SBT Toán 11 - giải SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo Bài tập cuối chương 8 - SBT Toán 11 CTST

Giải bài 1 trang 76 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2


Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. a) \(BC \bot \left( {OAH} \right)\). b) H là trực tâm của \(\Delta ABC\). c) \(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}\).

Tổng hợp đề thi giữa kì 1 lớp 11 tất cả các môn - Chân trời sáng tạo

Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh

Đề bài

Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là hình chiếu của O trên mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng:

a) \(BC \bot \left( {OAH} \right)\).

b) H là trực tâm của \(\Delta ABC\).

c) \(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:

+ Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong \(\left( \alpha  \right)\) thì \(d \bot \left( \alpha  \right)\).

+ Nếu đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\).

Lời giải chi tiết

a) Vì H là hình chiếu của O trên mặt phẳng (ABC) nên \(OH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow OH \bot BC\)

Vì \(OA \bot OB,OA \bot OC \Rightarrow OA \bot \left( {BOC} \right) \Rightarrow OA \bot BC\)

Ta có: \(OA \bot BC,OH \bot BC \Rightarrow BC \bot \left( {OAH} \right)\)

b) Vì \(BC \bot \left( {OAH} \right)\)  nên \(BC \bot AH\) (1)

Vì \(OH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow OH \bot AC\)

Vì \(OA \bot OB,OB \bot OC \Rightarrow OB \bot \left( {AOC} \right) \Rightarrow OB \bot AC\)

Ta có: \(OB \bot AC,OH \bot AC \Rightarrow AC \bot \left( {OBH} \right) \Rightarrow AC \bot BH\) (2)

Mà H là giao điểm của BH và CH (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có: H là trực tâm của \(\Delta ABC\).

c) Gọi D là giao điểm của AH và BC. Khi đó, \(OD \bot BC\)

Vì \(OA \bot \left( {BOC} \right) \Rightarrow OA \bot OD\)

Do đó, tam giác AOD vuông tại O. Mà OH là đường cao nên \(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{D^2}}} + \frac{1}{{O{A^2}}}\)

Tam giác BOC vuông tại O, đường cao OD có: \(\frac{1}{{O{D^2}}} = \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}\)

Vậy \(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}\)


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Chân trời sáng tạo - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store