Đề thi học kì 1 Toán 10 Cánh diều - Đề số 9

Đề bài

I. Trắc nghiệm (6 điểm)

Câu 1: Tìm tập xác định \({\rm{D}}\) của hàm số \(y = \sqrt {6 - 3x}  + \frac{1}{{\sqrt {x - 1} }}.\)

A. \({\rm{D}} = \left[ {1;2} \right].\) B. \({\rm{D}} = \left( {1;2} \right).\) C. \({\rm{D}} = (1;2].\)                        D. \({\rm{D}} = \left[ { - 1;2} \right].\)

Câu 2: Cho mệnh đề P(x): “\(\forall x \in \mathbb{R}\), \({x^2} + x + 1 > 0\)”. Mệnh đề phủ định của mệnh đề P(x) là

     A. “\(\forall x \in \mathbb{R}\), \({x^2} + x + 1 < 0\)”.                                      B. “\(\forall x \in \mathbb{R}\), \({x^2} + x + 1 \le 0\)”.

     C. “\(\exists x \in \mathbb{R}\), \({x^2} + x + 1 \le 0\)”.                                    D. “\(\exists x \in \mathbb{R}\), \({x^2} + x + 1 > 0\)”.

 Câu 3: Cho hàm số \(.y = \frac{{\sqrt {x - 2}  - 2}}{{x - 6}}\). Điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số:

A. \((6;0)\).                      B. \((2; - 0,5)\).             C. \((2;0,5)\).                 D. \((0;6)\).

 Câu 4: Trong các tập hợp sau, tập hợp nào là tập hợp rỗng:

     A. \(A = \left\{ {x \in \mathbb{R}|\left| x \right| < 1} \right\}\)                                      B. \(A = \left\{ {x \in \mathbb{Z}|6{x^2} - 7x + 1 = 0} \right\}\)                     C. \(A = \left\{ {x \in \mathbb{Z}|{x^2} - 4x + 2 = 0} \right\}\)                                 D. \(A = \left\{ {x \in \mathbb{N}|{x^2} - 4x + 3 = 0} \right\}\)

 Câu 5: Cho hai tập hợp \(A = \left( { - \infty ;2} \right]\) và \(B = \left( { - 3;5} \right]\). Tìm mệnh đề sai.

     A. \(A \cap B = \left( { - 3;2} \right].\)                       B. \(A\backslash B = \left( { - \infty ; - 3} \right)\).     C. \(A \cup B = \left( { - \infty ;5} \right]\).               D. \(B\backslash A = \left( {2;5} \right]\).

Câu 6: Cho tập hợp: \(B = \left\{ {x;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} y;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} z;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 1;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 5} \right\}.\) Số tập hợp con của tập hợp \(B\) là

     A. 29                                  B. 30                                  C. 31                                  D. 32

 Câu 7: Hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\), \((a > 0)\) nghịch biến trong khoảng nào sau đậy?

A. \(\left( { - \infty ;\, - \frac{b}{{2a}}} \right).\)                                      B. \(\left( { - \frac{b}{{2a}};\, + \infty } \right).\)                    C. \(\left( { - \frac{\Delta }{{4a}};\, + \infty } \right).\)                           D. \(\left( { - \infty ;\, - \frac{\Delta }{{4a}}} \right).\)

 Câu 8: Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

     A. \(2{x^2} + 3y > 0\)       B. \({x^2} + {y^2} < 2\)    C. \(x + {y^2} \ge 0\)        D. \(x + y \ge 0\)

Câu 9: Miền nghiệm của bất phương trình \(\left( {1 + \sqrt 3 } \right)x - \left( {1 - \sqrt 3 } \right)y \ge 2\) chứa điểm nào sau đây?

     A. A(1;-1)                          B. B(-1;-1)                         C. C(-1;1)                          D. \(D\left( { - \sqrt 3 ;\sqrt 3 } \right)\)

Câu 10: (ID: 590544) Trong tam giác EFG, chọn mệnh đề đúng.

     A. \(E{F^2} = E{G^2} + F{G^2} + 2EG.FG.\cos G.\)                                       B. \(E{F^2} = E{G^2} + F{G^2} + 2EG.FG.\cos E.\)

     C. \(E{F^2} = E{G^2} + F{G^2} - 2EG.FG.\cos E.\)                                         D. \(E{F^2} = E{G^2} + F{G^2} - 2EG.FG.\cos G.\)

Câu 11: Cho hình chữ nhật ABCD có \(AB = a\) và \(AD = a\sqrt 2 \). Gọi K là trung điểm của cạnh AD. Tính \(\overrightarrow {BK} .\overrightarrow {AC} \)

     A. \(\overrightarrow {BK} .\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow 0 \)    B. \(\overrightarrow {BK} .\overrightarrow {AC}  =  - {a^2}\sqrt 2 \)                   C. \(\overrightarrow {BK} .\overrightarrow {AC}  = {a^2}\sqrt 2 \)                        D. \(\overrightarrow {BK} .\overrightarrow {AC}  = 2{a^2}\)

Câu 12: (ID: 590546) Cho tam giác ABC có b = 7, c = 5, \(\cos A = \frac{3}{5}.\) Độ dài đường cao \({h_a}\) của tam giác ABC là:

     A. \(8.\)                              B. \(8\sqrt 3 .\)                  C. \(\frac{{7\sqrt 2 }}{2}.\)           D. \(7\sqrt 2 .\)

Câu 13: Hàm số bậc hai nào sau đây có đồ thị là parabol có đỉnh là \(S\left( {\frac{5}{2};\frac{1}{2}} \right)\)và đi qua \(A\left( {1; - 4} \right)\)?

A. \(y =  - {x^2} + 5x - 8\).                                   B. \(y =  - 2{x^2} + 10x - 12\).

C. \(y = {x^2} - 5x\).       D. \(y =  - 2{x^2} + 5x + \frac{1}{2}\).

Câu 14: Cho hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - 5y - 1 > 0}\\{2x + y + 5 > 0}\\{x + y + 1 < 0}\end{array}} \right.\). Trong các điểm sau, điểm nào thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình?

     A. \(O\left( {0;0} \right)\) B. \(M\left( {1;0} \right)\)                                           C. \(N\left( {0; - 2} \right)\)     D. \(P\left( {0;2} \right)\)

Câu 15: Cho parabol \(y = a{x^2} + bx + c\) có đồ thị như hình sau

Phương trình của parabol này là

A. \(y =  - {x^2} + x - 1\).                                     B. \(y = 2{x^2} + 4x + 1\).       C. \(y = {x^2} - 2x - 1\).                                   D. \(y = 2{x^2} - 4x - 1\).

Câu 16: Tính bán kính r của đường tròn nội tiếp tam giác đều cạnh a.

     A. \(r = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\)                                    B. \(r = \frac{{a\sqrt 2 }}{5}\)      C. \(r = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\)            D. \(r = \frac{{a\sqrt 5 }}{7}\)

Câu 17: Tam giác ABC có \(AB = \sqrt 2 ,\,\,AC = \sqrt 3 \) và \(C = {45^0}\). Tính độ dài cạnh BC.

     A. \(BC = \sqrt 5 \)           B. \(BC = \frac{{\sqrt 6  + \sqrt 2 }}{2}\)                  C. \(BC = \frac{{\sqrt 6  - \sqrt 2 }}{2}\)                         D. \(BC = \sqrt 6 \)

Câu 18: Bảng biến thiên của hàm số \(y =  - {x^2} + 2x - 1\) là:

A.           B. 

C.          D. 

 Câu 19: Phần không bị gạch trên hình vẽ dưới đây minh họa cho tập hợp nào?

     A. \(\left( { - 3; + \infty } \right).\)                              B. \(\left( {5; + \infty } \right).\)   C. \(\{  - 3;5\} \)     D. \(\left( { - 3;5} \right].\)

Câu 20: Giá trị lớn nhất của hàm số \(y =  - 3{x^2} + 2x + 1\) trên đoạn \(\left[ {1;3} \right]\) là:

A. \(\frac{4}{5}\)             B. 0                               C. \(\frac{1}{3}\)          D. \( - 20\)

Câu 21: Cho hai vectơ \(\vec a\) và \(\overrightarrow b \) thỏa mãn \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 3,\) \(\left| {\overrightarrow b } \right| = 2\) và \(\vec a.\vec b =  - 3.\) Xác định góc \(\alpha \) giữa hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b .\)

A. \(\alpha  = {30^0}.\)                        B. \(\alpha  = {45^0}.\) C. \(\alpha  = {60^0}.\)  D. \(\alpha  = {120^0}.\)

Câu 22: Cho tam giác cân \(ABC\) có\(\widehat A = {120^0}\)và \(AB = AC = a\). Lấy điểm \(M\)trên cạnh \(BC\) sao cho \(BM = \frac{{2BC}}{5}\). Tính độ dài \(AM.\)

     A. \(\frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)                                               B. \(\frac{{11a}}{5}\)             C. \(\frac{{a\sqrt 7 }}{5}\)                                     D. \(\frac{{a\sqrt 6 }}{4}\)

Câu 23: Nửa mặt phẳng không bị gạch chéo ở hình dưới đây là miền nghiệm của bất phương trình nào trong các bất phương trình sau?

     A. \(2x - y < 3\)                 B. \(2x - y > 3\)                  C. \(x - 2y < 3\)                 D. \(x - 2y > 3\)

Câu 24: Cho góc \(\alpha \) với \({0^0} < \alpha  < {180^0}\). Tính giá trị của \(\cos \alpha \), biết \(\tan \alpha  =  - 2\sqrt 2 \).

     A. \( - \frac{1}{3}.\)           B. \(\frac{1}{3}.\)              C. \(\frac{{2\sqrt 2 }}{3}.\)           D. \(\frac{{\sqrt 2 }}{3}.\)

Câu 25: Để đo khoảng cách từ một điểm A trên bờ sông đến gốc cây C trên cù lao giữa sông, người ta chọn cùng một điểm trên bờ với A sao cho từ A và B có thể nhìn thấy điểm C. Ta đo được khoảng cách AB = 40cm, \(\angle CAB = {45^0}\), \(\angle CBA = {70^0}\). Vậy sau khi đo đạc và tính toán được khoảng cách AC gần nhất với giá trị nào sau đây?

     A. 53 m                              B. 30 m                              C. 41,5 m                           D. 41 m

Câu 26: Cho hình vuông ABCD cạnh \(a\), \(M\) là điểm thay đổi. Độ dài véctơ \(\vec u = \overrightarrow {MA} {\rm{\;}} + \overrightarrow {MB} {\rm{\;}} + \overrightarrow {MC} {\rm{\;}} - 3\overrightarrow {MD} \) là:

     A. \(4a\sqrt 2 \)                                                           B. \(a\sqrt 2 \)                   C. \(3a\sqrt 2 \)     D. \(2a\sqrt 2 \)

Câu 27: Cho tam giác ABC đều cạnh a, G là trọng tâm. Mệnh đề nào sau đây sai?

     A. \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = \frac{1}{2}{a^2}.\)        B. \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CB}  =  - \frac{1}{2}{a^2}.\)            C. \(\overrightarrow {GA} .\overrightarrow {GB}  = \frac{1}{6}{a^2}.\)              D. \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AG}  = \frac{1}{2}{a^2}.\)

Câu 28: Cho bốn điểm A,B,C,D phân biệt. Khi đó, \(\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} - \overrightarrow {DC} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {BC} {\rm{ \;}} - \overrightarrow {AD} \) bằng véctơ nào sau đây?

     A. \(\vec 0\)                       B. \(\overrightarrow {BD} \)                                     C. \(\overrightarrow {AC} \)   D. \(2\overrightarrow {DC} \)

 Câu 29: Cho hình chữ nhật ABCD. Khẳng định nào sau đây đúng?

     A. \(\overrightarrow {AC} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {BD} \)                          B. \(\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {AC} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {AD} {\rm{ \;}} = \vec 0\)

     C. \(\left| {\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} - \overrightarrow {AD} } \right| = \left| {\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {AD} } \right|\)      D. \(\left| {\overrightarrow {BC} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {BD} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} {\rm{ \;}} - \overrightarrow {AB} } \right|\)

Câu 30: Cho tam giác ABC có trung tuyến BM và trọng tâm \(G\). Đặt \(\overrightarrow {BC} {\rm{\;}} = \vec a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \overrightarrow {BA} {\rm{\;}} = b\). Hãy phân tích vectơ \(\overrightarrow {BG} \) theo \(\vec a\) và \(\vec b\).

     A. \(\overrightarrow {BG} {\rm{\;}} = \frac{1}{3}\vec a + \frac{1}{3}\vec b\)              B. \(\overrightarrow {BG} {\rm{\;}} = \frac{2}{3}\vec a + \frac{2}{3}\vec b\)     C. \(\overrightarrow {BG} {\rm{\;}} = \frac{1}{3}\vec a + \frac{2}{3}\vec b\)              D. \(\overrightarrow {BG} {\rm{\;}} = \frac{2}{3}\vec a + \frac{1}{3}\vec b\)

II. Tự luận (4 điểm)

Câu 1: Cho ba lực \(\overrightarrow {{F_1}} {\rm{\;}} = \overrightarrow {MA} \), \(\overrightarrow {{F_2}} {\rm{\;}} = \overrightarrow {MB} \), \(\overrightarrow {{F_3}} {\rm{\;}} = \overrightarrow {MC} \) cùng tác động vào một vật tại điểm M và vật đứng yên. Cho biết cường độ lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \overrightarrow {{F_2}} \) đều bằng 50 N và tam giác MAB vuông tại M. Tìm hướng và cường độ lực \(\overrightarrow {{F_3}} \)

Câu 2:  Muốn đo chiều cao của tháp chàm Por Klong Garai ở Ninh Thuận, người ta lấy hai điểm A và B trên mặt đất có khoảng cách \(AB = 12m\) , cùng thẳng hàng với chân C của tháp để đặt giác kế. Chân của giác kế có chiều cao h = 1,3m. Gọi D là đỉnh tháp và hai điểm \({A_1},{B_1}\)  cùng thẳng hàng với \({C_1}\)   thuộc chiều cao CD của tháp. Người ta đo được \(\widehat {D{A_1}{C_1}} = {49^ \circ }\)  và  \(\widehat {D{B_1}{C_1}} = {35^ \circ }\). Tính chiều cao CD của tháp đó.

Câu 3: Tìm parabol (P) \(y = a{x^2} + bx + c\) biết (P) có đỉnh \(I(2;3)\) và giao với Oy tại điểm có tung độ bằng -1. Vẽ đồ thị hàm số tìm được.

 -----HẾT-----

Lời giải

I. Trắc nghiệm (6 điểm)

Câu 1 (NB):

Phương pháp:

• \(\sqrt {P(x)} \)  có nghĩa khi \(P(x) \ge 0\).
• \(\frac{{Q(x)}}{{\sqrt {P(x)} }}\) có nghĩa khi \(P(x) > 0\).

Cách giải:

Hàm số \(y = \sqrt {6 - 3x}  + \frac{1}{{\sqrt {x - 1} }}\) xác định khi \(\left\{ \begin{array}{l}6 - 3x \ge 0\\x - 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 2\\x > 1\end{array} \right. \Leftrightarrow 1 < x \le 2\)

Vậy tập xác định \(D = (1;2]\)

Chọn C.

Câu 2 (TH):

Phương pháp:

Phủ định của mệnh đề “\(\forall x \in K,\,\,P\left( x \right)\)” là mệnh đề “\(\exists x \in K,\,\,\overline {P\left( x \right)} \)”.

Cách giải:

Mệnh đề phủ định của mệnh đề P(x):  “\(\forall x \in \mathbb{R}\), \({x^2} + x + 1 > 0\)” là “\(\exists x \in \mathbb{R}\), \({x^2} + x + 1 \le 0\)”.

Chọn C.

 Câu 3 (TH):

Phương pháp:

Thay tọa độ các điểm vào hàm số

Cách giải:

Với \(x = 6,x = 0\)thì \(y = \frac{{\sqrt {x - 2}  - 2}}{{x - 6}}\) không xác định. Suy ra điểm \((6;0)\) và \((0;6)\)không thuộc đồ thị hàm số

Với \(x = 2\) thì \(y = \frac{{\sqrt {2 - 2}  - 2}}{{2 - 6}} = 0,5 \ne  - 0,5\). Suy ra điểm \((2; - 0,5)\)không thuộc đồ thị hàm số, điểm \((2;0,5)\) thuộc đồ thị hàm số

Chọn C.

 Câu 4 (TH):

Phương pháp:

Tập hợp rỗng không chứa phần tử nào.

Cách giải:

+) Xét đáp án A: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \in \mathbb{R}}\\{\left| x \right| < 1}\end{array}} \right. \Rightarrow {\rm{\;}} - 1 < x < 1\) \( \Rightarrow A = \left( { - 1;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 1} \right) \ne \emptyset \)

\( \Rightarrow \) Loại đáp án A.

+) Xét đáp án B: \(6{x^2} - 7x + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{x = \frac{1}{6}}\end{array}} \right.\)  \( \Rightarrow A = \left\{ 1 \right\} \ne \emptyset \)

\( \Rightarrow \) Loại đáp án B.

+) Xét đáp án C: \({x^2} - 4x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + \sqrt 2 }\\{x = 2 - \sqrt 2 }\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow A = \emptyset \)

Chọn C.

 Câu 5 (VD):

Phương pháp:

Thực hiện các phép toán trên tập hợp. Sử dụng trục số.

Cách giải:

+) \(A \cap B = \left( { - 3;2} \right]\)

=> A đúng.

+) \(A\backslash B = \left( { - \infty ; - 3} \right]\)

=> B sai.

+) \(A \cup B = \left( { - \infty ;5} \right]\)

=> C đúng.

+) \(B\backslash A = \left( {2;5} \right]\).

=> D đúng.

Chọn B.

Câu 6 (TH):

Phương pháp:

Cho tập hợp B có n phần tử. Số tập hợp con của B là \({2^n}\)

Cách giải:

Tập hợp \(B = \left\{ {x;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} y;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} z;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 1;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 5} \right\}\) có 5 phần tử.

Số tập hợp con của tập B là: \({2^5} = 32\)

Chọn D.

 Câu 7 (NB):

Cách giải:

Với \(a > 0\), ta có bảng biến thiên

Hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;\, - \frac{b}{{2a}}} \right).\)

Chọn A.

 Câu 8 (TH):

Phương pháp:

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng tổng quát là \(ax + by + c < 0\), \(ax + by + c > 0\), \(ax + by + c \le 0\), \(ax + by + c \ge 0\), trong đó a, b, c là các số cho trước sao cho \({a^2} + {b^2} \ne 0\).

Cách giải:

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn là \(x + y \ge 0\).

Chọn D.

Câu 9 (TH):

Phương pháp:

Thay tọa độ các điểm ở các đáp án vào bất phương trình.

Cách giải:

Thay tọa độ điểm A(1;-1) ta có: \(\left( {1 + \sqrt 3 } \right) + \left( {1 - \sqrt 3 } \right) = 2 \ge 2\) (Đúng).

Vậy điểm A thuộc miền nghiệm của bất phương trình.

Chọn A.

Câu 10 (NB):

Phương pháp:

Sử dụng định lí cosin trong tam giác: \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A.\)

Cách giải:

\(E{F^2} = E{G^2} + F{G^2} - 2EG.FG.\cos G\) là mệnh đề đúng.

Chọn D.

Câu 11 (VD):

Cách giải: 

Ta có:

\(AC = BD = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}}  = \sqrt {2{a^2} + {a^2}}  = a\sqrt 3 \)

Lại có:

\(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {BK}  = \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AK}  = \overrightarrow {BA}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} \\\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} \end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {BK} .\overrightarrow {AC}  = \left( {\overrightarrow {BA}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} } \right).\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} } \right)\\ = \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {AD}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AD} \\ =  - {a^2} + 0 + 0 + \frac{1}{2}{\left( {a\sqrt 2 } \right)^2}\\ = 0\end{array}\)

Chọn A.

Câu 12 (VD):

Phương pháp:

Tính sinA.

Tính diện tích tam giác ABC: \(S = \frac{1}{2}bc.\sin A.\)

Sử dụng định lí cosin trong tam giác tính a: \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A.\)

Sử dụng công thức tính diện tích tam giác: \(S = \frac{1}{2}a{h_a}\), từ đó tính \({h_a}\).

Cách giải:

Ta có:

\(\begin{array}{l}{\sin ^2}A + {\cos ^2}A = 1\\ \Leftrightarrow {\sin ^2}A + {\left( {\frac{3}{5}} \right)^2} = 1\\ \Leftrightarrow {\sin ^2}A = \frac{{16}}{{25}}\end{array}\)

Vì \({0^0} < A < {180^0}\) nên sinA > 0 \( \Rightarrow \sin A = \frac{4}{5}.\)

Diện tích tam giác ABC là: \(S = \frac{1}{2}bc.\sin A. = \frac{1}{2}.7.5.\frac{4}{5} = 14.\)

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có:

\(\begin{array}{l}{a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A.\\\,\,\,\,\,\, = {7^2} + {5^2} - 2.7.5.\frac{3}{5}\\\,\,\,\,\,\, = 32\\ \Rightarrow a = 4\sqrt 2 .\end{array}\)

Lại có: \(S = \frac{1}{2}a{h_a} \Rightarrow {h_a} = \frac{{2S}}{a} = \frac{{2.14}}{{4\sqrt 2 }} = \frac{{7\sqrt 2 }}{2}.\)

Chọn C.

Câu 13 (TH):

Cách giải:

Hàm số bậc hai cần tìm có phương trình: \(y = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\)

Hàm số bậc hai có đồ thị là parabol có đỉnh là \(S\left( {\frac{5}{2};\frac{1}{2}} \right)\)và đi qua \(A\left( {1; - 4} \right)\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{5}{2}\\a.\frac{{25}}{4} + b.\frac{5}{2} + c = \frac{1}{2}\\a + b + c =  - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{ - b}}{a} = 5\\25a + 10b + 2c = 2\\a + b + c =  - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5{\rm{a + b = 0}}\\25a + 10b + 2c = 2\\a + b + c =  - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 2\\b = 10\\c =  - 12\end{array} \right.\)

Chọn B.

 Câu 14 (TH):

Phương pháp:

Thay tọa độ các điểm vào hệ bất phương trình.

Cách giải:

Dễ thấy các điểm \(O\left( {0;0} \right)\), \(M\left( {1;0} \right)\), \(P\left( {0;2} \right)\) không thỏa mãn bất phương trình \(x + y + 1 < 0\) nên không thỏa mãn cả hệ bất phương trình.

Chọn C.

Câu 15 (TH):

Cách giải:

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm \(\left( {0\,\,;\,\, - 1} \right)\) nên \(c =  - 1\).

Tọa độ đỉnh \(I\left( {1\,\,;\, - 3} \right)\), ta có phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} - \frac{b}{{2a}} = 1\\a{.1^2} + b.1 - 1 =  - 3\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + b = 0\\a + b =  - 2\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b =  - 4\end{array} \right.\).

Vậy parabol cần tìm là: \(y = 2{x^2} - 4x - 1\).

Chọn D.

Câu 16 (TH):

Phương pháp:

Sử dụng công thức tính diện tích tam giác \(S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)}  = pr\).

Cách giải:

Nửa chu vi tam giác đều cạnh a là \(p = \frac{{a + a + a}}{2} = \frac{{3a}}{2}\).

Tam giác đều cạnh a có diện tích \(S = \sqrt {\frac{{3a}}{2}\left( {\frac{{3a}}{2} - a} \right)\left( {\frac{{3a}}{2} - a} \right)\left( {\frac{{3a}}{2} - a} \right)}  = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).

Lại có \(S = pr \Leftrightarrow r = \frac{S}{p} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}:\frac{{3a}}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\).

Chọn C.

Câu 17 (NB):

Phương pháp:

Sử dụng hệ quả định lí Cosin trong tam giác: \(\cos C = \frac{{A{C^2} + B{C^2} - A{B^2}}}{{2AC.BC}}\).

Cách giải:

Áp dụng hệ quả định lí Cosin trong tam giác ABC ta có:

\(\begin{array}{l}\cos C = \frac{{A{C^2} + B{C^2} - A{B^2}}}{{2AC.BC}}\\ \Leftrightarrow \cos {45^0} = \frac{{{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} + B{C^2} - {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}}}{{2.\sqrt 3 .BC}}\\ \Leftrightarrow \sqrt 6 BC = B{C^2} + 1\\ \Leftrightarrow B{C^2} - \sqrt 6 BC + 1 = 0\\ \Leftrightarrow BC = \frac{{\sqrt 6  + \sqrt 2 }}{2}\end{array}\).

Chọn B.

Câu 18 (TH):

Phương pháp:

Số chính phương có các chữ số tận cùng là \(0,{\rm{ }}1,{\rm{ }}4,{\rm{ }}5,{\rm{ }}6,{\rm{ }}9\). Dùng loại trừ để đưa ra đáp án đúng.

Cách giải:

Hàm số \(y =  - {x^2} + 2x - 1\) có \(a =  - 1 < 0\), nên loại C,D.

Hoành độ đỉnh \({x_I} =  - \frac{b}{{2a}} =  - \frac{2}{{2.( - 1)}} = 1\)

Chọn A.

 Câu 19 (NB):

Phương pháp:

Biểu diễn tập hợp trên trục số.

Cách giải:

Hình vẽ đã cho là minh họa cho tập hợp \(( - 3;5]\)

Chọn D.

Câu 20 (VD):

Cách giải:

Ta có \( - \frac{b}{{2a}} = \frac{1}{3}\) và \(a =  - 3 < 0\). Suy ra hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \(\left( {\frac{1}{3}; + \infty } \right)\).

Mà \(\left[ {1;3} \right] \subset \left( {\frac{1}{3}; + \infty } \right)\).

Do đó trên đoạn \(\left[ {1;3} \right]\) hàm số đạt giá trị lớn nhất tại \(x = 1\), tức là \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;3} \right]} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = 0\).

Chọn B.

Câu 21 (TH):

Phương pháp:

Áp dụng công thức \(\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}}\)

Cách giải:

Ta có \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{ - 3}}{{3.2}} =  - \frac{1}{2}\)

\( \Rightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {120^o}\)

Chọn D.

Câu 22 (VD):

Phương pháp:

- Tính BC dựa vào định lí côsin trong tam giác cân ABC.

- Tính BM.

- Tính AM dựa vào định lí côsin trong tam giác ABM.

Cách giải: 

\(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2} - 2ABAC\cos {{120}^0}}  = \sqrt {{a^2} + {a^2} - 2a.a.\left( { - \frac{1}{2}} \right)}  = a\sqrt 3 {\rm{ }} \Rightarrow BM = \frac{{2a\sqrt 3 }}{5}\)

\(AM = \sqrt {A{B^2} + B{M^2} - 2AB.BM.cos{{30}^0}}  = \sqrt {{a^2} + {{\left( {\frac{{2a\sqrt 3 }}{5}} \right)}^2} - 2a.\frac{{2a\sqrt 3 }}{5}.\frac{{\sqrt 3 }}{2}}  = \frac{{a\sqrt 7 }}{5}\).

Chọn C.

Câu 23 (TH):

Phương pháp:

Tìm phương trình đường thẳng d. Loại đáp án.

Thay tọa độ điểm O(0;0) vào các bất phương trình chưa bị loại ở các đáp án, tiếp tục loại đáp án.

Cách giải:

Đường thẳng d đi qua điểm (3;0) nên loại đáp án A, B.

Ta thấy điểm O(0;0) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình.

+ Thay tọa độ điểm O(0;0) vào biểu thức \(x - 2y\) ta có: \(0 - 2.0 = 0 < 3\)

Do đó bất phươn trình cần tìm là \(x - 2y > 3\)

Chọn D.

Câu 24 (TH):

Phương pháp:

Sử dụng công thức: \(1 + {\tan ^2}\alpha  = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}.\)

Cách giải:

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,1 + {\tan ^2}\alpha  = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\\ \Leftrightarrow 1 + {\left( { - 2\sqrt 2 } \right)^2} = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\\ \Leftrightarrow {\cos ^2}\alpha  = \frac{1}{9}\\ \Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha  = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}\\ \Leftrightarrow \sin \alpha  =  \pm \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\end{array}\)

Vì \({0^0} < \alpha  < {180^0}\) \( \Rightarrow \sin \alpha  > 0\).

Vậy \(\sin \alpha  = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}.\)

Chọn C.

Câu 25 (VD):

Phương pháp:

Áp dụng hệ quả định lí Sin trong tam giác ABC.

Cách giải:

Ta có: \(\angle ACB = {180^0} - {45^0} - {70^0} = {65^0}\)

Áp dụng hệ quả định lí Sin trong tam giác ABC ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{{AC}}{{\sin B}} = \frac{{AB}}{{\sin C}} \Rightarrow \frac{{AC}}{{\sin {{70}^0}}} = \frac{{40}}{{\sin {{65}^0}}}\\ \Rightarrow AC = \frac{{40}}{{\sin {{65}^0}}}.\sin {70^0} \approx 41,47\,\,\left( m \right)\end{array}\)

Chọn C.

Câu 26 (VD):

Phương pháp:

Áp dụng quy tắc cộng vecto để tìm được vecto \(\vec u\).

Cách giải:

Vì ABCD là hình vuông nên ta có: \(AB = BC = CD = DA = 2\); \(AC = BD = a\sqrt 2 \).

Ta có:

\(\vec u = \overrightarrow {MA} {\rm{\;}} + \overrightarrow {MB} {\rm{\;}} + \overrightarrow {MC} {\rm{\;}} - 3\overrightarrow {MD} \)

\({\mkern 1mu}  = \left( {\overrightarrow {MD} {\rm{\;}} + \overrightarrow {DA} } \right) + \left( {\overrightarrow {MD} {\rm{\;}} + \overrightarrow {DB} } \right) + \left( {\overrightarrow {MD} {\rm{\;}} + \overrightarrow {DC} } \right) - 3\overrightarrow {MD} \)

\({\mkern 1mu}  = \overrightarrow {MD} {\rm{\;}} + \overrightarrow {DA} {\rm{\;}} + \overrightarrow {MD} {\rm{\;}} + \overrightarrow {DB} {\rm{\;}} + \overrightarrow {MD} {\rm{\;}} + \overrightarrow {DC} {\rm{\;}} - 3\overrightarrow {MD} \)

\( = \overrightarrow {DA} {\rm{\;}} + \overrightarrow {DB} {\rm{\;}} + \overrightarrow {DC} \)

\( = \left( {\overrightarrow {DA} {\rm{\;}} + \overrightarrow {DC} } \right) + \overrightarrow {DB} \)

\( = \overrightarrow {DB} {\rm{\;}} + \overrightarrow {DB} \)

\( = 2\overrightarrow {DB} \)

\( \Rightarrow \vec u = 2\overrightarrow {DB} \)

\( \Rightarrow \left| {\vec u} \right| = \left| {2.\overrightarrow {DB} } \right| = 2.a.\sqrt 2 {\rm{\;}} = 2\sqrt 2 a\)

Chọn D.

Câu 27 (VD):

Phương pháp:

Áp dụng tích vô hướng \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = a.b.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\)

Cách giải:

Ta có:

\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = AB.AC.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = a.a.\cos A = {a^2}\cos {60^ \circ } = \frac{1}{2}{a^2}\) => A đúng

\(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CB}  = AC.CB.\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right) = a.a.\cos {120^ \circ } =  - \frac{1}{2}{a^2}\) => B đúng

+ \(AG = \frac{2}{3}AM;AM = AC.\sin C = a.\sin {60^ \circ } = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

\( \Rightarrow AG = BG = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

\(\overrightarrow {GA} .\overrightarrow {GB}  = GA.GB.\cos \left( {\overrightarrow {GA} ,\overrightarrow {GB} } \right) = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{3}.\cos {120^ \circ } =  - \frac{1}{6}{a^2}\) => C sai.

\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AG}  = AB.AG.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AG} } \right) = a.\frac{{a\sqrt 3 }}{3}.\cos {30^ \circ } = \frac{1}{2}{a^2}\) => D đúng.

Chọn C.

Câu 28 (NB):

Phương pháp:

Nhóm \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} \); \(\overrightarrow {DC} ,\overrightarrow {AD} \), áp dụng quy tắc cộng vectơ.

Cách giải:

Ta có: \(\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} - \overrightarrow {DC} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {BC} {\rm{ \;}} - \overrightarrow {AD} {\rm{ \;}} = \left( {\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {BC} } \right) - \left( {\overrightarrow {AD} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {DC} } \right) = \overrightarrow {AC} {\rm{ \;}} - \overrightarrow {AC} {\rm{ \;}} = \vec 0\).

Chọn A.

Câu 29 (NB):

Phương pháp:

Sử dụng quy tắc hình bình hành tính \(\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {BC} \).

Tính độ dài vectơ vừa tìm được.

Cách giải:

Ta có: \(\left| {\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {BC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC = a\).

Chọn A.

Câu 30 (TH):

Phương pháp:

Áp dụng quy tắc cộng vecto, quy tắc hình bình hành để biểu diễn véctơ.

Cách giải:

\(\overrightarrow {BM} {\rm{\;}} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA} {\rm{\;}} + \overrightarrow {BC} } \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} {\rm{\;}} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {BG} {\rm{\;}} = \frac{2}{3}\overrightarrow {BM} {\rm{\;}} = \frac{2}{3} \cdot \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {BA} {\rm{\;}} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} } \right) = \frac{1}{3}\overrightarrow {BA} {\rm{\;}} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} \)

Mặt khác, \(\overrightarrow {BA} {\rm{\;}} = \vec a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \overrightarrow {BC} {\rm{\;}} = \vec b\) nên ta có: \(\overrightarrow {BG} {\rm{\;}} = \frac{1}{3}\vec a + \frac{1}{3}\vec b\)

Vậy \(\overrightarrow {BG} {\rm{\;}} = \frac{1}{3}\vec a + \frac{1}{3}\vec b\).

Chọn A.

 II. Tự luận (3 điểm)

Câu 1 (VD):

Phương pháp:

Áp dụng quy tắc hình bình hành.

Vật đứng yên khi tổng các lực tác động lên điểm bằng 0.

Cách giải:

Có cường độ lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \overrightarrow {{F_2}} \) đều bằng 50 N  và tam giác MAB vuông tại M

\( \Rightarrow \) Tam giác MAB vuông cân tại M

Lấy điểm D sao cho MADB là hình vuông

 \( \Rightarrow MD = \sqrt {M{A^2} + A{D^2}} {\rm{\;}} = \sqrt {M{A^2} + M{B^2}} {\rm{\;}} = 50\sqrt 2 {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} N\)

Vì vật đứng yên nên tổng các lực tác động lên điểm bằng 0

\( \Rightarrow \overrightarrow {{F_1}} {\rm{\;}} + \overrightarrow {{F_2}} {\rm{\;}} + \overrightarrow {{F_3}} {\rm{\;}} = \vec 0\) hay \(\overrightarrow {MA} {\rm{\;}} + \overrightarrow {MB} {\rm{\;}} + \overrightarrow {{F_3}} {\rm{\;}} = \vec 0\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {{F_3}} {\rm{\;}} = {\rm{\;}} - \left( {\overrightarrow {MA} {\rm{\;}} + \overrightarrow {MB} } \right) = {\rm{\;}} - \overrightarrow {MD} \)

Vậy lực \(\overrightarrow {{F_3}} \) có hướng ngược với \(\overrightarrow {MD} \) và có cường độ bằng \(50\sqrt 2 {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} N \approx 70,71{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} N\)

Câu 2 (VD):

Cách giải:

Ta có: \(\widehat {D{A_1}B} = {180^ \circ } - {49^ \circ } = {131^ \circ };\widehat {{A_1}D{B_1}} = {49^ \circ } - {35^ \circ } = {14^ \circ }\)

Áp dụng định lý sin trong tam giác \(D{A_1}{B_1}\) ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{{{A_1}{B_1}}}{{\sin \widehat {{A_1}D{B_1}}}} = \frac{{D{B_1}}}{{\sin \widehat {D{A_1}{B_1}}}} \Leftrightarrow \frac{3}{{\sin {{14}^ \circ }}} = \frac{{D{B_1}}}{{\sin {{131}^ \circ }}}\\ \Rightarrow D{B_1} = \sin {131^ \circ }.\frac{3}{{\sin {{14}^ \circ }}}\end{array}\)

Lại có: \(\Delta D{C_1}{B_1}\) vuông tại \({C_1}\) nên \(D{C_1} = D{B_1}.\sin {B_1} = D{B_1}.\sin {35^ \circ }\)

\( \Rightarrow D{C_1} = \sin {131^ \circ }.\frac{3}{{\sin {{14}^ \circ }}}.\sin {35^ \circ } \approx 5,37\)

Chiều cao CD của tháp là \(5,37 + 2 = 7,37(m)\)

Vậy tháp cao khoảng 7,37m.

Câu 3 (VD):

Cách giải:

Parabol (P) \(y = a{x^2} + bx + c\) giao với Oy tại điểm có tọa độ \((0;c)\), do đó \(c =  - 1\)

(P) có hoành độ đỉnh \({x_I} =  - \frac{b}{{2a}} = 2 \Rightarrow b =  - 4a\)

Điểm \(I(2;3)\) thuộc (P) nên \(a{.2^2} + b.2 - 1 = 3\) hay \(4a + 2b = 4\)

Từ đó ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}4a + 2b = 4\\b =  - 4a\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 4\\a =  - 1\end{array} \right.\)

Vậy parabol cần tìm là \(y =  - {x^2} + 4x - 1\)

* Vẽ parabol

Đỉnh \(I(2;3)\)

Trục đối xứng \(x = 2\)

Giao với Oy tại A(0;-1), lấy điểm B(4;-1) đối xứng với A qua trục đối xứng

Lấy điểm C(1;2) và D(3;2) thuộc đồ thị.