Phương pháp giải:

Cách vẽ đồ thị hàm số \(y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)\).

Cho \(x = 0 \Rightarrow y = b \Rightarrow A\left( {0;b} \right)\)

Cho \(y = 0 \Rightarrow x = \dfrac{{ - b}}{a} \Rightarrow B\left( { - \dfrac{b}{a};0} \right)\)

Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm \(A\left( {0;b} \right)\) và \(B\left( { - \dfrac{b}{a};0} \right)\).

Lời giải chi tiết:

\(y = \dfrac{{ - 2}}{3}x\) đi qua \(A\left( {0;0} \right)\)và  \(B\left( {3; - 2} \right)\)

\(y = \dfrac{{ - 2}}{3}x + 1\) đi qua \(A\left( {0;1} \right)\)và  \(B\left( {\dfrac{3}{2};0} \right)\)

Từ đó ta có đồ thị.

Nhìn trên đồ thị ta có 2 đồ thị song song với nhau .

Phương pháp giải:

Cho hai đường thẳng \(d:\,\,y = ax + b\) và \(d':\,\,y = a'x + b'.\)

Khi đó: \(d//d' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b \ne b'\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

\(\left( d \right):\,\,y = {m^2}x + m\,\,\left( {m \ne 0} \right)\) song song với đường thẳng \(\left( {d'} \right):\,\,y = 4x - 2.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} = 4\\m \ne  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m = 2\\m =  - 2\end{array} \right.\\m \ne  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 2.\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Hai đường thẳng \(\left( d \right):y = ax + b,\left( {d'} \right):y = a'x + b'\)

+) song song với nhau khi \(\left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b \ne b'\end{array} \right.\) 

+) Cắt nhau khi \(a \ne a'\)

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng \(y = 7x + 3\) và đường thẳng \(y = 4 - 7x\) có \(7 \ne  - 7\) nên hai đường thẳng này cắt nhau tức là chúng không song song.

Chọn B

Phương pháp giải:

Hai đường thẳng \({d_1}:\,\,\,y = {a_1}x + {b_1}\) và \({d_2}:\,\,\,y = {a_2}x + {b_2}\) song song với nhau \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_1} = {a_2}\\{b_1} \ne {b_2}\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng song song với đường thẳng \(y =  - 2x + 3\) có dạng: \(y =  - 2x + b\,\,\,\,\left( {b \ne 3} \right).\)

\( \Rightarrow \) Chỉ có đáp án A: \(y =  - 2x + 7\) thỏa mãn.

Chọn A.

Phương pháp giải:

Đường thẳng \(y = {a_1}x + {b_1}\) và \(y = {a_2}x + {b_2}\) trùng nhau \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_1} = {a_2}\\{b_1} = {b_2}\end{array} \right.\).

Lời giải chi tiết:

Đồ thị các hàm số \(y = \left( {m + 2} \right)x + 3\) và \(y = 3x + 3\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + 2 = 3\\3 = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 1\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

Đường thẳng \(y = {a_1}x + {b_1}\) và \(y = {a_2}x + {b_2}\) song song với nhau \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_1} = {a_2}\\{b_1} \ne {b_2}\end{array} \right..\) 

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng \(y = mx + 1\) song song với đường thẳng \(y = 2x - 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 2\\1 \ne  - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 2.\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Đường thẳng \(y = {a_1}x + {b_1}\) và \(y = {a_2}x + {b_2}\) song song với nhau \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_1} = {a_2}\\{b_1} \ne {b_2}\end{array} \right..\) 

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({d_1}:\,\,\,y = 2mx + 3\) và \({d_2}:\,\,y = \left( {m + 1} \right)x + 2\) song song \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m = m + 1\\3 \ne 2\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 1.\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Hai đường thẳng trùng nhau khi chúng có các hệ số giống hệt nhau

Lời giải chi tiết:

Hai đường thẳng đề cho trùng nhau khi: \(\left\{ \begin{array}{l}{m^2} + 1 = 5\\m = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m =  \pm 2\\m = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 2\)

Chọn đáp án B

Phương pháp giải:

a) Hàm số \(y = ax + b\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi \(a > 0\).

b) Tìm các 2 điểm bất kì thuộc đồ thị hàm số. Đồ thị hàm số là đường thẳng đi qua 2 điểm đó.

c) Đường thẳng \(y = (m - 1)x + 3\,\,(m \ne 1)\) song song với đường thẳng \(y = 2x - 2\) khi hệ số góc của hai hàm số bằng nhau và hệ số tự do của 2 đường thẳng khác nhau.

Lời giải chi tiết:

a) Hàm số đã cho đồng biến trên \(\mathbb{R}\) vì \(a = 2 > 0\).

b) Vẽ đồ thị hàm số \(y = 2x - 2\)

Cho \(x = 0 \Rightarrow y =  - 2\), ta được điểm \((0; - 2)\) thuộc đường thẳng \(y = 2x - 2\);

       \(y = 0 \Rightarrow x = 1\), ta được điểm \((1;0)\) thuộc đường thẳng \(y = 2x - 2\).

Vậy đồ thị hàm số \(y = 2x - 2\)  là đường thẳng đi qua 2 điểm \(\left( {0; - 2} \right),\;\left( {1;\;0} \right).\;\)

Đồ thị hàm số như hình vẽ bên:  

c) Đường thẳng \(y = (m - 1)x + 3\,\,(m \ne 1)\) song song với đường thẳng \(y = 2x - 2\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow m - 1 = 2\\ \Leftrightarrow m = 3\end{array}\) (vì \(3 \ne  - 2\))

Chọn B.

Phương pháp giải:

1. Hàm số \(y = ax + b\) đồng biến khi \(a > 0\)

2. \(\left( d \right)\) đi qua \(A\left( {2;8} \right)\) thì tọa độ điểm A thỏa mãn hàm số của \(\left( d \right)\)

3. \(y = ax + b\) song song với \(y = a'x + b'\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b \ne b'\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

Cho hàm số \(y = \left( {{m^2} - 2m + 3} \right)x - 4\,\,\,\,\,\left( d \right)\), (với m là tham số)

1. Chứng minh rằng với mọi m hàm số luôn đồng biến trên tập xác định của nó.

\({m^2} - 2m + 3 = {m^2} - 2m + 1 + 2 = {\left( {m - 1} \right)^2} + 2 > 0\) với mọi m

Vậy với mọi m hàm số luôn đồng biến trên tập xác định của nó

2. Tìm m để \(\left( d \right)\) đi qua \(A\left( {2;8} \right)\).

Để \(\left( d \right)\) đi qua \(A\left( {2;8} \right) \Leftrightarrow 8 = \left( {{m^2} - 2m + 3} \right).2 - 4 \Leftrightarrow 2{m^2} - 4m + 6 - 4 - 8 = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2{m^2} - 4m - 6 = 0 \Leftrightarrow 2{m^2} + 2m - 6m - 6 = 0\\ \Leftrightarrow 2m\left( {m + 1} \right) - 6\left( {m + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {m + 1} \right)\left( {2m - 6} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m + 1 = 0\\2m - 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m =  - 1\\m = 3\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy với \(m =  - 1\) hoặc \(m = 3\) thì \(\left( d \right)\) đi qua \(A\left( {2;8} \right)\)

3. Tìm m để \(\left( d \right)\) song song với đường thẳng \(\left( {d'} \right):y = 3x + m - 4\).

Để \(\left( d \right)\) song song với đường thẳng \(\left( {d'} \right):y = 3x + m - 4\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 2m + 3 = 3\\ - 4 \ne m - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 2m = 0\\m \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m\left( {m - 2} \right) = 0\\m \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 2\end{array} \right.\\m \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 2.\)

Vậy với \(m = 2\) thì \(\left( d \right)\) song song với đường thẳng \(\left( {d'} \right):y = 3x + m - 4\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

Cách 1: Giải phương trình hoành độ giao điểm.

Cách 2 : Giải hệ phương trình bao gồm 2 phương trình đường thẳng.

Lời giải chi tiết:

Cách 1:

Phương trình hoành độ giao điểm của \({d_1},\,{d_2}\) là: \(2x + 1 = x + 3 \Leftrightarrow 2x - x = 3 - 1 \Leftrightarrow x = 2\)

Thay \(x = 2\) vào d₂ ta có: \(y = x + 3 = 2 + 3 = 5\).

Vậy \(A\left( {2;5} \right)\) là giao điểm của hai đường thẳng.

Cách 2:

Gọi \(A\left( {x;y} \right)\) là giao điểm của \({d_1}\) và \({d_2}\).

Tọa độ của \(A\) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}y = 2x + 1\\y = x + 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - y =  - 1\\x - y =  - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\x - y =  - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 5\end{array} \right.\).

Vậy \(A\left( {2;5} \right)\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

Đồ thị hàm số song song với đường thẳng \(y = 2x + 2019\)suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b \ne 2019\end{array} \right..\)

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ là 2020, suy ra tọa độ giao điểm \(A\left( {0;2020} \right)\)
Thay tọa độ giao điểm vào \(y = 2x + b\) ta tìm được b.

Lời giải chi tiết:

Vì đồ thị hàm số \(y = ax + b\) song song với đường thẳng \(y = 2x + 2019\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b \ne 2019\end{array} \right..\)

\( \Rightarrow y = ax + b \Leftrightarrow y = 2x + b\,\,\,\left( {b \ne 2019} \right)\)

Mà đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ là \(2020 \Rightarrow \) đồ thị hàm số đi qua điểm \(\left( {0;\,\,\,2020} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2020 = 2.0 + b\\ \Rightarrow b = 2020\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

Vậy \(a = 2;\,\,\,\,b = 2020.\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

+) Đường thẳng \(y = ax + b\) song song với đường thẳng \(y = a'x + b' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b \ne b'\end{array} \right.\).

+) Thay tọa độ điểm \(A\) vào phương trình đường thẳng.

Lời giải chi tiết:

Gọi đường thẳng cần tìm là \(d\).

Do \(d\) song song với đường thẳng \(y =  - \frac{2}{3}x + 5 \Rightarrow \) Phương trình đường thẳng d có dạng \(y =  - \frac{2}{3}x + c\,\,\left( {c \ne 5} \right)\).

Do \(A\left( {0;2} \right) \in d \Rightarrow 2 =  - \frac{2}{3}.0 + c \Leftrightarrow c = 2\).

Vậy phương trình đường thẳng d là \(y =  - \frac{2}{3}x + 2 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - \frac{2}{3}\\b = 2\end{array} \right. \Rightarrow S = a + b =  - \frac{2}{3} + 2 = \frac{4}{3}\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

+) Tìm tọa độ giao điểm \(M\)  của đường thẳng \({\left( d \right)_1},\,\,\left( {{d_2}} \right).\)

+) Ba đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right);\,\,\left( {{d_2}} \right);\,\,\left( {{d_3}} \right)\) đồng quy \( \Leftrightarrow M \in \left( {{d_3}} \right).\)

+) Thay tọa độ điểm \(M\) vào công thức đường thẳng\(\left( {{d_3}} \right)\) để tìm \(m.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có tọa độ giao điểm \(M\) của \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình : \(\left\{ \begin{array}{l}y = 2x - 5\\y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 1\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {3;\,\,1} \right).\)

Ba đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right);\,\,\left( {{d_2}} \right);\,\,\left( {{d_3}} \right)\) đồng quy \( \Leftrightarrow M \in \left( {{d_3}} \right).\)

\( \Leftrightarrow 1 = \left( {2m - 3} \right).3 - 2 \Leftrightarrow 1 = 6m - 9 - 2 \Leftrightarrow m = 2.\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Hai đường thẳng \(y = ax + b\) và \(y = a'x + b'\) song song với nhau \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b \ne b'\end{array} \right..\) 

Lời giải chi tiết:

Theo đề bài ta có:\({d_1}//{d_2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b \ne 2019\end{array} \right. \Rightarrow {d_1}:\,\,\,y = 2x + b.\)

\({d_1}\) cắt trục tung tại \(A\left( {0; - 2} \right) \Rightarrow  - 2 = 2.0 + b \Leftrightarrow b =  - 2\,\,\left( {tm} \right)\)

\( \Rightarrow {a^2} + {b^3} = {2^2} + {\left( { - 2} \right)^3} = 4 - 8 =  - 4.\)

Chọn  C.

Phương pháp giải:

Cho hai đường thẳng: \({d_1}:\,\,\,y = {a_1}x + {b_1}\) và \({d_2}:\,\,\,y = {a_2}x + {b_2}.\) Khi đó: \({d_1}//{d_2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_1} = {a_2}\\{b_1} \ne {b_2}\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

Ta có hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right):\,\,y = 5x + 9\) và \(\left( {{d_2}} \right):\,\,y = \left( {{m^2} - 4} \right)x + 3m\) song song

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 4 = 5\\3m \ne 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} = 9\\m \ne 3\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m = 3\\m =  - 3\end{array} \right.\\m \ne 3\end{array} \right. \Leftrightarrow m =  - 3.\)

Vậy \(m =  - 3\) thì đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) song song.

Chọn C.

Phương pháp giải:

a) Thay tọa độ điểm A vào hàm số để tìm m

b) Sử dụng định nghĩa hệ số góc của đường thẳng để tính góc cần tìm

c) Áp dụng điều kiện để hai đường thẳng song song để tìm m

Lời giải chi tiết:

Cho hàm số \(y = \left( {m - 4} \right)x + 4\) có đồ thị là đường thẳng \(\left( d \right)\) \(\left( {m \ne 4} \right)\).

a) Tìm m để đồ thị hàm số đi qua \(A\left( {1;6} \right)\)

 \(A\left( {1;\;6} \right)\) thuộc đường thẳng \(\left( d \right).\) Ta thay \(x = 1;\,\,y = 6\) vào hàm số \(y = \left( {m - 4} \right)x + 4\) ta được \(6 = \left( {m - 4} \right).1 + 4 \Leftrightarrow m = 6\;\;\left( {tm} \right)\)

Vậy với \(m = 6\) thì đồ thị hàm số đi qua \(A\left( {1;6} \right)\)

b) Vẽ đồ thị hàm số với m tìm được ở câu a. Tính góc tạo bởi đồ thị hàm số vừa vẽ với trục Ox (làm tròn đến phút).

Với \(m = 6\) thì \(y = 2x + 4\)

Ta có bảng giá trị:

Đường thẳng \(y = 2x + 4\) đi qua hai điểm \(\left( {0;4} \right)\) và \(\left( { - 2;0} \right)\)

Gọi \(\alpha \) là góc tạo bởi đồ thị hàm số vừa vẽ với trục Ox \( \Rightarrow \tan \alpha  = 2 \Rightarrow \alpha  \approx {63^0}26'\)

c) Tìm m để đường thẳng \(\left( d \right)\) song song với đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right):y = \left( {m - {m^2}} \right)x + m + 2\)

\(\left( d \right)//\left( {{d_1}} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - {m^2} = m - 4\\m + 2 \ne 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{m^2} = 4\\m \ne 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m = 2\\m =  - 2\end{array} \right.\\m \ne 2\end{array} \right. \Leftrightarrow m =  - 2\;\;\left( {tm} \right)\)

Vậy với \(m =  - 2\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Phương pháp giải:

a) Lập bảng giá trị và vẽ đồ thị hàm số.

b) Tìm điểm\(A\left( {4;{y_0}} \right)\) là giao điểm của \(\left( {{d_3}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\), \(\left( {{d_3}} \right)//\left( {{d_1}} \right)\) suy ra  a và dạng của \(\left( {{d_3}} \right)\), thay tọa độ điểm A vào đó để suy ra b

Lời giải chi tiết:

Cho hàm số \(y = 0,5x\) có đồ thị là \(\left( {{d_1}} \right)\) và hàm số \(y =  - x + 3\) có đồ thị là \(\left( {{d_2}} \right)\).

a) Vẽ \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy.

\( \Rightarrow \left( {{d_1}} \right)\) là đường thẳng đi qua gốc tọa độ và điểm \(\left( {2;1} \right)\)

\( \Rightarrow \left( {{d_2}} \right)\) là đường thẳng đi qua 2 điểm \(\left( {0;3} \right)\) và \(\left( {3;0} \right)\)

b) Xác định các hệ số a, b của đường thẳng \(\left( {{d_3}} \right)\)\(:\,\,y = ax + b\). Biết \(\left( {{d_3}} \right)\) song song với \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_3}} \right)\) cắt \(\left( {{d_2}} \right)\) tại một điểm có hoành độ bằng 4.

\(\left( {{d_3}} \right)//\left( {{d_1}} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{2}\\b \ne 0\end{array} \right.\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\left( {{d_3}} \right):\,\,y = \frac{1}{2}x + b\)

Gọi \(A\left( {4;{y_0}} \right)\) là giao điểm của \(\left( {{d_3}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\)

\(A\left( {4;{y_0}} \right) \in \left( {{d_2}} \right) \Leftrightarrow {y_0} =  - 4 + 3 =  - 1 \Rightarrow A\left( {4; - 1} \right)\)

\(A\left( {4; - 1} \right) \in \left( {{d_3}} \right) \Leftrightarrow  - 1 = \frac{1}{2}.4 + b \Leftrightarrow  - 1 = 2 + b \Leftrightarrow b =  - 3\)  (tmđk \(b \ne 0\))

Vậy \(\left( {{d_3}} \right):y = \frac{1}{2}x - 3\)

Chọn B.