SBT Toán 11 - giải SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo Bài tập cuối chương 3 - SBT Toán 11 CTST

Giải bài 12 trang 95 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1


Tại một bể bơi có dạng hình tròn có đường kính \(AB = 10m\), một người xuất phát từ A bơi thẳng theo dây cung AC tạo với đường kính AB một góc \(\alpha \left( {0 < \alpha < \frac{\pi }{2}} \right)\), rồi chạy bộ theo cung nhỏ CB đến điểm B (Hình 4). Gọi \(S\left( \alpha \right)\) là quãng đường người đó đã di chuyển. a) Viết công thức tính \(S\left( \alpha \right)\) theo \(\alpha \left( {0 < \alpha < \frac{\pi }{2}} \right)\). b) Xét tính liên tục của hàm số \(y = S\left( \alpha \right)\)

Đề bài

Tại một bể bơi có dạng hình tròn có đường kính \(AB = 10m\), một người xuất phát từ A bơi thẳng theo dây cung AC tạo với đường kính AB một góc \(\alpha \left( {0 < \alpha  < \frac{\pi }{2}} \right)\), rồi chạy bộ theo cung nhỏ CB đến điểm B (Hình 4). Gọi \(S\left( \alpha  \right)\) là quãng đường người đó đã di chuyển.

a) Viết công thức tính \(S\left( \alpha  \right)\) theo \(\alpha \left( {0 < \alpha  < \frac{\pi }{2}} \right)\).

b) Xét tính liên tục của hàm số \(y = S\left( \alpha  \right)\) trên khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\).

c) Tính các giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{\alpha  \to {0^ + }} S\left( \alpha  \right)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{\alpha  \to {{\frac{\pi }{2}}^ + }} S\left( \alpha  \right)\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về các phép toán về giới hạn hữu hạn của hàm số để tính: Cho \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = L,\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } g\left( x \right) = M\): \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } \left[ {f\left( x \right) \pm g\left( x \right)} \right] = L \pm M\).

Lời giải chi tiết

a) Kí hiệu O là tâm hình tròn.

Do tam giác ABC vuông tại C nên \(AC = AB\cos \alpha  = 10\cos \alpha \left( m \right)\)

Ta có: \(\widehat {BOC} = 2\widehat {BAC} = 2\alpha \) nên độ dài cung BC là: \(l = OB.\widehat {BOC} = 5.2\alpha  = 10\alpha \left( m \right)\)

Quãng đường di chuyển của người đó là:

\(S\left( \alpha  \right) = AC + l = 10\cos \alpha  + 10\alpha  = 10\left( {\cos \alpha  + \alpha } \right)\)(m) \(\left( {0 < \alpha  < \frac{\pi }{2}} \right)\)

b) Do các hàm số \(y = \alpha ,y = \cos \alpha \) liên tục trên \(\mathbb{R}\) nên hàm số \(y = S\left( \alpha  \right)\) liên tục trên \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\).

c) \(\mathop {\lim }\limits_{\alpha  \to {0^ + }} S\left( \alpha  \right) = \mathop {\lim }\limits_{\alpha  \to {0^ + }} 10\left( {\alpha  + \cos \alpha } \right) = 10\left( {\mathop {\lim }\limits_{\alpha  \to {0^ + }} \alpha  + \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \cos \alpha } \right) = 10\left( {0 + 1} \right) = 10\)

\(\mathop {\lim }\limits_{\alpha  \to {{\left( {\frac{\pi }{2}} \right)}^ + }} S\left( \alpha  \right) = \mathop {\lim }\limits_{\alpha  \to {{\left( {\frac{\pi }{2}} \right)}^ + }} 10\left( {\alpha  + \cos \alpha } \right) = 10\left( {\mathop {\lim }\limits_{\alpha  \to {{\left( {\frac{\pi }{2}} \right)}^ + }} \alpha  + \mathop {\lim }\limits_{\alpha  \to {{\left( {\frac{\pi }{2}} \right)}^ + }} \cos \alpha } \right) = 10\left( {\frac{\pi }{2} + 0} \right) = 5\pi \)


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Chân trời sáng tạo - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store