Đề thi học kì 2 Toán 12 - Đề số 10
Tổng hợp đề thi học kì 2 lớp 12 tất cả các môn - Kết nối tri thức
Toán - Văn - Anh - Hoá - Sinh - Sử - Địa
Đề thi học kì 2 Toán 12 - Đề số 10
Đề bài
Cho hàm số $f(x) = 3^{x} + \sin x$. Một nguyên hàm của f(x) trên $\mathbb{R}$ là
-
A.
$F(x) = 3^{x}\ln 3 + \cos x$.
-
B.
$F(x) = \dfrac{3^{x}}{\ln 3} - \sin x$.
-
C.
$F(x) = \dfrac{3^{x}}{\ln 3} - \cos x$.
-
D.
$F(x) = 3^{x} + \sin x$.
Tìm nguyên hàm \(F(x)\) của hàm số \(f(x) = {x^4} - 2x + 3\), biết \(F(0) = 3\).
-
A.
\(\frac{{{x^3}}}{3} - {x^2} + 3x + 2\)
-
B.
\(\frac{{{x^5}}}{5} - {x^2} + 3x\)
-
C.
\(\frac{{{x^5}}}{5} - {x^2} + 3x + 3\)
-
D.
\(\frac{{{x^3}}}{3} - {x^2} + 3x\)
Cho $\int\limits_{0}^{1}{f(x)\text{d}x = 3}$ và $\int\limits_{0}^{1}{g(x)\text{d}x = - 2}$. Giá trị của $\int\limits_{0}^{1}{\left\lbrack {f(x) + g(x)} \right\rbrack\text{d}x}$ bằng
-
A.
$3.$
-
B.
$- 6.$
-
C.
$5.$
-
D.
$1.$
Cho hàm số f(x) liên tục trên $\mathbb{R}$. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), y = 0, x = -1, x = 2. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
-
A.
$S = - {\int\limits_{- 1}^{1}{f(x)dx}} - {\int\limits_{1}^{2}{f(x)dx}}$.
-
B.
$S = {\int\limits_{- 1}^{1}{f(x)dx}} + {\int\limits_{1}^{2}{f(x)dx}}$.
-
C.
$S = - {\int\limits_{- 1}^{1}{f(x)dx}} + {\int\limits_{1}^{2}{f(x)dx}}\ $.
-
D.
$S = {\int\limits_{- 1}^{1}{f(x)dx}} - {\int\limits_{1}^{2}{f(x)dx}}$.
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x - y + 3z - 4 = 0. Một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) có tọa độ là
-
A.
(3; -1; 2).
-
B.
(2; -1; 3).
-
C.
(-1; 2; 3).
-
D.
(2; 1; 3).
Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( {2; - 1;2} \right)$, $B\left( {0; - 3; - 2} \right)$. Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $AB$ có phương trình là
-
A.
$x + y + 2z - 1 = 0$.
-
B.
$x + y - 2z + 1 = 0$.
-
C.
$x - y + 2z + 1 = 0$.
-
D.
$x + y + 2z + 1 = 0$.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $(d)$:
$\dfrac{x - 3}{4} = \dfrac{y + 2}{- 5} = \dfrac{z - 1}{2}$.
Vectơ nào sau đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $(d)$?
-
A.
$\overset{\rightarrow}{u_{1}} = (3; - 2;1)$.
-
B.
$\overset{\rightarrow}{u_{2}} = (4;5;2)$.
-
C.
$\overset{\rightarrow}{u_{3}} = (3;2;1)$.
-
D.
$\overset{\rightarrow}{u_{4}} = (4; - 5;2)$.
Trong không gian Oxyz, đường thẳng đi qua điểm $M(1;3; - 2)$ và vuông góc với mặt phẳng $(P):x + 3y - 4z + 9 = 0$ có phương trình là
-
A.
$\left\{ \begin{array}{l} {x = 1 + t} \\ {y = 3 + 3t} \\ {z = - 2 - 4t} \end{array} \right.$
-
B.
$\left\{ \begin{array}{l} {x = 1 + 3t} \\ {y = 3 + 3t} \\ {z = - 2 - 4t} \end{array} \right.$
-
C.
$\left\{ \begin{array}{l} {x = 1 + t} \\ {y = 3 + 3t} \\ {z = - 4 - 2t} \end{array} \right.$
-
D.
$\left\{ \begin{array}{l} {x = 1 + 3t} \\ {y = 3 + 3t} \\ {z = - 4 - 2t} \end{array} \right.$
Xác định vị trí tương đối của cặp đường thẳng $d_1: \begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 + 2t \\ z = -2t \end{cases} $ và $d_2: \begin{cases} x = 3 + 2u \\ y = 6 + 4u \\ z = -4 - 4u \end{cases}$.
-
A.
Song song.
-
B.
Trùng nhau.
-
C.
Cắt nhau.
-
D.
Chéo nhau.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, khoảng cách từ điểm A(1; 0; 0) tới mặt phẳng (P): 2x + 2y - z + 1 = 0 bằng
-
A.
3.
-
B.
$\sqrt{3}$.
-
C.
9.
-
D.
1.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt cầu (S) có phương trình $\left( {x - 5} \right)^{2} + \left( {y + 2} \right)^{2} + \left( {z - 3} \right)^{2} = 4$ có bán kính bằng:
-
A.
2.
-
B.
16.
-
C.
8.
-
D.
4.
Cho hai biến cố $A$ và $B$ độc lập. Biết rằng $P(A) = 0,4,P(B) = 0,3$. Khi đó $P\left( {A \mid B} \right)$ bằng
-
A.
0,4.
-
B.
0,12.
-
C.
0,7.
-
D.
0,3.
Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục là kilômét), đài kiểm soát không lưu của một sân bay ở vị trí O(0; 0; 0) và được thiết kế phát hiện máy bay ở khoảng cách tối đa 600 km. Một máy bay đang chuyển động với vận tốc 900 km/h theo đường thẳng d có phương trình $\left\{ \begin{array}{l} {x = - 1000 + 100t} \\ {y = - 300 + 80t} \\ {z = 100\sqrt{11}} \end{array} \right.\left( {t \in {\mathbb{R}}} \right)$ và hướng về đài kiểm soát không lưu (như hình vẽ). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Phương trình mặt cầu để mô tả ranh giới bên ngoài vùng phát sóng của đài kiểm soát không lưu trong không gian là $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 360000$.
b) Máy bay đang chuyển động theo đường thẳng d đến vị trí điểm $M\left( {- 500\,;\, 100\,;\, 100\sqrt{11}} \right)$. Vị trí này nằm ngoài vùng kiểm soát không lưu của đài kiểm soát không lưu sân bay.
c) Thời gian kể từ khi đài kiểm soát không lưu phát hiện may bay đến khi máy ra khỏi vùng kiểm soát không lưu là $\dfrac{4}{3}$ giờ.
d) Ranh giới vùng phát sóng bên ngoài của đài kiểm soát không lưu trong không gian là mặt cầu có bán kính bằng 300 km.
Trong một cuộc khảo sát 1000 học sinh thì có 200 học sinh tham gia câu lạc bộ thể thao, trong số học sinh đó có 85% học sinh biết chơi bóng đá. Ngoài ra, có 10% số học sinh không tham gia câu lạc bộ thể thao cũng biết chơi bóng đá. Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh của nhóm khảo sát.
a) Xác suất chọn được học sinh tham gia câu lạc bộ thể thao là 0,2.
b) Xác suất chọn được học sinh vừa tham gia câu lạc bộ thể thao vừa biết chơi bóng đá là 0,25.
c) Xác suất chọn được học sinh không biết chơi bóng đá là 0,75.
d) Giả sử học sinh đó biết chơi bóng đá. Xác suất chọn được học sinh thuộc câu lạc bộ thể thao là 0,68.
Một bác thợ gốm làm một cái chậu trồng cây, phần trong chậu cây có dạng khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng được tô đậm như hình sau quanh trục Ox (đơn vị trên trục là decimet), biết đường cong trong hình là đồ thị hàm số \(y = \sqrt {x + 1} \), đáy chậu và miệng chậu có đường kính lần lượt là 2 dm và 4 dm. Dung tích của chậu là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
Một sân bóng đá tiêu chuẩn có dạng hình chữ nhật với kích thước đường biên ngang là 68 m; có khung thành rộng 7,32 m và cao 2,44 m nằm ở chính giữa đường biên ngang. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho gốc tọa độ O là điểm đá phạt góc, trục Ox nằm trên đường biên ngang, trục Oy nằm trên đường biên dọc, trục Oz vuông góc với sân bóng, đơn vị trên mỗi trục là mét (tham khảo hình vẽ). Một quả bóng được đá từ vị trí P(6; 22; 0) với vận tốc 28 m/s theo hướng của vectơ $\overrightarrow{v} = (15; -11;1)$ về phía khung thành. Giả sử quả bóng là một điểm, quỹ đạo bay của quả bóng là một đường thẳng và khung thành là một phần của mặt phẳng (Ozx). Thời gian bóng từ vị trí điểm P đến khung thành là bao nhiêu giây? (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Một máy phát tín hiệu P được đặt cố định ở một địa điểm và ta có thể nhận được tín hiệu của máy phát này trong phạm vi của một mặt cầu với bán kính R của nó. Một người cầm máy dò tín hiệu A chuyển động trên đường thẳng d (như hình).
Nếu chọn điểm đặt máy phát tín hiệu P là gốc tọa độ O của hệ trục tọa độ Oxyz thì máy dò A di chuyển theo đường thẳng có phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = 5 - t\\y = 5 - t\\z = 7 - 2t\end{array} \right.\) (trong đó t(h) là thời gian chuyển động). Mặt cầu giới hạn phạm vi nhận tín hiệu của máy dò A tại thời điểm nó gần máy phát tín hiệu P nhất có tâm I(a;b;c). Tính P = a + b + c.
Để điều khiển được 1 tàu thủy, thuyền trường A cần đảm bảo rằng hệ thống điều khiển bánh lái và bánh lái không bị hỏng. Biết rằng xác suất để hệ thống điều khiến bánh lái hoạt động bình thường là 0,8 và bánh lái không bị hỏng là 0,75. Thông qua thực tế thì người ta nhận thấy xác suất ca hai bộ phận này cũng hỏng là 0,03. Hỏi xác suất để chỉ có một bộ phận hỏng trong hai bộ phận kiểm tra là bao nhiêu?
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của a thuộc \(\left[ {\pi ;10\pi } \right]\) sao cho \(\int\limits_0^a {\cos xdx} = \frac{1}{2}\). Số phần tử của S là bao nhiêu?
Lời giải và đáp án
Cho hàm số $f(x) = 3^{x} + \sin x$. Một nguyên hàm của f(x) trên $\mathbb{R}$ là
-
A.
$F(x) = 3^{x}\ln 3 + \cos x$.
-
B.
$F(x) = \dfrac{3^{x}}{\ln 3} - \sin x$.
-
C.
$F(x) = \dfrac{3^{x}}{\ln 3} - \cos x$.
-
D.
$F(x) = 3^{x} + \sin x$.
Đáp án : C
\(\int {\sin xdx} = - \cos x + C\); \(\int {{a^x}dx} = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C\) \((a > 0,a \ne 1)\).
\(\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {{3^x} + \sin x} \right)dx} = \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} - \cos x + C\).
Vậy một nguyên hàm của f(x) trên \(\mathbb{R}\) là \(F\left( x \right) = \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} - \cos x\).
Tìm nguyên hàm \(F(x)\) của hàm số \(f(x) = {x^4} - 2x + 3\), biết \(F(0) = 3\).
-
A.
\(\frac{{{x^3}}}{3} - {x^2} + 3x + 2\)
-
B.
\(\frac{{{x^5}}}{5} - {x^2} + 3x\)
-
C.
\(\frac{{{x^5}}}{5} - {x^2} + 3x + 3\)
-
D.
\(\frac{{{x^3}}}{3} - {x^2} + 3x\)
Đáp án : C
Sử dụng công thức \(\int {{x^n}dx = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}}} + C\).
Thay x = 0 vào phương trình \(F(x) = 3\) để tìm C.
\(\int {({x^4} - 2x + 3)dx = \frac{{{x^5}}}{5} - {x^2} + 3x + C} \).
\(F(0) = 3\) suy ra \(\frac{{{0^5}}}{5} - {0^2} + 3.0 + C = 3 \Leftrightarrow C = 3\).
Vậy \(F(x) = \frac{{{x^5}}}{5} - {x^2} + 3x + 3\).
Cho $\int\limits_{0}^{1}{f(x)\text{d}x = 3}$ và $\int\limits_{0}^{1}{g(x)\text{d}x = - 2}$. Giá trị của $\int\limits_{0}^{1}{\left\lbrack {f(x) + g(x)} \right\rbrack\text{d}x}$ bằng
-
A.
$3.$
-
B.
$- 6.$
-
C.
$5.$
-
D.
$1.$
Đáp án : D
Áp dụng tính chất của tích phân: \(\int\limits_a^b {\left[ {f(x) + g(x)} \right]dx} = \int\limits_a^b {f(x)dx} + \int\limits_a^b {g(x)dx} \).
\(\int\limits_0^1 {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = \int\limits_0^1 {f(x)dx} + \int\limits_0^1 {g(x)dx} = 3 + ( - 2) = 1\).
Cho hàm số f(x) liên tục trên $\mathbb{R}$. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), y = 0, x = -1, x = 2. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
-
A.
$S = - {\int\limits_{- 1}^{1}{f(x)dx}} - {\int\limits_{1}^{2}{f(x)dx}}$.
-
B.
$S = {\int\limits_{- 1}^{1}{f(x)dx}} + {\int\limits_{1}^{2}{f(x)dx}}$.
-
C.
$S = - {\int\limits_{- 1}^{1}{f(x)dx}} + {\int\limits_{1}^{2}{f(x)dx}}\ $.
-
D.
$S = {\int\limits_{- 1}^{1}{f(x)dx}} - {\int\limits_{1}^{2}{f(x)dx}}$.
Đáp án : D
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x) liên tục trên [a;b], trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) được tính bằng công thức \(S = \int\limits_a^b {\left| {f(x)} \right|dx} \).
Dựa vào đồ thị, ta có:
\(S = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} + \int\limits_1^2 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \)
\(= \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx} - \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} \).
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x - y + 3z - 4 = 0. Một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) có tọa độ là
-
A.
(3; -1; 2).
-
B.
(2; -1; 3).
-
C.
(-1; 2; 3).
-
D.
(2; 1; 3).
Đáp án : B
Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0.
Một vecto pháp tuyến của (P) là \(\overrightarrow n = (A;B;C)\).
Khi đó, với số thực \(k \ne 0\), \(k\overrightarrow n = (kA;kB;kC)\) cũng là một vecto pháp tuyến của (P).
Mặt phẳng \((P): 2x - y + 3z - 4 = 0\) có 1 VTPT là \((2; -1; 3)\).
Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( {2; - 1;2} \right)$, $B\left( {0; - 3; - 2} \right)$. Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $AB$ có phương trình là
-
A.
$x + y + 2z - 1 = 0$.
-
B.
$x + y - 2z + 1 = 0$.
-
C.
$x - y + 2z + 1 = 0$.
-
D.
$x + y + 2z + 1 = 0$.
Đáp án : D
Mặt phẳng trung trực của AB đi qua trung điểm I của AB, nhận \(\overrightarrow {AB} \) làm vecto pháp tuyến.
Phương trình mặt phẳng đó là:
\( - 2(x - 1) - 2(y + 2) - 4(z + 0) = 0\)
\( \Leftrightarrow - 2x - 2y - 4z - 2 = 0\)
\( \Leftrightarrow x + y + 2z + 1 = 0\).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $(d)$:
$\dfrac{x - 3}{4} = \dfrac{y + 2}{- 5} = \dfrac{z - 1}{2}$.
Vectơ nào sau đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $(d)$?
-
A.
$\overset{\rightarrow}{u_{1}} = (3; - 2;1)$.
-
B.
$\overset{\rightarrow}{u_{2}} = (4;5;2)$.
-
C.
$\overset{\rightarrow}{u_{3}} = (3;2;1)$.
-
D.
$\overset{\rightarrow}{u_{4}} = (4; - 5;2)$.
Đáp án : D
Đường thẳng $\dfrac{x - x_{0}}{a} = \dfrac{y - y_{0}}{b} = \dfrac{z - z_{0}}{c}$ có một vectơ chỉ phương là $\overset{\rightarrow}{u} = (a;b;c)$.
Vectơ chỉ phương của đường thẳng là $\overset{\rightarrow}{u_{4}} = (4; - 5;2)$.
Trong không gian Oxyz, đường thẳng đi qua điểm $M(1;3; - 2)$ và vuông góc với mặt phẳng $(P):x + 3y - 4z + 9 = 0$ có phương trình là
-
A.
$\left\{ \begin{array}{l} {x = 1 + t} \\ {y = 3 + 3t} \\ {z = - 2 - 4t} \end{array} \right.$
-
B.
$\left\{ \begin{array}{l} {x = 1 + 3t} \\ {y = 3 + 3t} \\ {z = - 2 - 4t} \end{array} \right.$
-
C.
$\left\{ \begin{array}{l} {x = 1 + t} \\ {y = 3 + 3t} \\ {z = - 4 - 2t} \end{array} \right.$
-
D.
$\left\{ \begin{array}{l} {x = 1 + 3t} \\ {y = 3 + 3t} \\ {z = - 4 - 2t} \end{array} \right.$
Đáp án : A
Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) nhận vecto pháp tuyến của (P) làm vecto chỉ phương. Từ đó lập phương trình tham số của đường thẳng.
Vecto chỉ phương của đường thẳng cũng là vecto pháp tuyến của (P): $\overset{\rightarrow}{u} = (1;3 - 4)$.
Phương trình đường thẳng đi qua $M(1;3; - 2)$, nhận $\overset{\rightarrow}{u} = (1;3 - 4)$ làm vecto chỉ phương là:
$\left\{ \begin{array}{l} {x = 1 + t} \\ {y = 3 + 3t} \\ {z = - 2 - 4t} \end{array} \right.$.
Xác định vị trí tương đối của cặp đường thẳng $d_1: \begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 + 2t \\ z = -2t \end{cases} $ và $d_2: \begin{cases} x = 3 + 2u \\ y = 6 + 4u \\ z = -4 - 4u \end{cases}$.
-
A.
Song song.
-
B.
Trùng nhau.
-
C.
Cắt nhau.
-
D.
Chéo nhau.
Đáp án : B
Xác định vecto chỉ phương của các cặp đường thẳng trên, từ đó suy ra vị trí tương đối của hai đường thẳng.
Ta có: $\overrightarrow{u_1} = (1; 2; -2)$, $\overrightarrow{u_2} = (2; 4; -4) \Rightarrow \overrightarrow{u_2} = 2\overrightarrow{u_1}$.
Mặt khác điểm $M_1(1; 2; 0) \in d_1$ và $M_1(1; 2; 0) \in d_2$ nên $d_1$ trùng $d_2$.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, khoảng cách từ điểm A(1; 0; 0) tới mặt phẳng (P): 2x + 2y - z + 1 = 0 bằng
-
A.
3.
-
B.
$\sqrt{3}$.
-
C.
9.
-
D.
1.
Đáp án : D
Trong không gian Oxyz, cho điểm $M\left( {x_{0};y_{0};z_{0}} \right)$ và mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 (với $A^{2} + B^{2} + C^{2} \neq 0$).
Khoảng cách từ M đến (P) được tính bằng công thức: $d\left( {M,(P)} \right) = \dfrac{\left| {Ax_{0} + By_{0} + Cz_{0} + D} \right|}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}$.
$d\left( {A,(P)} \right) = \dfrac{\left| {2.1 + 2.0 - 1.0 + 1} \right|}{\sqrt{2^{2} + 2^{2} + {( - 1)}^{2}}} = 1$.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt cầu (S) có phương trình $\left( {x - 5} \right)^{2} + \left( {y + 2} \right)^{2} + \left( {z - 3} \right)^{2} = 4$ có bán kính bằng:
-
A.
2.
-
B.
16.
-
C.
8.
-
D.
4.
Đáp án : A
Mặt cầu phương trình \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\) có bán kính bằng R.
Mặt cầu phương trình \({\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 4\) có bán kính bằng 2.
Cho hai biến cố $A$ và $B$ độc lập. Biết rằng $P(A) = 0,4,P(B) = 0,3$. Khi đó $P\left( {A \mid B} \right)$ bằng
-
A.
0,4.
-
B.
0,12.
-
C.
0,7.
-
D.
0,3.
Đáp án : A
$P\left( {A \mid B} \right) = \dfrac{P\left( {AB} \right)}{P(B)}$ và công thức nhân xác suất với 2 biến cố độc lập.
Do biến cố $A$ và $B$ độc lập nên:
$P\left( {A \mid B} \right) = \dfrac{P\left( {AB} \right)}{P(B)} = \dfrac{P(A).P(B)}{P(B)} = P(A) = 0,4$.
Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục là kilômét), đài kiểm soát không lưu của một sân bay ở vị trí O(0; 0; 0) và được thiết kế phát hiện máy bay ở khoảng cách tối đa 600 km. Một máy bay đang chuyển động với vận tốc 900 km/h theo đường thẳng d có phương trình $\left\{ \begin{array}{l} {x = - 1000 + 100t} \\ {y = - 300 + 80t} \\ {z = 100\sqrt{11}} \end{array} \right.\left( {t \in {\mathbb{R}}} \right)$ và hướng về đài kiểm soát không lưu (như hình vẽ). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Phương trình mặt cầu để mô tả ranh giới bên ngoài vùng phát sóng của đài kiểm soát không lưu trong không gian là $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 360000$.
b) Máy bay đang chuyển động theo đường thẳng d đến vị trí điểm $M\left( {- 500\,;\, 100\,;\, 100\sqrt{11}} \right)$. Vị trí này nằm ngoài vùng kiểm soát không lưu của đài kiểm soát không lưu sân bay.
c) Thời gian kể từ khi đài kiểm soát không lưu phát hiện may bay đến khi máy ra khỏi vùng kiểm soát không lưu là $\dfrac{4}{3}$ giờ.
d) Ranh giới vùng phát sóng bên ngoài của đài kiểm soát không lưu trong không gian là mặt cầu có bán kính bằng 300 km.
a) Phương trình mặt cầu để mô tả ranh giới bên ngoài vùng phát sóng của đài kiểm soát không lưu trong không gian là $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 360000$.
b) Máy bay đang chuyển động theo đường thẳng d đến vị trí điểm $M\left( {- 500\,;\, 100\,;\, 100\sqrt{11}} \right)$. Vị trí này nằm ngoài vùng kiểm soát không lưu của đài kiểm soát không lưu sân bay.
c) Thời gian kể từ khi đài kiểm soát không lưu phát hiện may bay đến khi máy ra khỏi vùng kiểm soát không lưu là $\dfrac{4}{3}$ giờ.
d) Ranh giới vùng phát sóng bên ngoài của đài kiểm soát không lưu trong không gian là mặt cầu có bán kính bằng 300 km.
Áp dụng kiến thức về phương trình mặt cầu và phương trình mặt phẳng trong không gian tọa độ.
a) Đúng. Phương trình mặt cầu tâm O(0; 0; 0), bán kính 600 km là:
\({(x - 0)^2} + {(y - 0)^2} + {(z - 0)^2} = {600^2}\)
\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} = 36000\).
b) Đúng. \(OM = \sqrt {{{( - 500)}^2} + {{100}^2} + {{(100\sqrt {11} )}^2}} \approx 608\) km > 600 km.
Do đó vị trí này nằm ngoài vùng kiểm soát không lưu.
c) Sai. Đài kiểm soát không lưu phát hiện may bay đến khi máy ra khỏi vùng kiểm soát không lưu là lúc đường bay d nằm trong mặt cầu.
Giả sử đường thẳng d cắt mặt cầu tại hai điểm B, C. Xét:
\({( - 1000 + 100t)^2} + {( - 300 + 80t)^2} + {(100\sqrt {11} )^2} = 36000\)
\( \Leftrightarrow 164{t^2} - 2480t + 8400 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 10\\t = \frac{{210}}{{41}}\end{array} \right.\)
Với t = 10, ta có \(B\left( {0;500;100\sqrt {11} } \right)\).
Với \(t = \frac{{210}}{{41}}\), ta có \(C\left( { - \frac{{20000}}{{41}};\frac{{4500}}{{41}};100\sqrt {11} } \right)\).
\(BC = \sqrt {{{\left( { - \frac{{20000}}{{41}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{4500}}{{41}} - 500} \right)}^2}} \approx 625\) (km).
Thời gian máy bay bay hết quãng đường BC xấp xỉ \(\frac{{625}}{{900}} \approx 0,69\) giờ.
d) Sai. Ranh giới vùng phát sóng bên ngoài của đài kiểm soát không lưu trong không gian là mặt cầu có bán kính bằng 600 km vì đài kiểm soát không lưu được thiết kế phát hiện máy bay ở khoảng cách tối đa 600 km.
Trong một cuộc khảo sát 1000 học sinh thì có 200 học sinh tham gia câu lạc bộ thể thao, trong số học sinh đó có 85% học sinh biết chơi bóng đá. Ngoài ra, có 10% số học sinh không tham gia câu lạc bộ thể thao cũng biết chơi bóng đá. Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh của nhóm khảo sát.
a) Xác suất chọn được học sinh tham gia câu lạc bộ thể thao là 0,2.
b) Xác suất chọn được học sinh vừa tham gia câu lạc bộ thể thao vừa biết chơi bóng đá là 0,25.
c) Xác suất chọn được học sinh không biết chơi bóng đá là 0,75.
d) Giả sử học sinh đó biết chơi bóng đá. Xác suất chọn được học sinh thuộc câu lạc bộ thể thao là 0,68.
a) Xác suất chọn được học sinh tham gia câu lạc bộ thể thao là 0,2.
b) Xác suất chọn được học sinh vừa tham gia câu lạc bộ thể thao vừa biết chơi bóng đá là 0,25.
c) Xác suất chọn được học sinh không biết chơi bóng đá là 0,75.
d) Giả sử học sinh đó biết chơi bóng đá. Xác suất chọn được học sinh thuộc câu lạc bộ thể thao là 0,68.
Áp dụng định nghĩa xác suất toàn phần, công thức nhân xác suất, xác suất toàn phần, công thức Bayes.
Xét các biến cố: \(A\): "Chọn được học sinh thuộc câu lạc bộ thể thao";
\(B\): "Chọn được học sinh biết chơi bóng đá”.
a) Đúng. Khi đó, \({\rm{P}}\left( A \right) = \frac{{200}}{{1000}} = 0,2\).
b) Sai. Khi đó, \({\rm{P}}\left( {B\mid A} \right) = 0,85;{\rm{P}}\left( {B\mid \overline {A\,} } \right) = 0,1\).
Theo công thức nhân xác suất:
\({\rm{P}}\left( {AB} \right) = {\rm{P}}\left( {BA} \right) = {\rm{P}}\left( A \right).{\rm{P}}\left( {B\mid A} \right) \)
\(= 0,2.0,85 = 0,17\).
c) Đúng. Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:
\({\rm{P}}\left( B \right) = {\rm{P}}\left( A \right) \cdot {\rm{P}}\left( {B\mid A} \right) + {\rm{P}}\left( {\overline {A\,} } \right) \cdot {\rm{P}}\left( {B\mid \overline {A\,} } \right) \)
\(= 0,2 \cdot 0,85 + 0,8 \cdot 0,1 = 0,25\).
\({\rm{P}}\left( {\overline B } \right) = 1 - P\left( B \right) = 1 - 0,25 = 0,75\).
d) Đúng. Theo công thức Bayes, xác suất chọn được học sinh thuộc câu lạc bộ thể thao, biết học sinh đó chơi được bóng đá là:
\({\rm{P}}\left( {A\mid B} \right) = \frac{{{\rm{P}}\left( A \right) \cdot {\rm{P}}\left( {B\mid A} \right)}}{{{\rm{P}}\left( B \right)}} = \frac{{0,2 \cdot 0,85}}{{0,25}} = 0,68\).
Một bác thợ gốm làm một cái chậu trồng cây, phần trong chậu cây có dạng khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng được tô đậm như hình sau quanh trục Ox (đơn vị trên trục là decimet), biết đường cong trong hình là đồ thị hàm số \(y = \sqrt {x + 1} \), đáy chậu và miệng chậu có đường kính lần lượt là 2 dm và 4 dm. Dung tích của chậu là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
Từ bán kính đáy chậu và miệng chậu suy ra cận.
Áp dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay.
Với bán kính đáy chậu là 1 dm thì \(y = 1 \Rightarrow \sqrt {x + 1} = 1 \Leftrightarrow x = 0\).
Với bán kính đáy chậu là 2 dm thì \(y = 2 \Rightarrow \sqrt {x + 1} = 2 \Leftrightarrow x = 3\).
Thể tích khối chậu là:
\(V = \pi \int\limits_0^3 {{{\left( {\sqrt {x + 1} } \right)}^2}dx} = \frac{{15\pi }}{2} \approx 23,6\) \(\left( {d{m^3}} \right)\).
Một sân bóng đá tiêu chuẩn có dạng hình chữ nhật với kích thước đường biên ngang là 68 m; có khung thành rộng 7,32 m và cao 2,44 m nằm ở chính giữa đường biên ngang. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho gốc tọa độ O là điểm đá phạt góc, trục Ox nằm trên đường biên ngang, trục Oy nằm trên đường biên dọc, trục Oz vuông góc với sân bóng, đơn vị trên mỗi trục là mét (tham khảo hình vẽ). Một quả bóng được đá từ vị trí P(6; 22; 0) với vận tốc 28 m/s theo hướng của vectơ $\overrightarrow{v} = (15; -11;1)$ về phía khung thành. Giả sử quả bóng là một điểm, quỹ đạo bay của quả bóng là một đường thẳng và khung thành là một phần của mặt phẳng (Ozx). Thời gian bóng từ vị trí điểm P đến khung thành là bao nhiêu giây? (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Tìm phương trình đường thẳng d là đường bay của bóng. Tìm giao điểm Q của d và (Oxz). Tính PQ và từ đó tìm thời gian bóng bay từ P đến Q (lấy quãng đường chia vận tốc).
Phương trình quỹ đạo bay của bóng là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 6 + 15t\\y = 22 - 11t\\z = t\end{array} \right.\) \((t \in \mathbb{R})\).
Phương trình mặt phẳng (Oxz) là: y = 0.
Bóng chạm khung thành tại \(y = 22 - 11t = 0 \Leftrightarrow t = 2\).
Điểm bóng chạm khung thành là Q(36; 0; 2).
\(PQ = \sqrt {{{(36 - 6)}^2} + {{(0 - 22)}^2} + {{(2 - 0)}^2}} = 2\sqrt {347} \) (m).
Thời gian bóng từ điểm P đến khung thành là \(\frac{{2\sqrt {347} }}{{28}} \approx 1,33\) (giây).
Một máy phát tín hiệu P được đặt cố định ở một địa điểm và ta có thể nhận được tín hiệu của máy phát này trong phạm vi của một mặt cầu với bán kính R của nó. Một người cầm máy dò tín hiệu A chuyển động trên đường thẳng d (như hình).
Nếu chọn điểm đặt máy phát tín hiệu P là gốc tọa độ O của hệ trục tọa độ Oxyz thì máy dò A di chuyển theo đường thẳng có phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = 5 - t\\y = 5 - t\\z = 7 - 2t\end{array} \right.\) (trong đó t(h) là thời gian chuyển động). Mặt cầu giới hạn phạm vi nhận tín hiệu của máy dò A tại thời điểm nó gần máy phát tín hiệu P nhất có tâm I(a;b;c). Tính P = a + b + c.
Xác định tọa độ của I theo t.
Mặt cầu giới hạn phạm vi nhận tín hiệu của máy dò A tại thời điểm nó gần máy phát tín hiệu P nhất có tâm I(a;b;c) sao cho \(IP \bot d \Leftrightarrow \overrightarrow {IP} .\overrightarrow {{u_d}} = 0\).
Tìm tọa độ các vecto trên, từ đó tìm ra tham số t và kết luận.
Mặt cầu giới hạn phạm vi nhận tín hiệu của máy dò A tại thời điểm nó gần máy phát tín hiệu P nhất có tâm I(a; b; c) sao cho \(IP \bot d \Leftrightarrow \overrightarrow {IP} .\overrightarrow {{u_d}} = 0\).
Vì I thuộc d nên \(I(5 - t;5 - t;7 - 2t)\)
\(\Rightarrow \overrightarrow {PI} = (5 - t;5 - t;7 - 2t)\).
Mặt khác \(\overrightarrow {{u_d}} = ( - 1; - 1; - 2)\).
Do đó \(\overrightarrow {IP} .\overrightarrow {{u_d}} = 0 \)
\(\Leftrightarrow - 1(5 - t) - 1(5 - t) - 2(7 - 2t) = 0\)
\( \Leftrightarrow 6t - 24 = 0 \Leftrightarrow t = 4\).
Vậy \(I(1;1; - 1)\).
Vậy P = a + b + c = 1 + 1 – 1 = 1.
Để điều khiển được 1 tàu thủy, thuyền trường A cần đảm bảo rằng hệ thống điều khiển bánh lái và bánh lái không bị hỏng. Biết rằng xác suất để hệ thống điều khiến bánh lái hoạt động bình thường là 0,8 và bánh lái không bị hỏng là 0,75. Thông qua thực tế thì người ta nhận thấy xác suất ca hai bộ phận này cũng hỏng là 0,03. Hỏi xác suất để chỉ có một bộ phận hỏng trong hai bộ phận kiểm tra là bao nhiêu?
Áp dụng công thức tính xác suất toàn phần.
Gọi các biến cố:
A: “Hệ thống điều khiển bánh lái hoạt động bình thường”;
B: “Bánh lái không bị hỏng (hoạt động bình thường”;
Suy ra \(\overline A \): “Hệ thống điều khiển bánh lái hỏng”;
\(\overline B \): “Bánh lái hỏng”.
Theo giả thiết, ta có P(A) = 0,8; P(B) = 0,75; \(P\left( {\overline A \overline B } \right) = 0,03\).
Suy ra \(P\left( {\overline A } \right) = 1 - P\left( A \right) = 1 - 0,8 = 0,2\);
\(P\left( {\overline B } \right) = 1 - P\left( B \right) = 1 - 0,75 = 0,25\).
Ta có \(P\left( {\overline A } \right) = P\left( {\overline A B} \right) + P\left( {\overline A \overline B } \right)\)
\(\Leftrightarrow 0,2 = P\left( {\overline A B} \right) + 0,03 \Leftrightarrow P\left( {\overline A B} \right) = 0,17\).
Mặt khác \(P\left( {\overline B } \right) = P\left( {A\overline B } \right) + P\left( {\overline A \overline B } \right) \)
\(\Leftrightarrow 0,25 = P\left( {A\overline B } \right) + 0,03 \Leftrightarrow P\left( {\overline A B} \right) = 0,22\).
Xác suất để chỉ có một bộ phận hỏng là:
\(P\left( {\overline A B} \right) + P\left( {\overline A B} \right) = 0,17 + 0,22 = 0,39\).
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của a thuộc \(\left[ {\pi ;10\pi } \right]\) sao cho \(\int\limits_0^a {\cos xdx} = \frac{1}{2}\). Số phần tử của S là bao nhiêu?
Áp dụng quy tắc tính tích phân của hàm số lượng giác và công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản. Tìm số giá trị của a thuộc \(\left[ {\pi ;10\pi } \right]\).
\(\int\limits_0^a {\cos xdx} {\rm{\;}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin x\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^a}\\{_0}\end{array}} \right. = \frac{1}{2}\)
\( \Leftrightarrow \sin a - \sin 0 = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin a = \frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow \sin a = \sin \frac{\pi }{6} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\a = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\) \((k \in \mathbb{Z})\).
Vì \(a \in \left[ {\pi ;10\pi } \right]\) nên ta có:
TH1: \(\pi \le \frac{\pi }{6} + k2\pi \le 10\pi \Leftrightarrow \frac{5}{{12}} \le k \le \frac{{59}}{{12}} \Rightarrow \) Các giá trị k nguyên thỏa mãn là \(k \in \{ 1;2;3;4\} \), do đó có 4 giá trị a thỏa mãn.
TH2: \(\pi \le \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \le 10\pi \Leftrightarrow \frac{1}{{12}} \le k \le \frac{{55}}{{12}} \Rightarrow \) Các giá trị k nguyên thỏa mãn là \(k \in \{ 1;2;3;4\} \), do đó có 4 giá trị a thỏa mãn.
Vậy S có 8 phần tử.
a) Phương trình tham số của đường thẳng \(a\) đi qua điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec a = \left( {{a_1};{a_2};{a_3}} \right)\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + {a_1}t\\y = {y_0} + {a_2}t\\z = {z_0} + {a_3}t\end{array} \right.\).
b) Đường thẳng \(a\) đi qua hai điểm \(A\) và \(B\) nên sẽ nhận \(\overrightarrow {AB} \) là một vectơ chỉ phương. Từ đó viết phương trình đường thẳng \(a\) đi qua điểm \(A\) và có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} \).
a) Phương trình tham số của đường thẳng \(a\) đi qua điểm \(M\left( {0; - 2; - 3} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec a = \left( {1; - 5;0} \right)\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 + 1t\\y = - 2 - 5t\\z = - 3 + 0t\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = - 2 - 5t\\z = - 3\end{array} \right.\).
b) Đường thẳng \(a\) đi qua hai điểm \(A\left( {0;0;2} \right)\) và \(B\left( {3; - 2;5} \right)\) nên nó nhận \(\overrightarrow {AB} = \left( {3; - 2;3} \right)\) là một vectơ chỉ phương.
Suy ra phương trình tham số của đường thẳng \(a\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 + 3t\\y = 0 - 2t\\z = 2 + 3t\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3t\\y = - 2t\\z = 2 + 3t\end{array} \right.\)
Sử dụng kiến thức về phương trình mặt cầu để tìm tọa độ tâm, bán kính của mặt cầu: Phương trình mặt cầu tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\), bán kính R có là: \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\).
Ta có: \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x - 2y - 10z + 2 = 0\)
\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2.x.2 - 2.y.1 - 2.z.5 + 2 = 0\)
\( \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 5} \right)^2} = 28\).
Do đó, phương trình đã cho là phương trình mặt cầu có tâm I(2; 1; 5) và bán kính \(R = \sqrt {28} = 2\sqrt 7 \).
Đề thi học kì 2 Toán 12 - Đề số 9
Đề thi học kì 2 Toán 12 - Đề số 8
Đề thi học kì 2 Toán 12 - Đề số 7
Đề thi học kì 2 Toán 12 - Đề số 6
Phần I: Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Phần I: Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Phần I: Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Phần I: Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Phần I: Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Danh sách bình luận