Đề thi học kì 2 Toán 9 - Đề số 5

a) Gọi toạ độ điểm có hoành độ và tung độ là hai số đối nhau là \(\left( {{x_0}; - {x_0}} \right)\).

Vì \({y_0} =  - {x_0}\) nên \( - {x_0} = \frac{{ - 1}}{4}x_0^2\)

\(\begin{array}{l}\frac{1}{4}x_0^2 - {x_0} = 0\\{x_0}\left( {\frac{1}{4}{x_0} - 1} \right) = 0\end{array}\)

\({x_0} = 0\) hoặc \(\frac{1}{4}{x_0} - 1 = 0\)

\({x_0} = 0\) hoặc \(\frac{1}{4}{x_0} = 1\)

\({x_0} = 0\) hoặc \({x_0} = 4\)

suy ra \({y_0} = 0\) hoặc \({y_0} =  - 4\)

Do đó ta được \(\left( {0;0} \right)\) (loại) và \(\left( {4; - 4} \right)\).

Vậy điểm \(\left( {4; - 4} \right)\) thuộc \(\left( P \right):y =  - \frac{1}{4}{x^2}\).

b) \(3{x^2} + 2x - 3 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\). Không giải phương trình, hãy tính giá trị biểu thức \(M = \left( {{x_1} - 2{x_2}} \right)\left( {{x_2} - {x_1}} \right) + x_2^2\).

Xét phương trình \(3{x^2} + 2x - 3 = 0\) ta có: \(ac = 3.\left( { - 3} \right) =  - 9 < 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\).

Áp dụng định lí Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}S = {x_1} + {x_2} =  - \frac{2}{3}\\P = {x_1}.{x_2} = \frac{{ - 3}}{3} =  - 1\end{array} \right.\)

Ta có: \(M = \left( {{x_1} - 2{x_2}} \right)\left( {{x_2} - {x_1}} \right) + x_2^2\)

\(\begin{array}{l} = {x_1}{x_2} - x_1^2 - 2x_2^2 + 2{x_1}{x_2} + x_2^2\\ =  - x_1^2 + 3{x_1}{x_2} - x_2^2\\ =  - \left( {x_1^2 + 2{x_1}{x_2} + x_2^2} \right) + 5{x_1}{x_2}\\ =  - {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} + 5{x_1}{x_2}\\ =  - {\left( { - \frac{2}{3}} \right)^2} + 5.\left( { - 1} \right)\\ = \frac{{ - 49}}{9}\end{array}\)

Vậy \(M = \frac{{ - 49}}{9}\).