Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}a)\,\,\,\sqrt {180{x^2}}  = \sqrt {36.5{x^2}}  = 6\left| x \right|\sqrt 5  = \left\{ \begin{array}{l}6x\sqrt 5 \,\,\,\,\,khi\,\,\,x \ge 0\\ - 5x\sqrt 5 \,\,\,\,\,khi\,\,\,x < 0\end{array} \right..\\b)\,\,\,\sqrt {3{x^2} - 6xy + 3{y^2}}  = \sqrt {3\left( {{x^2} - 2xy + {y^2}} \right)}  = \sqrt {3{{\left( {x - y} \right)}^2}} \\ = \sqrt 3 \left| {x - y} \right| = \left\{ \begin{array}{l}\sqrt 3 \left( {x - y} \right)\,\,\,\,\,khi\,\,\,x \ge y\\ - \sqrt 3 \left( {x - y} \right)\,\,\,\,\,khi\,\,\,\,x < y\end{array} \right..\end{array}\)

Lời giải chi tiết:

\(\sqrt {{a^4}{{(3 - a)}^2}}  = \sqrt {{a^4}} .\sqrt {{{(3 - a)}^2}}  = {a^2}.|3 - a| = {a^2}.(a - 3)\) với \(a \ge 3.\)

Lời giải chi tiết:

\(\sqrt {27.48.{{(1 - a)}^2}}  = \sqrt {9.3.16.3.{{(1 - a)}^2}}  = \sqrt {81.16.{{(1 - a)}^2}}  = \sqrt {81} .\sqrt {16} .\sqrt {{{(1 - a)}^2}}  = 9.4.|1 - a| = 36.(a - 1)\)

            \(\left( {do\,\,a > 1 \Rightarrow 1 - a < 0} \right).\)

Lời giải chi tiết:

\(\sqrt {\frac{9}{{16}}.{x^2}.{y^6}}  = \sqrt {\frac{9}{{16}}} .\sqrt {{x^2}} .\sqrt {{y^6}}  = \frac{3}{4}.\left| x \right|.\left| {{y^3}} \right|\)

Lời giải chi tiết:

\(\sqrt {27x} .\sqrt {\frac{3}{x}}  = \sqrt {27x.\frac{3}{x}}  = \sqrt {9.3.3}  = 9\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \(A\sqrt B  = \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{A^2}B} \,\,\,\,khi\,\,\,A \ge 0\\ - \sqrt {{A^2}B} \,\,\,khi\,\,\,A < 0\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(a\sqrt {ab}  =  - \sqrt {{a^2}.ab}  =  - \sqrt {{a^3}b} \) vì \(a < 0.\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Với các biểu thức \(A \ge 0,B \ge 0\), ta có: \(\sqrt {A.B}  = \sqrt A .\sqrt B \)

Áp dụng công thức : \(\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,\,khi\,\,\,A \ge 0\\ - A\,\,\,\,khi\,\,\,\,A < 0\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}A = 3x + \sqrt {16 - 24x + 9{x^2}} \\\,\,\,\, = 3x + \sqrt {{4^2} - 2.3.4x + {{\left( {3x} \right)}^2}} \\\,\,\, = 3x + \sqrt {{{\left( {4 - 3x} \right)}^2}} \\\,\,\, = 3x + \left| {4 - 3x} \right|\end{array}\)

Với \(x =  - 3\) ta có \(A = 3\left( { - 3} \right) + \left| {4 - 3\left( { - 3} \right)} \right| =  - 9 + 13 = 4\)

Vậy \(A = 4\) khi \(x =  - 3.\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

+) Tìm ĐKXĐ của phương trình: \(\sqrt {f\left( x \right)} \) xác định \( \Leftrightarrow f\left( x \right) \ge 0.\)

+) Giải phương trình bằng phương pháp bình phương hai vế.

+) Đối chiếu với điều kiện rồi kết luận nghiệm của phương trình.

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ :  \(16 - 7x \ge 0 \Leftrightarrow x \le \frac{{16}}{7}\)

\(\begin{array}{l}\sqrt {16 - 7x}  = 11\\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {16 - 7x} } \right)^2} = {11^2}\\ \Leftrightarrow 16 - 7x = 121\\ \Leftrightarrow  - 7x = 105\\ \Leftrightarrow x =  - 15\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

Vậy phương trình có nghiệm là \(x =  - 15.\)

Chọn A.  

Phương pháp giải:

Tìm điều kiện để biểu thức \(A\) xác định: \(\sqrt {f\left( x \right)} \) xác định \( \Leftrightarrow f\left( x \right) \ge 0.\)

Áp dụng phép khai phương một tích nhân các căn thức bậc hai:

+ Nếu \(a \ge 0\) và \(b \ge 0\)thì \(\sqrt {a.b}  = \sqrt a .\sqrt b \)

+ Với các biểu thức A,B mà \(A \ge 0,B \ge 0\), ta có: \(\sqrt {A.B}  = \sqrt A .\sqrt B \)

Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ để xử lý bài toán: \({\left( {A \pm B} \right)^2} = {A^2} \pm 2AB + {B^2}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: Điều kiện xác định \(x \ge 2\)

\(A = \sqrt {x + 2\sqrt {2x - 4} }  + \sqrt {x - 2\sqrt {2x - 4} } \)

\(\begin{array}{l} = \sqrt {x + 2.\sqrt 2 .\sqrt {x - 2} }  + \sqrt {x - 2.\sqrt 2 .\sqrt {x - 2} } \\ = \sqrt {\left( {x - 2} \right) + 2.\sqrt 2 .\sqrt {x - 2}  + 2}  + \sqrt {\left( {x - 2} \right) - 2.\sqrt 2 .\sqrt {x - 2}  + 2} \\ = \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 2}  + \sqrt 2 } \right)}^2}}  + \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 2}  - \sqrt 2 } \right)}^2}} \\ = \left| {\sqrt {x - 2}  + \sqrt 2 } \right| + \left| {\sqrt {x - 2}  - \sqrt 2 } \right|\end{array}\)

Nếu \(2 \le x < 4\) thì \(A = \sqrt {x - 2}  + \sqrt 2  - \sqrt {x - 2}  + \sqrt 2  = 2\sqrt 2 \)

Nếu \(x \ge 4\)thì \(A = \sqrt {x - 2}  + \sqrt 2  + \sqrt {x - 2}  - \sqrt 2  = 2\sqrt {x - 2} \)

Vậy \(A = 2\sqrt 2 \) hoặc \(A = 2\sqrt {x - 2} .\)

Chọn A.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}a)\,\,\frac{x}{y}.\sqrt {\frac{{{x^2}}}{{{y^4}}}} \,\,\,\left( {x > 0,\,\,y \ne 0} \right) = \frac{x}{y}.\frac{{\sqrt {{x^2}} }}{{\sqrt {{y^4}} }} = \frac{x}{y}.\frac{{\left| x \right|}}{{{y^2}}} = \frac{x}{y}.\frac{x}{{{y^2}}} = \frac{{{x^2}}}{{{y^3}}}\,\,\,\left( {do\,\,\,x > 0} \right)\\b)\,\,5xy.\sqrt {\frac{{25{x^2}}}{{{y^6}}}} \,\,\left( {x < 0,\,\,y > 0} \right) = 5xy.\frac{{\sqrt {25{x^2}} }}{{\sqrt {{y^6}} }} = 5xy.\frac{{\sqrt {{{\left( {5x} \right)}^2}} }}{{\sqrt {{{\left( {{y^3}} \right)}^2}} }}\\ = 5xy.\frac{{\left| {5x} \right|}}{{\left| {{y^3}} \right|}} = 5xy.\frac{{ - 5x}}{{{y^3}}} = \frac{{ - 25{x^2}}}{y}\,\,\,\,\,\left( {do\,\,x > 0;\,\,y < 0} \right).\\c)\,\,a{b^2}.\sqrt {\frac{3}{{{a^2}{b^4}}}}  = a{b^2}.\frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt {{a^2}.{b^4}} }} = a{b^2}.\frac{{\sqrt 3 }}{{\left| {a{b^2}} \right|}} = a{b^2}.\frac{{\sqrt 3 }}{{ - a{b^2}}} =  - \sqrt 3 \,\,\,\left( {a < 0 \Rightarrow \left| {a{b^2}} \right| =  - a{b^2}} \right).\\d)\,\,\sqrt {\frac{{9 + 12a + 4{a^2}}}{{{b^2}}}} \,\,\,\,\left( {a \ge  - \frac{3}{2};\,\,b < 0} \right)\\ = \sqrt {\frac{{{{\left( {3 + 2a} \right)}^2}}}{{{b^2}}}}  = \frac{{\sqrt {{{\left( {3 + 2a} \right)}^2}} }}{{\sqrt {{b^2}} }} = \frac{{\left| {3 + 2a} \right|}}{{\left| b \right|}} = \frac{{3 + 2a}}{{ - b}}\\\left( {do\,\,\,a \ge  - \frac{3}{2} \Rightarrow 2a + 3 \ge 0;\,\,b < 0} \right).\end{array}\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}a)\,\,\frac{{\sqrt {2x - 1} }}{{\sqrt {x - 1} }} = 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - 1 \ge 0\\x - 1 > 0\\\sqrt {2x - 1}  = 2\sqrt {x - 1} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge \frac{1}{2}\\x > 1\\2x - 1 = 4\left( {x - 2} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\2x - 1 = 4x - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\2x = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\x = \frac{3}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}.\end{array}\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x = \frac{3}{2}.\)

\(\begin{array}{l}b)\,\,\frac{{\sqrt {{x^2} - 4} }}{{\sqrt {x - 2} }} = 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 4 \ge 0\\x - 2 > 0\\\sqrt {{x^2} - 4}  = 3\sqrt {x - 2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x \ge 2\\x \le  - 2\end{array} \right.\\x > 2\\{x^2} - 4 = 9\left( {x - 2} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 2\\{x^2} - 9x + 14 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 2\\\left( {x - 2} \right)\left( {x - 7} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 2\\\left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 7\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 7.\end{array}\)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x = 7.\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}a)\,\,\left( {5\sqrt {48}  + 4\sqrt {27}  - 2\sqrt {12} } \right):\sqrt 3  = \frac{{5\sqrt {48}  + 4\sqrt {27}  - 2\sqrt {12} }}{{\sqrt 3 }}\\ = \frac{{5\sqrt {{4^2}.3}  + 4\sqrt {{3^2}.3}  - 2\sqrt {{2^2}.3} }}{{\sqrt 3 }} = \frac{{5.4\sqrt 3  + 4.3\sqrt 3  - 2.2\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }}\\ = \frac{{20\sqrt 3  + 12\sqrt 3  - 4\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }} = \frac{{28\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }} = 28.\\b)\,\,\left( {\sqrt {{a^2} - {b^2}}  + \sqrt {\left( {a + b} \right)b} } \right):\sqrt {a + b} \,\,\,\,\left( {a > b > 0} \right)\\ = \frac{{\sqrt {{a^2} - {b^2}}  + \sqrt {\left( {a + b} \right).b} }}{{\sqrt {a + b} }} = \frac{{\sqrt {\left( {a + b} \right)\left( {a - b} \right)}  + \sqrt b .\sqrt {a + b} }}{{\sqrt {a + b} }}\\ = \frac{{\sqrt {a + b} .\sqrt {a - b}  + \sqrt b .\sqrt {a + b} }}{{\sqrt {a + b} }} = \frac{{\sqrt {a + b} \left( {\sqrt {a - b}  + \sqrt b } \right)}}{{\sqrt {a + b} }} = \sqrt {a - b}  + \sqrt b .\end{array}\)

Phương pháp giải:

- Áp dụng: Với \(A \ge 0,B > 0\), \(\frac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }} = \sqrt {\frac{A}{B}} \)và hằng đẳng thức \(\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,\,\,khi\,\,\,A \ge 0\\ - A\,\,\,\,khi\,\,\,A < 0\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(3a{b^2}.\sqrt {\frac{{{b^2}}}{{{a^4}}}}  = 3a{b^2}.\frac{{\sqrt {{b^2}} }}{{\sqrt {{a^4}} }}\)\( = 3a{b^2}.\frac{{\left| b \right|}}{{\left| {{a^2}} \right|}}\)\( = 3a{b^2}.\frac{b}{{{a^2}}}\)\( = \frac{{3a{b^3}}}{{{a^2}}} = \frac{{3{b^3}}}{a}\)\(\left( {do\,\,\,b > 0,\,\,{a^2} > 0} \right).\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

- Áp dụng: Với \(A \ge 0,B > 0\) ta có: \(\frac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }} = \sqrt {\frac{A}{B}} \) để rút gọn biểu thức \(A\)

- So sánh \(A\) và \(0.\)

Lời giải chi tiết:

Với \(y < 0 < x \Rightarrow x - y > 0\)

Ta có: \(\left| x \right| = x;\,\,\left| y \right| =  - y;\,\,\,\left| {x - y} \right| = x - y.\)

\(\begin{array}{l}A = 2\left( {x - y} \right)x{y^3}.\frac{{\sqrt {{x^2}{y^3}} }}{{\sqrt {{x^4}{y^5}{{\left( {x - y} \right)}^2}} }}\\ = 2\left( {x - y} \right)x{y^3}.\sqrt {\frac{{{x^2}{y^3}}}{{{x^4}{y^5}{{\left( {x - y} \right)}^2}}}} \\ = 2\left( {x - y} \right)x{y^3}.\sqrt {\frac{1}{{{x^2}{y^2}{{\left( {x - y} \right)}^2}}}} \\ = 2\left( {x - y} \right)x{y^3}.\frac{1}{{\sqrt {{x^2}{y^2}{{\left( {x - y} \right)}^2}} }}\\ = 2\left( {x - y} \right)x{y^3}.\frac{1}{{\left| x \right|.\left| y \right|.\left| {x - y} \right|}}\,\,\\ = \frac{{2\left( {x - y} \right)x{y^3}}}{{ - xy\left( {x - y} \right)}} =  - 2{y^2}\end{array}\)

Vì \({y^2} > 0\,\,\forall y \Rightarrow  - 2{y^2} < 0\,\,\,\forall y\)

Vậy \(A < 0.\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

- Giải phương trình bằng quy tắc chuyển vế đổi dấu.

- Chia cả hai vế cho \(\sqrt 7 \)để tìm \({x^2}\) rồi suy ra \(x.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}\sqrt 7 {x^2} - \sqrt {63}  = 0 \Leftrightarrow \sqrt 7 {x^2} = \sqrt {63} \\ \Leftrightarrow {x^2} = \frac{{\sqrt {63} }}{{\sqrt 7 }} \Leftrightarrow {x^2} = \sqrt {\frac{{63}}{7}} \\ \Leftrightarrow {x^2} = \sqrt 9  = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \sqrt 3 \\x =  - \sqrt 3 \end{array} \right..\end{array}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ { - \sqrt 3 ;\,\,\sqrt 3 } \right\}.\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

- Cách 1: Thay giá trị của \(x\) ở từng đáp án vào phương trình.

- Cách 2: Giải phương trình.

Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa rồi giải phương trình.

\(\sqrt {f\left( x \right)} \) xác định \( \Leftrightarrow f\left( x \right) \ge 0.\)

\(\frac{1}{{\sqrt {f\left( x \right)} }}\) xác định \( \Leftrightarrow f\left( x \right) > 0.\)

Lời giải chi tiết:

Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x - 3\sqrt x  \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\\sqrt x \left( {\sqrt x  - 3} \right) \ge 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\\sqrt x  \ge 3\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge 9\)

\(\begin{array}{l}\frac{{\sqrt {x - 3\sqrt x } }}{{\sqrt x }} = 0 \Rightarrow \sqrt {x - 3\sqrt x }  = 0\\ \Leftrightarrow x - 3\sqrt x  = 0\\ \Leftrightarrow \sqrt x \left( {\sqrt x  - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x  = 0\\\sqrt x  - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\,\,\,\left( {ktm} \right)\,\,\\x = 9\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ 9 \right\}.\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

- Biến đổi biểu thức \(\sqrt {{{\left( {a - 1} \right)}^3}}  + 3\sqrt {a - 1}  - 3a + 2\) về lập phương của một tổng.

- Áp dụng \(\frac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }} = \sqrt {\frac{A}{B}} \) với \(A \ge 0,B > 0\)

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(a \ge 2.\)

\(\begin{array}{l}\sqrt {{{\left( {a - 1} \right)}^3}}  + 3\sqrt {a - 1}  - 3a + 2\\ = {\left( {\sqrt {a - 1} } \right)^3} - 3\left( {a - 1} \right).1 + 3\sqrt {a - 1}  - 1\\ = {\left( {\sqrt {a - 1}  - 1} \right)^3}.\end{array}\)

Do đó:

\(\begin{array}{l}\frac{{\sqrt {\sqrt {{{\left( {a - 1} \right)}^3}}  + 3\sqrt {a - 1}  - 3a + 2} }}{{\sqrt {\sqrt {a - 1}  - 1} }} = \frac{{\sqrt {{{\left( {\sqrt {a - 1}  - 1} \right)}^3}} }}{{\sqrt {\sqrt {a - 1}  - 1} }}\\ = \sqrt {\frac{{{{\left( {\sqrt {a - 1}  - 1} \right)}^3}}}{{\sqrt {a - 1}  - 1}}}  = \sqrt {{{\left( {\sqrt {a - 1}  - 1} \right)}^2}} \\ = \left| {\sqrt {a - 1}  - 1} \right| = \sqrt {a - 1}  - 1.\end{array}\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

- Phân tích \(x - 5\sqrt x  + 6\) thành nhân tử

- Áp dụng \(\frac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }} = \sqrt {\frac{A}{B}} \) với \(A \ge 0,B > 0\) để rút gọn biểu thức

- Tính \({P^2}\)

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(x \ge 9.\)

\(\begin{array}{l}\frac{{\sqrt {x - 5\sqrt x  + 6} }}{{\sqrt x  - 2}} = \frac{{\sqrt {x - 2\sqrt x  - 3\sqrt x  + 6} }}{{\sqrt x  - 2}}\\ = \frac{{\sqrt {\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)} }}{{\sqrt x  - 2}} = \frac{{\sqrt {\sqrt x  - 2} .\sqrt {\sqrt x  - 3} }}{{{{\left( {\sqrt {\sqrt x  - 2} } \right)}^2}}}\\ = \frac{{\sqrt {\sqrt x  - 3} }}{{\sqrt {\sqrt x  - 2} }} = \sqrt {\frac{{\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x  - 2}}} .\end{array}\)

\( \Rightarrow {P^2} = {\left( {\sqrt {\frac{{\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x  - 2}}} } \right)^2} = \frac{{\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x  - 2}}.\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

- Tìm điều kiện của \(x\) để biểu thức xác định.

- Đối chiếu với điều kiện xem \(x = 4 + \sqrt {15} \) thỏa mãn điều kiện xác định.

- Biến đổi \(2x\)thành hằng đẳng thức.

- Tính \(\sqrt x \)

- Thay giá trị của \(\sqrt x \) vừa tính được vào \(A.\)

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(x \ge 0.\)

Ta có: \(x = 4 + \sqrt {15} \) thỏa mãn điều kiện xác định.

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2x = 8 + 2\sqrt {15}  = 5 + 2\sqrt 5 .\sqrt 3  + 3 = {\left( {\sqrt 5  + \sqrt 3 } \right)^2}\\ \Rightarrow x = \frac{{{{\left( {\sqrt 5  + \sqrt 3 } \right)}^2}}}{2}\\ \Rightarrow \sqrt x  = \sqrt {\frac{{{{\left( {\sqrt 5  + \sqrt 3 } \right)}^2}}}{2}}  = \frac{{\left| {\sqrt 5  + \sqrt 3 } \right|}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 5  + \sqrt 3 }}{{\sqrt 2 }}\end{array}\)

Thay \(\sqrt x  = \frac{{\sqrt 5  + \sqrt 3 }}{{\sqrt 2 }}\) vào \(A\) ta được: \(A = \frac{{2\left( {\sqrt 5  + \sqrt 3 } \right)}}{{\sqrt 2 \left( {\sqrt 5  + \sqrt 3 } \right)}} = \sqrt 2 \)

Chọn D.

Phương pháp giải:

- Tìm điều kiện của \(x\) để biểu thức \(Q\) xác định.

- Giải phương trình \(\frac{{x + \sqrt x  + 1}}{{\sqrt x }} = 3\), bằng cách:

+ Nhân chéo với điều kiện \(x > 0\)

+ Phân tích đa thức thu được thành nhân tử.

+ Đối chiếu với điều kiện rồi kết luận giá trị cần tìm của \(x.\)

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(x > 0.\)

\(\begin{array}{l}\frac{{x + \sqrt x  + 1}}{{\sqrt x }} = 3\\ \Rightarrow x + \sqrt x  + 1 = 3\sqrt x \\ \Leftrightarrow x - 2\sqrt x  + 1 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt x  - 1} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow \sqrt x  = 1\\ \Leftrightarrow x = 1\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

- Chia tử thức cho mẫu thức được \(A = \sqrt x  + \frac{4}{{\sqrt x }} + 1\)

- Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương \(\sqrt x \) và \(\frac{4}{{\sqrt x }}\)

Lời giải chi tiết:

Với \(x > 0\) ta có:  \(A = \frac{{x + \sqrt x  + 4}}{{\sqrt x }}\)\( = \frac{x}{{\sqrt x }} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x }} + \frac{4}{{\sqrt x }}\)\( = \sqrt x  + \frac{4}{{\sqrt x }} + 1\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương \(\sqrt x \) và \(\frac{4}{{\sqrt x }}\) ta được:

\(\sqrt x  + \frac{4}{{\sqrt x }} \ge 2\sqrt {\sqrt x .\frac{4}{{\sqrt x }}}  = 2.2 = 4\)\( \Rightarrow \sqrt x  + \frac{4}{{\sqrt x }} + 1 \ge 5\)

Dấu “=” xảy ra khi \(\sqrt x  = \frac{4}{{\sqrt x }} \Leftrightarrow x = 4\,\,\,\left( {tm} \right)\)

Vậy GTNN của \(A\) là \(5\) khi \(x = 4\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

- Xác định mẫu thức chung \(x - 4 = \left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)\)

- Quy đồng mẫu thức các phân thức

- Rút gọn biểu thức

Lời giải chi tiết:

Với \(x \ge 0,\,\,\,x \ne 4\) ta có:

\(\begin{array}{l}P = \frac{1}{{\sqrt x  - 2}} + \frac{1}{{\sqrt x  + 2}} - \frac{4}{{x - 4}}\\ = \frac{1}{{\sqrt x  - 2}} + \frac{1}{{\sqrt x  + 2}} - \frac{4}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\\ = \frac{{\sqrt x  + 2 + \sqrt x  - 2 - 4}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\\ = \frac{{2\sqrt x  - 4}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\\ = \frac{{2\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}} = \frac{2}{{\sqrt x  + 2}}\end{array}\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

- Biến đổi \(25 + x - 10\sqrt x  = {\left( {\sqrt x  - 5} \right)^2},25 + x + 10\sqrt x  = {\left( {\sqrt x  + 5} \right)^2}\)

- Rút gọn \(A\)

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(x \ge 25.\)

Với \(x \ge 25 \Rightarrow \sqrt x  \ge 5 \Rightarrow \sqrt x  - 5 \ge 0.\)

\(A = \frac{{\sqrt {25 + x - 10\sqrt x } }}{{\sqrt {25 + x + 10\sqrt x } }} = \frac{{\sqrt {{{\left( {\sqrt x  - 5} \right)}^2}} }}{{\sqrt {{{\left( {\sqrt x  + 5} \right)}^2}} }}\)\( = \frac{{\left| {\sqrt x  - 5} \right|}}{{\left| {\sqrt x  + 5} \right|}} = \frac{{\sqrt x  - 5}}{{\sqrt x  + 5}}\) \(\left( {do\,\,\,\sqrt x  - 5 \ge 0} \right)\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Áp dụng phương pháp bình phương hai vế của biểu thức \({A^2} = {\left( {\sqrt {1 + \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}} } \right)^2}\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}A = \sqrt {1 + \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}} \\ \Rightarrow {A^2} = {\left( {\sqrt {1 + \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}} } \right)^2}\\ = 1 + \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}\\ = \frac{{{a^2}{{\left( {a + 1} \right)}^2} + {{\left( {a + 1} \right)}^2} + {a^2}}}{{{a^2}{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}\\ = \frac{{{a^2}\left( {{a^2} + 2a + 1 + 1} \right) + {{\left( {a + 1} \right)}^2}}}{{{a^2}{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}\\ = \frac{{{a^4} + 2{a^2}\left( {a + 1} \right) + {{\left( {a + 1} \right)}^2}}}{{{a^2}{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}\\ = \frac{{{{\left( {{a^2} + a + 1} \right)}^2}}}{{{a^2}{{\left( {a + 1} \right)}^2}}} = {\left[ {\frac{{{a^2} + a + 1}}{{a\left( {a + 1} \right)}}} \right]^2}.\end{array}\)

Do \(a > 0\) nên \(A > 0\) và \(A = \frac{{{a^2} + a + 1}}{{a\left( {a + 1} \right)}}.\)

Chọn B.