Giải bài 3 trang 64 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo

Viết phương trình của đường conic (C) trong mỗi trường hợp sau:

Đề bài

Viết phương trình của đường conic (C) trong mỗi trường hợp sau:

a) (C) có tiêu điểm \(F(8;0)\), đường chuẩn là \(\Delta :x - 2 = 0\)và tâm sai \(e = 2\)

b) (C) có tiêu điểm \(F( - 4;0)\), đường chuẩn là \(\Delta :x + \frac{{25}}{4} = 0\)và tâm sai \(e = \frac{4}{5}\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Bước 1: Xác định loại đường conic dựa vào tâm sai e:

+ \(0 < e < 1\) thì conic là đường elip

+ \(e = 1\) thì conic là đường parabol

+ \(e > 1\) thì conic là đường hypebol

Bước 2: Tìm tập hợp các điểm M sao cho \(\frac{{MF}}{{d(M,\Delta )}} = e\)

Từ đó kết luận phương trình đường conic.

Lời giải chi tiết

a) Đường conic có tâm sai bằng 2 thì là hypebol.

Điểm \(M(x,y)\) thuộc đường conic khi và chỉ khi

\(\begin{array}{l}\frac{{MF}}{{d(M,\Delta )}} = 2 \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {{{\left( {x - 8} \right)}^2} + {y^2}} }}{{\left| {x - 2} \right|}} = 2\\ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x - 8} \right)}^2} + {y^2}} = 2\left| {x - 2} \right|\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 8} \right)^2} + {y^2} = 4{\left( {x - 2} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {y^2} = 3{x^2} - 48\\ \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{{48}} = 1\end{array}\)

Vậy phương trình đường hypebol là \(\frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{{48}} = 1\)

b) Đường conic có tâm sai \(e = \frac{4}{5} < 1\) thì là elip

Điểm \(M(x,y)\) thuộc đường conic khi và chỉ khi

\(\begin{array}{l}\frac{{MF}}{{d(M,\Delta )}} = \frac{4}{5} \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {{{\left( {x + 4} \right)}^2} + {y^2}} }}{{\left| {x + \frac{{25}}{4}} \right|}} = \frac{4}{5}\\ \Leftrightarrow 5\sqrt {{{\left( {x + 4} \right)}^2} + {y^2}} = 4\left| {x + \frac{{25}}{4}} \right|\\ \Leftrightarrow 25{\left( {x + 4} \right)^2} + 25{y^2} = 16{\left( {x + \frac{{25}}{4}} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 25{y^2} + 9{x^2} = 225\\ \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\end{array}\)

Vậy phương trình đường elip là \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\)