Đề thi giữa kì 2 Toán 12 Kết nối tri thức - Đề số 1

a) Đúng. Hình phẳng được tô màu trong hình trên được giới hạn các đồ thị \(y = {x^2}\); \(y = \sqrt x \).

b) Đúng. Quan sát khoảng (0;1), thấy đồ thị \(y = \sqrt x \) nằm phía trên đồ thị \(y = {x^2}\).

Do đó, trong khoảng (0;1) ta có \(\sqrt x  > {x^2}\).

Diện tích hình phẳng tô màu trong hình vẽ là:

\(S = \int\limits_0^1 {\left| {{x^2} - \sqrt x } \right|dx}  = \int\limits_0^1 {\left( {\sqrt x  - {x^2}} \right)dx}  = \left( {\frac{2}{3}.{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^1}\\{_0}\end{array} = \frac{2}{3}{{.1}^{\frac{3}{2}}} - \frac{{{1^3}}}{3}} \right. = \frac{1}{3}\).

c) Sai. Thể tích của vật tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng trên quanh trục Ox là:

\({V_1} = \pi \int\limits_0^1 {\left| {{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} - {{\left( {{x^2}} \right)}^2}} \right|dx}  = \pi \int\limits_0^1 {\left[ {{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} - {{\left( {{x^2}} \right)}^2}} \right]dx}  = \pi \int\limits_0^1 {\left[ {x - {x^4}} \right]dx} \).

d) Đúng. Vật tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường thẳng \(x = \sqrt y \) và \(x = {y^2}\) quanh trục Oy.

Quan sát đồ thị, ta thấy trong khoảng giá trị (0;1) của y, giá trị x của hàm số \(x = \sqrt y \) lớn hơn giá trị x của hàm số \(x = {y^2}\). Do đó \(\sqrt y  > {y^2}\).

Thể tích của vật đó là: \(V = \pi \int\limits_0^1 {\left| {{{\left( {\sqrt y } \right)}^2} - {{\left( {{y^2}} \right)}^2}} \right|dx}  = \pi \int\limits_0^1 {\left[ {{{\left( {\sqrt y } \right)}^2} - {{\left( {{y^2}} \right)}^2}} \right]dx}  = \pi \int\limits_0^1 {\left[ {y - {y^4}} \right]dx}  = \frac{{3\pi }}{{10}}\).