Giải bài 4.1 trang 7 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Tìm hàm số (y = fleft( x right)), biết (f'left( x right) = 3sqrt x + frac{2}{{sqrt[3]{x}}}{rm{ }}left( {x > 0} right)) và (fleft( 1 right) = 1).

Đề bài

Tìm hàm số \(y = f\left( x \right)\), biết \(f'\left( x \right) = 3\sqrt x + \frac{2}{{\sqrt[3]{x}}}{\rm{ }}\left( {x > 0} \right)\) và \(f\left( 1 \right) = 1\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

\(f\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f'\left( x \right)\), ta tìm nguyên hàm này bằng các biến đổi cơ bản và

sử dụng công thức nguyên hàm của hàm lũy thừa. Kết hợp điều kiện \(f\left( 1 \right) = 1\) để tìm ra kết quả cuối cùng.

Lời giải chi tiết

Do \(f'\left( x \right) = 3\sqrt x + \frac{2}{{\sqrt[3]{x}}}{\rm{ }}\left( {x > 0} \right)\) nên \(f\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(3\sqrt x + \frac{2}{{\sqrt[3]{x}}}\).

Ta có \(f\left( x \right)=\int{\left( 3\sqrt{x}+\frac{2}{\sqrt[3]{x}} \right)dx=3\int{\sqrt{x}dx+2\int{\frac{dx}{\sqrt[3]{x}}=3\cdot \frac{x\sqrt{x}}{\left( \frac{3}{2} \right)}}}}+2\cdot \frac{\sqrt[3]{{{x}^{2}}}}{\left( \frac{2}{3} \right)}+C=2x\sqrt{x}+3\sqrt[3]{{{x}^{2}}}+C\).

Thay \(x = 1\) ta được \(f\left( 1 \right) = 2 + 3 + C = 1\) suy ra \(C = - 4\).

Vậy hàm số cần tìm là \(f\left( x \right) = 2x\sqrt x + 3\sqrt[3]{{{x^2}}} - 4\).

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài 4.2 trang 7 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Tìm: a) (int {frac{{{{left( {x + 2} right)}^2}}}{{{x^4}}}} dx); b) (int {sqrt x } left( {7{x^2} + 6} right)dx).
Giải bài 4.3 trang 7 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
a) (int {left( {3x + 4} right)sqrt[3]{x}} dx); b) (int {frac{{{{left( {2x + 3} right)}^2}}}{{sqrt x }}} dx).
Giải bài 4.4 trang 7 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Tìm: a) (int {left( {2{e^x} + frac{1}{{{3^x}}}} right){rm{ }}} dx); b) (int {left( {{x^2} + {2^x}} right)} {rm{ }}dx).
Giải bài 4.5 trang 8 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Tìm: a) (int {{{left( {{2^x} + {3^x}} right)}^2}{rm{ }}} dx); b) (int {{{left( {{e^x} - {e^{ - x}}} right)}^2}} {rm{ }}dx).
Giải bài 4.6 trang 8 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Tìm: a) (int {left( {2cos x + frac{3}{{sqrt x }}} right)} dx); b) (int {left( {3sqrt x - 4sin x} right)} {rm{ }}dx).
Giải bài 4.7 trang 8 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Tìm: a) (int {left( {x + {{sin }^2}frac{x}{2}} right)} dx); b) (int {{{left( {2tan x + cot x} right)}^2}} {rm{ }}dx).
Giải bài 4.8 trang 8 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Một viên đạn được bắn thẳng đứng lên trên từ mặt đất với vận tốc tại thời điểm t (t=0 là thời điểm viên đạn được bắn lên) cho bởi (vleft( t right) = 150 - 9,8t) (m/s). Tìm độ cao của viên đạn (tính từ mặt đất): a) Sau (t = 3) giây; b) Khi nó đạt độ cao lớn nhất (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất của mét).
Giải bài 4.9 trang 8 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Cho (Fleft( u right)) là một nguyên hàm của hàm số (fleft( u right)) trên khoảng (K) và (uleft( x right),{rm{ x}} in {rm{J}}), là hàm số có đạo hàm liên tục, (uleft( x right) in K) với mọi ({rm{x}} in {rm{J}}). Tìm (int {fleft( {uleft( x right)} right)} cdot u'left( x right)dx). Áp dụng: Tìm (int {{{left( {2x + 1} right)}^5}dx} ) và (int {frac{1}{{sqrt {2x + 1} }}dx} ).
Giải bài 4.10 trang 8 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Tìm: a) (int {frac{{2x - 1}}{{x + 1}}} dx); b) (int {left( {3 + 2{{sin }^2}x} right)} {rm{ }}dx).