Giải bài 1 trang 65 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1

Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\), biết a) \({u_n} = \frac{{2n + 9}}{{n + 3}}\); b) \({u_n} = \frac{1}{{\sqrt {2\;024 + n} }}\); c) \({u_n} = \frac{{n!}}{{{2^n}}}\).

Tổng hợp đề thi học kì 1 lớp 11 tất cả các môn - Chân trời sáng tạo

Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh

Đề bài

Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\), biết

a) \({u_n} = \frac{{2n + 9}}{{n + 3}}\);

b) \({u_n} = \frac{1}{{\sqrt {2\;024 + n} }}\);

c) \({u_n} = \frac{{n!}}{{{2^n}}}\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

* Sử dụng kiến thức về dãy số tăng, giảm để xét tính tăng giảm của dãy số: Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\).

+ Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số tăng nếu \({u_{n + 1}} > {u_n},\forall n \in \mathbb{N}*\).

+ Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số giảm nếu \({u_{n + 1}} < {u_n},\forall n \in \mathbb{N}*\).

* Sử dụng kiến thức về dãy bị chặn để xét tính bị chặn của dãy số:

+ Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho \({u_n} \le M,\forall n \in \mathbb{N}*\).

+ Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho \({u_n} \ge m,\forall n \in \mathbb{N}*\).

+ Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, nghĩa là tồn tại các số M và m sao cho \(m \le {u_n} \le M,\forall n \in \mathbb{N}*\).

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \({u_n} = \frac{{2n + 9}}{{n + 3}} = \frac{{2\left( {n + 3} \right) + 3}}{{n + 3}} = 2 + \frac{3}{{n + 3}}\), suy ra \(2 < {u_n} < 3\;\forall n \in \mathbb{N}*\)

Do đó, \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số bị chặn.

Lại có: \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{2\left( {n + 1} \right) + 9}}{{n + 1 + 3}} - \frac{{2n + 9}}{{n + 3}} = \frac{{2n + 11}}{{n + 4}} - \frac{{2n + 9}}{{n + 3}}\)

\( = \frac{{\left( {2n + 11} \right)\left( {n + 3} \right) - \left( {2n + 9} \right)\left( {n + 4} \right)}}{{\left( {n + 3} \right)\left( {n + 4} \right)}} = \frac{{2{n^2} + 17n + 33 - 2{n^2} - 17n - 36}}{{\left( {n + 3} \right)\left( {n + 4} \right)}} = \frac{{ - 3}}{{\left( {n + 3} \right)\left( {n + 4} \right)}} < 0\)

Suy ra, \({u_{n + 1}} < {u_n}\;\forall n \in \mathbb{N}*\). Do đó, \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số giảm.

b) Ta có: \(0 < \frac{1}{{\sqrt {2\;024 + n} }} < 1\;\forall n \in \mathbb{N}*\). Do đó, \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số bị chặn.

Lại có: \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{\frac{1}{{\sqrt {2\;024 + n + 1} }}}}{{\frac{1}{{\sqrt {2\;024 + n} }}}} = \frac{{\sqrt {2\;024 + n} }}{{\sqrt {2\;024 + n + 1} }} < 1\;\forall n \in \mathbb{N}*\)

Suy ra, \({u_{n + 1}} < {u_n}\;\forall n \in \mathbb{N}*\). Do đó, \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số giảm.

c) Ta có: \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{\left( {n + 1} \right)!{2^n}}}{{n!{2^{n + 1}}}} = \frac{{n + 1}}{2} \ge 1\;\forall n \in \mathbb{N}*\).

Suy ra, \({u_{n + 1}} \ge {u_n}\;\forall n \in \mathbb{N}*\). Do đó, \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.

Lại có: \({u_n} = \frac{{n!}}{{{2^n}}} > 0\;\forall n \in \mathbb{N}*\) nên dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn dưới.

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài 2 trang 65 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Một tam giác vuông có chu vi bằng 3 và độ dài các cạnh lập thành cấp số cộng. Tính độ dài các cạnh của tam giác đó.
Giải bài 3 trang 65 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Chu vi của một đa giác là 213cm, số đo các cạnh của nó lập thành cấp số cộng với công sai \(d = 7cm\) và cạnh lớn nhất bằng 53cm. Tính số cạnh của đa giác đó.
Giải bài 4 trang 65 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Cho a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Chứng minh: \({a^2} - {c^2} = 2ab - 2bc\).
Giải bài 5 trang 65 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Xác định số hạng đầu và công bội của cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có \(\left\{ \begin{array}{l}{u_3} - {u_1} = 24\\{u_6} - {u_4} = 3\;000\end{array} \right.\).
Giải bài 6 trang 65 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\), biết \({u_1} = 12,\frac{{{u_3}}}{{{u_8}}} = 243\). Tìm \({u_9}\).
Giải bài 7 trang 65 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Cho cấp số nhân: \( - \frac{1}{5};a; - \frac{1}{{125}}\). Tính giá trị của a.
Giải bài 8 trang 65 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Một cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1} = 3\), công bội \(q = 2\). Biết \({S_n} = 765\). Tìm n.
Giải bài 9 trang 65 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Một tháp 10 tầng có diện tích sàn của tầng dưới cùng là \(6\;144{m^2}\). Tính diện tích mặt sàn tầng trên cùng, biết rằng diện tích mặt sàn mỗi tầng bằng nửa diện tích mặt sàn tầng ngay bên dưới.
Giải bài 10 trang 65 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Một khay nước có nhiệt độ ({20^0}C) được đặt vào ngăn đá của tủ lạnh. Cho biết sau mỗi giờ, nhiệt độ của nước giảm đi 25%. Tính nhiệt độ khay nước đó sau 4 giờ.
Giải câu hỏi trắc nghiệm trang 64 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\), biết \({u_n} = \frac{1}{n}\). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? A. Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_3} = \frac{1}{6}\). B. Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng. C. Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số không tăng không giảm. D. Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số giảm.