Giải bài 40 trang 67 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1

Cho biểu thức \(P = \frac{2}{{\sqrt x - 1}} + \frac{2}{{\sqrt x + 1}} - \frac{{5 - \sqrt x }}{{x - 1}}\) với \(x \ge 0,x \ne 1\). a) Rút gọn biểu thức P. b) Tìm giá trị của P tại \(x = 1\). c) Tìm giá trị của \(x\) để P nguyên.

Đề bài

Cho biểu thức \(P = \frac{2}{{\sqrt x - 1}} + \frac{2}{{\sqrt x + 1}} - \frac{{5 - \sqrt x }}{{x - 1}}\) với \(x \ge 0,x \ne 1\).

a) Rút gọn biểu thức P.

b) Tìm giá trị của P tại \(x = 1\).

c) Tìm giá trị của \(x\) để P nguyên.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Quy đồng các phân thức.

b) Thay \(x = 1\) và biểu thức P đã rút gọn.

c) Chặn 2 đầu của P:

Với \(x \ne 1,x \ge 0\) ta có \(\sqrt x + 1 \ge 1\) nên \(\frac{5}{{\sqrt x + 1}} \ge 0\) và \(\frac{5}{{\sqrt x + 1}} \le 5\). Do đó \(0 < P \le 5\).

Lời giải chi tiết

a) Điều kiện xác định: \(x \ne 1,x \ge 0\)

\(\begin{array}{l}P = \frac{2}{{\sqrt x - 1}} + \frac{2}{{\sqrt x + 1}} - \frac{{5 - \sqrt x }}{{x - 1}}\\ = \frac{{2\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} + \frac{{2\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} - \frac{{5 - \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\\ = \frac{{2\left( {\sqrt x + 1} \right) + 2\left( {\sqrt x - 1} \right) - \left( {5 - \sqrt x } \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\\ = \frac{{2\sqrt x + 2 + 2\sqrt x - 2 - 5 + \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\\ = \frac{{5\sqrt x - 5}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\\ = \frac{{5\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \frac{5}{{\sqrt x + 1}}\end{array}\)

b) Thay \(x = 1\) (TMĐK) vào P, ta được \(P = \frac{5}{{\sqrt x + 1}} = \frac{5}{{\sqrt 1 + 1}} = \frac{5}{2}\)

Vậy \(P = \frac{5}{2}\) khi \(x = 1\).

c) Với \(x \ne 1,x \ge 0\) ta có \(\sqrt x + 1 \ge 1\) nên \(\frac{5}{{\sqrt x + 1}} \ge 0\) và \(\frac{5}{{\sqrt x + 1}} \le 5\). Do đó \(0 < P \le 5\).

Vậy để P nguyên thì \(P \in \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}\).

Ta có bảng sau:

Vậy \(x \in \left\{ {16;\frac{9}{4};\frac{4}{9};\frac{1}{{16}};0} \right\}\) là các giá trị cần tìm.

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài 41 trang 67 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1
Tìm x, biết: a) \(\frac{1}{2}\sqrt x - \frac{3}{2}\sqrt {9x} + 24\sqrt {\frac{x}{{64}}} = - 17\) với \(x \ge 0\) b) \(\sqrt {\frac{x}{5}} = 4\) với \(x \ge 0\) c) \(\sqrt {25{x^2}} = 10\) d) \(\sqrt {{{\left( {2x - 1} \right)}^2}} = 3\) e) \(2 - \sqrt[3]{{5 - x}} = 0\)
Giải bài 39 trang 67 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1
Cho biểu thức \(N = \left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}} \right).\frac{{x + \sqrt x }}{{\sqrt x }}\) với \(x > 0\). a) Rút gọn biểu thức N. b) Tìm giá trị nhỏ nhất của N.
Giải bài 38 trang 67 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1
Cho biểu thức \(M = \frac{1}{{2\sqrt x - 2}} - \frac{1}{{2\sqrt x + 2}} + \frac{{\sqrt x }}{{1 - x}}\) với \(x > 0\). a) Rút gọn biểu thức M. b) Tính giá trị biểu thức M tại \(x = \frac{4}{9}.\) c) Tìm giá trị của x để \(\left| M \right| = \frac{1}{3}\).
Giải bài 37 trang 67 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1
a) Cho biểu thức: \(C = \frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 3 }} + \frac{1}{{\sqrt 4 }} + ... + \frac{1}{{\sqrt {24} }} + \frac{1}{{\sqrt {25} }}.\) Chứng minh \(C > \frac{{24}}{5}.\) b) Cho biểu thức \(D = \left( {\frac{{y - 2}}{{y + 2\sqrt y }} + \frac{1}{{\sqrt y + 2}}} \right).\frac{{\sqrt y + 1}}{{\sqrt y - 1}}\) với \(y > 0,y \ne 1.\) Chứng minh \(D = \frac{{\sqrt y + 1}}{{\sqrt y }}.\)
Giải bài 36 trang 66 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1
a) Cho biểu thức \(A = \frac{1}{{3 - \sqrt 8 }} - \frac{1}{{\sqrt 8 - \sqrt 7 }} + \frac{1}{{\sqrt 7 - \sqrt 6 }} - \frac{1}{{\sqrt 6 - \sqrt 5 }} + \frac{1}{{\sqrt 5 - 2}}\) Chứng minh rằng \(A = 5\). b) Cho biểu thức \(B = \frac{1}{{\sqrt {2 + \sqrt 3 } }} + \frac{1}{{\sqrt {2 - \sqrt 3 } }}\). Chứng minh rằng \(B = \sqrt 6 \).
Giải bài 35 trang 66 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1
Chứng minh: a) \(\frac{{\sqrt 5 - \sqrt 3 }}{{\sqrt 5 + \sqrt 3 }} + \frac{{\sqrt 5 + \sqrt 3 }}{{\sqrt 5 - \sqrt 3 }} - \frac{{\sqrt 5 + 1}}{{\sqrt 5 - 1}} = \frac{{13 - \sqrt 5 }}{2}\) b) \(\frac{{x\sqrt y + y\sqrt x }}{{\sqrt {xy} }}:\frac{1}{{\sqrt x - \sqrt y }} = x - y\) với \(x > 0,y > 0,x \ne y.\)
Giải bài 34 trang 66 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1
Trục căn thức ở mẫu: a) \(\frac{2}{{\sqrt {3x - 1} }}\) với \(x > \frac{1}{3}\) b) \(\frac{{x - \sqrt x }}{{\sqrt x - 1}}\) với \(x \ge 0,x \ne 1\) c) \(\frac{x}{{\sqrt x - \sqrt 7 }}\) với \(x \ge 0,x \ne 7\) d) \(\frac{{1 - x\sqrt x }}{{1 - \sqrt x }}\) với \(x \ge 0,x \ne 1\)
Giải bài 33 trang 66 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1
Trục căn thức ở mẫu: a) \(\frac{{2 - \sqrt 5 }}{{\sqrt 5 }}\) b) \(\frac{{\sqrt 2 + 1}}{{\sqrt 2 - 1}}\) c) \(\frac{8}{{3\sqrt 5 + 3}}\) d) \(\frac{1}{{\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{7}}}\)
Giải bài 32 trang 66 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1
Áp dụng quy tắc về căn thức bậc hai của một tích và một thương, hãy rút gọn biểu thức: a) \(\sqrt {98{x^2}} .\sqrt {{y^3}} \) với \(x < 0,y \ge 0\) b) \(\sqrt {{x^3}{{\left( {x - 1} \right)}^2}} \) với \(x \ge 1\) c) \(\sqrt {{x^4}} .\sqrt {{{\left( {x - 7} \right)}^2}} \) với \(x > 7\) d) \(\sqrt {\frac{{{x^2}}}{{36 - 12x + {x^2}}}} \) e) \(\frac{{\sqrt {1250{{\left( {x - 5} \right)}^3}} }}{{\sqrt {2{{\left( {x - 5} \right)}^5}} }}\) với \(x < 5\) g) \(\sqrt {\frac{{1 + x - 2\sqrt x }}{{
Giải bài 31 trang 65 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1
Áp dụng quy tắc về căn thức bậc hai của một bình phương, hãy rút gọn biểu thức: a) \(\sqrt {25 - 10 + {x^2}} \) với \(x \le 5.\) b) \(\sqrt {{{\left( {9 + 12x + 4{x^2}} \right)}^2}} \) c) \(\sqrt {{{\left( {3x + 1} \right)}^6}} \) với \(x \ge \frac{{ - 1}}{3}\) d) \(\sqrt {\frac{{49{x^2}{{\left( {x + 5} \right)}^2}}}{{16}}} \) với \(x \ge 0\)