Đề thi học kì 1 Toán 10 Cánh diều - Đề số 6

Đề bài

I. Trắc nghiệm (7 điểm)

Câu 1:  Tìm tập xác định \({\rm{D}}\) của hàm số \(y = \sqrt {6 - 3x}  - \sqrt {x - 1} .\)

            A. \({\rm{D}} = \left[ {1;2} \right].\)             B. \({\rm{D}} = \left( {1;2} \right).\)             C. \({\rm{D}} = \left[ {1;3} \right].\)      D. \({\rm{D}} = \left[ { - 1;2} \right].\)

 Câu 2:  Mệnh đề phủ định của mệnh đề “\(\forall x \in \mathbb{R},\,\,x - 2 > 5\)” là:

     A. “\(\exists x \in \mathbb{R},\,\,x - 2 \le 5\)”.          B. “\(\exists x \in \mathbb{R},\,\,x - 2 \ge 5\)”.   C. “\(\forall x \in \mathbb{R},\,\,x - 2 \le 5\)”.                    D. “\(\forall x \in \mathbb{R},\,\,x - 2 \ge 5\)”.

Câu 3:  Cho tập hợp \(D = \left\{ {x \in {\mathbb{N}^*}|x\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) = 0} \right\}\). Viết lại tập hợp D dưới dạng liệt kê các phần tử của tập hợp đó.

     A. D = {2;3}.                     B. D = {0;1;2}.                  C. D = {1;2}.                     D. D = {0;2;3}.

Câu 4:  Xét sự biến thiên của hàm số \(y = \frac{1}{{{x^2}}}\). Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty ;0} \right)\), nghịch biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

B. Hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\), nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;0} \right)\).

C. Hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty ;1} \right)\), nghịch biến trên \(\left( {1; + \infty } \right)\).

D. Hàm số nghịch biến trên\(\left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {0; + \infty } \right)\).

Câu 5:  Cho hai tập hợp \(A = \left( { - \infty ; - 2} \right]\) và \(B = \left( { - 3;5} \right]\). Tìm mệnh đề sai.

     A. \(A \cap B = \left( { - 3; - 2} \right].\)                    B. \(A\backslash B = \left( { - \infty ; - 3} \right)\).     C. \(A \cup B = \left( { - \infty ;5} \right]\).               D. \(B\backslash A = \left( { - 2;5} \right]\).

Câu 6:  Trong các tập hợp sau, tập hợp nào là tập con của tập hợp \(A = \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}\)?

     A. \({A_1} = \left\{ {1;6} \right\}.\)                             B. \({A_2} = \left\{ {0;1;3} \right\}.\)       C. \({A_3} = \left\{ {4;5} \right\}.\)            D. \({A_4} = \left\{ 0 \right\}.\)

Câu 7:  Cho parabol \(\left( P \right):y = 3{x^2} - 2x + 1\). Điểm nào sau đây là đỉnh của \(\left( P \right)\)?

A. \(I\left( {0;1} \right)\).                                     B. \(I\left( {\frac{1}{3};\,\frac{2}{3}} \right)\).                                        C. \(I\left( { - \frac{1}{3};\,\frac{2}{3}} \right)\).        D. \(I\left( {\frac{1}{3};\, - \frac{2}{3}} \right)\).

Câu 8:  Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

     A. \(2{x^3} + 1 \ge y + 2{x^2}.\)                                                                           B. \(2x - 6y + 5 < 2x - 6y + 3.\)

     C. \(2{x^2} + 1 \ge y + 2{x^2}.\)                                                                           D. \(4{x^2} < 2x + 5y - 6.\)

Câu 9:  Điểm nào dưới đây thuộc miền nghiệm của bất phương trình \(3x + 2y < 10\)?

     A. (5;1).                             B. (4;2).                             C. (1;5).                             D. (1;2).

Câu 10:  Trong tam giác EFG, chọn mệnh đề đúng.

     A. \(E{F^2} = E{G^2} + F{G^2} + 2EG.FG.\cos G.\)                                       B. \(E{F^2} = E{G^2} + F{G^2} + 2EG.FG.\cos E.\)

     C. \(E{F^2} = E{G^2} + F{G^2} - 2EG.FG.\cos E.\)                                         D. \(E{F^2} = E{G^2} + F{G^2} - 2EG.FG.\cos G.\)

Câu 11:  Cho parabol \(\left( P \right):\,y = {x^2} + mx + n\) (\(m,\,n\) là tham số). Xác định \(m,\,n\) để \(\left( P \right)\)nhận đỉnh \(I\left( {2;\, - 1} \right)\).

A. \(m = 4,\,n =  - 3\).     B. \(m = 4,\,n = 3\).      C. \(m =  - 4,\,n =  - 3\).           D. \(m =  - 4,\,n = 3\).

Câu 12:  Cho tam giác ABC có b = 7, c = 5, \(\cos A = \frac{3}{5}.\) Độ dài đường cao \({h_a}\) của tam giác ABC là:

     A. \(8.\)                              B. \(8\sqrt 3 .\)                  C. \(\frac{{7\sqrt 2 }}{2}.\)           D. \(7\sqrt 2 .\)

Câu 13: Cho hàm số \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\)đồ thị như hình. Tính giá trị biểu thức \(T = {a^2} + {b^2} + {c^2}\).

A. \(0\).                            B. \(26\).                        C. \(8\).                         D. \(20\).

Câu 14:  Trong các hệ bất phương trình sau, hệ bất phương trình nào là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

     A. \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 4 \ge 0\\3x + 4y < 2\end{array} \right.\).   B. \(x - y > 0\).            C. \(\left\{ \begin{array}{l}{y^2} + 2y - 3 > 0\\5x - y > 2\end{array} \right.\).          D. \(\left\{ \begin{array}{l}x - 4 \ge y\\3x + 4y < 5\end{array} \right.\).

Câu 15:  Giá trị của biểu thức \(T = 2 + {\sin ^2}{90^0} + 2{\cos ^2}{60^0} - 3{\tan ^2}{45^0}\) bằng:

     A. 3.                                   B. \( - \frac{1}{2}\).           C. 1.                                   D. \(\frac{1}{2}\).

Câu 16:  Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c, có R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp và h_c là độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh C. Chọn mệnh đề sai.

     A. \({S_{ABC}} = ab\sin C.\)                                     B. \({S_{ABC}} = pr.\)     C. \({S_{ABC}} = \frac{{abc}}{{4R}}.\)             D. \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}c.{h_c}.\)

Câu 17: Tam giác ABC có BC = 1, AC = 3, \(\angle C = {60^0}\). Tính độ dài cạnh AB.

     A. \(\sqrt {13} .\)               B. \(\sqrt 7 .\)                    C. \(\frac{{\sqrt {34} }}{2}.\)       D. \(\frac{{\sqrt {46} }}{2}.\)

Câu 18: Bảng biến thiên nào dưới đây là của hàm số \(y =  - {x^2} + 2x + 2\)?

A. .  B. .

C.  .          D. 

Câu 19: Phần không bị gạch trên hình vẽ dưới đây minh họa cho tập hợp nào?

     A. \(\left( {0;1} \right).\)   B. \(\left( {1; + \infty } \right).\)                                 C. \(\left[ {1; + \infty } \right).\)                                  D. \(\left( {0;1} \right].\)

Câu 20: Cho \(\alpha \) và \(\beta \) là hai góc khác nhau và bù nhau, trong các đẳng thức sau đây đẳng thức nào sai?

     A. \(\sin \alpha  = \sin \beta .\)                                   B. \(\cos \alpha  =  - \cos \beta .\)            C. \(\tan \alpha  =  - \tan \beta .\)        D. \(\cot \alpha  = \cot \beta .\)

Câu 21: Cho hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\) có đồ thị như hình bên dưới. Khẳng định nào sau đây đúng?

`

`

A. \(a > 0,{\rm{ }}b < 0,{\rm{ }}c < 0\).              B. \(a > 0,{\rm{ }}b < 0,{\rm{ }}c > 0\).         C. \(a > 0,{\rm{ }}b > 0,{\rm{ }}c > 0\).                  D. \(a < 0,{\rm{ }}b < 0,{\rm{ }}c < 0\).

 Câu 22: Tam giác ABC có AB = 4, BC = 6, \(AC = 2\sqrt 7 \). Điểm M thuộc đoạn BC sao cho MC = 2MB. Tính độ dài cạnh AM.

     A. \(AM = 3\sqrt 2 .\)       B. \(AM = 4\sqrt 2 .\)       C. \(AM = 2\sqrt 3 .\)       D. \(AM = 3.\)

Câu 23: Nửa mặt phẳng không bị gạch chéo ở hình dưới đây là miền nghiệm của bất phương trình nào trong các bất phương trình sau?

     A. \(2x + y < 1.\)               B. \(2x - y > 1.\)                 C. \(x + 2y > 1.\)               D. \(2x + y > 1.\)

Câu 24: Cho góc \(\alpha \) với \({0^0} < \alpha  < {180^0}\). Tính giá trị của \(\cos \alpha \), biết \(\tan \alpha  =  - 2\sqrt 2 \).

     A. \( - \frac{1}{3}.\)           B. \(\frac{1}{3}.\)              C. \(\frac{{2\sqrt 2 }}{3}.\)           D. \(\frac{{\sqrt 2 }}{3}.\)

Câu 25: Một ca nô xuất phát từ cảng A, chạy theo hướng đông với vận tốc 50 km/h. Cùng lúc đó, một tàu cá, xuất phát từ A, chạy theo hướng N30°E với vận tốc 40 km/h. Sau 3 giờ, hai tàu cách nhau bao nhiêu kilômét?

     A. 135,7km.                       B. 237,5km.                       C. 110km.                          D. 137,5km.

Câu 26. Cho tam giác \(ABC\) và điểm \(M\) thỏa mãn điều kiện \(\overrightarrow {MA}  - \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow 0 \). Mệnh đề nào sau đây sai?

A. \(MABC\) là hình bình hành.          B. \(\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AC} .\)

C. \(\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {BM} .\)    D. \(\overrightarrow {MA}  = \overrightarrow {BC} .\)

Câu 27. Cho hình bình hành ABCD. Đẳng thức nào sau đây đúng?

A.\(\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD}  = 2\overrightarrow {BC} \)     B. \(\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AB} \)

C. \(\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {BD}  = 2\overrightarrow {CD} \)     D. \(\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {CD} \)

Câu 28. Cho tam giác OAB vuông cân tại O, cạnh \(OA = a\). Khẳng định nào sau đây sai?

A.\(\left| {3\overrightarrow {OA}  + 4\overrightarrow {OB} } \right| = 5a\) B. \(\left| {2\overrightarrow {OA} } \right| + \left| {3\overrightarrow {OB} } \right| = 5a\)

C. \(\left| {7\overrightarrow {OA}  - 2\overrightarrow {OB} } \right| = 5a\) D. \(\left| {11\overrightarrow {OA} } \right| - \left| {6\overrightarrow {OB} } \right| = 5a\)

Câu 29. Cho tam giác \(ABC\) có \(BC = a,\,{\rm{ }}CA = b,{\rm{ }}AB = c.\) Gọi \(M\) là trung điểm cạnh \(BC.\) Tính \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC} .\)

A. \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC}  = \frac{{{b^2} - {c^2}}}{2}.\)     B. \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC}  = \frac{{{c^2} + {b^2}}}{2}.\)

C. \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC}  = \frac{{{c^2} + {b^2} + {a^2}}}{3}.\)       D. \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC}  = \frac{{{c^2} + {b^2} - {a^2}}}{2}.\)

Câu 30. Cho hình vuông \(ABCD\) cạnh \(a.\) Tính \(P = \left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right).\left( {\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {BD}  + \overrightarrow {BA} } \right).\)

   A. \(P = 2\sqrt 2 a.\)                          B. \(P = 2{a^2}.\)    C. \(P = {a^2}.\) D. \(P =  - 2{a^2}.\)

II. Tự luận (4 điểm)

Câu 1: (1,5 điểm) Cho tam giác ABC, M là điểm bất kỳ.

a) Chứng minh rằng \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {AB}  = 0\)

b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Chứng minh: \(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = 3M{G^2} + G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}\)

c) Chứng minh rằng \(G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} = \frac{1}{3}({a^2} + {b^2} + {c^2})\), với a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác.

Câu 2: (1 điểm) Từ hai vị trí \(A\) và \(B\) của một tòa nhà, người ta quan sát đỉnh \(C\) của ngọn núi. Biết rằng độ cao \(AB = 70{\rm{m}}\), phương nhìn \(AC\) tạo với phương nằm ngang góc \({30^0}\), phương nhìn \(BC\) tạo với phương nằm ngang góc \({15^0}30'\). Tìm độ cao của ngọn núi đó có độ cao so với mặt đất.

Câu 3: (1,5 điểm) Xác định và vẽ đồ thị hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\)biết đồ thị của hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ là \( - 3\)và giá trị nhỏ nhất của hàm số là \( - \frac{{25}}{8}\)tại \(x = \frac{1}{4}\).

-----HẾT-----

Lời giải

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

I. Trắc nghiệm (6 điểm)

Câu 1 (TH):

Phương pháp:

\(\sqrt {f(x)} \) xác định khi \(f(x) \ge 0\).

Cách giải:

Hàm số \(y = \sqrt {6 - 3x}  - \sqrt {x - 1} \) xác định khi \(\left\{ \begin{array}{l}6 - 3x \ge 0\\x - 1 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6 \ge 3x\\x \ge 1\end{array} \right. \Leftrightarrow 1 \le x \le 2\)

Do đó tập xác định là \({\rm{D}} = \left[ {1;2} \right].\)

Chọn A.

Câu 2 (TH):

Phương pháp:

Phủ định của \(\forall \) là \(\exists \), phủ định của > là \( \le \).

Cách giải:

Mệnh đề phủ định của mệnh đề “\(\forall x \in \mathbb{R},\,\,x - 2 > 5\)” là “\(\exists x \in \mathbb{R},\,\,x - 2 \le 5\)”.

Chọn A.

Câu 3 (TH):

Phương pháp:

Viết tập hợp theo cách liệt kê các phần tử.

Cách giải:

Giải phương trình \(x\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\\x = 3\end{array} \right.\).

Mà \(x \in {\mathbb{N}^*} \Rightarrow x \in \left\{ {2;3} \right\}.\)

Vậy D = {2;3}.

Chọn A.

Câu 4 (TH):

Cách giải:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}{\rm{\backslash \{ }}0\} \)

Xét \({x_1};\,{x_2}\, \in \,D\)và\({x_1} < {x_2} \Leftrightarrow {x_1} - {x_2} < 0\)

Khi đó với hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2}}}\)

\( \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) = \frac{1}{{{x_1}^2}} - \frac{1}{{{x_2}^2}} = \frac{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\left( {{x_2} + {x_1}} \right)}}{{x_2^2.x_1^2}}\)

Trên \(\left( { - \infty ;0} \right)\)\( \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) = \frac{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\left( {{x_2} + {x_1}} \right)}}{{{x_2}^2.{x_1}^2}} < 0\)nên hàmsố đồng biến.

Trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)\( \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) = \frac{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\left( {{x_2} + {x_1}} \right)}}{{{x_2}^2.{x_1}^2}} > 0\)nên hàm số nghịch biến.

Chọn A.

Câu 5 (VD):

Phương pháp:

Thực hiện các phép toán trên tập hợp. Sử dụng trục số.

Cách giải:

+) \(A \cap B = \left( { - 3; - 2} \right]\)

=> A đúng.

+) \(A\backslash B = \left( { - \infty ; - 3} \right]\)

=> B sai.

+) \(A \cup B = \left( { - \infty ;5} \right]\)

=> C đúng.

+) \(B\backslash A = \left( { - 2;5} \right]\).

=> D đúng.

Chọn B.

Câu 6 (NB):

Phương pháp:

Tập hợp A được gọi là tập con của tập hợp B nếu mọi phần tử của tập hợp A đều là phần tử của tập hợp B.

Cách giải:

\({A_3} = \left\{ {4;5} \right\} \subset A = \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}\).

Chọn C.

Câu 7 (TH):

Cách giải:

Hoành độ đỉnh của \(\left( P \right):y = 3{x^2} - 2x + 1\) là \(x =  - \frac{b}{{2a}} = \frac{1}{3}\)\( \Rightarrow y = 3{\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} - 2.\frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3}\).

Vậy \(I\left( {\frac{1}{3};\,\frac{2}{3}} \right)\).

Chọn B.

Câu 8 (TH):

Phương pháp:

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng tổng quát là

\(ax + by \le c\) (\(ax + by \ge c\), \(ax + by < c\), \(ax + by > c\))

Trong đó a, b, c là những số thực đã cho, a và b không đồng thời bằng 0, x và y là các ẩn số.

Cách giải:

Ta có: \(2{x^2} + 1 \ge y + 2{x^2} \Leftrightarrow y - 1 \le 0\) nên đây là một bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Chọn C.

Câu 9 (NB):

Phương pháp:

Thay các tọa độ điểm vào bất phương trình, điểm nào thỏa mãn bất phương trình thì thuộc miền nghiệm của bất phương trình đó.

Cách giải:

+) Thay tọa độ điểm (5;1) vào bất phương trình ta có: 3.5 + 2.1 < 10 (Vô lí) => (5;1) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình.

+) Thay tọa độ điểm (4;2) vào bất phương trình ta có: 3.4 + 2.2 < 10 (Vô lí) => (4;2) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình.

+) Thay tọa độ điểm (1;5) vào bất phương trình ta có: 3.1 + 2.5 < 10 (Vô lí) => (1;5) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình.

+) Thay tọa độ điểm (1;2) vào bất phương trình ta có: 3.1 + 2.2 < 10 (Đúng) => (1;2) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình.

Chọn D.

Câu 10 (NB):

Phương pháp:

Sử dụng định lí cosin trong tam giác: \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A.\)

Cách giải:

\(E{F^2} = E{G^2} + F{G^2} - 2EG.FG.\cos G\) là mệnh đề đúng.

Chọn D.

Câu 11 (TH):

Cách giải:

Parabol \(\left( P \right):\,y = {x^2} + mx + n\) nhận \(I\left( {2;\, - 1} \right)\) là đỉnh, khi đó ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}4 + 2m + n =  - 1\\ - \frac{m}{2} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m + n =  - 5\\m =  - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}n = 3\\m =  - 4\end{array} \right.\).

Vậy \(m =  - 4,\,n = 3\).

Chọn D.

Câu 12 (VD):

Phương pháp:

Tính sinA.

Tính diện tích tam giác ABC: \(S = \frac{1}{2}bc.\sin A.\)

Sử dụng định lí cosin trong tam giác tính a: \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A.\)

Sử dụng công thức tính diện tích tam giác: \(S = \frac{1}{2}a{h_a}\), từ đó tính \({h_a}\).

Cách giải:

Ta có:

\(\begin{array}{l}{\sin ^2}A + {\cos ^2}A = 1\\ \Leftrightarrow {\sin ^2}A + {\left( {\frac{3}{5}} \right)^2} = 1\\ \Leftrightarrow {\sin ^2}A = \frac{{16}}{{25}}\end{array}\)

Vì \({0^0} < A < {180^0}\) nên sinA > 0 \( \Rightarrow \sin A = \frac{4}{5}.\)

Diện tích tam giác ABC là: \(S = \frac{1}{2}bc.\sin A. = \frac{1}{2}.7.5.\frac{4}{5} = 14.\)

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có:

\(\begin{array}{l}{a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A.\\\,\,\,\,\,\, = {7^2} + {5^2} - 2.7.5.\frac{3}{5}\\\,\,\,\,\,\, = 32\\ \Rightarrow a = 4\sqrt 2 .\end{array}\)

Lại có: \(S = \frac{1}{2}a{h_a} \Rightarrow {h_a} = \frac{{2S}}{a} = \frac{{2.14}}{{4\sqrt 2 }} = \frac{{7\sqrt 2 }}{2}.\)

Chọn C.

Câu 13 (TH):

Cách giải:

Do đồ thị hàm số có đỉnh là \(I\left( {2; - 1} \right)\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{ - b}}{{2a}} = 2\\f\left( 2 \right) =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4a + b = 0\\4a + 2b + c =  - 1\end{array} \right.\) \(\left( 1 \right)\)

Do đồ thị hàm số đi qua điểm \(\left( {0;3} \right) \Rightarrow f\left( 0 \right) = 3 \Leftrightarrow c = 3\)\(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\)và\(\left( 2 \right)\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b =  - 4\\c = 3\end{array} \right.\)\( \Rightarrow T = 26\)

Chọn B.

Câu 14 (NB):

Phương pháp:

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là một hệ gồm hai hay nhiều bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Cách giải:

\(\left\{ \begin{array}{l}x - 4 \ge y\\3x + 4y < 5\end{array} \right.\) là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Chọn D.

Câu 15 (NB):

Phương pháp:

Nhớ bảng giá trị lượng giác của các góc thường dùng hoặc sử dụng máy tính cầm tay.

Cách giải:

\(\begin{array}{l}T = 2 + {\sin ^2}{90^0} + 2{\cos ^2}{60^0} - 3{\tan ^2}{45^0}\\T = 2 + {1^2} + 2.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} - {3.1^2}\\T = \frac{1}{2}.\end{array}\)

Chọn D.

Câu 16 (NB):

Phương pháp:

Sử dụng các công thức tính diện tích tam giác: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}ab\sin C = pr = \frac{{abc}}{{4S}} = \frac{1}{2}c.{h_c}.\)

Cách giải:

\({S_{ABC}} = \frac{1}{2}ab\sin C\) nên đáp án A sai.

Chọn A.

Câu 17 (NB):

Phương pháp:

Áp dụng định lí Cosin trong tam giác: \(A{B^2} = B{C^2} + A{C^2} - 2BC.AC.\cos C\).

Cách giải:

Áp dụng định lí Cosin trong tam giác ABC:

\(\begin{array}{l}A{B^2} = B{C^2} + A{C^2} - 2BC.AC.\cos C\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {1^2} + {3^2} - 2.1.3.\cos {60^0} = 7\\ \Rightarrow AB = \sqrt 7 .\end{array}\)

Chọn B.

Câu 18 (TH):

Cách giải:

Hàm số \(y =  - {x^2} + 2x + 2\) là hàm số bậc hai, có \(a =  - 1 < 0,b = 2\)

=> Loại A, D.

Parabol có hoành độ đỉnh \( - \frac{b}{{2a}} =  - \frac{2}{{2.( - 1)}} = 1\) => Loại B

Chọn C.

Câu 19 (NB):

Phương pháp:

Biểu diễn tập hợp trên trục số.

Cách giải:

Hình vẽ đã cho là minh họa cho tập hợp \(\left[ {1; + \infty } \right).\)

Chọn C.

Câu 20 (NB):

Phương pháp:

Sử dụng mối liên hệ giá trị lượng giác của hai góc bù nhau: Cho \(\alpha \) và \(\beta \) là hai góc khác nhau và bù nhau ta có: \(\sin \alpha  = \sin \beta ,\) \(\cos \alpha  =  - \cos \beta \), \(\tan \alpha  =  - \tan \beta \), \(\cot \alpha  =  - \cot \beta .\)

Cách giải:

\(\alpha \) và \(\beta \) là hai góc khác nhau và bù nhau nên \(\sin \alpha  = \sin \beta ,\) \(\cos \alpha  =  - \cos \beta \), \(\tan \alpha  =  - \tan \beta \), \(\cot \alpha  =  - \cot \beta .\)

Vậy đẳng thức ở đáp án D sai.

Chọn D.

Câu 21 (TH):

Cách giải:

Parabol có bề lõm quay lên \( \Rightarrow a > 0\) loại D.

Parabol cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên \(c < 0\) loại B, C.           

Chọn A.

Câu 22 (VD):

Phương pháp:

Sử dụng hệ quả định lí cosin trong tam giác ABC tính cosB: \(\cos B = \frac{{A{B^2} + B{C^2} - A{C^2}}}{{2AB.BC}}\).

Tính BM, CM.

Sử dụng định lí cosin trong tam giác ABM tính AM: \(A{M^2} = A{B^2} + B{M^2} - 2AB.BM.\cos B\).

Cách giải:

Ta có:

\(\begin{array}{l}\cos B = \frac{{A{B^2} + B{C^2} - A{C^2}}}{{2AB.BC}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{{4^2} + {6^2} - {{\left( {2\sqrt 7 } \right)}^2}}}{{2.4.6}} = \frac{1}{2}\end{array}\)

Vì MC = 2MB, BC = 6 nên \(BM = \frac{1}{3}BC = \frac{1}{3}.6 = 2.\)

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABM ta có:

\(\begin{array}{l}A{M^2} = A{B^2} + B{M^2} - 2AB.BM.\cos B\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {4^2} + {2^2} - 2.4.2.\frac{1}{2} = 12\\ \Rightarrow AM = 2\sqrt 3 .\end{array}\)

Chọn C.

Câu 23 (TH):

Phương pháp:

Tìm phương trình đường thẳng d. Loại đáp án.

Thay tọa độ điểm O(0;0) vào các bất phương trình chưa bị loại ở các đáp án, tiếp tục loại đáp án.

Cách giải:

Đường thẳng d đi qua điểm (0;1) nên loại đáp án B, C.

Ta thấy điểm O(0;0) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình.

+ Thay tọa độ điểm O(0;0) vào bất phương trình \(2x + y < 1\) ta có: 2.0 + 0 < 1 (Đúng) => Loại.

+ Thay tọa độ điểm O(0;0) vào bất phương trình \(2x + y > 1\) ta có: 2.0 + 0 > 1 (Vô lí) => Thỏa mãn.

Chọn D.

Câu 24 (TH):

Phương pháp:

Sử dụng công thức: \(1 + {\tan ^2}\alpha  = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}.\)

Cách giải:

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,1 + {\tan ^2}\alpha  = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\\ \Leftrightarrow 1 + {\left( { - 2\sqrt 2 } \right)^2} = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\\ \Leftrightarrow {\cos ^2}\alpha  = \frac{1}{9}\\ \Leftrightarrow \cos \alpha  =  \pm \frac{1}{3}\end{array}\)

Vì \({0^0} < \alpha  < {180^0}\) \( \Rightarrow \sin \alpha  > 0\). Mà \(\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} < 0\) nên \(\cos \alpha  < 0\).

Vậy \(\cos \alpha  =  - \frac{1}{3}.\)

Chọn A.

Câu 25 (VD):

Phương pháp:

Hướng N30⁰E là hướng tạo với hướng bắc một góc 30⁰ và tạo với hướng đông một góc \({90^0} - {30^0} = {60^0}\).

Áp dụng định lí cosin trong tam giác.

Cách giải:

Hướng N30⁰E là hướng tạo với hướng bắc một góc 30⁰ và tạo với hướng đông một góc \({90^0} - {30^0} = {60^0}\).

A là vị trí cảng.

Ca nô đi theo hướng đông từ A đến B, sau 3 giờ đi được quãng đường AB = 50.3 = 150 (km).

Tàu cá đi theo hướng N30⁰E từ A đến C, sau 3 giờ đi được quãng đường AC = 40.3 = 120 (km).

Áp dụng định lí Cosin trong tam giác ABC ta có:

\(\begin{array}{l}B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.\cos {60^{}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {150^2} + {120^2} - 2.150.120.\frac{1}{2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 18\,900\\ \Rightarrow BC = 30\sqrt {21}  \approx 137,5.\end{array}\)

Vậy sau 3 giờ hai tàu cách nhau khoảng 137,5km.

Chọn D.

Câu 26.

Cách giải:

Ta có \(\overrightarrow {MA}  - \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {AB} \)

\( \Rightarrow MABC\) là hình bình hành

 \( \Rightarrow \overrightarrow {MA}  = \overrightarrow {CB} .\)

Do đó D sai.

 Chọn D.

Câu 27. 

Cách giải:

Vì ABCD là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC} \) hay \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow 0 \)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC} \\\overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CD} \end{array} \right.\)\( \Rightarrow \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD}  = 2\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CD}  = 2\overrightarrow {BC} \)

Vậy A đúng.

\(\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CB}  = \overrightarrow {AB} \) => B sai.

\(\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {DC}  + \overrightarrow {DC}  = 2\overrightarrow {DC}  =  - 2\overrightarrow {CD} \) => C sai

\(\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {DC} \) => D sai.

Chọn A.

Câu 28. 

Cách giải:

Ta có: \(OA = OB = a\)

\( \Rightarrow \left| {2\overrightarrow {OA} } \right| + \left| {3\overrightarrow {OB} } \right| = 2a + 3a = 5a\). Vậy B đúng.

Tương tự, ta có \(\left| {11\overrightarrow {OA} } \right| - \left| {6\overrightarrow {OB} } \right| = 11a - 6a = 5a\). Do đó D đúng.

Lấy C, D sao cho \(\overrightarrow {OC}  = 3\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow {OD}  = 4\overrightarrow {OB} ;\)

Dựng hình bình hành OCED. Do \(\widehat {AOB} = {90^ \circ }\) nên OCED là hình chữ nhật.

Ta có: \(3\overrightarrow {OA}  + 4\overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OD}  = \overrightarrow {OE} \)

\( \Rightarrow \left| {3\overrightarrow {OA}  + 4\overrightarrow {OB} } \right| = \left| {\overrightarrow {OE} } \right| = OE\)

Lại có: \(OC = 3OA = 3a,OD = 4OB = 4a.\)

\( \Rightarrow OE = \sqrt {O{C^2} + C{E^2}}  = \sqrt {O{C^2} + O{D^2}}  = \sqrt {{{(3a)}^2} + {{(4a)}^2}}  = 5a\)

Do đó A đúng.

Chọn C

Câu 29.

Cách giải:

Vì M là trung điểm của BC suy ra \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  = 2\overrightarrow {AM} \)

Khi đó  \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right).\overrightarrow {BC}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right).\left( {\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AC} } \right)\)

\( = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right).\left( {\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} } \right) = \frac{1}{2}\left( {{{\overrightarrow {AC} }^2} - {{\overrightarrow {AB} }^2}} \right) = \frac{1}{2}\left( {A{C^2} - A{B^2}} \right) = \frac{{{b^2} - {c^2}}}{2}\)

Chọn A.

Câu 30.

Cách giải:

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BD = a\sqrt 2 \\\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {BD}  + \overrightarrow {BA}  = \left( {\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {BA} } \right) + \overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {BD}  + \overrightarrow {BD}  = 2\overrightarrow {BD} \end{array} \right.\)

Khi đó \(P = \left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right).2\overrightarrow {BD}  = 2\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BD}  + 2\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD}  =  - 2\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BD}  + \vec 0\)

\( =  - 2BA.BD\cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BD} } \right) =  - 2.a.a\sqrt 2 .\frac{{\sqrt 2 }}{2} =  - 2{a^2}\)

Chọn D.

II. Tự luận (4 điểm)

Câu 1 (TH):

Cách giải:

a) Ta có:

\( = \overrightarrow {{\rm{MA}}}  \cdot (\overrightarrow {{\rm{MC}}}  - \overrightarrow {{\rm{MB}}} ) + \overrightarrow {{\rm{MB}}} (\overrightarrow {{\rm{MA}}}  - \overrightarrow {{\rm{MC}}} ) + \overrightarrow {{\rm{MC}}} (\overrightarrow {{\rm{MB}}}  - \overrightarrow {{\rm{MA}}} ) = \)

\( = \overrightarrow {{\rm{MA}}}  \cdot \overrightarrow {{\rm{MC}}}  - \overrightarrow {{\rm{MA}}}  \cdot \overrightarrow {{\rm{MB}}}  + \overrightarrow {{\rm{MB}}}  \cdot \overrightarrow {{\rm{MA}}}  - \overrightarrow {{\rm{MB}}}  \cdot \overrightarrow {{\rm{MC}}}  + \overrightarrow {{\rm{MC}}}  \cdot \overrightarrow {{\rm{MB}}}  - \overrightarrow {{\rm{MC}}}  \cdot \overrightarrow {{\rm{MA}}} \)

\( = \overrightarrow {{\rm{MA}}}  \cdot \overrightarrow {{\rm{MC}}}  - \overrightarrow {{\rm{MC}}}  \cdot \overrightarrow {{\rm{MA}}}  - \overrightarrow {{\rm{MA}}}  \cdot \overrightarrow {{\rm{MB}}}  + \overrightarrow {{\rm{MB}}}  \cdot \overrightarrow {{\rm{MA}}}  - \overrightarrow {{\rm{MB}}}  \cdot \overrightarrow {{\rm{MC}}}  + \overrightarrow {{\rm{MC}}}  \cdot \overrightarrow {{\rm{MB}}}  = 0\)

b)

\({\rm{M}}{{\rm{A}}^2} = {\overrightarrow {{\rm{MA}}} ^2} = {(\overrightarrow {{\rm{MG}}}  + \overrightarrow {{\rm{GA}}} )^2} = {\rm{M}}{{\rm{G}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{A}}^2} + 2\overrightarrow {{\rm{MG}}}  \cdot \overrightarrow {{\rm{GA}}} \)

\({\rm{M}}{{\rm{B}}^2} = {\overrightarrow {{\rm{MB}}} ^2} = {(\overrightarrow {{\rm{MG}}}  + \overrightarrow {{\rm{GB}}} )^2} = {\rm{M}}{{\rm{G}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{B}}^2} + 2\overrightarrow {{\rm{MG}}}  \cdot \overrightarrow {{\rm{GB}}} \)

\({\rm{M}}{{\rm{C}}^2} = {\overrightarrow {{\rm{MC}}} ^2} = {(\overrightarrow {{\rm{MG}}}  + \overrightarrow {{\rm{GC}}} )^2} = {\rm{M}}{{\rm{G}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{C}}^2} + 2\overrightarrow {{\rm{MG}}}  \cdot \overrightarrow {{\rm{GC}}} \)

\( \Rightarrow {\rm{M}}{{\rm{A}}^2} + {\rm{M}}{{\rm{B}}^2} + {\rm{M}}{{\rm{C}}^2} = 3{\rm{M}}{{\rm{G}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{A}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{B}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{C}}^2} + 2(\overrightarrow {{\rm{MG}}}  \cdot \overrightarrow {{\rm{GA}}}  + \overrightarrow {{\rm{MG}}}  \cdot \overrightarrow {{\rm{GB}}}  + \overrightarrow {{\rm{MG}}}  \cdot \overrightarrow {{\rm{GC}}} )\)

\( = 3{\rm{M}}{{\rm{G}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{A}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{B}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{C}}^2} + 2\overrightarrow {{\rm{MG}}} (\overrightarrow {{\rm{GA}}}  + \overrightarrow {{\rm{GB}}}  + \overrightarrow {{\rm{GC}}} ) = 3{\rm{M}}{{\rm{G}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{A}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{B}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{C}}^2}\)

c) Vì \({\rm{M}}{{\rm{A}}^2} + {\rm{M}}{{\rm{B}}^2} + {\rm{M}}{{\rm{C}}^2} = 3{\rm{M}}{{\rm{G}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{A}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{B}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{C}}^2}\) đúng với M bất kì.

Chọn \({\rm{M}} \equiv {\rm{A}}\) ta được:

\({\rm{A}}{{\rm{A}}^2} + {\rm{A}}{{\rm{B}}^2} + {\rm{A}}{{\rm{C}}^2} = 3{\rm{A}}{{\rm{G}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{A}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{B}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{C}}^2}\)

\( \Leftrightarrow {\rm{A}}{{\rm{B}}^2} + {\rm{A}}{{\rm{C}}^2} = 4{\rm{G}}{{\rm{A}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{B}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{C}}^2}\)

Tương tự,

\({\rm{M}} \equiv {\rm{B}} \Rightarrow {\rm{B}}{{\rm{A}}^2} + {\rm{B}}{{\rm{C}}^2} = 4\;{\rm{G}}{{\rm{B}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{A}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{C}}^2}\)

\({\rm{M}} \equiv {\rm{C}} \Rightarrow {\rm{C}}{{\rm{B}}^2} + {\rm{A}}{{\rm{C}}^2} = 4{\rm{G}}{{\rm{C}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{B}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{A}}^2}\)

Thay \(AB = c,AC = b,BC = a\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 6\left( {{\rm{G}}{{\rm{A}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{B}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{C}}^2}} \right) = 2\left( {{{\rm{a}}^2} + {{\rm{b}}^2} + {{\rm{c}}^2}} \right)\\ \Leftrightarrow {\rm{G}}{{\rm{A}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{B}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{C}}^2} = \frac{1}{3}\left( {{{\rm{a}}^2} + {{\rm{b}}^2} + {{\rm{c}}^2}} \right)\end{array}\)

 Câu 2 (VD):

Cách giải:

Từ giả thiết, ta suy ra tam giác ABC có 

\(\widehat {CAB} = {60^^\circ },\widehat {ABC} = {105^^\circ }30'\)và \(c = 70\)

Khi đó \(\hat A + \hat B + \hat C = {180^^\circ } \Leftrightarrow \hat C = {180^^\circ } - \left( {\hat A + \hat B} \right) = {180^^\circ } - {165^^\circ }30' = {14^^\circ }30'\)

Theo định lí sin, ta có  \(\frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}\) hay \(\frac{b}{{\sin {{105}^^\circ }30'}} = \frac{{70}}{{\sin {{14}^^\circ }30'}}\)

Do đó  \(AC = b = \sin {105^^\circ }30'\frac{{70}}{{\sin {{14}^^\circ }30'}} \approx 269,4m\)

Gọi CH là khoảng cách từ C đến mặt đất. Tam giác vuông ACH có cạnh CH đối diện với góc \({30^^\circ }\) nên  \(CH = \frac{{AC}}{2} = \frac{{269,4}}{2} = 134,7m\)

Vậy ngọn núi cao khoảng 135m. 

Câu 3 (VD):

Cách giải:

+ Đồ thị cắt trục tung tại điểm \(A\left( {0;c} \right)\)\( \Rightarrow c =  - 3\).

+ Giá trị nhỏ nhất của hàm số là \( - \frac{{25}}{8}\)tại \(x = \frac{1}{4}\)nên đỉnh của đồ thị hàm số là \(I\left( {\frac{1}{4}; - \frac{{25}}{8}} \right)\)

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{1}{4}\\a.\frac{1}{{16}} + \frac{1}{4}b - 3 =  - \frac{{25}}{8}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + 4b = 0\\a + 4b =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b =  - 1\end{array} \right.\)

Vậy hàm số cần tìm là \(y = 2{x^2} - x - 3\).

• Vẽ đồ thị hàm số

Đỉnh \(I\left( {\frac{1}{4}; - \frac{{25}}{8}} \right)\)

Trục đối xứng \(x = \frac{1}{4}\)

Giao với trục Oy tại \(A\left( {0; - 3} \right)\), giao với Ox tại \(B( - 1;0),C(\frac{3}{2};0)\)

Lấy điểm \(D(2;3),E\left( { - \frac{3}{2};3} \right) \in (P)\)