABCD$ là hình thoi
Giải bài 40 trang 104 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Cho hình chóp $S.ABCD$ có $SA \bot \left( {ABCD} \right)$ và $ABCD$ là hình chữ nhật. Chứng minh rằng:
Giải bài 39 trang 104 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có $AA' \bot \left( {ABC} \right)$
Giải bài 38 trang 104 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Chứng minh các định lí sau:
Giải bài 37 trang 104 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Hình dưới đây gợi nên hình ảnh một số cặp mặt phẳng vuông góc với nhau. Hãy chỉ ra 2 cặp mặt phẳng vuông góc với nhau.
Giải bài 36 trang 103 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Cho hình chóp $S.ABCD$ có hai mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$
Giải bài 35 trang 103 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì:
Giải bài 34 trang 103 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Cho hai mặt phẳng $\left( P \right)$ , $\left( Q \right)$ vuông góc
Giải bài 33 trang 103 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Cho hai mặt phẳng $\left( P \right)$ , $\left( Q \right)$ cắt nhau

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Cánh diều - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

>> 2K8! chú ý! Mở đặt chỗ Lộ trình Sun 2026: Luyện thi chuyên sâu TN THPT, Đánh giá năng lực, Đánh giá tư duy tại Tuyensinh247.com (Xem ngay lộ trình). Ưu đãi -70% (chỉ trong tháng 3/2025) - Tặng miễn phí khoá học tổng ôn lớp 11, 2K8 xuất phát sớm, X2 cơ hội đỗ đại học. Học thử miễn phí ngay.