Giải bài 4.11 trang 12 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Sử dụng ý nghĩa hình học của tích phân, tính: a) (intlimits_0^3 {left( {2x + 1} right)dx} ); b) (intlimits_0^4 {sqrt {16 - {x^2}} dx} ).

Đề bài

Sử dụng ý nghĩa hình học của tích phân, tính:

a) \(\int\limits_0^3 {\left( {2x + 1} \right)dx} \);

b) \(\int\limits_0^4 {\sqrt {16 - {x^2}} dx} \).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Ý a: Giá trị tích phân là diện tích của hình vẽ giới hạn bởi hàm \(2x + 1\) và hai đường thẳng xác định bởi giá trị hai cận do hàm không âm trên \(\left[ {0;3} \right]\).

Xác định hình vẽ đó và tính diện tích bằng công thức hình học.

Ý b: Giá trị tích phân là diện tích của hình vẽ giới hạn bởi hàm \(\sqrt {16 - {x^2}} \) và hai đường thẳng xác định bởi giá trị hai cận do hàm không âm trên \(\left[ {0;4} \right]\).

Xác định hình vẽ đó và tính diện tích bằng công thức hình học.

Lời giải chi tiết

a) Ta có hàm số \(f\left( x \right) = 2x + 1\) không âm trên đoạn \(\left[ {0;3} \right]\). Do đó tích phân \(\int\limits_0^3 {\left( {2x + 1} \right)dx} \) là

diện tích của hình vẽ giới hạn bởi đồ thị \(y = f\left( x \right)\) và hai đường thẳng \(x = 0\) (trục \(Ox\)) và

\(x = 3\) như hình vẽ bên. Ta cần tính diện tích hình thang vuông có

đáy lớn là 7, đáy bé là 1 và chiều cao là 3.

Suy ra \(\int\limits_0^3 {\left( {2x + 1} \right)dx} = \frac{1}{2} \cdot \left( {1 + 7} \right) \cdot 3 = 12\).

b) Ta có \(\int\limits_0^4 {\sqrt {16 - {x^2}} dx} \).

Ta có hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {16 - {x^2}} \) không âm trên đoạn \(\left[ {0;4} \right]\). Do đó tích phân \(\int\limits_0^3 {\left( {2x + 1} \right)dx} \) là diện tích của hình vẽ giới hạn bởi đồ thị \(y = f\left( x \right)\) và hai đường thẳng \(x = 0\) (trục \(Ox\)) và \(x = 4\) như hình vẽ bên.

Ta cần tính diện tích một phần tư đường tròn có bán kính là 4, tâm O nằm ở góc phần tư thứ I. Suy ra \(\int\limits_0^4 {\sqrt {16 - {x^2}} dx} = \frac{1}{4} \cdot \pi \cdot {4^2} = 4\pi \).

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài 4.12 trang 12 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Cho (intlimits_0^5 {fleft( x right)dx} = 6) và (intlimits_0^5 {gleft( x right)dx} = 2). Hãy tính: a) (intlimits_0^5 {left[ {2fleft( x right) + 3gleft( x right)} right]dx} ); b) (intlimits_0^5 {left[ {2fleft( x right) - 3gleft( x right)} right]dx} ).
Giải bài 4.13 trang 12 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Tính các tích phân sau: a) (intlimits_0^1 {{{left( {1 - 2x} right)}^2}dx} ); b) (intlimits_1^4 {frac{{x - 2}}{{sqrt x }}dx} ).
Giải bài 4.14 trang 13 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Tính các tích phân sau: a) (intlimits_0^2 {left| {2x - 1} right|dx} ); b) (intlimits_{ - 2}^3 {left| {x - 1} right|dx} ).
Giải bài 4.15 trang 13 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Tính các tích phân sau: a) (intlimits_0^{frac{pi }{2}} {left( {3cos x + 2sin x} right)dx} ); b) (intlimits_{frac{pi }{6}}^{frac{pi }{4}} {left( {frac{1}{{{{cos }^2}x}} - frac{1}{{{{sin }^2}x}}} right)dx} ).
Giải bài 4.16 trang 13 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Tính các tích phân sau: a) (intlimits_0^1 {left( {{3^x} - 2{e^x}} right)dx} ); b) (intlimits_0^1 {frac{{{{left( {{e^x} - 1} right)}^2}}}{{2{e^x}}}dx} ).
Giải bài 4.17 trang 13 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Lợi nhuận biên của một sản phẩm được mô hình hóa bởi (P'left( x right) = - 0,0005x + 12,2). a) Tìm sự thay đổi lợi nhuận khi doanh số bán hàng tăng từ 100 lên 101 đơn vị. b) Tìm sự thay đổi lợi nhuận khi doanh số bán hàng tăng từ 100 lên 110 đơn vị.
Giải bài 4.18 trang 13 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Tìm chi phí trung bình trên mỗi đơn vị sản phẩm trong khoảng thời gian thời gian hai năm nếu chi phí cho mỗi đơn vị được tính bởi (cleft( t right) = 0,005{t^2} + 0,02t + 12,5) với (0 le t le 24), tính theo tháng.
Giải bài 4.19 trang 13 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Giả sử tổng chi phí mua và bảo trì một thiết bị trong x năm có thể được mô hình hóa bởi công thức (C = 5000left( {25 + 3intlimits_0^x {{t^{frac{1}{4}}}dt} } right)). Tìm tổng chi phí sau: a) 1 năm; b) 5 năm; c) 10 năm.
Giải bài 4.20 trang 13 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Vận tốc (v) của một vật rơi tự do từ trạng thái đứng yên được cho bởi công thức (vleft( t right) = 9,8t), trong đó vận tốc (v) tính bằng m/s và thời gian t tính bằng giây. a) Biểu thị quãng đường vật đi được trong T giây đầu tiên dưới dạng tích phân. b) Tìm quãng đường vật đi được trong 5 giây đầu tiên.