Đề thi học kì 2 Toán 12 - Đề số 8
Tổng hợp đề thi giữa kì 2 lớp 12 tất cả các môn - Kết nối tri thức
Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh
Đề thi học kì 2 Toán 12 - Đề số 8
Đề bài
Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = 2^{x} - x$ là
-
A.
$\dfrac{2^{x + 1}}{x + 1} - \dfrac{x^{2}}{2} + C$.
-
B.
$\dfrac{2^{x}}{\ln 2} - \dfrac{x^{2}}{2} + C$.
-
C.
$x \cdot 2^{x - 1} - \dfrac{x^{2}}{2} + C$.
-
D.
$\dfrac{2^{x}}{x} - \dfrac{x^{2}}{2} + C$.
Cho F(x) là nguyên hàm của hàm số \(f(x) = 5{x^4} + \frac{1}{{{x^3}}}\) thỏa mãn F(1) = 0. Tìm F(x).
-
A.
\(F(x) = {x^5} - \frac{3}{{2{x^2}}} + \frac{1}{2}\)
-
B.
\(F(x) = {x^5} - \frac{3}{{{x^2}}} + 2\)
-
C.
\(F(x) = {x^5} - \frac{1}{{2{x^2}}} - \frac{1}{2}\)
-
D.
\(F(x) = {x^5} + \frac{1}{{2{x^2}}} - \frac{3}{2}\)
Nếu ${\int\limits_{0}^{10}{f(t)dt}} = 17$ và ${\int\limits_{0}^{8}{f(y)dy}} = 12$ thì $\int\limits_{8}^{10}{\left( {- 3} \right)f(x)dx}$ bằng
-
A.
$15$.
-
B.
$29$.
-
C.
$- 15$.
-
D.
$5$.
-
A.
$S = {\int\limits_{- 1}^{2}{\left( {2x^{2} - 2x - 4} \right)dx}}$.
-
B.
$S = {\int\limits_{- 1}^{2}{\left( {- 2x^{2} + 2x + 4} \right)dx}}$.
-
C.
$S = {\int\limits_{- 1}^{2}{\left( {- 2x + 2} \right)dx}}$.
-
D.
$S = \pi{\int\limits_{- 1}^{2}{(2x^{2}}} + 2x - 4)dx$.
Trong không gian Oxy, cho mặt phẳng $(\alpha):x - 3y + 12 = 0$. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của $(\alpha)$?
-
A.
$\overset{\rightarrow}{n_{3}} = \left( {1;\,\, - 3;\,\, 0} \right)$.
-
B.
$\overset{\rightarrow}{n_{2}} = \left( {0;\,\, 1;\,\, - 3} \right)$.
-
C.
$\overset{\rightarrow}{n_{1}} = \left( {1;\, - \, 3;\,\, 12} \right)$.
-
D.
$\overset{\rightarrow}{n_{4}} = \left( {1;\,\, 0;\,\, - 3} \right)$.
Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M\left( {0; - 1;2} \right)$. Biết mặt phẳng $(P)$ đi qua hai điểm $O$, $M$ và vuông góc với mặt phẳng $x + y + 3z - 5 = 0$. Phương trình mặt phẳng $(P)$ là
-
A.
$5x + 2y + z = 0$.
-
B.
$- 5x + 2y + z = 0$.
-
C.
$- 5x - 2y + z = 0$.
-
D.
$- 5x + 2y + z + 1 = 0$.
Trong không gian Oxyz, điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l} {x = 3 + 2t} \\ {y = 1 - 3t} \\ {z = - 1 + t} \end{array} \right.$?
-
A.
$M_{1}\left( {3;1; - 1} \right).$
-
B.
$M_{2}\left( {2; - 3;1} \right).$
-
C.
$M_{3}\left( {1;3; - 1} \right).$
-
D.
$M_{4}\left( {- 3; - 1;1} \right).$
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( {- 1;\, 1;\, 2} \right)$, $B\left( {2;\, - 1;\, 3} \right)$. Phương trình chính tắc của đường thẳng $AB$ là
-
A.
$\dfrac{x - 2}{3} = \dfrac{y + 1}{- 2} = \dfrac{z - 3}{1}$.
-
B.
$\dfrac{x - 3}{- 1} = \dfrac{y + 2}{1} = \dfrac{z - 1}{2}$.
-
C.
$\dfrac{x + 1}{2} = \dfrac{y - 1}{- 1} = \dfrac{z - 2}{3}$.
-
D.
$\dfrac{x - 1}{3} = \dfrac{y + 1}{- 2} = \dfrac{z + 2}{1}$.
Trong không gian $Oxyz$, đường thẳng nào sau đây vuông góc với đường thẳng $\Delta:\left\{ \begin{array}{l} {x = 2 + t} \\ {y = 1 + t} \\ {z = 2t} \end{array} \right.$ ?
-
A.
$d:\dfrac{x - 2}{1} = \dfrac{y - 4}{2} = \dfrac{z + 4}{- 3}$.
-
B.
$d:\dfrac{x - 1}{1} = \dfrac{y - 2}{2} = \dfrac{z + 1}{3}$.
-
C.
$d:\dfrac{x - 1}{1} = \dfrac{y - 2}{1} = \dfrac{z + 1}{- 1}$.
-
D.
$d:\dfrac{x - 1}{2} = \dfrac{y - 2}{3} = \dfrac{z + 1}{1}$.
Trong không gian $Oxyz$, khoảng cách từ điểm $A(1;3; - 2)$ đến mặt phẳng $(Oxy)$ bằng
-
A.
2
-
B.
$\sqrt{14}$
-
C.
3
-
D.
1
Trong không gian Oxyz, cho điểm $A\left( {- 1;2; - 3} \right)$, $B\left( {3; - 4;1} \right)$. Khi đó mặt cầu (S) nhận AB làm đường kính, có tọa độ tâm I là?
-
A.
$(4; - 6;4)$.
-
B.
$\left( {1; - 1; - 1} \right)$.
-
C.
$\left( {2; - 2; - 2} \right)$.
-
D.
$\left( {2; - 3;2} \right)$.
Xét các biến cố A, B với $P(B) = \dfrac{8}{25}$ và $P(AB) = \dfrac{2}{25}$. Giá trị của $\left. P(A \middle| B) \right.$ là
-
A.
$\dfrac{1}{4}$.
-
B.
$\dfrac{2}{17}$.
-
C.
$\dfrac{17}{25}$.
-
D.
$\dfrac{16}{625}$.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, đơn vị mỗi trục tính bằng km. Một tên lửa phóng từ mặt đất từ vị trí gốc tọa độ O theo hướng, vận tốc không đổi (đặt mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất). Tên lửa đi từ điểm O(0; 0; 0) đến điểm A(140; 60; 6) trong 8 phút.
a) Trong 8 phút tên lửa bay được quãng đường (làm tròn đến hàng đơn vị) xấp xỉ bằng 152 km.
b) Ở phút thứ 4 độ cao của tên lửa là 3 km.
c) Tọa độ của tên lửa sau 12 phút kể từ lúc phóng là (210; 90; 12).
d) Sau 10 phút tiếp theo kể từ vị trí A tên lửa đạt độ cao là 13,5 km.
Một trung tâm ngoại ngữ tổ chức một kỳ thi đánh giá năng lực cho các học viên. Trung tâm thống kê được rằng:
(1) 55% thí sinh là nữ;
(2) trong số các thí sinh nữ có 80% thí sinh vượt qua bài kiểm tra;
(3) trong số các thí sinh nam có 25% thí sinh không vượt qua bài kiểm tra.
Chọn ngẫu nhiên một thí sinh.
a) Xác suất để thí sinh được chọn là nam bằng 0,45.
b) Xác suất để thí sinh được chọn vượt qua bài kiểm tra, biết rằng thí sinh đó là nam, bằng 0,75.
c) Xác suất để thí sinh được chọn vượt qua bài kiểm tra bằng 77,25%.
d) Xác suất để thí sinh được chọn là nữ, biết rằng thí sinh đó không vượt qua bài kiểm tra, nhỏ hơn 0,45.
Một khối bê tông cao 2 m được đặt trên mặt đất phẳng. Nếu cắt khối bê tông này bằng mặt phẳng nằm ngang, cách mặt đất x (m; \(0 \le x \le 2\)) thì được mặt cắt là hình chữ nhật có chiều dài 5 m, chiều rộng \(0,{5^x}\) (m) (hình vẽ).
Thể tích của khối bê tông là bao nhiêu (làm tròn đến hàng phần trăm của mét khối)?
Trong giờ thể dục học về kỹ thuật chuyền bóng hơi, Bình và An tập chuyền bóng cho nhau. Ở một động tác Bình chuyền bóng cho An, quả bóng bay lên cao nhưng lại lệch sang bên trái của An và rơi xuống vị trí cách chỗ An đứng 0,5 m và cách chỗ Bình 4,5 m. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho gốc tọa độ O tại vị trí của Bình, vị trí của An nằm trên tia Ox và mặt phẳng (Oxy) là mặt đất (tham khảo hình vẽ).
Biết rằng quỹ đạo của quả bóng nằm trong mặt phẳng $(\alpha)$: x + by + cz + d = 0 và $(\alpha)$ vuông góc với mặt đất. Khi đó, giá trị của $- 3b^{2} - c^{2} + 2d^{2}$ bằng bao nhiêu?
Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục là kilômét), đài kiểm soát không lưu sân bay ở vị trí O(0; 0; 0) và được thiết kế phát hiện máy bay ở khoảng cách tối đa 500 km. Một máy bay đang ở vị trí A(-1000; -185; 30) và chuyển động với vận tốc không đổi theo quỹ đạo là đường thẳng d có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (100; 80; 0)$. Tính khoảng cách từ vị trí A đến khi đài kiểm soát không lưu phát hiện được máy bay (đơn vị km, làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Một hồi cứu về một bệnh nhân ung thư vú đã phẫu thuật cho kết quả với tỉ lệ sống trên 5 năm là 60% và tỉ lệ di căn là 30%. Biết rằng số bệnh nhân vừa sống trên 5 năm vừa di căn chỉ bằng một nửa số bệnh nhân vừa không di căn vừa sống không quá 5 năm. Một bệnh nhân bị ung thư vú và không di căn, tính xác suất để người này sống trên 5 năm. Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai.
Lời giải và đáp án
Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = 2^{x} - x$ là
-
A.
$\dfrac{2^{x + 1}}{x + 1} - \dfrac{x^{2}}{2} + C$.
-
B.
$\dfrac{2^{x}}{\ln 2} - \dfrac{x^{2}}{2} + C$.
-
C.
$x \cdot 2^{x - 1} - \dfrac{x^{2}}{2} + C$.
-
D.
$\dfrac{2^{x}}{x} - \dfrac{x^{2}}{2} + C$.
Đáp án : B
Áp dụng công thức nguyên hàm của hàm số mũ và hàm số lũy thừa:
${\int{a^{x}dx}} = \dfrac{a^{x}}{\ln a} + C$; ${\int{x^{\alpha}dx}} = \dfrac{x^{\alpha + 1}}{\alpha + 1} + C$.
${\int{f(x)dx}} = {\int{(2^{x} - x)dx}} = \dfrac{2^{x}}{\ln 2} - \dfrac{x^{2}}{2} + C$.
Cho F(x) là nguyên hàm của hàm số \(f(x) = 5{x^4} + \frac{1}{{{x^3}}}\) thỏa mãn F(1) = 0. Tìm F(x).
-
A.
\(F(x) = {x^5} - \frac{3}{{2{x^2}}} + \frac{1}{2}\)
-
B.
\(F(x) = {x^5} - \frac{3}{{{x^2}}} + 2\)
-
C.
\(F(x) = {x^5} - \frac{1}{{2{x^2}}} - \frac{1}{2}\)
-
D.
\(F(x) = {x^5} + \frac{1}{{2{x^2}}} - \frac{3}{2}\)
Đáp án : C
Áp dụng công thức nguyên hàm của hàm số lũy thừa \(\int {{x^\alpha }dx} = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C\).
Sử dụng điều kiện đề bài cho F(1) = 0 để tìm C.
\(F(x) = \int {f(x)dx} = \int {\left( {5{x^4} + \frac{1}{{{x^3}}}} \right)dx} = {x^5} + \frac{{{x^{ - 2}}}}{{ - 2}} + C = {x^5} - \frac{1}{{2{x^2}}} + C\).
\(F(1) = 0 \Leftrightarrow {1^5} - \frac{1}{{{{2.1}^2}}} + C = 0 \Leftrightarrow C = - \frac{1}{2}\).
Vậy \(F(x) = {x^5} - \frac{1}{{2{x^2}}} - \frac{1}{2}\).
Nếu ${\int\limits_{0}^{10}{f(t)dt}} = 17$ và ${\int\limits_{0}^{8}{f(y)dy}} = 12$ thì $\int\limits_{8}^{10}{\left( {- 3} \right)f(x)dx}$ bằng
-
A.
$15$.
-
B.
$29$.
-
C.
$- 15$.
-
D.
$5$.
Đáp án : C
Áp dụng tính chất của tích phân:
${\int\limits_{a}^{b}{f(x)dx}} = {\int\limits_{a}^{b}{f(t)dt}}$;
\(\int\limits_a^b {f(x)dx} + \int\limits_b^c {f(x)dx} = \int\limits_a^c {f(x)dx} \).
${\int\limits_{0}^{10}{f(x)dx}} = {\int\limits_{0}^{10}{f(t)dt}} = 17$;
${\int\limits_{0}^{8}{f(x)dx}} = {\int\limits_{0}^{8}{f(y)dy}} = 12$.
\(\int\limits_8^{10} {( - 3)f(x)dx} = - 3\int\limits_8^{10} {f(x)dx} = - 3\left( {\int\limits_0^{10} {f(x)dx} - \int\limits_0^8 {f(x)dx} } \right)\)
\( = - 3(17 - 12) = - 15\).
-
A.
$S = {\int\limits_{- 1}^{2}{\left( {2x^{2} - 2x - 4} \right)dx}}$.
-
B.
$S = {\int\limits_{- 1}^{2}{\left( {- 2x^{2} + 2x + 4} \right)dx}}$.
-
C.
$S = {\int\limits_{- 1}^{2}{\left( {- 2x + 2} \right)dx}}$.
-
D.
$S = \pi{\int\limits_{- 1}^{2}{(2x^{2}}} + 2x - 4)dx$.
Đáp án : B
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y = f(x), g(x) liên tục trên \(\left[ {a;b} \right]\) và hai đường thẳng x = a, x = b được tính bằng công thức \(S = \int\limits_a^b {\left| {f(x) - g(x)} \right|dx} \).
\(S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| { - {x^2} + 3 - {x^2} + 2x + 1} \right|dx}\)
\( = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| { - 2{x^2} + 2x + 4} \right|dx}\)
\( = \int\limits_{ - 1}^2 {\left( { - 2{x^2} + 2x + 4} \right)dx} \).
Trong không gian Oxy, cho mặt phẳng $(\alpha):x - 3y + 12 = 0$. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của $(\alpha)$?
-
A.
$\overset{\rightarrow}{n_{3}} = \left( {1;\,\, - 3;\,\, 0} \right)$.
-
B.
$\overset{\rightarrow}{n_{2}} = \left( {0;\,\, 1;\,\, - 3} \right)$.
-
C.
$\overset{\rightarrow}{n_{1}} = \left( {1;\, - \, 3;\,\, 12} \right)$.
-
D.
$\overset{\rightarrow}{n_{4}} = \left( {1;\,\, 0;\,\, - 3} \right)$.
Đáp án : A
Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0.
Một vecto pháp tuyến của (P) là \(\overrightarrow n = (A;B;C)\).
Khi đó, với số thực \(k \ne 0\), \(k\overrightarrow n = (kA;kB;kC)\) cũng là một vecto pháp tuyến của (P).
\(\overrightarrow {{n_3}} = \left( {1;\,\, - 3;\,\,0} \right)\) là một vecto pháp tuyến của \(\left( \alpha \right)\).
Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M\left( {0; - 1;2} \right)$. Biết mặt phẳng $(P)$ đi qua hai điểm $O$, $M$ và vuông góc với mặt phẳng $x + y + 3z - 5 = 0$. Phương trình mặt phẳng $(P)$ là
-
A.
$5x + 2y + z = 0$.
-
B.
$- 5x + 2y + z = 0$.
-
C.
$- 5x - 2y + z = 0$.
-
D.
$- 5x + 2y + z + 1 = 0$.
Đáp án : B
Cặp vecto chỉ phương của (P) là \(\overrightarrow {OM} \) và vecto pháp tuyến của mặt phẳng $x + y + 3z - 5 = 0$.
Tính tích có hướng của hai vecto trên để tìm vecto pháp tuyến của (P).
Cặp vecto chỉ phương của (P) là \(\overrightarrow {OM} = (0; - 1;2)\) và \(\overrightarrow n = (1;1;3)\).
Vecto pháp tuyến của (P) là \(\left[ {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow n } \right] = ( - 5;2;1)\).
Phương trình mặt phẳng (P) là:
\( - 5(x - 0) + 2(y - 0) + 1(z - 0) = 0\)
\(\Leftrightarrow - 5x + 2y + z = 0\).
Trong không gian Oxyz, điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l} {x = 3 + 2t} \\ {y = 1 - 3t} \\ {z = - 1 + t} \end{array} \right.$?
-
A.
$M_{1}\left( {3;1; - 1} \right).$
-
B.
$M_{2}\left( {2; - 3;1} \right).$
-
C.
$M_{3}\left( {1;3; - 1} \right).$
-
D.
$M_{4}\left( {- 3; - 1;1} \right).$
Đáp án : A
Đường thẳng (d) phương trình \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\) đi qua điểm có tọa độ \(({x_0};{y_0};{z_0})\).
\({M_1}\left( {3;1; - 1} \right) \in (d)\).
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( {- 1;\, 1;\, 2} \right)$, $B\left( {2;\, - 1;\, 3} \right)$. Phương trình chính tắc của đường thẳng $AB$ là
-
A.
$\dfrac{x - 2}{3} = \dfrac{y + 1}{- 2} = \dfrac{z - 3}{1}$.
-
B.
$\dfrac{x - 3}{- 1} = \dfrac{y + 2}{1} = \dfrac{z - 1}{2}$.
-
C.
$\dfrac{x + 1}{2} = \dfrac{y - 1}{- 1} = \dfrac{z - 2}{3}$.
-
D.
$\dfrac{x - 1}{3} = \dfrac{y + 1}{- 2} = \dfrac{z + 2}{1}$.
Đáp án : A
Thay tọa độ của A, B vào phương trình, nếu thỏa mãn thì đó là phương trình của AB.
Ta có \(\frac{{ - 1 - 2}}{3} = \frac{{1 + 1}}{{ - 2}} = \frac{{2 - 3}}{1} = - 1\) và \(\frac{{2 - 2}}{3} = \frac{{ - 1 + 1}}{{ - 2}} = \frac{{3 - 3}}{1} = 0\) nên \(\frac{{x - 2}}{3} = \frac{{y + 1}}{{ - 2}} = \frac{{z - 3}}{1}\) là phương trình chính tắc của AB.
Trong không gian $Oxyz$, đường thẳng nào sau đây vuông góc với đường thẳng $\Delta:\left\{ \begin{array}{l} {x = 2 + t} \\ {y = 1 + t} \\ {z = 2t} \end{array} \right.$ ?
-
A.
$d:\dfrac{x - 2}{1} = \dfrac{y - 4}{2} = \dfrac{z + 4}{- 3}$.
-
B.
$d:\dfrac{x - 1}{1} = \dfrac{y - 2}{2} = \dfrac{z + 1}{3}$.
-
C.
$d:\dfrac{x - 1}{1} = \dfrac{y - 2}{1} = \dfrac{z + 1}{- 1}$.
-
D.
$d:\dfrac{x - 1}{2} = \dfrac{y - 2}{3} = \dfrac{z + 1}{1}$.
Đáp án : C
Đường thẳng Δ vuông góc với đường thẳng d khi ${\overset{\rightarrow}{u}}_{\text{Δ}} \cdot \overset{\rightarrow}{v} = 0$.
Trong không gian $Oxyz$, đường thẳng vuông góc với đường thẳng $\Delta:\left\{ \begin{array}{l} {x = 2 + t} \\ {y = 1 + t} \\ {z = 2t} \end{array} \right.$ là $d:\dfrac{x - 1}{1} = \dfrac{y - 2}{1} = \dfrac{z + 1}{- 1}$ vì \(1.1 + 1.1 - 1.2 = 0\).
Trong không gian $Oxyz$, khoảng cách từ điểm $A(1;3; - 2)$ đến mặt phẳng $(Oxy)$ bằng
-
A.
2
-
B.
$\sqrt{14}$
-
C.
3
-
D.
1
Đáp án : A
Khoảng cách từ điểm M(x;y;z) đến mặt phẳng (Oxy) là |z|.
Trong không gian $Oxyz$, khoảng cách từ điểm $A(1;3; - 2)$ đến mặt phẳng $(Oxy)$ bằng |-2| = 2.
Trong không gian Oxyz, cho điểm $A\left( {- 1;2; - 3} \right)$, $B\left( {3; - 4;1} \right)$. Khi đó mặt cầu (S) nhận AB làm đường kính, có tọa độ tâm I là?
-
A.
$(4; - 6;4)$.
-
B.
$\left( {1; - 1; - 1} \right)$.
-
C.
$\left( {2; - 2; - 2} \right)$.
-
D.
$\left( {2; - 3;2} \right)$.
Đáp án : B
I là trung điểm của AB. Áp dụng công thức \(I\left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2};\frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}} \right)\).
\(I = \left( {\frac{{ - 1 + 3}}{2};\frac{{2 - 4}}{2};\frac{{ - 3 + 1}}{2}} \right) = \left( {1; - 1; - 1} \right)\).
Xét các biến cố A, B với $P(B) = \dfrac{8}{25}$ và $P(AB) = \dfrac{2}{25}$. Giá trị của $\left. P(A \middle| B) \right.$ là
-
A.
$\dfrac{1}{4}$.
-
B.
$\dfrac{2}{17}$.
-
C.
$\dfrac{17}{25}$.
-
D.
$\dfrac{16}{625}$.
Đáp án : A
Áp dụng công thức xác suất có điều kiện $\left. P(A \middle| B) = \dfrac{P(AB)}{P(B)} \right.$.
$\left. P(A \middle| B) = \dfrac{P(AB)}{P(B)} = \dfrac{\dfrac{2}{25}}{\dfrac{8}{25}} = \dfrac{1}{4} \right.$.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, đơn vị mỗi trục tính bằng km. Một tên lửa phóng từ mặt đất từ vị trí gốc tọa độ O theo hướng, vận tốc không đổi (đặt mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất). Tên lửa đi từ điểm O(0; 0; 0) đến điểm A(140; 60; 6) trong 8 phút.
a) Trong 8 phút tên lửa bay được quãng đường (làm tròn đến hàng đơn vị) xấp xỉ bằng 152 km.
b) Ở phút thứ 4 độ cao của tên lửa là 3 km.
c) Tọa độ của tên lửa sau 12 phút kể từ lúc phóng là (210; 90; 12).
d) Sau 10 phút tiếp theo kể từ vị trí A tên lửa đạt độ cao là 13,5 km.
a) Trong 8 phút tên lửa bay được quãng đường (làm tròn đến hàng đơn vị) xấp xỉ bằng 152 km.
b) Ở phút thứ 4 độ cao của tên lửa là 3 km.
c) Tọa độ của tên lửa sau 12 phút kể từ lúc phóng là (210; 90; 12).
d) Sau 10 phút tiếp theo kể từ vị trí A tên lửa đạt độ cao là 13,5 km.
Áp dụng phương trình đường thẳng trong không gian tọa độ.
a) Đúng. \(OA = \sqrt {{{140}^2} + {{60}^2} + {6^2}} \approx 152\) (km).
b) Đúng. Phương trình đường đi của tên lửa là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 140t\\y = 60t\\z = 6t\end{array} \right.\) \((t \in \mathbb{R})\).
Tên lửa mất 8 phút để đến vị trí A(140; 60; 6), khi đó t = 1.
Sau 4 phút, ta thay \(t = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}\) vào phương trình cao độ, được: \(z = 6.\frac{1}{2} = 3\).
Vậy ở phút thứ 4, độ cao của tên lửa là 3 km.
c) Sai. Sau 12 phút, ta thay \(t = \frac{{12}}{8} = \frac{3}{2}\) vào phương trình, được \(\left\{ \begin{array}{l}x = 140.\frac{3}{2} = 210\\y = 60.\frac{3}{2} = 90\\z = 6.\frac{3}{2} = 9\end{array} \right.\).
Vậy vị trí của tên lửa sau 12 phút từ lúc phóng là (210; 90; 9).
d) Đúng. Sau 10 phút tiếp theo từ vị trí A tức là sau 18 phút kể từ lúc phóng.
Ta thay \(t = \frac{{18}}{8} = \frac{9}{4}\) vào phương trình cao độ: \(z = 6.\frac{9}{4} = \frac{{27}}{2} = 13,5\).
Vậy sau 10 phút tiếp theo kể từ vị trí A tên lửa đạt độ cao là 13,5 km.
Một trung tâm ngoại ngữ tổ chức một kỳ thi đánh giá năng lực cho các học viên. Trung tâm thống kê được rằng:
(1) 55% thí sinh là nữ;
(2) trong số các thí sinh nữ có 80% thí sinh vượt qua bài kiểm tra;
(3) trong số các thí sinh nam có 25% thí sinh không vượt qua bài kiểm tra.
Chọn ngẫu nhiên một thí sinh.
a) Xác suất để thí sinh được chọn là nam bằng 0,45.
b) Xác suất để thí sinh được chọn vượt qua bài kiểm tra, biết rằng thí sinh đó là nam, bằng 0,75.
c) Xác suất để thí sinh được chọn vượt qua bài kiểm tra bằng 77,25%.
d) Xác suất để thí sinh được chọn là nữ, biết rằng thí sinh đó không vượt qua bài kiểm tra, nhỏ hơn 0,45.
a) Xác suất để thí sinh được chọn là nam bằng 0,45.
b) Xác suất để thí sinh được chọn vượt qua bài kiểm tra, biết rằng thí sinh đó là nam, bằng 0,75.
c) Xác suất để thí sinh được chọn vượt qua bài kiểm tra bằng 77,25%.
d) Xác suất để thí sinh được chọn là nữ, biết rằng thí sinh đó không vượt qua bài kiểm tra, nhỏ hơn 0,45.
Áp dụng công thức xác suất có điều kiện, công thức xác suất toàn phần.
A: “Thí sinh được chọn là nữ”; $\overline{A}$: “Thí sinh được chọn là nam”.
B: “Thí sinh được chọn vượt qua bài kiểm tra”; $\overline{B}$: “Thí sinh được chọn không vượt qua bài kiểm tra”.
Theo giả thiết: P(A) = 0,55; P(B|A) = 0,8; $\left. P(\overline{B} \middle| \overline{A}) = 0,25 \right.$.
a) Đúng. $P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0,55 = 0,45$.
b) Đúng. $\left. P(B \middle| \overline{A}) = 1 - P(\overline{B} \middle| \overline{A}) = 1 - 0,25 = 0,75 \right.$.
c) Sai. $P(B) = P(A)P(B|A) + P(\bar A)P(B|\bar A)$
$ = 0,55.0,8 + 0,45.0,75 = 0,7775 = 77,5\% $.
d) Sai. $P(\overline{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0,7775 = 0,2225$;
$\left. P(\overline{B} \middle| A) = 1 - P(B \middle| A) = 1 - 0,8 = 0,2 \right.$.
$\left. P(A \middle| \overline{B}) = \dfrac{\left. P(A)P(\overline{B} \middle| A) \right.}{P(\overline{B})} = \dfrac{0,55.0,2}{0,2225} \approx 0,49 > 0,45 \right.$.
Một khối bê tông cao 2 m được đặt trên mặt đất phẳng. Nếu cắt khối bê tông này bằng mặt phẳng nằm ngang, cách mặt đất x (m; \(0 \le x \le 2\)) thì được mặt cắt là hình chữ nhật có chiều dài 5 m, chiều rộng \(0,{5^x}\) (m) (hình vẽ).
Thể tích của khối bê tông là bao nhiêu (làm tròn đến hàng phần trăm của mét khối)?
Áp dụng công thức tính thể tích vật thể \(V = \int\limits_0^2 {S(x)dx} \).
Chọn trục Ox như hình vẽ.
Khi đó, khối bê tông nằm trong khoảng không gian giữa hai mặt phẳng vuông góc với Ox lần lượt tại các điểm x = 0, x = 2. Mặt phẳng vuông góc với Ox tại điểm có hoành độ x (\(0 \le x \le 2\)) cắt khối bê tông theo mặt cắt có diện tích là \(S(x) = 5.0,{5^x}\) \(\left( {{m^2}} \right)\).
Do đó, thể tích khối bê tông là:
\(V = \int\limits_0^2 {5.0,{5^x}dx} = 5\int\limits_0^2 {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^x}dx} = \frac{5}{{\ln \frac{1}{2}}}.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^2}\\{_0}\end{array}} \right. = \frac{5}{{\ln \frac{1}{2}}}.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} - \frac{5}{{\ln \frac{1}{2}}}.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^0}\)
\( = \frac{5}{{\ln \frac{1}{2}}}.\left( {\frac{1}{4} - 1} \right) = - \frac{{15}}{{4\ln \frac{1}{2}}} \approx 5,41\) \(\left( {{m^3}} \right)\).
Trong giờ thể dục học về kỹ thuật chuyền bóng hơi, Bình và An tập chuyền bóng cho nhau. Ở một động tác Bình chuyền bóng cho An, quả bóng bay lên cao nhưng lại lệch sang bên trái của An và rơi xuống vị trí cách chỗ An đứng 0,5 m và cách chỗ Bình 4,5 m. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho gốc tọa độ O tại vị trí của Bình, vị trí của An nằm trên tia Ox và mặt phẳng (Oxy) là mặt đất (tham khảo hình vẽ).
Biết rằng quỹ đạo của quả bóng nằm trong mặt phẳng $(\alpha)$: x + by + cz + d = 0 và $(\alpha)$ vuông góc với mặt đất. Khi đó, giá trị của $- 3b^{2} - c^{2} + 2d^{2}$ bằng bao nhiêu?
Tìm tọa độ của Minh và vị trí bóng rơi A.
Lập phương trình mặt phẳng $\left( {\alpha\ } \right)$ đi qua gốc tọa độ, nhận $\overset{\rightarrow}{n}\ = \left\lbrack {\overset{\rightarrow}{OA},\overset{\rightarrow}{k}} \right\rbrack$ làm vecto pháp tuyến.
Quả bóng rơi xuống tại điểm $A(\sqrt{20};0,5;0)$.
Mặt phẳng $(\alpha)$: x + by + cz + d = 0 đi qua O nên $d = 0$, điểm $A(\sqrt{20};0,5;0)$ thuộc $(\alpha)$ nên có $\left. \sqrt{20} + 0,5b = 0\Leftrightarrow b = - \dfrac{4}{\sqrt{5}} \right.$.
Mặt khác $(\alpha)$ vuông góc với mặt đất nên:
$\left. {\overset{\rightarrow}{n}}_{(\alpha)}\bot{\overset{\rightarrow}{n}}_{(Oxy)}\Leftrightarrow{\overset{\rightarrow}{n}}_{(\alpha)}.\overset{\rightarrow}{k} = 0\Leftrightarrow c = 0 \right.$.
Vậy mặt phẳng $(\alpha)$ có phương trình là $(\alpha)$: $x - 4\sqrt{5}y = 0$.
Do đó: $- 3b^{2} - c^{2} + 2d^{2} = - 240$.
Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục là kilômét), đài kiểm soát không lưu sân bay ở vị trí O(0; 0; 0) và được thiết kế phát hiện máy bay ở khoảng cách tối đa 500 km. Một máy bay đang ở vị trí A(-1000; -185; 30) và chuyển động với vận tốc không đổi theo quỹ đạo là đường thẳng d có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (100; 80; 0)$. Tính khoảng cách từ vị trí A đến khi đài kiểm soát không lưu phát hiện được máy bay (đơn vị km, làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Gọi M là giao điểm của đường thẳng d với mặt cầu (S). Tính độ dài AM.
Gọi M là giao điểm của đường thẳng d với mặt cầu (S) tâm O bán kính R = 500 (km).
Ta có: $(S): x^2 + y^2 + z^2 = 500^2$;
$d: \begin{cases} x = -1000 + 100t \\ y = -185 + 80t \\ z = 30 \end{cases} \Rightarrow AM = 20\sqrt{41}t$
Tìm M:
$(-1000 + 100t)^2 + (-185 + 80t)^2 + 30^2 = 250000$
$\Leftrightarrow 16400t^2 - 229600t + 785125 = 0$
$\Leftrightarrow 656t^2 - 9184t + 31405 = 0$
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = \frac{{1148 + \sqrt {30299} }}{{164}} \Rightarrow AM \approx 1032}\\{t = \frac{{1148 - \sqrt {30299} }}{{164}} \Rightarrow AM \approx 761}\end{array}} \right.\)
Vậy khoảng cách từ vị trí A đến khi đài kiểm soát không lưu phát hiện được máy bay xấp xỉ 761 km.
Một hồi cứu về một bệnh nhân ung thư vú đã phẫu thuật cho kết quả với tỉ lệ sống trên 5 năm là 60% và tỉ lệ di căn là 30%. Biết rằng số bệnh nhân vừa sống trên 5 năm vừa di căn chỉ bằng một nửa số bệnh nhân vừa không di căn vừa sống không quá 5 năm. Một bệnh nhân bị ung thư vú và không di căn, tính xác suất để người này sống trên 5 năm. Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai.
Áp dụng công thức tính xác suất có điều kiện và công thức xác suất toàn phần.
Gọi các biến cố:
A: “Bệnh nhân sống trên 5 năm”;
B: “Bệnh nhân di căn”.
Suy ra \(\overline A \): “Bệnh nhân không sống trên 5 năm”;
\(\overline B \): “Bệnh nhân không di căn”.
Cần tính \(P\left( {A|\overline B } \right) = \frac{{P\left( {A\overline B } \right)}}{{P\left( {\overline B } \right)}}\).
Theo giả thiết, ta có: P(A) = 0,6; P(B) = 0,3; \(P\left( {AB} \right) = \frac{1}{2}P\left( {\overline A \overline B } \right)\).
Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:
\(P\left( A \right) = P\left( {AB} \right) + P\left( {A\overline B } \right)\); \(P\left( B \right) = P\left( {AB} \right) + P\left( {\overline A B} \right)\).
Ta có \(P\left( {AB} \right) + P\left( {\overline A \overline B } \right) + P\left( {\overline A B} \right) + P\left( {A\overline B } \right) = 1\)
\( \Leftrightarrow P\left( {AB} \right) + 2P\left( {AB} \right) + \left[ {P\left( B \right) - P\left( {AB} \right)} \right] + \left[ {P\left( A \right) - P\left( {AB} \right)} \right] = 1\)
\( \Leftrightarrow P\left( {AB} \right) + P\left( B \right) + P\left( A \right) = 1\)
\( \Leftrightarrow P\left( {AB} \right) + 0,6 + 0,3 = 1\)
\( \Leftrightarrow P\left( {AB} \right) = 0,1\).
Ta có \(P\left( A \right) = P\left( {AB} \right) + P\left( {A\overline B } \right)\)
\(\Leftrightarrow P\left( {A\overline B } \right) = 0,6 - 0,1 = 0,5\).
\(P\left( {\overline B } \right) = 1 - P\left( B \right) = 1 - 0,3 = 0,7\).
Vậy \(P\left( {A|\overline B } \right) = \frac{{P\left( {A\overline B } \right)}}{{P\left( {\overline B } \right)}} = \frac{{0,5}}{{0,7}} \approx 0,71\).
Áp dụng công thức tích phân của hàm số lũy thừa.
$\int_{0}^{1} \left( 3 - 5x \right) \left( x + 1 \right) dx = \int_{0}^{1} \left( -5x^2 - 2x + 3 \right) dx$
$= \left. \left[ -5\frac{x^3}{3} - x^2 + 3x \right] \right|_{0}^{1}$ $= \frac{1}{3}$.
Do \(d\parallel d'\) nên vectơ chỉ phương \(\vec a\) của \(d'\) cũng là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\). Từ đó viết được phương trình của đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec a\).
Một vectơ chỉ phương của \(d'\) là \(\vec a = \left( {3;2;4} \right)\).
Do \(d\parallel d'\) nên đường thẳng \(d\) cũng nhận vectơ \(\vec a = \left( {3;2;4} \right)\) làm một vectơ chỉ phương.
Vậy phương trình tham số của đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A\left( {1;0;1} \right)\) và có một vectơ chỉ phương \(\vec a = \left( {3;2;4} \right)\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = 0 + 2t\\z = 1 + 4t\end{array} \right.\)
Bán kính của mặt cầu (S) là khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P).
Do mặt cầu (S) tiếp xúc với (P) nên bán kính của (S) là \(R = d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2 - 2 + 4 - 10} \right|}}{{\sqrt {1 + 4 + 4} }} = \frac{6}{3} = 2\).
Phương trình mặt cầu (S) là \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 4\).
Đề thi học kì 2 Toán 12 - Đề số 7
Đề thi học kì 2 Toán 12 - Đề số 6
Phần I: Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Phần I: Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Phần I: Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Phần I: Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Phần I: Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Danh sách bình luận