Giải bài 4.9 trang 8 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Cho (Fleft( u right)) là một nguyên hàm của hàm số (fleft( u right)) trên khoảng (K) và (uleft( x right),{rm{ x}} in {rm{J}}), là hàm số có đạo hàm liên tục, (uleft( x right) in K) với mọi ({rm{x}} in {rm{J}}). Tìm (int {fleft( {uleft( x right)} right)} cdot u'left( x right)dx). Áp dụng: Tìm (int {{{left( {2x + 1} right)}^5}dx} ) và (int {frac{1}{{sqrt {2x + 1} }}dx} ).

Tổng hợp đề thi giữa kì 1 lớp 12 tất cả các môn - Kết nối tri thức

Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh

Đề bài

Cho \(F\left( u \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( u \right)\) trên khoảng \(K\) và \(u\left( x \right),{\rm{ x}} \in {\rm{J}}\), là hàm số có đạo hàm liên tục, \(u\left( x \right) \in K\) với mọi \({\rm{x}} \in {\rm{J}}\). Tìm \(\int {f\left( {u\left( x \right)} \right)} \cdot u'\left( x \right)dx\).

Áp dụng: Tìm \(\int {{{\left( {2x + 1} \right)}^5}dx} \) và \(\int {\frac{1}{{\sqrt {2x + 1} }}dx} \).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Tìm \(\int {f\left( {u\left( x \right)} \right)} \cdot u'\left( x \right)dx\) bằng khái niệm nguyên hàm và đạo hàm của hàm hợp.

Áp dụng để tính các tích phân theo kết quả của \(\int {f\left( {u\left( x \right)} \right)} \cdot u'\left( x \right)dx\) đã tìm được.

Lời giải chi tiết

Do \(F' = f\) nên ta có đạo hàm hàm hợp của \(F\left( {u\left( x \right)} \right)\) là

\(\)\( \Leftrightarrow F'\left( {u\left( x \right)} \right) = f\left( {u\left( x \right)} \right) \cdot u'\left( x \right){\rm{ }}\left( 1 \right)\)

Lấy nguyên hàm hai vế của đẳng thức (1), ta được \(F\left( {u\left( x \right)} \right) + C = \int {f\left( {u\left( x \right)} \right) \cdot } u'\left( x \right)dx\).

Suy ra \(\int {f\left( {u\left( x \right)} \right) \cdot } u'\left( x \right)dx = F\left( {u\left( x \right)} \right) + C\).

Ta áp dụng để tìm các nguyên hàm sau:

\(\int {{{\left( {2x + 1} \right)}^5}dx} = \int {{{\left( {2x + 1} \right)}^5} \cdot {{\left( {2x + 1} \right)}^\prime } \cdot \frac{1}{2}dx} = \frac{1}{2}\int {{{\left( {2x + 1} \right)}^5} \cdot {{\left( {2x + 1} \right)}^\prime }dx} \)

\( = \frac{1}{2} \cdot \frac{{{{\left( {2x + 1} \right)}^6}}}{6} + C = \frac{{{{\left( {2x + 1} \right)}^6}}}{{12}} + C\);

\(\int {\frac{1}{{\sqrt {2x + 1} }}dx} = \int {\frac{1}{{\sqrt {2x + 1} }} \cdot {{\left( {2x + 1} \right)}^\prime } \cdot \frac{1}{2}dx} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \sqrt {2x + 1} + C = \sqrt {2x + 1} + C\).

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài 4.10 trang 8 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Tìm: a) (int {frac{{2x - 1}}{{x + 1}}} dx); b) (int {left( {3 + 2{{sin }^2}x} right)} {rm{ }}dx).
Giải bài 4.8 trang 8 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Một viên đạn được bắn thẳng đứng lên trên từ mặt đất với vận tốc tại thời điểm t (t=0 là thời điểm viên đạn được bắn lên) cho bởi (vleft( t right) = 150 - 9,8t) (m/s). Tìm độ cao của viên đạn (tính từ mặt đất): a) Sau (t = 3) giây; b) Khi nó đạt độ cao lớn nhất (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất của mét).
Giải bài 4.7 trang 8 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Tìm: a) (int {left( {x + {{sin }^2}frac{x}{2}} right)} dx); b) (int {{{left( {2tan x + cot x} right)}^2}} {rm{ }}dx).
Giải bài 4.6 trang 8 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Tìm: a) (int {left( {2cos x + frac{3}{{sqrt x }}} right)} dx); b) (int {left( {3sqrt x - 4sin x} right)} {rm{ }}dx).
Giải bài 4.5 trang 8 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Tìm: a) (int {{{left( {{2^x} + {3^x}} right)}^2}{rm{ }}} dx); b) (int {{{left( {{e^x} - {e^{ - x}}} right)}^2}} {rm{ }}dx).
Giải bài 4.4 trang 7 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Tìm: a) (int {left( {2{e^x} + frac{1}{{{3^x}}}} right){rm{ }}} dx); b) (int {left( {{x^2} + {2^x}} right)} {rm{ }}dx).
Giải bài 4.3 trang 7 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
a) (int {left( {3x + 4} right)sqrt[3]{x}} dx); b) (int {frac{{{{left( {2x + 3} right)}^2}}}{{sqrt x }}} dx).
Giải bài 4.2 trang 7 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Tìm: a) (int {frac{{{{left( {x + 2} right)}^2}}}{{{x^4}}}} dx); b) (int {sqrt x } left( {7{x^2} + 6} right)dx).
Giải bài 4.1 trang 7 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Tìm hàm số (y = fleft( x right)), biết (f'left( x right) = 3sqrt x + frac{2}{{sqrt[3]{x}}}{rm{ }}left( {x > 0} right)) và (fleft( 1 right) = 1).