Cho phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x - 2y - 10z + 2 = 0\). Chứng minh rằng phương trình trên là phương trình của một mặt cầu. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.
Sử dụng kiến thức về phương trình mặt cầu để tìm tọa độ tâm, bán kính của mặt cầu: Phương trình mặt cầu tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\), bán kính R có là: \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\).
Ta có: \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x - 2y - 10z + 2 = 0\)
\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2.x.2 - 2.y.1 - 2.z.5 + 2 = 0\)
\( \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 5} \right)^2} = 28\).
Do đó, phương trình đã cho là phương trình mặt cầu có tâm I(2; 1; 5) và bán kính \(R = \sqrt {28} = 2\sqrt 7 \).
Các bài tập cùng chuyên đề
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình:
\({x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 5y + 6z + \frac{{25}}{4} = 0\).
Xác định tâm, tính bán kính của (S).
Trong không gian Oxyz, cho (S) là tập hợp các điểm \(M\left( {x;{\rm{ }}y;{\rm{ }}z} \right)\) có tọa độ thỏa mãn phương trình: \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 6y - 12 = 0\). Chứng minh rằng (S) là một mặt cầu. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.
Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu (S) trong các trường hợp sau:
a) Tâm là gốc tọa độ, bán kính \(R = 1\).
b) Đường kính AB, với \(A\left( {1; - 1;2} \right),B\left( {2; - 3; - 1} \right)\).
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình \({\left( {x + 2} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{9}{4}\).
a) Xác định tâm và bán kính của (S).
b) Hỏi điểm \(M\left( {2;0;1} \right)\) nằm trong, nằm ngoài hay thuộc mặt cầu (S)?
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình \({\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {z^2} = 9\).
Xác định tâm và bán kính của (S).
Trong không gian Oxyz, viết phương trình của mặt cầu (S) có tâm \(I\left( { - 2;0;5} \right)\) và bán kính \(R = 2\).
Trong không gian Oxyz, viết phương trình của mặt cầu (S) có tâm \(I\left( {0;3; - 1} \right)\) và có bán kính bằng khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng \(\left( P \right):3x + 2y - z = 0\).
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 2y + 8z - 18 = 0\).
Xác định tâm, tính bán kính của (S).
Trong không gian Oxyz, phương trình nào trong các phương trình sau là phương trình mặt cầu? Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu đó.
a) \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 5z + 30 = 0\);
b) \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2y - 2z = 0\);
c) \({x^3} + {y^3} + {z^3} - 2x + 6y - 9z - 10 = 0\);
d) \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 5 = 0\).
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): \({\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 4\). Tọa độ tâm I và bán kính R của (S) lần lượt là
A. \(I\left( {1;0;3} \right),R = 4\).
B. \(I\left( {1;0;3} \right),R = 2\).
C. \(I\left( { - 1;0;3} \right),R = 2\).
D. \(I\left( { - 1;0;3} \right),R = 4\).
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y + 2z - 3 = 0\). Tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S) lần lượt là
A. \(I\left( {1; - 2; - 1} \right),R = 3\).
B. \(I\left( {1;2;1} \right),R = 9\).
C. \(I\left( {1;2;1} \right),R = 3\).
D. \(I\left( {1; - 2; - 1} \right),R = 9\).
Nếu đứng trước biển và nhìn ra xa, người ta sẽ thấy một đường giao giữa mặt biển và bầu trời, đó là đường chân trời đối với người quan sát (H.5.45a). Về mặt Vật lí, đường chân trời là đường giới hạn phần Trái Đất mà người quan sát có thể nhìn thấy được (phần còn lại bị chính Trái Đất che khuất). Ta có thể hình dung rằng, nếu người quan sát ở tại đỉnh một chiếc nón và Trái Đất được “thả” vào trong chiếc nón đó, thì đường chân trời trong trường hợp này là đường chạm giữa Trái Đất và chiếc nón (H.5.45b). Trong mô hình toán học, đường chân trời đối với người quan sát tại vị trí B là tập hợp những điểm A nằm trên bề mặt Trái Đất sao cho \(\widehat {BAO} = {90^o}\), với O là tâm Trái Đất (H.5.45c). Trong không gian Oxyz, giả sử bề mặt Trái Đất (S) có phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 1\) và người quan sát ở vị trí \(B\left( {1;1; - 1} \right)\).
Gọi A là một vị trí bất kì trên đường chân trời đối với người quan sát ở vị trí B. Tính khoảng cách AB.
Hình 38 mô tả một mặt cầu trong không gian.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình của mặt cầu được lập như thế nào?
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I(1; 2; 3) và mặt cầu tâm I đi qua điểm A(0; 4; 5). Tính bán kính R của mặt cầu đó.
Tìm tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình: \({x^2} + {\left( {y + 5} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 2\).
Viết phương trình của mặt cầu, biết:
a) Tâm O bán kính R với O là gốc tọa độ;
b) Đường kính AB với A(1; 2; 1), B(3; 4; 7).
Chứng minh rằng phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 6x - 2y - 4z - 11 = 0\) là phương trình của một mặt cầu. Tìm tâm I và bán kính R của mặt cầu đó.
Tâm của mặt cầu (S): \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 4} \right)^2} = 16\) có tọa độ là:
A. \(\left( { - 2; - 3;4} \right)\).
B. \(\left( {2;3; - 4} \right)\).
C. \(\left( {2; - 3; - 4} \right)\).
D. \(\left( {2; - 3;4} \right)\).
Bán kính của mặt cầu (S): \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 9\) có tọa độ là
A. 3.
B. 9.
C. 81.
D. \(\sqrt 3 \).
Mặt cầu (S) tâm I(-5; -2; 3) bán kính 4 có phương trình là:
A. \({\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 4\).
B. \({\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 16\).
C. \({\left( {x + 5} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 4\).
D. \({\left( {x + 5} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 16\).
Cho mặt cầu có phương trình \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 7} \right)^2} = 100\).
a) Xác định tâm và bán kính của mặt cầu.
b) Mỗi điểm A(1; 1; 1), B(9; 4; 7), C(9; 9; 10) nằm trong, nằm ngoài hay nằm trên mặt cầu đó?
Lập phương trình mặt cầu (S) trong mỗi trường hợp sau:
a) (S) có tâm I(3; -7; 1) và bán kính \(R = 2\);
b) (S) có tâm I(-1; 4; -5) và đi qua điểm M(3; 1; 2);
c) (S) có đường kính là đoạn thẳng CD với C(1; -3; -1) và D(-3; 1; 2).
a) Mặt cầu (S): có bán kính là:
A. 10.
B. 11.
C. 12.
D. 13.
b) Tọa độ tâm của mặt cầu (S): \({\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y + 6} \right)^2} + {\left( {z - 7} \right)^2} = 8\) là:
A. (-5; 6; 7).
B. (5; 6; -7).
C. (5; -6; 7).
D. (-5; 6; 7).
Viết phương trình của mặt cầu (S) trong mỗi trường hợp sau:
a) (S) có tâm I(4; -2; 1) và bán kính \(R = 9\);
b) (S) có tâm I(3; 2; 0) và đi qua điểm M(2; 4; -1);
c) (S) có đường kính là đoạn thẳng AB với A(1; 2; 0) và B(-1; 0; 4).
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(S\left( {I;R} \right)\) có tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\) và bán kính \(R\). Xét một điểm \(M\left( {x;y;z} \right)\) thay đổi.
a) Tính khoảng cách \(IM\) theo \(x\), \(y\), \(z\) và \(a\), \(b\), \(c\).
b) Nêu điều kiện cần và đủ của \(x\), \(y\), \(z\) để điểm \(M\left( {x;y;z} \right)\) nằm trên mặt cầu \(S\left( {I;R} \right)\).
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(S\left( {I;R} \right)\) có tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\) và bán kính \(R\). Xét một điểm \(M\left( {x;y;z} \right)\) thay đổi.
a) Tính khoảng cách \(IM\) theo \(x\), \(y\), \(z\) và \(a\), \(b\), \(c\).
b) Nêu điều kiện cần và đủ của \(x\), \(y\), \(z\) để điểm \(M\left( {x;y;z} \right)\) nằm trên mặt cầu \(S\left( {I;R} \right)\).
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(S\left( {I;R} \right)\) có tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\) và bán kính \(R\). Xét một điểm \(M\left( {x;y;z} \right)\) thay đổi.
a) Tính khoảng cách \(IM\) theo \(x\), \(y\), \(z\) và \(a\), \(b\), \(c\).
b) Nêu điều kiện cần và đủ của \(x\), \(y\), \(z\) để điểm \(M\left( {x;y;z} \right)\) nằm trên mặt cầu \(S\left( {I;R} \right)\).
Viết phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\):
a) Có tâm \(I\left( {3; - 2; - 4} \right)\), bán kính \(R = 10\).
b) Có đường kính \(EF\) với \(E\left( {3; - 1;8} \right)\) và \(F\left( {7; - 3;0} \right)\).
c) Có tâm \(M\left( { - 2;1;3} \right)\) và đi qua điểm \(N\left( {2; - 3; - 4} \right)\).
a) Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(M\left( {x;y;z} \right)\) thay đổi có toạ độ luôn thoả mãn phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z - 11 = 0\). (*)
i) Biến đổi (*) về dạng \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 25\).
ii) Chứng tỏ \(M\left( {x;y;z} \right)\) luôn thuộc một mặt cầu \(\left( S \right)\). Tìm tâm và bán kính của \(\left( S \right)\)
b) Bằng cách biến đổi phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z + 15 = 0\) (**) về dạng \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = - 1\), hãy cho biết phương trình (**) có thể là phương trình mặt cầu hay không.
Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình mặt cầu? Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.
a) \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 4z - 32 = 0\)
b) \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x + 2y - 2z + 4 = 0\)
