Bài 4. Khảo sát và vẽ đồ thị một số hàm cơ bản - SBT To..

Giải bài 1 trang 31 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo

Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau: a) (y = xleft( {{x^2} - 4x} right)); b) (y = - {x^3} + 3{x^2} - 2).

Đề bài

Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) $y = x\left( {{x^2} - 4x} \right)$;

b) $y = - {x^3} + 3{x^2} - 2$.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sơ đồ khảo sát hàm số:

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2. Xét sự biến thiên của hàm số

‒ Tìm đạo hàm $y'$, xét dấu $y'$, xác định khoảng đơn điệu, cực trị (nếu có) của hàm số.

‒ Tìm giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực của hàm số và tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).

‒ Lập bảng biến thiên của hàm số.

Bước 3. Vẽ đồ thị hàm số

‒ Xác định các điểm cực trị (nếu có), giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ (nếu có và dễ tìm),…

‒ Vẽ các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).

‒ Vẽ đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết

a) $y = x\left( {{x^2} - 4x} \right) = {x^3} - 4{x^2}$

1. Tập xác định: $\mathbb{R}$.

2. Sự biến thiên:

• Chiều biến thiên:

Đạo hàm $y' = 3{{\rm{x}}^2} - 8{\rm{x}};y' = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc ${\rm{x}} = \frac{8}{3}$.

Trên các khoảng $\left( { - \infty ;0} \right)$ và $\left( {\frac{8}{3}; + \infty } \right)$, $y' > 0$ nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó.

Trên khoảng $\left( {0;\frac{8}{3}} \right)$, $y' < 0$ nên hàm số nghịch biến trên khoảng đó.

• Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại $x = 0$ và ${{y}_{CĐ}}=0$.

Hàm số đạt cực tiểu tại $x = \frac{8}{3}$ và ${y_{CT}} = - \frac{{256}}{{27}}$.

• Các giới hạn tại vô cực:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^3}\left( {1 - \frac{4}{x}} \right) = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^3}\left( {1 - \frac{4}{x}} \right) = + \infty $.

• Bảng biến thiên:

3. Đồ thị

Khi $x = 0$ thì $y = 0$ nên $\left( {0;0} \right)$ là giao điểm của đồ thị với trục $Oy$.

Ta có $y = 0 \Leftrightarrow {x^3} - 4{{\rm{x}}^2} = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc ${\rm{x}} = 4$.

Vậy đồ thị hàm số giao với trục $Ox$ tại hai điểm $\left( {0;0} \right)$ và $\left( {4;0} \right)$.

Điểm $\left( {0;0} \right)$ là điểm cực đại và điểm $\left( {\frac{8}{3}; - \frac{{256}}{{27}}} \right)$ là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số được biểu diễn như hình vẽ bên.

Đồ thị của hàm số có tâm đối xứng là điểm $I\left( {\frac{4}{3}; - \frac{{128}}{{27}}} \right)$.

b) $y = - {x^3} + 3{x^2} - 2$

1. Tập xác định: $\mathbb{R}$.

2. Sự biến thiên:

• Chiều biến thiên:

Đạo hàm $y' = - 3{{\rm{x}}^2} + 6{\rm{x}};y' = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc ${\rm{x}} = 2$.

Trên khoảng $\left( {0;2} \right)$, $y' > 0$ nên hàm số đồng biến trên khoảng đó.

Trên các khoảng $\left( { - \infty ;0} \right)$ và $\left( {2; + \infty } \right)$, $y' < 0$ nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.

• Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại $x = 2$ và ${{y}_{CĐ}}=4$.

Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 0$ và ${y_{CT}} = 0$.

• Các giới hạn tại vô cực:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^3}\left( { - 1 + \frac{3}{x} - \frac{2}{{{x^3}}}} \right) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^3}\left( { - 1 + \frac{3}{x} - \frac{2}{{{x^3}}}} \right) = - \infty $.

• Bảng biến thiên:

3. Đồ thị

Khi $x = 0$ thì $y = 0$ nên $\left( {0;0} \right)$ là giao điểm của đồ thị với trục $Oy$.

Ta có $y = 0 \Leftrightarrow - {x^3} + 3{{\rm{x}}^2} = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc ${\rm{x}} = 3$.

Vậy đồ thị hàm số giao với trục $Ox$ tại hai điểm $\left( {0;0} \right)$ và $\left( {3;0} \right)$.

Điểm $\left( {2;4} \right)$ là điểm cực đại và điểm $\left( {0;0} \right)$ là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số được biểu diễn như hình vẽ bên.

Đồ thị của hàm số có tâm đối xứng là điểm $I\left( {2;2} \right)$.

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài 2 trang 31 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Cho hàm số $y = \left( {m - 1} \right){x^3} + 2\left( {m + 1} \right){x^2} - x + m - 1$ ($m$ là tham số). a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số khi $m = - 1$. b) Tìm giá trị của $m$ để tâm đối xứng của đồ thị hàm số có hoành độ ${x_0} = - 2$.
Giải bài 3 trang 31 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Cho hàm số $y = 2{x^3} + 6{x^2} - x + 2$. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại tâm đối xứng của nó.
Giải bài 4 trang 31 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Với giá trị nào của $m$ thì đồ thị của hàm số $y = - {x^3} - 3{x^2} + mx + 1$ có tâm đối xứng nằm trên trục $Ox$? Khi đó, có thể kết luận gì về số giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành?
Giải bài 5 trang 31 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau: a) (y = 3 + frac{1}{x}); b) (y = 2 - frac{1}{{1 + x}}).
Giải bài 6 trang 32 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Ta đã biết đồ thị hàm số $y = \frac{{2{\rm{x}} - 1}}{{x + 1}}$ có tiệm cận đứng là đường thẳng $x = - 1$ và tiệm cận ngang là đường thẳng $y = 2$. a) Tìm toạ độ giao điểm $I$ của đường tiệm cận. b) Với $t$ tuỳ ý $\left( {t \ne 0} \right)$, gọi $M$ và $M'$ lần lượt là hai điểm trên đồ thị hàm số có hoành độ lần lượt là ${x_M} = {x_I} - t$ và ${x_{M'}} = {x_I} + t$. Tìm các tung độ $y\left( {{x_M}} \right)$ và $y\left( {{x_{M'}}} \right)$. Từ đó, chứng minh rằng hai đ
Giải bài 7 trang 32 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Cho hàm số $y = \frac{{2{\rm{x}} - 1}}{{ - x + 3}}$. Chứng tỏ rằng đường thẳng $y = - x$ cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt.
Giải bài 8 trang 32 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau: a) (y = frac{{{x^2} - 2{rm{x}} + 2}}{{{rm{x}} - 1}}); b) (y = - 2{rm{x}} + frac{1}{{2{rm{x}} + 1}}).
Giải bài 9 trang 32 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Cho hàm số $y = \frac{{{x^2} + 2{\rm{x}} - 2}}{{{\rm{x}} - 1}}$ a) Tìm toạ độ giao điểm $I$ của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số. b) Với $t$ tuỳ ý $\left( {t \ne 0} \right)$, gọi $M$ và $M'$ lần lượt là hai điểm trên đồ thị hàm số có hoành độ lần lượt là ${x_M} = {x_I} - t$ và ${x_{M'}} = {x_I} + t$. So sánh các tung độ ${y_M}$ và ${y_{M'}}$. Từ đó, suy ra rằng hai điểm $M$ và $M'$ đối xứng với nhau qua $I$.
Giải bài 10 trang 32 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Cho hàm số $y = \frac{{\left( {m - 1} \right)x - 2}}{{m - 2 - x}}$ ($m$ là tham số). Tìm điều kiện của $m$ để đồ thị hàm số đã cho có một nhánh nằm hoàn toàn trong góc phần tư thứ nhất của hệ trục toạ độ $Oxy$.
Giải bài 11 trang 32 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Cho hàm số (y = frac{{{x^2} + 2{rm{x}} - m}}{{x - 1}}) ((m) là tham số). a) Tìm (m) để đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị. b) Chứng tỏ rằng khi (m = 2), hàm số có hai điểm cực trị. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số này.