80 bài tập trắc nghiệm phương trình đường thẳng mức độ vận dụng, vận dụng cao

Làm đề thi

Câu hỏi 1 :

Cho \(A\left( {4;1} \right);\,\,\left( d \right):\,\,x - 2y + 4 = 0.\,\,H\) là hình chiếu vuông góc của A lên (d). Tìm H.

  • A \(H\left( {\frac{{4}}{5};\frac{{7}}{5}} \right)\).
  • B \(H\left( {\frac{{14}}{5};\frac{{17}}{5}} \right)\).
  • C \(H\left( {\frac{{1}}{5};\frac{{7}}{5}} \right)\).
  • D \(H\left( {\frac{{-14}}{5};\frac{{17}}{5}} \right)\).

Đáp án: B

Lời giải chi tiết:

\(H\left( {\frac{{14}}{5};\frac{{17}}{5}} \right)\).

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 2 :

Cho tam giác ABC có phương trình \(\left( {AB} \right):\,\,2x - 3y - 1 = 0.\) Phương trình \(\left( {BC} \right):\,\,x + 3y + 7 = 0\). Phương trình \(\left( {AC} \right):\,\,5x - 2y + 1 = 0\). Lập phương trình BH.

  • A \(6x + 5y + 37 = 0\)
  • B \(6x - 5y + 37 = 0\)
  • C \(6x + 5y - 37 = 0\)
  • D \(2x + 5y + 37 = 0\)

Đáp án: A

Lời giải chi tiết:

\(6x + 5y + 37 = 0\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 3 :

Cho tam giác ABC có các đỉnh \(A( - 1;3),\,\,B(4;7),\,\,C( - 6;5)\), G là trọng tâm tam giác ABC. Phương trình tham số của đường thẳng AG là:

  • A \(\left\{ \matrix{  x =  - 1 \hfill \cr   y = 5 + 2t \hfill \cr}  \right.\)
  • B \(\left\{ \matrix{  x =  - 1 + t \hfill \cr   y = 5 + t \hfill \cr}  \right.\)
  • C \(\left\{ \matrix{  x =  - 1 + t \hfill \cr   y = 3 \hfill \cr}  \right.\)
  • D \(\left\{ \matrix{  x =  - 1 + t \hfill \cr   y = 3 + t \hfill \cr}  \right.\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Trọng tâm \(G\) của tam giác ABC:  \(\left\{ \matrix{  {x_G} = {{{x_A} + {x_B} + {x_C}} \over 3} \hfill \cr   {y_G} = {{{y_A} + {y_B} + {y_C}} \over 3} \hfill \cr}  \right.\)

Đường thẳng đi qua điểm \(M({x_0};{y_0})\) và có 1 VTCP \(\overrightarrow u (a;b)\) có phương trình tham số: \(\left\{ \matrix{  x = {x_0} + at \hfill \cr   y = {y_0} + bt \hfill \cr}  \right.\).

Lời giải chi tiết:

G là trọng tâm tam giác ABC \( \Rightarrow \left\{ \matrix{  {x_G} = {{{x_A} + {x_B} + {x_C}} \over 3} \hfill \cr   {y_G} = {{{y_A} + {y_B} + {y_C}} \over 3} \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  {x_G} = {{ - 1 + 4 - 6} \over 3} \hfill \cr   {y_G} = {{3 + 7 + 5} \over 3} \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  {x_G} =  - 1 \hfill \cr   {y_G} = 5 \hfill \cr}  \right. \Rightarrow G( - 1;5)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AG}  = \left( {0;2} \right)\)

Phương trình tham số của đường thẳng AG là: \(\left\{ \matrix{  x =  - 1 \hfill \cr   y = 5 + 2t \hfill \cr}  \right.\)

Chọn: A

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 4 :

Hình vuông ABCD có \(A\left( { - 1;2} \right).\) Phương trình \(\left( {BD} \right):\,\,x + y - 1 = 0\). Lập phương trình 4 cạnh của hình vuông.

  • A \(x + 1 = 0;\,\,y = 0;\,\,x - 3 = 0;\,\,y - 2 = 0\)
  • B \(x + 1 = 0;\,\,y = 0;\,\,x + 3 = 0;\,\,y + 2 = 0\)
  • C \(x + 1 = 0;\,\,y = 0;\,\,x + 3 = 0;\,\,y - 2 = 0\)
  • D \(x - 1 = 0;\,\,y = 0;\,\,x - 3 = 0;\,\,y - 2 = 0\)

Đáp án: C

Lời giải chi tiết:

\(x + 1 = 0;\,\,y = 0;\,\,x + 3 = 0;\,\,y - 2 = 0\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 5 :

Cho hai điểm \(A\left( {1;1} \right);\,\,B\left( {2;3} \right).\) Lập phương trình đường thẳng \(\left( d \right)\) sao cho \(d\left( {A;d} \right) = 2\) và \(d\left( {B;d} \right) = 4\).

  • A \(y + 1 = 0\) và \(4x - 3y + 3 = 0\).
  • B \(y + 1 = 0\) và \(4x + 3y - 3 = 0\).
  • C \(y + 1 = 0\) và \(2x + 3y + 3 = 0\).
  • D \(y + 1 = 0\) và \(4x + 3y + 3 = 0\).

Đáp án: D

Lời giải chi tiết:

\(y + 1 = 0\) và \(4x + 3y + 3 = 0\).

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 6 :

Cho tam giác ABC có \(C\left( {4;3} \right)\). Trung tuyến \(\left( {AM} \right):\,\,4x + 13y - 10 = 0\). Phân giác \(\left( {AD} \right):\,\,x + 2y - 5 = 0\). Tìm A, B.

  • A \(A\left( {9; - 2} \right);\,\,B\left( { 12;1} \right)\)
  • B \(A\left( {9; - 2} \right);\,\,B\left( { - 12; -1} \right)\)
  • C \(A\left( {9; - 2} \right);\,\,B\left( { - 6;1} \right)\)
  • D \(A\left( {9; - 2} \right);\,\,B\left( { - 12;1} \right)\)

Đáp án: D

Lời giải chi tiết:

\(A\left( {9; - 2} \right);\,\,B\left( { - 12;1} \right)\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 7 :

Cho tam giác ABC có \(A\left( {2;4} \right);\,\,B\left( {4;8} \right);\,\,C\left( {13;2} \right)\). Lập phương trình phân giác trong AD của góc A.

  • A \(x + 2y + 6 = 0\)
  • B \(x - 2y - 6 = 0\)
  • C \(x - 2y + 3 = 0\)
  • D \(x - 2y + 6 = 0\)

Đáp án: D

Lời giải chi tiết:

\(x - 2y + 6 = 0\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 8 :

Lập phương trình đường thẳng \(\left( d \right)\) đi qua \(M\left( {2;5} \right)\) sao cho \(d\left( {N;d} \right) = 3\) với \(N\left( {5;1} \right)\) .

Lời giải chi tiết:

Học sinh tự giải

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 9 :

Cho \(A\left( {2;0} \right);\,\,B\left( {2; - 2} \right)\). Đường thẳng \(\left( d \right):\,\,x - y - 1 = 0\). Tìm M thuộc (d) để \({\left( {MA + MB} \right)_{\min }}\).

  • A \(M\left( {2;1} \right)\)
  • B \(M\left( {3;2} \right)\)
  • C \(M\left( {1;0} \right)\)
  • D \(M\left( {6;5} \right)\)

Đáp án: C

Lời giải chi tiết:

\(M\left( {1;0} \right)\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 10 :

Lập phương trình đường thẳng \(\left( d \right)\) đi qua \(A\left( {3;5} \right)\) và tạo với MN góc 450 với \(M\left( { - 1;3} \right);\,\,N\left( {4;1} \right)\).

  • A \(x - y + 2 = 0\) và \(x + y - 8 = 0\).
  • B \(3x - 7y - 13 = 0\) và \(7x + 3y - 36 = 0\).
  • C \(2x - 3y  + 9 = 0\) và \(3x + 2y - 19 = 0\).
  • D \(3x - 4y + 11 = 0\) và \(4x + 3y - 27 = 0\).

Đáp án: B

Lời giải chi tiết:

\(3x - 7y - 13 = 0\) và \(7x + 3y - 36 = 0\).

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 11 :

Cho hình vuông ABCD. \(M\left( {1;2} \right)\) là trung điểm của CD. \(F \in AC\) để \(CF = 3AF\). Phương trình \(\left( {BF} \right):\,\,x - 3y + 5 = 0\). Lập phương trình AB.

Lời giải chi tiết:

Học sinh tự giải

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 12 :

Trong mặt phẳng Oxy cho các điểm \(E\left( {3; - 2} \right);\,\,F\left( { - 1; - 3} \right)\). Tìm tọa độ điểm G thuộc trục hoành sao cho G thuộc đường thẳng EF.

  • A  \(G\left( { - \dfrac{{11}}{5};0} \right)\)                           
  • B  \(G\left( {11;0} \right)\)         
  • C  \(G\left( {0; - \dfrac{{11}}{4}} \right)\)                           
  • D  \(G\left( {0; - \dfrac{{11}}{2}} \right)\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Viết phương trình đường thẳng EF.

Lời giải chi tiết:

Gọi phương trình đường thẳng EF là \(y = ax + b\) ta có :

\(\left\{ \begin{array}{l}E \in EF\\F \in EF\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3a + b =  - 2\\ - a + b =  - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{1}{4}\\b =  - \dfrac{{11}}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow EF:\,\,y = \dfrac{1}{4}x - \dfrac{{11}}{4}\).

\(G \in Ox;\,\,G \in EF \Rightarrow \) tọa độ điểm G là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}y = 0\\y = \dfrac{1}{4}x - \dfrac{{11}}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 0\\x = 11\end{array} \right. \Rightarrow G\left( {11;0} \right)\).

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 13 :

Trong mặt phẳng tọa độ\(Oxy\), cho hai điểm \(A\left( {1;2} \right)\) và \(B\left( {3;4} \right)\). Điểm \(M\left( {\dfrac{a}{b};0} \right)\) (với \(\dfrac{a}{b}\) là phân số tối giản) trên trục hoành thỏa mãn tổng khoảng cách từ P tới hai điểm AB là nhỏ nhất. Tính \(S = a + b\).

  • A \(S =  - 2\)                             
  • B  \(S = 8\).                                  
  • C  \(S = 7\).                                  
  • D  \(S = 4\).

Đáp án: B

Phương pháp giải:

+) Nhận xét A, B nằm cùng phía so với trục Ox.

+) Lấy A’ đối xứng với A qua Ox ta có: \(MA + MB = MA' + MB \ge A'B\). Dấu "=" xảy ra \( \Leftrightarrow M = Ox \cap A'B\).

Lời giải chi tiết:

A(1,2) và B(3,4) nằm cùng phía đối với trục Ox.

Gọi A’ đối xứng với A qua Ox \( \Rightarrow A'\left( {1; - 2} \right)\) và \(MA = MA'\).

 

Ta có : \(MA + MB = MA' + MB \ge A'B\). Dấu "=" xảy ra \( \Leftrightarrow M = Ox \cap A'B\).

Phương trình A’B là :

\(\dfrac{{x - 1}}{{3 - 1}} = \dfrac{{y + 2}}{{4 + 2}} \Leftrightarrow 3\left( {x - 1} \right) = y + 2 \Leftrightarrow 3x - y - 5 = 0\)

Cho \(y = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{5}{3} \Rightarrow M\left( {\dfrac{5}{3};0} \right)\)

\( \Rightarrow a = 5;\,\,b = 3 \Rightarrow S = 8\)

Chọn B.

 

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 14 :

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng \(({d_1}):mx + 3y - 3 = 0\) và \(({d_2}):3x + my - 3 = 0\) cắt nhau tại điểm \(A\). Tính khoảng cách OA theo m.

  • A \(OA = \frac{{2\sqrt 3 }}{{m - 3}}\).
  • B \(OA = \frac{{3\sqrt 2 }}{{\left| {m + 3} \right|}}\).
  • C \(OA = \frac{{2\sqrt 3 }}{{\left| {m + 3} \right|}}\).
  • D \(OA = \frac{{3\sqrt 2 }}{{\left| {m - 3} \right|}}\).

Đáp án: B

Phương pháp giải:

+) Tìm điều kiện của \(m\) để hai đường thẳng đã cho cắt nhau.

+)  Gọi giao điểm của 2 đường thẳng là điểm \(A\left( {x;\;y} \right) \Rightarrow OA = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \)

Lời giải chi tiết:

Hai đường thẳng \({d_1},\;{d_2}\) cắt nhau \( \Leftrightarrow \frac{m}{3} \ne \frac{3}{m} \Leftrightarrow m \ne  \pm 3.\)

Tọa độ giao điểm A của 2 đường thẳng là nghiệm của hệ :

\(\left\{ \begin{array}{l}mx + 3y - 3 = 0\\3x + my - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}mx + 3y - 3 = 0\\\left( {m - 3} \right)x = \left( {m - 3} \right)y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}mx + 3y - 3 = 0\\x = y\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = \frac{3}{{m + 3}}\)

\( \Rightarrow OA = \sqrt {{{\left( {\frac{3}{{m + 3}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{3}{{m + 3}}} \right)}^2}}  = \sqrt {2.\frac{9}{{{{\left( {m + 3} \right)}^2}}}}  = \frac{{3\sqrt 2 }}{{\left| {m + 3} \right|}}\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 15 :

Hàm số \(y = ax + b\left( {a \ne 0;a,b \in R} \right)\) có đồ thị là đường thẳng đi qua điểm \(A\left( { - 1;3} \right)\) và song song với đồ thị hàm số \(y = 2x + 13\). Khi đó a và b bằng:

  • A \(a =  - \frac{1}{2};b = \frac{5}{2}\)
  • B \(a =  - 2;b = 1\)
  • C \(a =  - 2;b = 1\)
  • D \(a = \frac{1}{2};b = \frac{7}{2}\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Đường thẳng \(y = ax + b\) song song với đường thẳng \(y = a'x + b'\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b \ne b'\end{array} \right.\) 

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng \(y = ax + b\) song song với đường thẳng \(y = 2x + 13 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b \ne 13\end{array} \right. \Rightarrow y = 2x + b.\)

 Lại có đường thẳng \(y = 2x + b\) đi qua điểm \(A\left( { - 1;\;3} \right) \Rightarrow 3 = 2.\left( { - 1} \right) + b \Leftrightarrow b = 3 + 2 = 5\;\;\left( {tm} \right).\)

\( \Rightarrow a = 2;\;b = 5.\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 16 :

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy,\) cho \(A\left( { - 3;5} \right),\,\,B\left( {1;3} \right)\) và đường thẳng \(d:\,2x - y - 1 = 0\), đường thẳng \(AB\) cắt \(d\) tại \(I\). Tính tỷ số \(\frac{{IA}}{{IB}}.\)

  • A \(6.\)
  • B \(2\).
  • C \(4.\)
  • D \(1.\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Tìm mối quan hệ giữa đường thẳng (AB) và đường thẳng (d) từ đó tính độ dài IA, IB để tính tỉ số.

Cho đường thẳng \(\Delta :ax + by + c = 0\) và điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right) \Rightarrow {d_{\left( {{M_0};\Delta } \right)}} = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}.\) 

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( {4; - 2} \right) = 2\left( {2;\, - 1} \right)\); đường thẳng (d) có VTCP là \(\overrightarrow u  = \left( {1;2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB}  \bot \overrightarrow u .\) 

\( \Rightarrow \) Đường thẳng (AB) vuông góc với đường thẳng (d)

Đường thẳng AB cắt d tại I \( \Rightarrow \) IA, IB lần lượt là khoảng cách từ A B đến đường thẳng d

\( \Rightarrow IA = d\left( {A;\,\,d} \right) = \frac{{\left| { - 6 - 5 - 1} \right|}}{{\sqrt {4 + 1} }} = \frac{{12}}{{\sqrt 5 }}\,\,;\,\,IB = d\left( {B;\,d} \right) = \frac{{\left| {2 - 3 - 1} \right|}}{{\sqrt {4 + 1} }} = \frac{2}{{\sqrt 5 }} \Rightarrow \frac{{IA}}{{IB}} = 6.\) 

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 17 :

Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) qua \(A\left( {1; - 2} \right)\) và song song đường thẳng \(\left( d \right):2x - 3y + 2 = 0\)

  • A \(2x - 3y - 8 = 0\)
  • B \(2x - 3y + 8 = 0\)
  • C \(2x - 3y + 6 = 0\)
  • D \(2x - 3y - 6 = 0\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Đường thẳng \(ax + by + c = 0\) song song với đường thẳng \(a'x + b'y + c' = 0 \Leftrightarrow \frac{a}{{a'}} = \frac{b}{{b'}} \ne \frac{c}{{c'}}.\)

Xác định VTPT và điểm đi qua của \(\Delta \) để viết phương trình đường thẳng \(\Delta \)

Lời giải chi tiết:

Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) qua \(A\left( {1; - 2} \right)\) và song song đường thẳng \(\left( d \right):2x - 3y + 2 = 0\)

Đường thẳng \(\left( d \right):2x - 3y + 2 = 0\) có VTPT \(\overrightarrow n  = \left( {2; - 3} \right)\)

Đường thẳng \(\Delta \) song song đường thẳng \(\left( d \right):2x - 3y + 2 = 0\) nên cũng nhận \(\overrightarrow n  = \left( {2; - 3} \right)\) làm VTPT

\(A\left( {1; - 2} \right) \in \left( \Delta  \right) \Rightarrow \) Phương trình  \(\left( \Delta  \right):2\left( {x - 1} \right) - 3\left( {y + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x - 3y - 8 = 0\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 18 :

Cho \(d\,\,:\,\,\sqrt 3 x + y = 0\) và \(d'\,\,:\,\,mx + y - 1 = 0\). Tìm m để \(\cos \left( {d,d'} \right) = \frac{1}{2}\)

  • A \(m = 0\)      
  • B \(m =  \pm \sqrt 3 \)
  • C \(m = 3\) hoặc \(m = 0\)
  • D \(m =  - \sqrt 3 \) hoặc \(m = 0\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Góc giữa hai đường thẳng \(d,\;d'\)  có hai VTPT lần lượt là \(\overrightarrow a ,\;\overrightarrow b \) được tính bởi công thức: \(\cos \left( {d;d'} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow a .\overrightarrow b } \right|}}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}}.\)

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng \(d:\sqrt 3 x + y = 0\) nhận \(\overrightarrow a  = \left( {\sqrt 3 ;\;1} \right)\) là 1 VTPT

Đường thẳng \(d':mx + y - 1 = 0\) nhận \(\overrightarrow b  = \left( {m;\;1} \right)\) là 1 VTPT

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \cos \left( {d,d'} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right)} \right| = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{{\left| {\sqrt 3 .m + 1} \right|}}{{2.\sqrt {{m^2} + 1} }} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left| {\sqrt 3 .m + 1} \right| = \sqrt {{m^2} + 1} \\ \Leftrightarrow 3{m^2} + 2\sqrt 3 m + 1 = {m^2} + 1 \Leftrightarrow 2{m^2} + 2\sqrt 3 m = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m =  - \sqrt 3 \end{array} \right..\end{array}\) 

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 19 :

Trong mặt phẳng \(Oxy\), đường tròn đi qua ba điểm \(A(1;2),\)\(B(5;2),\)\(C(1; - 3)\) có phương trình là:

  • A \({x^2} + {y^2} + 25x + 19y - 49 = 0.\)
  • B \(2{x^2} + {y^2} - 6x + y - 3 = 0.\)
  • C \({x^2} + {y^2} - 6x + y - 1 = 0.\)
  • D \({x^2} + {y^2} - 6x + xy - 1 = 0.\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Gọi phương trình đường tròn có dạng \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) , thay tọa độ A, B, C vào để được hệ phương trình 3 ẩn a, b, c. Giải hệ phương trình để tìm 3 ẩn a, b, c rồi suy ra phương trình.

Lời giải chi tiết:

Gọi phương trình đường tròn có dạng \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\)

Vì \(A,\;B,\;C\) đều thuộc đường tròn nên có hệ:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}1 + 4 - 2a - 4b + c = 0\\25 + 4 - 10a - 4b + c = 0\\1 + 9 - 2a + 6b + c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2a - 4b + c =  - 5\\ - 10a - 4b + c =  - 29\\ - 2x + 6b + c =  - 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b =  - \frac{1}{2}\\c =  - 1\end{array} \right.\\ \Rightarrow {x^2} + {y^2} - 6x + y - 1 = 0.\end{array}\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 20 :

Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho biết điểm \(M(a;b){\rm{ }}\)\(\left( {a > 0} \right)\) thuộc đường thẳng d:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3 + t}\\{y = 2 + t}\end{array}} \right.\) và cách đường thẳng \(\Delta :2x - y - 3 = 0\) một khoảng \(2\sqrt 5 \). Khi đó \(a + b\) là:

  • A \(21\)            
  • B \(23\)            
  • C \(22\)            
  • D \(20\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Thay tọa độ điểm M và phương trình đường thẳng d, gọi  M  theo t. Dựa vào dữ kiện còn lại viết phương trình tìm t.

Lời giải chi tiết:

Ta có : \(M \in \left( d \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3 + t\\b = 2 + t\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {3 + t;2 + t} \right)\)

Lại có : \(d\left( {M;\Delta } \right) = 2\sqrt 5  \Leftrightarrow \frac{{\left| {2.\left( {3 + t} \right) - \left( {2 + t} \right) - 3} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2}} }} = 2\sqrt 5 \)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left| {t + 1} \right| = 10 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 9 \Rightarrow a = 12\,\,\,(tm)\\t =  - 11 \Rightarrow a =  - 8\,\,\,(ktm)\end{array} \right.\\ \Rightarrow b = 11 \Rightarrow a + b = 12 + 11 = 23.\end{array}\) 

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 21 :

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) cho ba đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right):3x - 4y + 7 = 0\,\,;\,\,\left( {{d_2}} \right):5x + y + 4 = 0\) và \(\left( {{d_3}} \right):mx + \left( {1 - m} \right)y + 3 = 0\). Để ba đường thẳng này đồng quy thì giá trị của tham số \(m\) là:

  • A \(m = 2\)                         
  • B \(m = - 2\)                         
  • C \(m = 0,5\)
  • D \(m =  - 0,5\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Tìm giao điểm của \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\). Thay tọa độ giao điểm đó vào \(\left( {{d_3}} \right)\) để tìm \(m\)

Lời giải chi tiết:

Gọi \(M\) là giao điểm của \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\)

\( \Rightarrow \) Tọa độ điểm \(M\) là nghiệm của hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}3x - 4y + 7 = 0\\5x + y + 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 1\\y = 1\end{array} \right. \Rightarrow M\left( { - 1;1} \right)\)

Để 3 đường thẳng đồng quy \( \Leftrightarrow \) chúng đồng quy tại \(M \Leftrightarrow M \in \left( {{d_3}} \right)\)

\( \Leftrightarrow  - m + 1 - m + 3 = 0 \Leftrightarrow 2m = 4 \Leftrightarrow m = 2.\) 

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 22 :

Trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) gọi \(\left( d \right)\) là đường thẳng đi qua điểm \(A\left( {1;1} \right)\) và tạo với đường thẳng có phương trình \(x - 3y + 2 = 0\) một góc bằng \({45^o}\). Đường thẳng \(\left( d \right)\) có phương trình là:

  • A \(2x + y + 1 = 0\)             
  • B \(2x - y = 1\)
  • C \(x - 2y + 1 = 0\)
  • D \(3x + y - 4 = 0\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Gọi \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {a;b} \right)\) là một VTPT của \(\left( d \right).\) Viết phương trình \(\left( d \right).\)

Góc giữa hai đường thẳng bằng góc giữa hai VTPT (VTCP)

Giải phương trình tìm tỉ số \(\frac{a}{b}\) từ đó suy ra phương trình của \(\left( d \right).\)

Lời giải chi tiết:

Gọi \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {a;b} \right)\) là một VTPT của \(\left( d \right).\)

 Phương trình \(\left( d \right):\,\,a\left( {x - 1} \right) + b\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow ax + by - a - b = 0\)

Đường thẳng \(\Delta :x - 3y + 2 = 0\) có VTPT \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {1; - 3} \right)\)

Ta có: \(\cos \left( {d;\Delta } \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ;\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| \Leftrightarrow \cos {45^o} = \frac{{\left| {a - 3b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} .\sqrt {10} }}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\left| {a - 3b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} .\sqrt {10} }} \Leftrightarrow \sqrt 2 \left| {a - 3b} \right| = \sqrt {10} \sqrt {{a^2} + {b^2}} \\ \Leftrightarrow {\left( {a - 3b} \right)^2} = 5{a^2} + 5{b^2} \Leftrightarrow 4{a^2} - 4{b^2} + 6ab = 0\\ \Leftrightarrow 2{a^2} + 4ab - ab - 2b \Leftrightarrow \left( {2a - b} \right)\left( {a + 2b} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 2a \Rightarrow \left( {a;b} \right) = \left( {1;\,2} \right) \Rightarrow \left( d \right):x + 2y - 3 = 0\\a =  - 2b \Rightarrow \left( {a;b} \right) = \left( { - 2;1} \right) \Rightarrow \left( d \right): - 2x + y + 1 = 0 \Leftrightarrow 2x - y = 1\end{array} \right.\end{array}\) 

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 23 :

Tìm góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}:x - 2y + 15 = 0\) và \({\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - t\\y = 4 + 2t\end{array} \right.\)    \(\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\).

  • A \({45^o}\)             
  • B \({60^o}\)                
  • C \({0^o}\)
  • D \({90^o}\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Góc giữa hai đường thẳng bằng góc giữa 2 VTPT (VTCP) của 2 đường thẳng đó:  \(\cos \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow a .\overrightarrow b } \right|}}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({\Delta _1}\) nhận \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {1; - 2} \right)\) là một VTPT

\({\Delta _2}\) nhận \(\overrightarrow u  = \left( { - 1;2} \right)\) là một VTCP \( \Rightarrow \overrightarrow {{n_2}}  = \left( {2;1} \right)\) là 1 VTPT của \({\Delta _2}\)

Dễ thấy \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}}  = 1.2 - 2.1 = 0 \Rightarrow \overrightarrow {{n_1}}  \bot \overrightarrow {{n_2}}  \Rightarrow {\Delta _1} \bot {\Delta _2}\)

\( \Rightarrow \) Góc giữa 2 đường thẳng đó là \({90^o}\) 

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 24 :

Khoảng cách từ điểm \(A\left( {0;4} \right)\) đến đường thẳng \(x.\sin \alpha  + y.\cos \alpha  + 4\left( {1 - \cos \alpha } \right) = 0\) là:

  • A \(2\)
  • B \(4\)
  • C \(8\)  
  • D \(6\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Cho đường thẳng \(\Delta :ax + by + c = 0\) và điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right) \Rightarrow d\left( {{M_0};\Delta } \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

Lời giải chi tiết:

Khoảng cách từ điểm \(A\left( {0;4} \right)\) đến đường thẳng \(x.\sin \alpha  + y.\cos \alpha  + 4\left( {1 - \cos \alpha } \right) = 0\) là:

\(\frac{{\left| {0.\sin \alpha  + 4.\cos \alpha  + 4\left( {1 - \cos \alpha } \right)} \right|}}{{\sqrt {{{\sin }^2}\alpha  + {{\cos }^2}\alpha } }} = \frac{{\left| {4\cos \alpha  + 4 - 4\cos \alpha } \right|}}{{\sqrt 1 }} = \frac{4}{1} = 4\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 25 :

Cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh là A(1; 2), B(3; 1) và C(5; 4). Phương trình đường cao AH của tam giác ABC là:

  • A \(2x + 3y - 8 = 0\).             
  • B \(2x - 3y - 5 = 0\)
  • C \(3x + 2y - 7 = 0\).                         
  • D \(3x - 2y + 1 = 0\).

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Đường cao \(AH \bot BC \Rightarrow \overrightarrow {BC} \)  là một VTPT của đường cao AH.

Lời giải chi tiết:

Đường cao \(AH \bot BC \Rightarrow \overrightarrow {BC}  = \left( {2;3} \right)\)  là một VTPT của đường cao AH

\( \Rightarrow \) Phương trình \(AH:\,\,2\left( {x - 1} \right) + 3\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + 3y - 8 = 0\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 26 :

Đường thẳng đi qua\(M(1;0)\)và song song với đường thẳng d: \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 4 + 5t\\y = 1 - t\end{array} \right.\)có phương trình tổng quát là:

  • A \(x + 5y - 1 = 0\).    
  • B \(x - 5y - 1 = 0\).     
  • C \(5x - y - 5 = 0\).     
  • D \(5x + y + 5 = 0\).

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Đường thẳng \(\Delta \) nhận vecto \(\left( {a;\,b} \right)\) làm VTCP thì \(\Delta \) nhận vecto \(\left( {b; - a} \right) = \left( { - b;\,a} \right)\) làm VTPT.

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng d: \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 4 + 5t\\y = 1 - t\end{array} \right.\) có  VTCP  \(\overrightarrow u  = \left( {5; - 1} \right)\)

Gọi \(\overrightarrow n \) là VTPT của đường thẳng \(\Delta \) cần tìm

Đường thẳng \(\Delta \) cần tìm song song với đường thẳng d: \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 4 + 5t\\y = 1 - t\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \) \(\overrightarrow n  \bot \overrightarrow u  \Rightarrow \overrightarrow n  = \left( {1;5} \right)\)

\( \Rightarrow \) Phương trình \(\Delta :\,\,x - 1 + 5y = 0 \Leftrightarrow x + 5y - 1 = 0\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 27 :

Cho tam giác ABC. Phương trình \(\left( {BC} \right):\,\,4x - y + 3 = 0\). Phân giác \(\left( {BD} \right):\,\,x - 2y + 1 = 0\). Phân giác \(\left( {CE} \right):\,\,x + y + 3 = 0\). Lập phương trình AB, AC.

  • A (AB): 8x + 19y + 3 = 0
  • B (AB): 8x + 19y + 7= 0
  • C (AB): 2x + 3y + 9 = 0
  • D (AB): 5x + 9y + 3 = 0

Đáp án: A

Lời giải chi tiết:

\(\left( {AB} \right):\,\,8x + 19y + 3 = 0.\,\,\left( {AC} \right)\) học sinh tự giải.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 28 :

Cho hai điểm \(A\left( { - 3;\,\,6} \right)\,;B\left( {1;\,\,3} \right).\) Viết phương trình đường trung trực của đoạn\(AB\).

  • A \(3x + 4y - 15 = 0\).
  • B \(4x - 3y + 30 = 0\).
  • C \(8x - 6y + 35 = 0\).
  • D \(3x - 4y + 21 = 0\).

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Đường thẳng trung trực của đoạn thẳng \(AB\) đi qua trung điểm \(M\) của \(AB\) và nhận \(\overrightarrow {AB} \) làm VTPT.

Phương trình đường thẳng \(d\) đi qua \(M\left( {{x_0};\,\,{y_0}} \right)\) và có VTPT \(\overrightarrow n  = \left( {A;\,\,B} \right)\) có dạng: \(A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) = 0.\)

Lời giải chi tiết:

Gọi \(M\)  là trung điểm \(AB\) B\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \frac{{ - 3 + 1}}{2} =  - 1\\{y_M} = \frac{{6 + 3}}{2} = \frac{9}{2}\end{array} \right. \Rightarrow M\left( { - 1;\frac{9}{2}} \right)\)

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {4; - 3} \right)\)

Đường thẳng trung trực \(d\)  của đoạn thẳng \(AB\) đi qua trung điểm \(M\left( { - 1;\,\,\frac{9}{2}} \right)\) của \(AB\) và nhận \(\overrightarrow {AB}  = \left( {4; - 3} \right)\) làm VTPT.

\( \Rightarrow d:\,\,\,\,4\left( {x + 1} \right) - 3\left( {y - \frac{9}{2}} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 4x - 3y + \frac{{35}}{2} = 0\)\( \Leftrightarrow 8x - 6y + 35 = 0\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 29 :

Cho điểm \(M\left( {1;2} \right)\) và đường thẳng \(d:2x + y - 5 = 0\). Điểm \(N\left( {a;\,\,b} \right)\) của điểm đối xứng với điểm \(M\) qua \(d\). Tính giá trị của \(a + b\)

  • A \(a + b = \frac{{ - 12}}{5}\).
  • B \(a + b = \frac{{18}}{5}\).            
  • C \(a + b = \frac{7}{5}\).
  • D \(a + b = \frac{{21}}{5}\).

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Bước 1: Tìm \(H\) là hình chiếu của \(M\) trên đường thẳng \(d\)                          

Bước 2: Tìm điểm \(N\) với \(H\) là trung điểm \(MN\)

Lời giải chi tiết:

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(M\) trên đường thẳng \(d\)

Vì \(H \in d:2x + y - 5 = 0 \Rightarrow H\left( {t;5 - 2t} \right)\)

\(MH \bot d \Rightarrow \overrightarrow {MH}  = \left( {t - 1;3 - 2t} \right)\) cùng phương với VTPT \(\overrightarrow {{n_d}}  = \left( {2;1} \right)\)    

\( \Rightarrow \frac{{t - 1}}{2} = \frac{{3 - 2t}}{1} \Leftrightarrow t - 1 = 6 - 4t\)\( \Rightarrow t = \frac{7}{5} \Rightarrow H\left( {\frac{7}{5};\frac{{11}}{5}} \right)\)

Vì \(N\) đối xứng \(M\) qua \(d\) nên \(H\) là trung điểm của \(MN\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_N} = 2{x_H} - {x_M} = 2.\frac{7}{5} - 1 = \frac{9}{5}\\{y_N} = 2{y_H} - {y_M} = 2.\frac{{11}}{5} - 2 = \frac{{12}}{5}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow N\left( {\frac{9}{5};\frac{{12}}{5}} \right) \Rightarrow a + b = \frac{{21}}{5}\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 30 :

Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có đỉnh \(A\left( {0;\,\,3} \right)\), trực tâm \(H\left( {0;\,\,1} \right)\) và trung điểm \(M\left( {1;\,\,0} \right)\) của \(BC\) và \(B\)có hoành độ âm. Tọa độ điểm \(B\) của tam giác \(ABC\) là:

  • A \(B\left( {0;\,\, - 1} \right)\)                 
  • B \(B\left( { - 1;\,\,0} \right)\)
  • C \(B\left( {0;\,\,3} \right)\)                    
  • D \(B\left( {3;\,\,0} \right)\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

+ Lập phương trình cạnh \(BC\).

+ Xác định tọa độ đỉnh \(B\): \(\overrightarrow {BC} \,\,.\,\,\overrightarrow {AH}  = 0\)

Lời giải chi tiết:

*) \(A\left( {0;\,\,3} \right)\), \(H\left( {0;\,\,1} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {AH}  = \left( {0;\,\, - 2} \right)\)

*) Lập phương trình cạnh \(BC\)

\(\left( {BC} \right):\,\,\left\{ \begin{array}{l}{\rm{qua}}\,M\left( {1;0} \right)\\{{\vec n}_{BC}} = {{\vec u}_{AH}} = \left( {0;\,\, - 2} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow 0.\left( {x - 1} \right) - 2.\left( {y - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow  - 2y = 0 \Leftrightarrow y = 0\)

*) Gọi \(B\left( {b;\,\,0} \right)\), \(C\left( {2 - b;\,\,0} \right)\).

Ta có: \(\overrightarrow {BH}  = \left( { - b;\,\,1} \right)\), \(\overrightarrow {AC}  = \left( {2 - b;\,\, - 3} \right)\)

Vì \(\overrightarrow {BH} \,\,.\,\,\overrightarrow {AC}  = 0\)\( \Rightarrow \left( {2 - b} \right).\left( { - b} \right) - 3.1 = 0 \Leftrightarrow {b^2} - 2b - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 3\\b =  - 1\end{array} \right.\)

Vì \(B\) có hoành độ âm nên \(b =  - 1\)

Vậy \(B\left( { - 1;\,\,0} \right).\)

Chọn  B

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 31 :

Trong mặt phẳng với hệ trục \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có đỉnh \(B\left( { - 4;\,\,1} \right),\) trọng tâm \(G\left( {1;\,\,1} \right)\) và đường thẳng chứa phân giác trong của góc \(A\) có phương trình \(x - y - 1 = 0\). Tọa độ đỉnh \(A\) là:

  • A \(A\left( {4;\,\,3} \right)\)                    
  • B \(A\left( { - 4;\,\, - 3} \right)\)  
  • C \(A\left( {4;\,\, - 3} \right)\)     
  • D \(A\left( { - 4;\,\,3} \right)\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

+) Áp dụng \(BG = 2GM\) để tìm tọa độ điểm \(M\) (\(M\) là trung điểm của \(AC\))

+) Gọi \(B'\) là điểm đối xứng của \(B\) qua phân giác góc \(A\) \( \Rightarrow B' \in AC\)

+) Phương trình cạnh \(AC\) đi qua \(M\) và \(B'\).

Lời giải chi tiết:

+) Gọi \(M\) là trung điểm của \(AC\), \(AD\) là phân giác trong góc \(A\) có phương trình: \(x - y - 1 = 0\)

+) Vì \(G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC,\,\,BM\) là đường trung tuyến nên ta có: \(\overrightarrow {BG}  = 2\overrightarrow {GM} \)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 + 4 = 2\left( {{x_M} - 1} \right)\\1 - 1 = 2\left( {{y_M} - 1} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \frac{7}{2}\\{y_M} = 1\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {\frac{7}{2};\,\,1} \right)\)

+) Phương trình đường thẳng \(d\) qua \(B\) và vuông góc với \(AD\)

 \( \Rightarrow \left( d \right):\,\,\,\,x + 4 + y - 1 = 0 \Leftrightarrow \,x + y + 3 = 0\)

Gọi \(I = \left( d \right) \cap AD\). Tọa độ điểm \(I\) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x - y - 1 = 0\\x + y + 3 = 0\end{array} \right. \Rightarrow I\left( { - 1;\,\, - 2} \right)\)

Gọi \(B'\) là điểm đối xứng của \(B\) qua phân giác góc \(A\) \( \Rightarrow B' \in AC\)

\( \Rightarrow \)\(I\) là trung điểm của \(BB'\)\( \Rightarrow B'\left( {2;\,\, - 5} \right)\)

Phương trình cạnh \(AC\) qua \(M\) và \(B'\) là:

\(AC:\,\,\,\frac{{x - 2}}{{\frac{7}{2} - 2}} = \frac{{y + 5}}{{1 + 5}} \Leftrightarrow 6\left( {x - 2} \right) = \frac{3}{2}\left( {y + 5} \right)\)\( \Leftrightarrow 4x - 8 = y + 5 \Leftrightarrow 4x - y - 13 = 0\)

Ta có: \(A = AC \cap AD\)\( \Rightarrow \) Tọa độ điểm \(A\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}4x - y - 13 = 0\\x - y - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 3\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {4;\,\,3} \right)\)

Vậy \(A\left( {4;\,\,3} \right)\).

Chọn  A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 32 :

Cho \(\Delta ABC\) nội tiếp đường tròn \(\left( C \right)\), đường phân giác trong và ngoài của \(\angle A\) cắt đường tròn \(\left( C \right)\) lần lượt tại \(M\left( {0;\,\, - 3} \right),\,\,N\left( { - 2;\,\,1} \right)\). Tọa độ các điểm \(B,\,\,C\) biết đường thẳng \(BC\) đi qua \(E\left( {2;\,\, - 1} \right)\) và \(C\)có hoành độ dương là

  • A \(B\left( { - 2;\,\,3} \right),\,\,C\left( {\frac{6}{5};\,\, - \frac{7}{5}} \right)\)
  • B \(B\left( { - 2;\,\, - 3} \right),\,\,C\left( {\frac{6}{5};\,\,\frac{7}{5}} \right)\)                        
  • C \(B\left( {2;\,\,3} \right),\,\,C\left( { - \frac{6}{5};\,\,\frac{7}{5}} \right)\)
  • D \(B\left( { - 2;\,\, - 3} \right),\,\,C\left( {\frac{6}{5};\,\, - \frac{7}{5}} \right)\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

+) \(AN \bot AM\) (t.c phân giác của hai góc kề bù) \(\Rightarrow\) đường tròn \(\left( C \right)\) sẽ có tâm \(I\left( { - 1;\,\, - 1} \right)\)  là trung điểm \(MN\), bán kính \(R = \frac{{MN}}{2} = \sqrt 5 \) \( \Rightarrow \left( C \right):{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 5\)

+) Để  tìm tọa độ \(B,\,\,C\)  ta cần thiết lập phương trình đường thẳng \(BC\) rồi cho giao với đường tròn \(\left( C \right).\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \(AM,\,\,AN\) là hai đường phân giác trong và ngoài của \(\angle A \Rightarrow AM \bot AN\) (tính chất các đường phân giác của một góc).

\( \Rightarrow \angle MAN = {90^0}\) \( \Rightarrow MN\) là đường kính của đường tròn \(\left( C \right)\) ngoại tiếp \(\Delta ABC.\)

\( \Rightarrow MN \bot BC.\)

Ta có: \(\overrightarrow {MN}  = \left( { - 2;\,\,4} \right) =  - 2\left( {1; - 2} \right).\)

Đường thẳng \(BC\) qua \(E\) và nhận \(\overrightarrow {MN} \) làm VTPT có phương trình: \(x - 2 - 2\left( {y + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 2y - 4 = 0.\)

Gọi \(I\) là trung điểm của \(MN \Rightarrow I\left( { - 1; - 1} \right)\)

Có: \(MN = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {4^2}}  = 2\sqrt 5  \Rightarrow IM = \frac{1}{2}MN = \sqrt 5 .\)

Phương trình đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( { - 1;\,\, - 1} \right)\) và đường kính \(MN\) là: \(\left( C \right):\,\,\,{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 5.\)

Khi đó tọa độ các điểm \(B,\,\,C\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 5\\x - 2y - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2y + 4\\{\left( {2y + 5} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 5\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2y + 4\\5{y^2} + 22y + 21 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}y =  - \frac{7}{5}\\y =  - 3\end{array} \right.\\x = 2y + 4\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{6}{5}\\y =  - \frac{7}{5}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2\\y =  - 3\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array}\)

Vì \(C\) có hoành độ dương \( \Rightarrow C\left( {\frac{6}{5}; - \frac{7}{5}} \right);\,\,\,B\left( { - 2; - 3} \right).\)

Chọn  D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 33 :

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), với đỉnh \(A\left( {1;\,\, - 3} \right)\), phương trình đường phân giác trong \(BD:\,\,x + y - 2 = 0\) và đường trung tuyến \(CE:\,\,x + 8y - 7 = 0\). Tọa độ đỉnh \(C\) là:

  • A \(C\left( {7;\,\,0} \right)\)                    
  • B \(C\left( {0;\,\,7} \right)\)        
  • C \(C\left( {0;\,\, - 7} \right)\)     
  • D \(C\left( { - 7;\,\,0} \right)\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

+ Lấy \(E\) là trung điểm của \(AB\).

+ \(A'\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(BD\).

+ Viết phương trình cạnh \(BC.\)

Lời giải chi tiết:

Gọi \(E\) là trung điểm của \(AB\), \(A'\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(BD\)\( \Rightarrow A' \in BC\)

Vì \(B \in \left( {BD} \right):\,\,x + y - 2 = 0 \Rightarrow B\left( {b;\,\,2 - b} \right)\)\( \Rightarrow E\left( {\frac{{b + 1}}{2};\,\, - \frac{{1 + b}}{2}} \right) \in CE\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{b + 1}}{2} + 8.\left( { - \frac{{1 + b}}{2}} \right) - 7 = 0\\ \Leftrightarrow b + 1 - 8 - 8b - 14 = 0\\ \Leftrightarrow  - 7b = 21\\ \Leftrightarrow b =  - 3\\ \Rightarrow B\left( { - 3;\,\,5} \right).\end{array}\)

Phương trình đường thẳng \(AA'\) đi qua \(A\left( {1; - 3} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {{u_{BD}}}  = \left( {1; - 1} \right)\) làm VTPT là:

\(AA':\,\,\,x - 1 - \left( {y + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow x - y - 4 = 0\)

Khi đó tọa độ điểm \(I = BD \cap AA'\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}x - y - 4 = 0\\x + y - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {3; - 1} \right).\)

Vì \(A'\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(BD \Rightarrow I\) là trung điểm của \(AA'\) \( \Rightarrow A'\left( {5;\,\,1} \right)\)

Phương trình đường thẳng \(BC\) qua \(A'\left( {5;\,\,1} \right)\) và \(B\left( { - 3;\,\,5} \right)\) là:

\(BC:\,\,\,\,\frac{{x + 3}}{{5 + 3}} = \frac{{y - 5}}{{1 - 5}} = 0\)\( \Leftrightarrow  - 4\left( {x + 3} \right) = 8\left( {y - 5} \right)\)\( \Leftrightarrow x + 2y - 7 = 0\)

Ta có: \(C = CE \cap BC \Rightarrow \) Tọa độ điểm \(C\) là nghiệm của hệ phương trình:  \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y - 7 = 0\\x + 8y - 7 = 0\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {7;\,\,0} \right)\)

Chọn  A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 34 :

Cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {1; - 2} \right)\), đường cao \(CH:x - y + 1 = 0\), đường phân giác trong \(BN:2x + y + 5 = 0\). Tọa độ điểm \(B\) là

  • A \(\left( {4;3} \right)\)               
  • B \(\left( {4; - 3} \right)\)            
  • C \(\left( { - 4;3} \right)\)            
  • D \(\left( { - 4; - 3} \right)\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

+ Viết phương trình đường thẳng \(AB\).

+ \(B = AB \cap BN\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(AB \bot CH \Rightarrow \left( {AB} \right):x + y + c = 0\)

Mà \(A\left( {1; - 2} \right) \in \left( {AB} \right) \Rightarrow 1 - 2 + c = 0 \Rightarrow c = 1\). Suy ra \(\left( {AB} \right):x + y + 1 = 0\)

Có \(B = AB \cap BN \Rightarrow N\) là nghiệm hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y + 1 = 0\\2x + y + 5 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 4\\y = 3\end{array} \right. \Rightarrow B\left( { - 4;3} \right)\).

Chọn  C

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 35 :

Cho hai điểm \(A\left( { - 1;2} \right)\), \(B\left( {3;1} \right)\) và đường thẳng \(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + t}\\{y = 2 + t}\end{array}} \right.\). Tọa độ điểm \(C\) thuộc \(\Delta \) để tam giác \(ACB\) cân tại \(C\).

  • A \(\left( {\frac{7}{6};\,\,\frac{{13}}{6}} \right)\)       
  • B \(\left( {\frac{7}{6};\,\, - \frac{{13}}{6}} \right)\)   
  • C \(\left( { - \frac{7}{6};\,\,\frac{{13}}{6}} \right)\)   
  • D \(\left( {\frac{{13}}{6};\,\,\frac{7}{6}} \right)\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

+ \(C \in \left( \Delta  \right):\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + t\end{array} \right. \Rightarrow \) Biểu diễn tọa độ điểm \(C\) theo \(t\).

+ \(\Delta ACB\) cân tại \(C\,\, \Leftrightarrow \,\,CA = CB\)

Lời giải chi tiết:

Theo đề bài, \(C \in \Delta  \Rightarrow C\left( {1 + t;\,\,2 + t} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {CA}  = \left( { - 2 - t;\,\, - t} \right)\\\overrightarrow {CB}  = \left( {2 - t;\,\, - 1 - t} \right)\end{array} \right.\)

\(\Delta ACB\) cân tại \(C\)\( \Leftrightarrow \,\,CA = CB \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( { - 2 - t} \right)}^2} + {{\left( { - t} \right)}^2}}  = \sqrt {{{\left( {2 - t} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - t} \right)}^2}} \)

\( \Leftrightarrow {\left( { - 2 - t} \right)^2} + {\left( { - t} \right)^2} = {\left( {2 - t} \right)^2} + {\left( { - 1 - t} \right)^2}\)\( \Leftrightarrow 4 + 4t + {t^2} + {t^2} = 4 - 4t + {t^2} + 1 + 2t + {t^2}\)

\( \Leftrightarrow 4 + 4t + {t^2} + {t^2} - 4 + 4t - {t^2} - 1 - 2t - {t^2} = 0\)

\( \Leftrightarrow 6t - 1 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{6}\)\( \Rightarrow C\left( {\frac{7}{6};\,\,\frac{{13}}{6}} \right)\)

Chọn  A

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 36 :

Trong hệ trục tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có đỉnh \(A\) thuộc đường thẳng \(d:\,\,x - 4y - 2 = 0\), cạnh \(BC\) song song với \(d\). Phương trình đường cao \(BH:\,\,x + y + 3 = 0\) và \(M\left( {1;\,\,1} \right)\) là trung điểm của cạnh \(AC\). Tọa độ trọng tâm của tam giác \(ABC\) là:

  • A \(\left( {\frac{2}{3};\,\, - 1} \right)\)   
  • B \(\left( { - \frac{2}{3};\,\, - 1} \right)\)                                   
  • C \(\left( {\frac{2}{3};\,\,1} \right)\)                  
  • D \(\left( { - \frac{2}{3};\,\,1} \right)\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

+ \(A = AC \cap d\)

+ \(M\) là trung điểm của cạnh \(AC\)

+ \(B = BH \cap BC\)

+ Xác định tọa độ trọng tâm \(G\) theo CT: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

*) Xác định tọa độ đỉnh \(A\)

+) Lập phương trình cạnh \(AC\)

\(\left( {AC} \right):\,\,\left\{ \begin{array}{l}{\rm{qua}}\,M\left( {1;\,\,1} \right)\\{{\vec n}_{AC}} = {{\vec u}_{BH}} = \left( {1;\,\, - 1} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow 1.\left( {x - 1} \right) - 1.\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 1 - y + 1 = 0 \Leftrightarrow x - y = 0\)

Vì \(A = AC \cap d\) nên tọa độ giao điểm \(A\left( {{x_A};\,\,{y_A}} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\,\left\{ \begin{array}{l}x - 4y - 2 = 0\\x - y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 4y = 2\\x - y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{ - 2}}{3}\\y = \frac{{ - 2}}{3}\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {\frac{{ - 2}}{3};\,\,\,\frac{{ - 2}}{3}} \right)\)

*) \(A\left( { - \frac{2}{3};\,\, - \frac{2}{3}} \right);\,\,M\left( {1;\,\,1} \right);\,C\left( {{x_C};\,\,{y_C}} \right)\)

Vì \(M\) là trung điểm của \(AC\) nên ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}1 = \frac{{ - \frac{2}{3} + {x_C}}}{2}\\1 = \frac{{ - \frac{2}{3} + {y_C}}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 =  - \frac{2}{3} + {x_C}\\2 =  - \frac{2}{3} + {y_C}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = \frac{8}{3}\\{y_C} = \frac{8}{3}\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {\frac{8}{3};\,\,\frac{8}{3}} \right)\)

*) Lập phương trình cạnh \(BC\)

\(\left( {BC} \right):\,\,\left\{ \begin{array}{l}{\rm{qua}}\,\,C\left( {\frac{8}{3};\,\,\frac{8}{3}} \right)\\{{\vec n}_{BC}} = {{\vec n}_d} = \left( {1;\,\, - 4} \right)\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow 1.\left( {x - \frac{8}{3}} \right) - 4.\left( {y - \frac{8}{3}} \right) = 0 \Leftrightarrow x - \frac{8}{3} - 4y + \frac{{32}}{3} = 0 \Leftrightarrow 3x - 12y + 24 = 0\)

Vì \(B = BH \cap BC\) nên tọa độ điểm \(B\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}3x - 12y + 24 = 0\\x + y + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x - 12y =  - 24\\x + y =  - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 4\\y = 1\end{array} \right. \Rightarrow B\left( { - 4;\,\,1} \right)\)

*) Xác định tọa độ trọng tâm \(G\left( {{x_G};\,\,{y_G}} \right)\):

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{ - \frac{2}{3} + \left( { - 4} \right) + \frac{8}{3}}}{3}\\{y_G} = \frac{{ - \frac{2}{3} + 1 + \frac{8}{3}}}{3}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_G} =  - \frac{2}{3}\\{y_G} = 1\end{array} \right. \Rightarrow G\left( { - \frac{2}{3};\,\,1} \right)\)

Vậy \(G\left( { - \frac{2}{3};\,\,1} \right).\)

Chọn  D

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 37 :

Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có đường cao \(AH\), trung tuyến \(CM\) và phân giác trong \(BD\) có phương trình \(x + y - 5 = 0\), biết \(H\left( { - 4;\,\,1} \right),\) \(M\left( {\frac{{17}}{5};\,\,12} \right)\). Tọa độ đỉnh \(A\) là

  • A \(A\left( {1;\,\, - 6} \right)\)     
  • B \(A\left( {\frac{4}{5};\, - \,25} \right)\)                       
  • C \(A\left( {6;\,\,1} \right)\)        
  • D \(A\left( {\frac{4}{5};\,\,25} \right)\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

+) Xác định tọa độ điểm \(E\) (\(E\) là điểm đối xứng với \(H\) qua đường phân giác \(BD\))

+) Viết phương trình đường thẳng \(AB\)\( \Rightarrow \) xác định tọa độ điểm \(B\)

+) Từ tọa độ điểm \(M\) và \(B\)\( \Rightarrow \) Xác định tọa độ điểm \(A\).

Lời giải chi tiết:

*) Phương trình đường phân giác \(BD:\,\,x + y - 5 = 0\)\( \Rightarrow {\vec n_{BD}} = \left( {1;\,\,1} \right),\,\,{\vec u_{BD}} = \left( { - 1;\,\,1} \right)\)

*) Gọi \(E\) là điểm đối xứng của \(H\) qua \(BD\).

Phương trình đường thẳng \(EH\):

+) Vì \(EH \bot BD\)\( \Rightarrow \) Phương trình \(EH\): \( - x + y + c = 0\)

+) \(H\left( { - 4;\,\,1} \right) \in EH \Rightarrow  - \left( { - 4} \right) + 1 + c = 0\)\( \Leftrightarrow 5 + c = 0 \Leftrightarrow c =  - 5\)

\( \Rightarrow \) Phương trình \(EH:\,\, - x + y - 5 = 0\)

*) Gọi \(BD \cap EH = I\). Tọa độ điểm \(I\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}x + y - 5 = 0\\ - x + y - 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 5\\ - x + y = 5\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 5\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {0;\,\,5} \right)\)\( \Rightarrow E\left( {4;\,\,9} \right)\)

*) Phương trình đường thẳng \(AB\) đi qua \(M\left( {\frac{{17}}{5};\,\,12} \right)\) nhận \({\vec n_{ME}} = \left( {3;\,\,\frac{3}{5}} \right)\) là VTPT là:

\(3.\left( {x - \frac{{17}}{5}} \right) + \frac{3}{5} \cdot \left( {y - 12} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 3x - \frac{{51}}{5} + \frac{{3y}}{5} - \frac{{36}}{5} = 0\)\( \Leftrightarrow 15x + 3y - 87 = 0\)

*) Tọa độ điểm \(B\)là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}15x + 3y - 87 = 0\\x + y - 5 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 6\\y =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {6;\,\, - 1} \right)\)

Mà \(M\left( {\frac{{17}}{5};\,\,12} \right)\) là trung điểm của \(AB\) nên ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_A} = 2.\frac{{17}}{5} - 6\\{y_A} = 2.12 + 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} = \frac{4}{5}\\{y_A} = 25\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {\frac{4}{5};\,\,25} \right)\)

Vậy \(A\left( {\frac{4}{5};\,\,25} \right)\).

Chọn  D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 38 :

Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) biết \(C\left( {4;\,\,3} \right)\), đường phân giác \(AD\) và trung tuyến \(AM\) lần lượt có phương trình \(x + 2y - 5 = 0\) và \(4x + 13y - 10 = 0\). Phương trình đường thẳng \(AB\) là

  • A \(x - 7y + 5 = 0\)
  • B \(x + 7y + 5 = 0\)         
  • C \(7x + y - 25 = 0\)        
  • D \(7x + y + 25 = 0\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

+) Xác định tọa độ của điểm \(A\)

+) Gọi \(C'\) là điểm đối xứng của \(C\) qua phân giác \(AD\)\( \Rightarrow C' \in AB\)

+) Viết phương trình đường thẳng \(AB\) nhận \(\overrightarrow {AC'} \) là VTCP

Lời giải chi tiết:

+) Phương trình đường phân giác \(AD\): \(x + 2y - 5 = 0\)\( \Rightarrow {\vec n_{AD}} = \left( {1;\,\,2} \right),\,\,{\vec u_{AD}} = \left( {2;\,\, - 1} \right)\,\)

+) Phương trình đường trung tuyến \(AM:\,\,4x + 13y - 10 = 0\)

+) Vì \(A\) là giao điểm của \(AD\) và \(AM\) nên tọa độ điểm \(A\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y - 5 = 0\\4x + 13y - 10 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 9\\y =  - 2\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {9;\,\, - 2} \right)\)

+) Gọi \({C_1}\) là điểm đối xứng của \(C\) qua \(AD\)\( \Rightarrow {C_1} \in AB\)

Phương trình tổng quát của đường thẳng \(C{C_1}\) đi qua \(C\left( {4;\,\,3} \right)\) nhận  \({\vec u_{AD}} = \left( {2;\,\, - 1} \right)\,\) là VTPT:

\(C{C_1}:\,\,\,2\left( {x - 4} \right) - \left( {y - 3} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 2x - 8 - y + 3 = 0\)\( \Leftrightarrow 2x - y - 5 = 0\)

+) Gọi \(J = C{C_1} \cap AD\).

Tọa độ của \(J\) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y - 5 = 0\\x + 2y - 5 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 1\end{array} \right. \Rightarrow J\left( {3;\,\,1} \right)\)

\( \Rightarrow \) Tọa độ của điểm \({C_1}\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_{{C_1}}} = 2.3 - 4\\{y_{{C_1}}} = 2.1 - 3\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{{C_1}}} = 2\\{y_{{C_1}}} =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow {C_1}\left( {2;\,\, - 1} \right)\)

+)  \(\left. \begin{array}{l}A\left( {9;\,\, - 2} \right)\\{C_1}\left( {2;\,\, - 1} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \overrightarrow {A{C_1}} \left( { - 7;\,\,1} \right)\)

Phương trình đường thẳng \(AB\) đi qua \(A\left( {9;\,\, - 2} \right)\) và nhận \({\vec n_{A{C_1}}} = \left( {1;\,\,7} \right)\) là VTPT là:

\(AB:\,\,\,\,\,x - 9 + 7\,\left( {y + 2} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow x - 9 + 7y + 14 = 0\)\( \Leftrightarrow x + 7y + 5 = 0\)

Vậy phương trình đường thẳng \(AB\) là: \(x + 7y + 5 = 0\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 39 :

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(\Delta \) có phương trình \(\frac{x}{3} + \frac{y}{4} = 1\). Gọi \(A,\) \(B\) là các giao điểm của đường thẳng \(\Delta \) với các trục tọa độ. Độ dài của đoạn thẳng \(AB\) bằng:

  • A \(7\)      
  • B \(\sqrt 5 \)                     
  • C \(12\)    
  • D \(5\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Cho hai điểm \(A\left( {{x_A};\,\,{y_A}} \right)\); \(B\left( {{x_B};\,\,{y_B}} \right)\)\( \Rightarrow AB = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2}} \)

Lời giải chi tiết:

Gọi \(A\left( {a;\,\,0} \right),\,\,B\left( {0;\,\,b} \right)\) lần lượt là giao điểm của đường thẳng \(\Delta \) và trục \(Ox\), \(Oy\).

+) Vì \(A\left( {a;\,\,0} \right) \in \left( \Delta  \right):\,\,\frac{x}{3} + \frac{y}{4} = 1\) nên ta có \(\frac{a}{3} + \frac{0}{4} = 1 \Leftrightarrow \frac{a}{3} = 1 \Leftrightarrow a = 3\)

\( \Rightarrow A\left( {3;\,\,0} \right)\)

+) Vì \(B\left( {0;\,\,b} \right) \in \left( \Delta  \right):\,\frac{x}{3}\, + \frac{y}{4} = 1\) nên ta có \(\frac{0}{3} + \frac{b}{4} = 1 \Rightarrow \frac{b}{4} = 1 \Leftrightarrow b = 4\)

\( \Rightarrow B\left( {0;\,\,4} \right)\)

Ta có: \(A\left( {3;\,\,0} \right),\,\,B\left( {0;\,\,4} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {{{\left( {0 - 3} \right)}^2} + {{\left( {4 - 0} \right)}^2}}  = \sqrt {{3^2} + {4^2}}  = \sqrt {25}  = 5\)

Chọn  D

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 40 :

Cho 4 điểm \(A\left( { - 3;\,\,1} \right),\,\,B\left( { - 9;\,\, - 3} \right),\,\,C\left( { - 6;\,\,0} \right),\,\,D\left( { - 2;\,\,4} \right)\). Tọa độ giao điểm của 2 đường thẳng \(AB\) và \(CD\) là:

  • A \(\left( { - 6;\,\, - 1} \right)\)     
  • B \(\left( { - 9;\,\, - 3} \right)\)
  • C \(\left( { - 9;\,\,3} \right)\)                    
  • D \(\left( {0;\,\,4} \right)\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

+ Viết phương trình đường thẳng \(AB\), \(CD.\)

+ Xác định tọa độ giao điểm của \(AB,\,\,CD.\)

Lời giải chi tiết:

+) \(\left( {AB} \right):\left\{ \begin{array}{l}{\rm{qua}}\,\,A\left( { - 3;\,\,1} \right)\\{{\vec n}_{AB}} = \left( {2;\,\, - 3} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left( {AB} \right):\,\,\,2\,.\,\left( {x + 3} \right) - 3\,.\,\left( {y - 1} \right) = 0\, \Leftrightarrow 2x + 6 - 3y + 3 = 0 \Leftrightarrow 2x - 3y + 9 = 0\)

+) \(\left( {CD} \right):\left\{ \begin{array}{l}{\rm{qua}}\,\,C\left( { - 6;\,\,0} \right)\\{{\vec n}_{CD}} = \left( {1;\,\, - 1} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left( {CD} \right):\,\,1.\left( {x + 6} \right) - 1\,.\,\left( {y - 0} \right) = 0\, \Leftrightarrow x - y + 6 = 0\)

+) Gọi \(E = AB \cap CD\).

Tọa độ giao điểm \(E\) của \(AB\) và \(CD\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y + 9 = 0\\x - y + 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - 3y =  - 9\\x - y =  - 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 9\\y =  - 3\end{array} \right. \Rightarrow E\left( { - 9;\,\, - 3} \right)\)

Chọn  B

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 41 :

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(A\left( {3;\,\,5} \right)\); \(B\left( {4;\,\, - 3} \right)\) đường phân giác trong vẽ từ \(C\) là \(d:\,\,x + 2y - 8 = 0.\) Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) là

  • A \(4{x^2} + 4{y^2} + 4x + 5y + 99 = 0\)          
  • B \(4{x^2} + 4{y^2} - 4x - 5y - 99 = 0\)                        
  • C \({x^2} + {y^2} - 4x - 5y - 99 = 0\)     
  • D \(4{x^2} + 4{y^2} - \frac{4}{5}x - 5y - \frac{{99}}{5} = 0\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

+) Xác định tọa độ điểm \(C\).

+) Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm \(A,\,\,B,\,\,C\).

Lời giải chi tiết:

+) Gọi \(E\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(d\)\( \Rightarrow E \in BC\)

Kẻ \(AH \bot d\) \( \Rightarrow \left( {AH} \right):\,\,\left\{ \begin{array}{l}A\left( {3;\,\,5} \right)\\{{\vec n}_{AH}} = {{\vec u}_d} = \left( { - 2;\,\,1} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow AH:\,\,\, - 2\left( {x - 3} \right) + y - 5 = 0\)\( \Leftrightarrow  - 2x + 6 + y - 5 = 0\)\( \Leftrightarrow  - 2x + y + 1 = 0\)

Tọa độ điểm \(H\) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} - 2x + y + 1 = 0\\x + 2y - 8 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2x + y + 1 = 0\\2x + 4y - 16 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 3\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {2;\,\,3} \right)\)

\( \Rightarrow \) \(H\) là trung điểm của \(AE\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_E} = 2.2 - 3\\{y_E} = 2.3 - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_E} = 1\\{y_E} = 1\end{array} \right. \Rightarrow E\left( {1;\,\,1} \right)\)

+) Phương trình cạnh \(\left( {BC} \right):\,\,\left\{ \begin{array}{l}{\rm{qua}}\,\,E\left( {1;\,\,1} \right)\\{{\vec n}_{BC}} = \left( {4;\,\,3} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left( {BC} \right):\,\,4\left( {x - 1} \right) + 3\left( {y - 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 4x + 3y - 7 = 0\)

Tọa độ điểm \(C\) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}4x + 3y - 7 = 0\\x + 2y - 8 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 2\\y = 5\end{array} \right. \Rightarrow C\left( { - 2;\,\,5} \right)\)

Gọi phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) có dạng: \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0,\,\,{a^2} + {b^2} - c > 0\)

Do đó, ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}4a - 10b + c =  - 29\\ - 6a - 10b + c =  - 34\\ - 8a + 6b + c =  - 25\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{2}\\b = \frac{5}{8}\\c = \frac{{ - 99}}{4}\end{array} \right.\)

Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) là:

\({x^2} + {y^2} - x - \frac{5}{4}y - \frac{{99}}{4} = 0 \Leftrightarrow 4{x^2} + 4{y^2} - 4x - 5y - 99 = 0\)

Chọn  B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 42 :

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) biết phương trình cạnh \(BC:x + y - 2 = 0\), hai đường cao \(BB':x - 3 = 0\) và \(CC':2x - 3y + 6 = 0\). Tọa độ các đỉnh của tam giác \(ABC\) là:

  • A \(A\left( {1;\,\, - 2} \right),\,\,B\left( {3;\,\, - 1} \right),\,\,C\left( {0;\,\,2} \right)\)
  • B \(A\left( {2;\,\,1} \right),\,\,B\left( {3;\,\, - 1} \right),\,\,C\left( {0;\,\,2} \right)\)                               
  • C \(A\left( {1;\,\,2} \right),\,\,B\left( {0;\,\,2} \right),\,\,C\left( {3;\,\, - 1} \right)\)                    
  • D \(A\left( {1;\,\,2} \right),\,\,B\left( {3;\,\, - 1} \right),\,\,C\left( {0;\,\,2} \right)\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) biết phương trình cạnh \(BC:x + y - 2 = 0\), hai đường cao \(BB':x - 3 = 0\) và \(CC':2x - 3y + 6 = 0\). Tọa độ các đỉnh của tam giác \(ABC\) là:

Lời giải chi tiết:

*) Xác định tọa độ đỉnh \(B\).

Vì \(B = BC \cap BB'\) nên tọa độ đỉnh \(B\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}x + y - 2 = 0\\x - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {3;\,\, - 1} \right)\)

*) Xác định tọa độ đỉnh \(C\).

Vì \(C = CC' \cap BC\) nên tọa độ đỉnh \(C\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}x + y - 2 = 0\\2x - 3y + 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 2\\2x - 3y =  - 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 2\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {0;\,\,2} \right)\)

*) Xác định tọa độ đỉnh \(A\).

+) Lập phương trình cạnh \(AB\)

\(\left( {AB} \right):\,\,\left\{ \begin{array}{l}{\rm{qua}}\,\,B\left( {3; - 1} \right)\\{{\vec n}_{AB}} = {{\vec u}_{CC'}} = \left( {3;\,\,2} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow 3.\left( {x - 3} \right) + 2.\left( {y + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x - 9 + 2y + 2 = 0 \Leftrightarrow 3x + 2y - 7 = 0\)

+) Lập phương trình cạnh \(AC\)

\(AC:\,\,\left\{ \begin{array}{l}{\rm{qua}}\,\,C\left( {0;\,\,2} \right)\\{{\vec n}_{AC}} = {{\vec u}_{BB'}} = \left( {0;\,\,1} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow 0.\left( {x - 0} \right) + 1.\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow y - 2 = 0\)

Vì \(A = AB \cap AC \Rightarrow \)Tọa độ đỉnh \(A\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}3x + 2y - 7 = 0\\y - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x + 2y = 7\\y - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {1;\,\,2} \right)\)

Vậy \(A\left( {1;\,\,2} \right),\,\,B\left( {3;\,\, - 1} \right),\,\,C\left( {0;\,\,2} \right)\).

Chọn  D

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 43 :

Cho hai điểm \(M\left( {3;\,\,1} \right)\)  và \(I\left( {2;\,\, - 2} \right)\). Có bao nhiêu đường thẳng \(d\) đi qua \(M\) và cắt trục \(Ox\), \(Oy\) lần lượt tại hai điểm \(A\) và \(B\) sao cho tam giác \(IAB\) cân tại \(I\)?

  • A \(0\)      
  • B \(1\)      
  • C \(2\)      
  • D \(3\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

+ Viết phương trình đoạn chắn đi qua \(M\) và cắt trục \(Ox\), \(Oy\) lần lượt tại hai điểm \(A\) và \(B\).

+  Gọi \(N\) là trung điểm của \(AB\), tam giác \(IAB\) cân tại \(I\)\( \Leftrightarrow IN \bot AB\)

Lời giải chi tiết:

Giả sử đường thẳng \(d\) đi qua \(M\) cắt trục \(Ox\) và \(Oy\)lần lượt tại hai điểm \(A\left( {a;\,\,0} \right)\) và \(B\left( {0;\,\,b} \right)\), \(a\,.\,\,b \ne 0\).

Phương trình đường thẳng \(d\) có dạng: \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\)

Vì đường thẳng \(d\) đi qua \(M\left( {3;\,\,1} \right)\) nên ta có: \(\frac{3}{a} + \frac{1}{b} = 1\)

Gọi \(N\left( {{x_N};\,\,{y_N}} \right)\) là trung điểm của \(AB\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_N} = \frac{{a + 0}}{2}\\{y_N} = \frac{{b + 0}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_N} = \frac{a}{2}\\{y_N} = \frac{b}{2}\end{array} \right. \Rightarrow N\left( {\frac{a}{2};\,\,\frac{b}{2}} \right)\)

Ta có:

+) \(I\left( {2;\,\, - 2} \right);\,\,N\left( {\frac{a}{2};\,\,\frac{b}{2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {IN}  = \left( {\frac{a}{2} - 2;\frac{b}{2} + 2} \right) = \left( {\frac{{a - 4}}{2};\frac{{b + 4}}{2}} \right) = \left( {a - 4;\,\,b + 4} \right)\)

+) \(A\left( {a;\,\,0} \right),\,\,B\left( {0;\,\,b} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \left( { - a;\,\,b} \right)\)

\(\Delta IAB\) cân tại \(I\)\( \Leftrightarrow IN \bot AB \Leftrightarrow \overrightarrow {IN.} \overrightarrow {AB}  = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {a - 4} \right)\left( { - a} \right) + b\left( {b + 4} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow  - {a^2} + 4a + {b^2} + 4b = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {{b^2} - {a^2}} \right) + \left( {4a + 4b} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {b - a} \right)\left( {b + a} \right) + 4\left( {b + a} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {b - a + 4} \right)\left( {b + a} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b - a + 4 = 0\\b + a = 0\end{array} \right.\)

- Trường hợp 1: \(b - a + 4 = 0 \Rightarrow a - b = 4 \Leftrightarrow a = b + 4\)

Thay \(a = b + 4\) vào CT \(\frac{3}{a} + \frac{1}{b} = 1\) ta có:

\(\frac{3}{{b + 4}} + \frac{1}{b} = 1 \Leftrightarrow 3b + \left( {b + 4} \right) = b\left( {b + 4} \right) \Leftrightarrow 3b + b + 4 = {b^2} + 4b \Leftrightarrow {b^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b =  - 2\\b = 2\end{array} \right.\)

Với \(b =  - 2\) \( \Rightarrow a = 2\). Phương trình đường thẳng \(d\) là: \(\frac{x}{2} + \frac{y}{{ - 2}} = 1 \Leftrightarrow \frac{x}{2} - \frac{y}{2} = 1 \Leftrightarrow x - y - 2 = 0\)

Với \(b = 2 \Rightarrow a = 6\). Phương trình đường thẳng \(d\) là: \(\frac{x}{6} + \frac{y}{2} = 1 \Leftrightarrow \frac{x}{6} + \frac{y}{2} = 1 \Leftrightarrow x + 3y - 6 = 0\)

- Trường hợp 2: Thay \(b =  - a\) vào công thức \(\frac{3}{a} + \frac{1}{b} = 1\) ta được: \(\frac{3}{a} - \frac{1}{a} = 1 \Leftrightarrow \frac{2}{a} = 1 \Rightarrow a = 2\)

Với \(a = 2 \Rightarrow b =  - 2\). Phương trình đường thẳng \(d\) là: \(\frac{x}{2} + \frac{y}{{ - 2}} = 1 \Leftrightarrow \frac{x}{2} - \frac{y}{2} = 1 \Leftrightarrow x - y - 2 = 0\)

Vậy phương trình đường thẳng \(d\) là \(x - y - 2 = 0\) hoặc \(x + 3y - 6 = 0.\)

Chọn  C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 44 :

Cho tam giác \(ABC\) biết trực tâm \(H\left( {1;\,\,1} \right)\) và phương trình cạnh\(AB:5x - 2y + 6 = 0\), phương trình cạnh \(AC:4x + 7y - 21 = 0\). Phương trình cạnh \(BC\) là:

  • A \(4x - 2y + 1 = 0\)        
  • B \(x - 2y + 14 = 0\)        
  • C \(x + 2y - 14 = 0\)        
  • D \(x - 2y - 14 = 0\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

+) Xác định tọa độ điểm \(A\)

+) Xác định độ điểm \(B\) (Viết phương trình đường cao\(BH\))

+) Viết phương trình cạnh \(BC\) đi qua \(B\) và nhận \(\overrightarrow {AH} \) là VTPT.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(A = AB \cap AC \Rightarrow A\left( {0;3} \right)\) \( \Rightarrow \overrightarrow {AH}  = \left( {1; - 2} \right)\)

Ta có \(BH \bot AC \Rightarrow \left( {BH} \right):7x - 4y + d = 0\)

Mà \(H\left( {1;1} \right) \in \left( {BH} \right) \Rightarrow d =  - 3\) suy ra \(\left( {BH} \right):7x - 4y - 3 = 0\)

Có \(B = AB \cap BH \Rightarrow B\left( { - 5; - \frac{{19}}{2}} \right)\)

Phương trình \(\left( {BC} \right)\) nhận \(\overrightarrow {AH}  = \left( {1; - 2} \right)\) là VTPT và qua \(B\left( { - 5; - \frac{{19}}{2}} \right)\)

Suy ra \(\left( {BC} \right):\left( {x + 5} \right) - 2\left( {y + \frac{{19}}{2}} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 2y - 14 = 0\)

Chọn  D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 45 :

Cho hai đường thẳng \({d_1}:x + 2y - 1 = 0\), \({d_2}:x - 3y + 3 = 0\). Phương trình đường thẳng \(d\) đối xứng với \({d_1}\) qua \({d_2}\) là:

  • A \(x - 2y + 2 = 0\)          
  • B \(2x - y + 2 = 0\)          
  • C \(x + 2y + 2 = 0\)
  • D \(x + 7y + 1 = 0\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

+) Xác định tọa độ giao điểm \(I\) của hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\).

+) Viết phương trình đường thẳng đi qua \(M\left( {{x_0};\,\,{y_0}} \right) \in {d_1}\) và vuông góc với \({d_2}\). Sau đó, xác định tọa độ giao điểm \(E\left( {a;\,\,b} \right)\) của \({d_2}\) và \(\left( \Delta  \right)\)

+) Xác định tọa độ điểm \(N\left( {{x_1};\,\,{y_1}} \right)\) là điểm đối xứng với \(M\left( {{x_0};\,\,{y_0}} \right)\) qua \(E\left( {a;\,\,b} \right)\).

+) Viết phương trình đường thẳng qua \(I\) và nhận \(\overrightarrow {IN} \) là VTPT.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(I\) là giao điểm của hai đường thẳng \({d_1},\,\,{d_2}\).

+) Tọa độ điểm \(I\) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y - 1 = 0\\x - 3y + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - \frac{3}{5}\\y = \frac{4}{5}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow I\left( { - \frac{3}{5};\frac{4}{5}} \right).\)

+) Lấy điểm \(M\left( {1;0} \right) \in {d_1}\). Đường thẳng \(\Delta \) qua \(M\) và vuông góc với \({d_2}\) có phương trình:

\(3x + y - 3 = 0.\)

+) Gọi \(H = \Delta  \cap {d_2}\), suy ra tọa độ điểm\(H\) là nghiệm của hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 3y + 3 = 0\\3x + y - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{3}{5}\\y = \frac{6}{5}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow H\left( {\frac{3}{5};\frac{6}{5}} \right).\)

\( \Rightarrow N\left( {\frac{1}{5};\frac{{12}}{5}} \right)\) là điểm đối xứng của \(M\) qua \({d_2}\).

Phương trình đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}{\rm{qua }}I\left( { - \frac{3}{5};\frac{4}{5}} \right)\\\overrightarrow {{n_d}}  = \overrightarrow {{n_{IN}}}  = \left( {2; - 1} \right)\end{array} \right.\) có dạng: \(2x - y + 2 = 0.\)

Chọn  B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 46 :

Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có đường phân giác trong \(AD\) và đường cao \(CH\) lần lượt có phương trình \(x + y - 2 = 0,\) \(x - 2y + 5 = 0\). Điểm \(M\left( {3;\,\,0} \right)\) thuộc \(AC\) thỏa mãn \(AB = 2AM\). Tọa độ các đỉnh của tam giác \(ABC\) lần lượt là:

  • A \(A\left( {1;\,\,1} \right),\,\,B\left( {3;\,\, - 3} \right),\,\,C\left( { - 1;\,\,2} \right)\)                             
  • B \(A\left( {1;\,\,1} \right),\,\,B\left( {3;\,\,3} \right),\,\,C\left( { - 1;\,\,2} \right)\)                               
  • C \(A\left( {1;\,\, - 1} \right),\,\,B\left( {3;\,\, - 3} \right),\,\,C\left( { - 1;\,\,2} \right)\)              
  • D \(A\left( { - 1;\,\,1} \right),\,\,B\left( {3;\,\, - 3} \right),\,\,C\left( { - 1;\, - \,2} \right)\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

+) Gọi \(E\) là điểm đối xứng với \(M\) qua \(AD\)\( \Rightarrow E \in AB\)

+) Có \(CH\) là đường cao, viết được phương trình cạnh \(AB.\) Xác định tọa độ đỉnh \(A\). Từ đó, xác địnhh được tọa độ đỉnh \(B,\,\,C.\)

Lời giải chi tiết:

+) Gọi \(E\) là điểm đối xứng với \(M\) qua \(AD\)\( \Rightarrow E \in AB\) và \(E\left( {2;\,\, - 1} \right)\)

+) Phương trình đường cao \(\left( {CH} \right):\,\,x - 2y + 5 = 0 \Rightarrow {\vec n_{CH}} = \left( {1;\,\, - 2} \right) \Rightarrow {\vec u_{CH}} = \left( {2;\,\,1} \right)\)

+) Phương trình cạnh \(\left( {AB} \right):\left\{ \begin{array}{l}{\rm{qua}}\,\,E\left( {2;\,\, - 1} \right)\\{{\vec n}_{AB}} = {{\vec u}_{CH}} = \left( {2;\,\,1} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow AB:\,\,\,2\left( {x - 2} \right) + y + 1 = 0\)\( \Leftrightarrow 2x - 4 + y + 1 = 0\)\( \Leftrightarrow 2x + y - 3 = 0\)

+) \(A = AB \cap AD\)\( \Rightarrow \) Tọa độ điểm \(A\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}x + y - 2 = 0\\2x + y - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {1;\,\,1} \right)\)

+) Gọi \(B\left( {t;\,\,3 - 2t} \right);\,\,A\left( {1;\,\,1} \right);\,\,M\left( {3;\,\,0} \right)\)

\( \Rightarrow AB = \sqrt {{{\left( {t - 1} \right)}^2} + {{\left( {2 - 2t} \right)}^2}} \) và  \(AM = \sqrt {{{\left( {3 - 1} \right)}^2} + {{\left( {0 - 1} \right)}^2}}  = \sqrt {4 + 1}  = \sqrt 5 \)

Theo đề bài, \(AB = 2AM\)\( \Rightarrow \sqrt {{{\left( {t - 1} \right)}^2} + {{\left( {2 - 2t} \right)}^2}}  = 2\sqrt 5 \)\( \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {t - 1} \right)}^2} + 4{{\left( {t - 1} \right)}^2}}  = 2\sqrt 5 \)

\( \Leftrightarrow \sqrt 5 .\left| {t - 1} \right| = 2\sqrt 5  \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}t - 1 = 2\\t - 1 =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 3\\t =  - 1\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow B\left( {3;\,\, - 3} \right)\) hoặc \(B\left( { - 1;\,\,5} \right)\)

Mặt khác, \(AB = 2AM\)\( \Rightarrow E\) là trung điểm của \(AB\)\( \Rightarrow B\left( {3;\,\, - 3} \right)\)

Phương trình đường thẳng \(AC\) đi qua \(A\left( {1;\,\,1} \right)\) và \(M\left( {3;\,\,0} \right)\) là:

\(AC:\,\,\,\frac{{x - 1}}{{3 - 1}} = \frac{{y - 1}}{{0 - 1}} \Leftrightarrow x - 1 + 2y - 2 = 0\) \( \Leftrightarrow x + 2y - 3 = 0.\)

Tọa độ điểm \(C\) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y - 3 = 0\\x - 2y + 5 = 0\end{array} \right. \Rightarrow C\left( { - 1;\,\,2} \right)\)

Vậy \(A\left( {1;\,\,1} \right),\,\,B\left( {3;\,\, - 3} \right),\,\,C\left( { - 1;\,\,2} \right).\)

Chọn  A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 47 :

Cho \(\Delta ABC\) có \(A\left( {4; - 2} \right)\). Đường cao \(BH:2x + y - 4 = 0\) và đường cao \(CK:x - y - 3 = 0\). Viết phương trình đường cao kẻ từ đỉnh \(A\).

  • A \(4x + 5y - 6 = 0\)        
  • B \(4x - 5y - 26 = 0\)       
  • C \(4x + 3y - 10 = 0\)      
  • D \(4x - 3y - 22 = 0\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

+) Xác định tọa độ trực tâm \({H_1}\) của \(\Delta ABC\).

+) Viết phương trình đường thẳng \(A{H_1}\).

Lời giải chi tiết:

Kẻ đường cao \(AI\).

Gọi \({H_1}\) là trực tâm của \(\Delta ABC\), khi đó tọa độ điểm \({H_1}\) là nghiệm của hệ phương trình:\(\left\{ \begin{array}{l}2x + y - 4 = 0\\x - y - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{7}{3}\\y =  - \frac{2}{3}\end{array} \right. \Rightarrow {H_1}\left( {\frac{7}{3};\,\, - \frac{2}{3}} \right)\) \( \Rightarrow \overrightarrow {A{H_1}}  = \left( { - \frac{5}{3};\frac{4}{3}} \right)\)

\(AI\) qua \({H_1}\left( {\frac{7}{3}; - \frac{2}{3}} \right)\) và nhận \(\vec n = \left( {4;5} \right)\) làm VTPT \( \Rightarrow AI:4\left( {x - \frac{7}{3}} \right) + 5\left( {y + \frac{2}{3}} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 4x + 5y - 6 = 0.\)

Chọn  A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 48 :

Cho \(M \in \Delta :2x - y + 1 = 0\) và hai điểm \(O\left( {0;0} \right);\,A\left( {2;1} \right)\). Tìm \(M\) để \(OM + MA\) nhỏ nhất

  • A \(M\left( { - 6;13} \right)\)      
  • B \(M\left( {\frac{6}{{25}};\frac{{13}}{{25}}} \right)\)            
  • C \(M\left( {\frac{{ - 6}}{{25}};\frac{{13}}{{25}}} \right)\)      
  • D \(M\left( {13; - 6} \right)\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Bước 1: Chứng minh \(O,A\) nằm cùng phía so với \(\Delta \)

Bước 2: Tìm \(O'\) đối xứng \(O\) qua \(\Delta \)

Bước 3: Nhận xét để \(OM + MA\) nhỏ nhất thì \(O'AM\) thẳng hàng và tìm \(M = OA' \cap \Delta \)

Lời giải chi tiết:

\(\Delta \left( O \right).\Delta \left( A \right) = \left( {2.0 - 0 + 1} \right).\left( {2.2 - 1 + 1} \right) = 1.4 > 0\)

Suy ra \(O,A\) cùng phía so với \(\Delta \)

\(d\left\{ \begin{array}{l}qua\,O\left( {0;0} \right)\\ \bot \Delta \end{array} \right. \Rightarrow d:x + 2y = 0\)\( \Rightarrow H = d \cap \Delta  \Rightarrow H\left( {\frac{{ - 2}}{5};\frac{1}{5}} \right)\)

\(H\) là trung điểm \(OO' \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{O'}} = \frac{{ - 2}}{5}.2 - 0 = \frac{{ - 4}}{5}\\{y_{O'}} = \frac{1}{5}.2 - 0 = \frac{2}{5}\end{array} \right. \Rightarrow O'\left( {\frac{{ - 4}}{5};\frac{2}{5}} \right)\)

\(\left( {OM + MA} \right)\min  = \left( {O'M + MA} \right)\min \)

\( \Rightarrow O'MA\) thẳng hàng \( \Leftrightarrow O'A \cap \Delta  = M\)

\(\begin{array}{l}O'A\left\{ \begin{array}{l}qua\,\,A\left( {2;1} \right)\\VTPT\,\overrightarrow n  \bot \overrightarrow {O'A}  = \left( {\frac{{14}}{5};\frac{3}{5}} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow 3\left( {x - 2} \right) - 14\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x - 14y + 8 = 0\end{array}\)

\(M = O'A \cap \Delta  \Rightarrow M\left\{ \begin{array}{l}3x - 14y + 8 = 0\\2x - y + 1 = 0\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {\frac{{ - 6}}{{25}};\frac{{13}}{{25}}} \right)\)

Chọn  C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 49 :

Cho đường thẳng \(d:x - y + 3 = 0\) và hai điểm \(A\left( {1;2} \right),\,B\left( {2;m} \right)\). Tìm \(m\) để \(d\) cắt \(AB\)

  • A \(m > 5\)          
  • B \(m \ge 5\)                    
  • C \(m \le 5\)
  • D \(m < 5\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Để \(d\) cắt \(AB\) thì \(A,B\) khác phía so với \(d\) hoặc \(A \in d\)hoặc \(B \in d \Leftrightarrow \left( {a{x_A} + b{y_A} + c} \right)\left( {a{x_B} + b{y_B} + c} \right) \le 0\)

Lời giải chi tiết:

 Để \(d\) cắt \(AB\) thì

\(\begin{array}{l}\left( {{x_A} - {y_A} + 3} \right)\left( {{x_B} - {y_B} + 3} \right) \le 0 \Leftrightarrow \left( {1 - 2 + 3} \right)\left( {2 - m + 3} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow 2.\left( {5 - m} \right) \le 0 \Leftrightarrow 5 - m \le 0 \Leftrightarrow m \ge 5\end{array}\)

Chọn  B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 50 :

Khoảng cách từ điểm \(M\left( {0;1} \right)\) đến đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y =  - 1 - 2t\end{array} \right.\)

  • A \(\frac{1}{{\sqrt 5 }}\)             
  • B \(\frac{2}{5}\)              
  • C \(\frac{2}{{\sqrt 5 }}\)
  • D \(2\sqrt 5 \)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Đưa phương trình đường thẳng \(d\) về dạng tổng quát. Sử dụng công thức khoảng cách từ điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) đến đường thẳng \(\Delta :ax + by + c = 0\): \(d\left( {M;\Delta } \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

Lời giải chi tiết:

\(d:\left\{ \begin{array}{l}qua\,\,A\left( {2; - 1} \right)\\\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {1; - 2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_d}}  = \left( {2;1} \right)\end{array} \right. \Rightarrow d:2\left( {x - 2} \right) + \left( {y + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + y - 3 = 0\)

\(d\left( {M;d} \right) = \frac{{\left| {2.0 + 1 - 3} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2}} }} = \frac{2}{{\sqrt 5 }}\)

Chọn  C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 51 :

Khoảng cách từ điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) đến đường thẳng \(\Delta :ax + by + c = 0\) là

  • A \(d\left( {M;\Delta } \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)       
  • B \(d\left( {M;\Delta } \right) = \frac{{a{x_0} + b{y_0} + c}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)     
  • C \(d\left( {M;\Delta } \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0}} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)             
  • D \(d\left( {M;\Delta } \right) = \frac{{a{x_0} + b{y_0}}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức khoảng cách từ điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) đến đường thẳng \(\Delta :ax + by + c = 0\)  \(d\left( {M;\Delta } \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

Lời giải chi tiết:

Sử dụng công thức khoảng cách từ điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) đến đường thẳng \(\Delta :ax + by + c = 0\)  \(d\left( {M;\Delta } \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

Chọn  A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 52 :

Tính khoảng cách từ điểm \(M\left( {2;2} \right)\) đến đường thẳng \(d:3x + 2y + 3 = 0\)

  • A \(\frac{{\sqrt {13} }}{{13}}\)
  • B \(\sqrt {13} \)
  • C \(\frac{{9\sqrt {13} }}{{13}}\)
  • D \(\frac{{3\sqrt {13} }}{{13}}\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức khoảng cách từ điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) đến đường thẳng \(\Delta :ax + by + c = 0\)  \(d\left( {M;\Delta } \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

Lời giải chi tiết:

\(d\left( {M;d} \right) = \frac{{\left| {3.2 + 2.2 + 3} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {2^2}} }} = \sqrt {13} \)

Chọn  B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 53 :

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy,\) cho hình chữ nhật \(ABCD\) có diện tích bằng 10, tâm \(I\left( {1;1} \right)\)biết trung điểm \(AD\) là \(M\left( {0; - 1} \right).\) Với \({x_D} < 0\), tọa độ điểm \(D\) là

  • A \(\left( { - 1;\frac{1}{2}} \right)\)        
  • B \(\left( { - 1;\frac{{ - 1}}{2}} \right)\)                          
  • C \(\left( { - 1;\frac{{ - 3}}{2}} \right)\)
  • D \(\left( { - 1;\frac{3}{2}} \right)\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Viết phương trình đường thẳng \(AD\) rồi tham số hóa điểm \(D\). Tính \(AD\) được từ diện tích \(ABCD\)

Lời giải chi tiết:

\(\overrightarrow {IM}  = \left( { - 1; - 2} \right) \Rightarrow IM = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}}  = \sqrt 5  \Rightarrow AB = 2IM = 2\sqrt 5 \)

\(S = 10 \Rightarrow AB.AD = 10 \Leftrightarrow 2\sqrt 5 .AD = 10 \Rightarrow AD = \sqrt 5 \)

\(AD:\left\{ \begin{array}{l}qua\,M\left( {0; - 1} \right)\\ \bot \overrightarrow {IM}  = \left( { - 1; - 2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_{AD}}}  = \left( {1;2} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AD:\,x + 2y + 2 = 0\)

\( \Rightarrow D\left( { - 2t - 2;t} \right) \Rightarrow A = 2M - D = \left( {2t + 2; - 2 - t} \right)\)

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {DA}  = \left( {4t + 4; - 2 - 2t} \right) \Rightarrow D{A^2} = {\left( {4t + 4} \right)^2} + {\left( { - 2 - 2t} \right)^2} = 5\\ \Leftrightarrow 20{t^2} + 40t + 15 = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{{ - 1}}{2} \Rightarrow D\left( { - 1;\frac{{ - 1}}{2}} \right)\\t = \frac{{ - 3}}{2} \Rightarrow D\left( {1;\frac{{ - 3}}{2}} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Chọn  B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 54 :

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy,\) cho hình vuông \(ABCD\) có \(A\left( {3;1} \right);\,\,B\left( {0;2} \right).\) Với \({x_I} > 1\), tọa độ tâm \(I\) là

  • A \(\left( {3;0} \right)\)          
  • B \(\left( {2;0} \right)\)   
  • C \(\left( {3;2} \right)\)               
  • D \(\left( {2;3} \right)\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Giả sử tọa độ tâm \(I\left( {a;b} \right)\) và sử dụng tính chất \(\left\{ \begin{array}{l}AI \bot BI \Rightarrow \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {BI}  = 0\\AI = BI \Rightarrow A{I^2} = B{I^2}\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

Giả sử tọa độ tâm \(I\left( {a;b} \right)\)

\(\overrightarrow {AI}  = \left( {a - 3;b - 1} \right);\,\,\overrightarrow {BI}  = \left( {a;b - 2} \right)\)

Vì \(ABCD\) là hình vuông \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AI \bot BI \Rightarrow \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {BI}  = 0\\AI = BI \Rightarrow A{I^2} = B{I^2}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {a - 3} \right).a + \left( {b - 1} \right)\left( {b - 2} \right) = 0\\{\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} = {a^2} + {\left( {b - 2} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} - 3a + {b^2} - 3b + 2 = 0\\ - 6a + 2b + 6 = 0\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} - 3a + {b^2} - 3b + 2 = 0\\b = 3a - 3\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} - 3a + {\left( {3a - 3} \right)^2} - 3\left( {3a - 3} \right) + 2 = 0\\b = 3a - 3\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}10{a^2} - 30a + 20 = 0\\b = 3a - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}a = 1\\a = 2\end{array} \right.\\b = 3a - 3\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}I\left( {1;0} \right)\\I\left( {2;3} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Chọn  D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 55 :

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy,\) cho hình thoi \(ABCD\) có phương trình đường thẳng \(AB:3x - y + 2 = 0;\,\,AD:x - 3y + 4 = 0\). Điểm \(M\left( {1;1} \right)\) thuộc đường thẳng \(BD\).  Tọa độ điểm \(B\) là

  • A \(B\left( {1; - 1} \right)\)                     
  • B \(B\left( {2;0} \right)\)
  • C \(B\left( { - 1;1} \right)\)
  • D \(B\left( {0;2} \right)\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Tìm \(B\) bằng cách tìm giao của 2 đường thẳng \(AB,\,\,BD\). Muốn vậy phải viết phương trình đường thẳng \(BD\) dựa vào phân giác \(AC\) của \(\angle BAD\)

Lời giải chi tiết:

Phân giác \(AC\) của \(\angle BAD\) có pt \(\frac{{3x - y + 2}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} =  \pm \frac{{x - 3y + 4}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }}\)

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}3x - y + 2 = x - 3y + 4\\3x - y + 2 =  - x + 3y - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + 2y - 2 = 0\\4x - 4y + 6 = 0\end{array} \right.\)

+ TH1: Nếu phương trình \(AC:2x + 2y - 2 = 0\)

Vì \( \Rightarrow BD\left\{ \begin{array}{l}qua\,M\left( {1;1} \right)\\ \bot AC \Rightarrow \overrightarrow {{n_{BD}}}  = \left( {1; - 1} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BD:x - y = 0\)

\( \Rightarrow B = BD \cap AB = \left( { - 1; - 1} \right)\)

+ TH2: Nếu phương trình \(AC:4x - 4y + 6 = 0\)

Vì \( \Rightarrow BD\left\{ \begin{array}{l}qua\,M\left( {1;1} \right)\\ \bot AC \Rightarrow \overrightarrow {{n_{BD}}}  = \left( {1;1} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BD:x + y - 2 = 0\)

\( \Rightarrow B = BD \cap AB = \left( {0;2} \right)\)

Chọn  D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 56 :

Tập hợp các điểm cách đường thẳng \(d:3x + 4y - 2 = 0\) với độ dài bằng \(2\) là

  • A \(\left[ \begin{array}{l}d':3x + 4y - 8 = 0\\d':3x + 4y - 12 = 0\end{array} \right.\)             
  • B \(\left[ \begin{array}{l}d':3x + 4y - 8 = 0\\d':3x + 4y + 12 = 0\end{array} \right.\)            
  • C \(\left[ \begin{array}{l}d':3x + 4y + 8 = 0\\d':3x + 4y - 12 = 0\end{array} \right.\)            
  • D \(\left[ \begin{array}{l}d':3x + 4y + 8 = 0\\d':3x + 4y + 12 = 0\end{array} \right.\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Nhận xét  tập hợp các điểm cách đường thẳng \(d\) với độ dài bằng \(2\) là đường thẳng \(d'\) song song với \(d\). Lấy \(M \in d\) và dùng công thức khoảng cách \(d\left( {M;d'} \right)\) tìm được \(d'\).

Lời giải chi tiết:

Tập hợp các điểm cách đường thẳng \(d\) với độ dài bằng \(2\) là  một đường thẳng song song với \(d\) có dạng \(d':3x + 4y + c = 0\)

\(\begin{array}{l}M\left( {2; - 1} \right) \in d \Rightarrow d\left( {M;d'} \right) = \frac{{\left| {3.2 + 4.\left( { - 1} \right) + c} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = \frac{{\left| {2 + c} \right|}}{5} = 2\\ \Rightarrow \left| {2 + c} \right| = 10 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 8\\c =  - 12\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}d':3x + 4y + 8 = 0\\d':3x + 4y - 12 = 0\end{array} \right.\end{array}\)

Chọn  C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 57 :

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) cân tại \(B\) với \(A\left( {1;\, - 1} \right)\), \(C\left( {3;\,\,5} \right)\). Điểm \(B\) nằm trên đường thẳng \(d:\,\,2x - y = 0\). Phương trình các đường thẳng \(AB,\,\,BC\)lần lượt là \(ax + by - 24 = 0\), \(cx + dy + 8 = 0\). Giá trị biểu thức \(a\,.\,\,b\,.\,c\,.\,d\) là:

  • A \(5581\)            
  • B \(5681\)
  • C \(5618\)            
  • D \(5518\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

+ Xác định tọa độ điểm \(B\) (lấy \(I\) là trung điểm của \(AC\) \( \Rightarrow BI \bot AC\), \(B = d \cap BI\))

+ Viết phương trình đường thẳng \(AB,\,\,BC\).

Lời giải chi tiết:

Giả sử \(I\left( {{x_I};\,\,{y_I}} \right)\) là trung điểm của \(AC\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{1 + 3}}{2} = 2\\{y_I} = \frac{{ - 1 + 5}}{2} = 2\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {2;\,\,2} \right)\)

Vì tam giác \(ABC\) cân tại \(B\) nên \(BI \bot AC\). Phương trình đường thẳng \(BI\) đi qua \(I\left( {2;\,\,2} \right)\) nhận \(\overrightarrow {AC}  = \left( {2;6} \right)\) làm VTPT là:

\(2.\left( {x - 2} \right) + 6.\left( {y - 2} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 2x - 4 + 6y - 12 = 0\)

\( \Leftrightarrow 2x + 6y - 16 = 0\) \( \Leftrightarrow x + 3y - 8 = 0\)

Tọa độ giao điểm \(B\) của \(BI\) và \(d\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}2x - y = 0\\x + 3y - 8 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - y = 0\\x + 3y = 8\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{8}{7}\\y = \frac{{16}}{7}\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {\frac{8}{7};\,\,\frac{{16}}{7}} \right)\)

+) \(A\left( {1;\, - 1} \right)\), \(B\left( {\frac{8}{7};\,\,\frac{{16}}{7}} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \left( {\frac{8}{7} - 1;\,\,\frac{{16}}{7} + 1} \right) = \left( {\frac{1}{7};\,\,\frac{{23}}{7}} \right)\)

Phương trình đường thẳng \(AB\) đi qua \(A\left( {1;\, - 1} \right)\) nhận \({\vec n_{AB}} = \left( {23;\,\, - 1} \right)\) làm VTPT là:

\(23.\left( {x - 1} \right) - 1.\left( {y + 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 23x - 23 - y - 1 = 0\) \( \Leftrightarrow 23x - y - 24 = 0\)

\( \Rightarrow a = 23;\,\,b =  - 1\)

+) \(B\left( {\frac{8}{7};\,\,\frac{{16}}{7}} \right)\), \(C\left( {3;\,\,5} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {BC}  = \left( {3 - \frac{8}{7};5 - \frac{{16}}{7}} \right) = \left( {\frac{{13}}{7};\,\,\frac{{19}}{7}} \right)\)

Phương trình đường thẳng \(BC\) đi qua \(C\left( {3;\,\,5} \right)\) nhận \({\vec n_{BC}} = \left( {19;\,\, - 13} \right)\) làm VTPT là:

\(19.\left( {x - 3} \right) + \left( { - 13} \right).\left( {y - 5} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 19x - 57 - 13y + 65 = 0\) \( \Leftrightarrow 19x - 13y + 8 = 0\)

\( \Rightarrow c = 19;\,\,d =  - 13\)

\( \Rightarrow a.b.c.d = 23.\left( { - 1} \right).19.\left( { - 13} \right) = 5681\)

Vậy \(a.b.c.d = 5681.\)

Chọn  B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 58 :

Phương trình đường phân giác của góc giữa hai đường thẳng \(\left\{ \begin{array}{l}{d_1}:2x + y + 1 = 0\\{d_2}:2x - 4y - 3 = 0\end{array} \right.\) là

  • A \(\left[ \begin{array}{l}2x + 6y - 5 = 0\\6x - 2y - 1 = 0\end{array} \right.\)             
  • B \(\left[ \begin{array}{l}2x + 6y + 5 = 0\\6x - 2y - 1 = 0\end{array} \right.\)                      
  • C \(\left[ \begin{array}{l}2x - 6y + 5 = 0\\6x + 2y - 1 = 0\end{array} \right.\)
  • D \(\left[ \begin{array}{l}2x - 6y - 5 = 0\\6x + 2y + 1 = 0\end{array} \right.\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức đường phân giác giữa 2 đường thẳng \({d_1}:{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0;\,\,{d_2}:{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0\) là

\(\frac{{{a_1}x + {b_1}y + {c_1}}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2} }} =  \pm \frac{{{a_2}x + {b_2}y + {c_2}}}{{\sqrt {a_2^2 + b_2^2} }}\)

Lời giải chi tiết:

Phương trình 2 đường phân giác: \(\frac{{2x + y + 1}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2}} }} =  \pm \frac{{2x - 4y - 3}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }}\)

\(\frac{{2x + y + 1}}{{\sqrt 5 }} =  \pm \frac{{2x - 4y - 3}}{{2\sqrt 5 }} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4x + 2y + 2 = 2x - 4y - 3\\4x + 2y + 2 =  - 2x + 4y + 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + 6y + 5 = 0\\6x - 2y - 1 = 0\end{array} \right.\)

Chọn  B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 59 :

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) cho hình thang \(ABCD\) vuông tại \(A\) và \(D\), có \(AB = AD < CD\), điểm \(B\left( {1;2} \right)\), đường thẳng \(BD\)  có phương trình \(y = 2\). Biết đường thẳng \(\Delta :7x - y - 25 = 0\) cắt các đoạn thẳng \(AD,\,\,CD\) lần lượt tại hai điểm \(M,\,\,N\) sao cho \(BM\) vuông góc với \(BC\) và tia \(BN\) là tia phân giác trong của \(\widehat {MBC}\). Biết điểm \(D\)biết có hoành độ dương, tọa độ điểm \(D\) là:

  • A \(D\left( {2;\,\,5} \right)\)        
  • B \(D\left( { - 5;\,\, - 2} \right)\)  
  • C \(D\left( {5;\,\, - 2} \right)\)     
  • D \(D\left( {5;\,\,2} \right)\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

+ \(D \in BD:y = 2\) và điểm \(B\left( {1;2} \right)\)

+ \(BH = d\left( {B,\,\,CD} \right) = d\left( {B,\,\,\Delta } \right)\)

Lời giải chi tiết:

+) Gọi \(H\)  là hình chiếu vuông góc của \(B\)  trên \(CD\),  khi đó \(ABHD\)  là hình vuông.

Suy ra \(\angle CBH = \angle MBA\) (hai góc cùng phụ với \(\angle MBH\))

Từ đây ta có được \(\Delta CBH = \Delta MBA\) (g.c.g) \( \Rightarrow CB = MB \Rightarrow \Delta CBN = \Delta MBN\) (c.g.c)

Khi đó \(BH = d\left( {B,CN} \right) = d\left( {B,MN} \right) = \frac{{\left| {7 - 2 - 25} \right|}}{{\sqrt {50} }} = \frac{4}{{\sqrt 2 }} = 2\sqrt 2 .\)

Mà tam giác \(DHB\)  vuông cân tại \(H\) nên \(BD = \sqrt 2 BH = 4\)

+) Gọi \(D\left( {t;2} \right) \in BD\) với \(t > 0\), khi đó: \(B{D^2} = 16 \Leftrightarrow {\left( {t - 1} \right)^2} = 16 \Leftrightarrow t = 5\) hoặc \(t =  - 3\) (loại) \( \Rightarrow D\left( {5;2} \right)\)

Vậy \(D\left( {5;2} \right)\).

Chọn  D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 60 :

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hình chữ nhật \(ABCD\) với \(I\left( {6;\,\,2} \right)\) là giao điểm của hai đường chéo \(M\left( {1;\,\,5} \right)\) thuộc đoạn thẳng \(AB\), đường thẳng \(CD\) có phương trình \(x + y - 5 = 0\). Tọa độ trung điểm \(E\) của \(CD\) là:

  • A \(E\left( {6;\,\, - 1} \right)\) và \(E\left( {7;\,\, - 2} \right)\)     
  • B \(E\left( {6;\,\,1} \right)\) và \(E\left( {7;\,\,2} \right)\)                       
  • C \(E\left( { - 6;\,\, - 1} \right)\) và \(E\left( { - 7;\,\, - 2} \right)\)          
  • D \(E\left( { - 1;\,\,6} \right)\) và \(E\left( {2;\,\, - 7} \right)\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

+ Lấy điểm \(M'\) đối xứng với \(M\) qua \(I.\) Xác định tọa độ điểm \(M'\).

+ \(IE \bot EM'\). Để xác định điểm \(E\) từ CT \(\overrightarrow {IE} \,.\,\overrightarrow {EM'}  = 0\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(M'\left( {{x_{M'}};\,\,{y_{M'}}} \right)\) là điểm đối xứng với \(M\left( {1;\,\,5} \right)\) qua \(I\left( {6;\,\,2} \right)\)\( \Rightarrow I\)là trung điểm của \(MM'.\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}6 = \frac{{1 + {x_{M'}}}}{2}\\2 = \frac{{5 + {y_{M'}}}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 + {x_{M'}} = 12\\5 + {y_{M'}} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{M'}} = 11\\{y_{M'}} =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow M'\left( {11;\,\, - 1} \right)\)

Vì \(E \in \left( {CD} \right):\,\,x + y - 5 = 0 \Rightarrow E\left( {t;\,\,5 - t} \right)\)

Ta có:

+)\(E\left( {t;\,\,5 - t} \right)\); \(I\left( {6;\,\,2} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {IE}  = \left( {t - 6;\,\,3 - t} \right)\)

+) \(E\left( {t;\,\,5 - t} \right);\,\,M'\left( {11;\,\, - 1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {EM'}  = \left( {11 - t;\,\, - 6 + t} \right)\)

\(ABCD\) là hình chữ nhật, \(I\) là giao điểm hai đường chéo, \(E\) là trung điểm của \(CD\)\( \Rightarrow IE \bot CD\)\( \Rightarrow IE \bot EM'\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {IE} \,.\,\,\overrightarrow {EM'}  = 0\)

\( \Rightarrow \left( {t - 6} \right).\left( {11 - t} \right) + \left( {3 - t} \right).\left( { - 6 + t} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow 11t - {t^2} + 6t - 66 - 18 + 3t + 6t - {t^2} = 0\)

\( \Leftrightarrow  - 2{t^2} + 26t - 84 = 0\)\( \Leftrightarrow {t^2} - 13t - 42 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 6\\t = 7\end{array} \right.\)\( \Rightarrow E\left( {6;\,\, - 1} \right)\) và \(E\left( {7;\,\, - 2} \right)\)

Chọn  A

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 61 :

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có đỉnh \(B\left( {\frac{1}{2};\,\,1} \right)\). Đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\) tiếp xúc với các cạnh \(BC,\,\,CA,\,\,AB\) tương ứng tại các điểm \(D,\,\,E,\,\,F\), biết \(D\left( {3;\,\,1} \right)\) và phương trình đường thẳng \({\rm{EF}}\) là \(y - 3 = 0\). Biết điểm \(A\) có tung độ dương, tọa độ đỉnh \(A\) là:

  • A \(A\left( {3;\,\, - \frac{7}{3}} \right)\)                                    
  • B \(A\left( {3;\,\,\frac{{13}}{3}} \right)\)         
  • C \(A\left( { - 3;\,\,\frac{7}{3}} \right)\)                        
  • D \(A\left( {3;\,\,\frac{7}{3}} \right)\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

+) Chứng minh tam giác \(ABC\) cân tại \(A\).

+) \(A = AD \cap BF\).

Lời giải chi tiết:

*) \(\left( {{\rm{EF}}} \right):\,\,y - 2 = 0 \Rightarrow {\vec n_{{\rm{EF}}}} = \left( {0;\,\,1} \right) \Rightarrow {\vec u_{{\rm{EF}}}} = \left( {1;\,\,0} \right)\)

Ta có: \(B\left( {\frac{1}{2};\,\,1} \right),\,\,D\left( {3;\,\,1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {BD}  = \left( {\frac{5}{2};\,\,0} \right) \Rightarrow {\vec u_{BD}} = \left( {1;\,\,0} \right)\)

\( \Rightarrow EF\,{\rm{//}}\,BD\)\( \Rightarrow EF\,{\rm{//}}\,BD \Rightarrow \Delta ABC\) cân tại \(A\).

*) Lập phương trình đường thẳng \(AD\)

Ta có:

+ \(AD\) là đường phân giác trong góc \(A\) nên \(AD \bot BC\)

+ \(\Delta ABC\) cân tại \(A\)

\( \Rightarrow AD \bot BC\)

\(\left( {AD} \right):\,\,\left\{ \begin{array}{l}{\rm{qua}}\,\,D\left( {3;\,\,1} \right)\\{{\vec n}_{AD}} = {{\vec u}_{BD}} = \left( {1;\,\,0} \right)\end{array} \right.\)\( \Rightarrow 1.\left( {x - 3} \right) + 0.\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 3 = 0\)

*) Lập phương trình đường thẳng \(BF.\)

Gọi \(F\left( {t;\,\,3} \right) \Rightarrow \overrightarrow {BF}  = \left( {t - \frac{1}{2};\,\,2} \right)\)

Ta có: \(BD = BF \Rightarrow \sqrt {{{\left( {\frac{5}{2}} \right)}^2}}  = \sqrt {{{\left( {t - \frac{1}{2}} \right)}^2} + {2^2}}  \Leftrightarrow \frac{{25}}{4} = {\left( {t - \frac{1}{2}} \right)^2} + {2^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t =  - 1\\t = 2\end{array} \right.\)

+) Với \(t =  - 1 \Rightarrow F\left( { - 1;\,\,3} \right),\,\,\overrightarrow {BF}  = \left( { - \frac{3}{2};\,\,2} \right)\).

\(\left( {BF} \right):\left\{ \begin{array}{l}{\rm{qua}}\,F\left( { - 1;\,\,3} \right)\\{{\vec n}_{BF}} = \left( {2;\,\,\frac{3}{2}} \right)\end{array} \right. \Rightarrow 2.\left( {x + 1} \right) + \frac{3}{2} \cdot \left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + 2 + \frac{3}{2}y - \frac{9}{2} = 0 \Leftrightarrow 4x + 3y - 5 = 0\)

Ta có: \(A = AD \cap BF\)

Tọa độ giao điểm \(A\) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 3 = 0\\4x + 3y - 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y =  - \frac{7}{3}\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {3;\,\, - \frac{7}{3}} \right)\) (loại)

+) Với \(t = 2 \Rightarrow F\left( {2;\,\,3} \right)\), \(\overrightarrow {BF}  = \left( { - \frac{3}{2};\,\,2} \right)\).

\(\left( {BF} \right):\left\{ \begin{array}{l}{\rm{qua}}\,F\left( {2;\,\,3} \right)\\{{\vec n}_{BF}} = \left( {2;\,\, - \frac{3}{2}} \right)\end{array} \right. \Rightarrow 2.\left( {x - 2} \right) - \frac{3}{2} \cdot \left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x - 4 - \frac{3}{2}y + \frac{9}{2} = 0 \Leftrightarrow 4x - 3y + 1 = 0\)

Ta có: \(A = AD \cap BF\)

Tọa độ giao điểm \(A\) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}4x - 3y + 1 = 0\\x - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = \frac{{13}}{3}\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {3;\,\,\frac{{13}}{3}} \right)\) (thỏa mãn)

Vậy \(A\left( {3;\,\,\frac{{13}}{3}} \right) \cdot \)

Chọn B

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 62 :

Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho \(\Delta ABC\) với \(AB < AC\)có tâm đường tròn ngoại tiếp \(I\left( { - 1;\,\,0} \right)\). Điểm \(M\left( {3;\,\,3} \right)\) nằm trên đường trung trực của \(BC\) và \(N\left( {2;\,\,4} \right)\) thuộc đường phân giác trong góc \(B\) sao cho \(AN = CN\). Đường thẳng \(BC\) đi qua điểm \(D\left( {1;\,\,4} \right)\)  và \(B\) có tung độ lớn hơn \(C\).  Xác định tọa độ các đỉnh của \(\Delta ABC\)

  • A \(A\left( { - \frac{{12}}{5};\frac{{24}}{5}} \right),\,\,B\left( { - \frac{2}{5}; - \frac{{24}}{5}} \right),\,\,C( - 4;0)\)                        
  • B \(A\left( { - \frac{{12}}{5};\frac{{24}}{5}} \right),\,\,B\left( {\frac{2}{5}; - \frac{{24}}{5}} \right),\,\,C(0;4)\)       
  • C \(A\left( { - \frac{{12}}{5};\frac{{24}}{5}} \right),\,\,B\left( {\frac{2}{5};\frac{{24}}{5}} \right),\,\,C(0;4)\)
  • D \(A\left( { - \frac{{12}}{5};\frac{{24}}{5}} \right),\,\,B\left( {\frac{2}{5};\frac{{24}}{5}} \right),\,\,C(4;0)\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

+) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).

+) Viết phương trình đường thẳng \(BC\)\( \Rightarrow \) Tọa độ của \(B,\,\,C\).

+) \(AC\) đi qua \(C\) và vuông góc với \(IN\)\( \Rightarrow \) Xác định tọa độ đỉnh \(A\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(\left( C \right)\) là đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\).

Do \(NA = NC\) nên \(N\) nằm trên đường trung trực của \(AC\).

\(\left\{ \begin{array}{l}\angle AIC = 2\angle ABC\\\angle AIC = 2\angle NIC\end{array} \right. \Rightarrow \angle NIC = \angle ABC = 2\angle NBC \Rightarrow N \in \left( C \right)\).

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( { - 1;\,\,0} \right)\) và bán kính \(R = IN\) \( = \sqrt {{3^2} + {4^2}}  = 5\) có phương trình \(\left( C \right):{\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} + 25\). Đường thẳng \(BC\) đi qua \(D\left( {1;\,\,4} \right)\) có VTPT  là \(\overrightarrow {IM}  = (4;3)\) có phương trình \(BC:4x + 3y - 16 = 0\).

Điểm \(B,\,\,C\) là giao điểm của \(BC\) và \(\left( C \right)\) nên tọa độ của \(B,\,\,C\) là nghiệm của hệ

\(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} = 25\\4x + 3y - 16 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{2}{5}\\y = \frac{{24}}{5}\end{array} \right.\end{array} \right.\).

Do \({y_B} > {y_C}\) nên \(B\left( {\frac{2}{5};\frac{{24}}{5}} \right),C(4;0)\).

Ta có: \(AC\) đi qua \(C\) và vuông góc \(IN\) nên có phương trình \(AC:3x + 4y - 12 = 0\).

Điểm \(A\) là giao điểm của \(AC\) và \(\left( C \right)\) nên tọa độ của điểm \(A\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} = 25\\3x + 4y - 12 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x =  - \frac{{12}}{5}\\y = \frac{{24}}{5}\end{array} \right.\end{array} \right.\).

Loại \(\left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 0\end{array} \right.\) vì trùng điểm \(C\).

Vậy \(A\left( { - \frac{{12}}{5};\frac{{24}}{5}} \right)\).

Tọa độ các điểm cần tìm là: \(A\left( { - \frac{{12}}{5};\frac{{24}}{5}} \right),\,\,B\left( {\frac{2}{5};\frac{{24}}{5}} \right),\,\,C(4;0)\).

Chọn  D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 63 :

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {2;\,\,4} \right)\), trọng tâm \(G\left( {2;\,\,\frac{2}{3}} \right)\). Biết rằng đỉnh \(B\) nằm trên đường thẳng \(d:\,\,x + y + 2 = 0\) và đỉnh \(C\) có hình chiếu vuông góc trên \(d\) là điểm \(H\left( {2;\,\, - 4} \right)\). Giả sử \(B\left( {a;\,\,b} \right)\), giá trị của \(P = a - 3b\) là:

  • A \(P = 4\)           
  • B \(P =  - 2\)                    
  • C \(P = 2\)                       
  • D \(P = 0\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

+) Biểu diễn tọa độ của điểm \(B,\,\,C\) theo \(a\) hoặc \(b\).

+) \(\left. \begin{array}{l}B \in d\\HC \bot d = \left\{ H \right\}\end{array} \right\} \Rightarrow BH \bot HC \Leftrightarrow \overrightarrow {BH} .\overrightarrow {HC}  = 0\)

Lời giải chi tiết:

+) Vì \(B\left( {a;\,\,b} \right)\) nằm trên đường thẳng \(d:\,\,x + y + 2 = 0\) nên ta có: \(a + b + 2 = 0 \Rightarrow b =  - a - 2\)

\( \Rightarrow B\left( {a;\,\, - a - 2} \right)\)

+) Ta có: \(A\left( {2;\,\,4} \right),\,\,B\left( {a;\,\, - a - 2} \right),\,\,C\left( {{x_C};\,\,{y_C}} \right)\)

Vì \(G\left( {2;\,\,\frac{2}{3}} \right)\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên  \(\left\{ \begin{array}{l}2 = \frac{{2 + a + {x_C}}}{3}\\\frac{2}{3} = \frac{{4 + \left( { - a - 2} \right) + {y_C}}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 + a + {x_C} = 6\\2 - a + {y_C} = 2\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + {x_C} = 4\\ - a + {y_C} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 4 - a\\{y_C} = a\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow C\left( {4 - a;\,\,a} \right)\)

+) \(\overrightarrow {HB}  = \left( {a - 2;\,\, - a + 2} \right)\), \(\overrightarrow {HC}  = \left( {2 - a;\,\,a + 4} \right)\)

Vì \(B\left( {a;\,\, - a - 2} \right) \in d\) và \(H\left( {2;\,\, - 4} \right)\) là hình chiếu của \(C\left( {4 - a;\,\,a} \right)\) lên đường thẳng \(d\), khi đó ta có:

\(\overrightarrow {HB.} \overrightarrow {HC}  = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\) 

\( \Rightarrow \left( {a - 2} \right)\left( {2 - a} \right) + \left( { - a + 2} \right)\left( {a + 4} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {a - 2} \right)\left( {2 - a} \right) + \left( {2 - a} \right)\left( {a + 4} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {2 - a} \right)\left[ {\left( {a - 2} \right) + \left( {a + 4} \right)} \right] = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {2 - a} \right)\left( {2a + 2} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2 - a = 0\\2a + 2 = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 2\\a =  - 1\end{array} \right.\)

- Với \(a = 2 \Rightarrow B\left( {2;\,\, - 4} \right),\,\,C\left( {2;\,\,2} \right)\), \(A\left( {2;\,\,4} \right)\)\( \Rightarrow \) Ba điểm \(A,\,\,B,\,\,C\) thẳng hàng \( \Rightarrow \) Loại

- Với \(a =  - 1 \Rightarrow \)\(B\left( { - 1;\,\, - 1} \right),\,\,C\left( {5;\,\, - 1} \right)\)

\( \Rightarrow P = a - 3b = \left( { - 1} \right) - 3.\left( { - 1} \right) = 2\)

Chọn  C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 64 :

Cho ba điểm \(A\left( { - 6;3} \right)\), \(B\left( {0; - 1} \right)\), \(C\left( {3;2} \right)\). \(M(a;b)\)là điểm nằm trên đường thẳng \(d:2x - y + 3 = 0\) sao cho \(\left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} } \right|\) nhỏ nhất. Đẳng thức nào sau đây đúng?

  • A \(5(a + b) = 28\)                
  • B \(5(a + b) =  - 28\)
  • C \(5(a + b) = 2\)      
  • D \(5(a + b) =  - 2\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Biến đổi hệ BPT và biện luận.

Lời giải chi tiết:

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC \( \Rightarrow G\left( { - 1;\frac{4}{3}} \right)\)

\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} } \right| = \left| {3\overrightarrow {MG} } \right| = 3MG\)

Để \(\left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} } \right|\) nhỏ nhất \( \Leftrightarrow MG\) nhỏ nhất \( \Leftrightarrow \) M là hình chiếu của G trên d

Gọi \(d'\) là đường thẳng qua G vuông góc với d \( \Rightarrow d \cap d' = \left\{ M \right\}\)

d nhận \(\overrightarrow n  = \left( {2; - 1} \right)\) là VTPT \( \Rightarrow \overrightarrow {n'}  = \left( {1;2} \right)\) là VTPT của \(d'\)

\( \Rightarrow \) Phương trình \(d':\left( {x + 1} \right) + 2\left( {y - \frac{4}{3}} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 2y - \frac{5}{3} = 0\)

Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ : \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y + 3 = 0\\x + 2y - \frac{5}{3} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - \frac{{13}}{{15}} = a\\y = \frac{{19}}{{15}} = b\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow 5\left( {a + b} \right) = 5\left( { - \frac{{13}}{{15}} + \frac{{19}}{{15}}} \right) = 2\) 

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 65 :

Cho hai điểm \(A\left( {1;\,\,1} \right)\) và \(B\left( {3;\,\,4} \right).\) Tọa độ điểm \(M\) trên trục \(Oy\) sao cho \(\left| {MA - MB} \right|\) lớn nhất là:

  • A \(M\left( {0;\,\,\frac{1}{2}} \right)\)
  • B \(M\left( {0; - \frac{1}{2}} \right)\)
  • C \(M\left( {0;\,\,1} \right)\)
  • D \(M\left( {0; - 1} \right)\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Ta có: \(M \in Oy \Rightarrow M\left( {0;\,\,m} \right).\)

 Ta có: \(\left| {MA - MB} \right| \le AB.\)

\( \Rightarrow Max\left| {MA - MB} \right| = AB \Leftrightarrow A,\,\,B,\,\,M\,\,\)thẳng hàng.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(M \in Oy \Rightarrow M\left( {0;\,\,m} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MA}  = \left( {1;\,\,1 - m} \right)\\\overrightarrow {AB}  = \left( {2;\,\,3} \right)\end{array} \right.\)

 Ta có: \(\left| {MA - MB} \right| \le AB.\)

\( \Rightarrow Max\left| {MA - MB} \right| = AB \Leftrightarrow A,\,\,B,\,\,M\,\,\)thẳng hàng.

\( \Rightarrow \overrightarrow {MA}  = k\overrightarrow {AB}  \Leftrightarrow \left( {1;\,\,1 - m} \right) = k\left( {2;\,\,3} \right)\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 = 2k\\1 - m = 3k\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = \frac{1}{2}\\m =  - \frac{1}{2}\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {0; - \frac{1}{2}} \right).\)

Chọn  B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 66 :

Cho \(\Delta ABC\) có \(A\left( { - 1;\,\,3} \right),\) đường cao \(BH:\,\,x - y = 0,\) phân giác trong của góc \(C\) là \(CD:\,\,x + 3y + 2 = 0.\) Tọa độ của đỉnh \(B\) là:

  • A \(B\left( {4; - \,2} \right)\)
  • B \(B\left( { - 3; - 3} \right)\)
  • C \(B\left( {3;\,\,3} \right)\)        
  • D \(B\left( {4;\,\,4} \right)\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Lập phương trình đường thẳng \(AC\) đi qua \(A\) và vuông góc với \(BH.\) 

Từ đó ta tìm được tọa độ điểm \(C\) là giao điểm của\(AC\) và  \(CD.\)

Gọi \(K\) là điểm đối xứng của \(H\) qua \(CD \Rightarrow \) tọa độ điểm \(K.\)

Lập phương trình đường thẳng \(BC\) đi qua \(K\) và \(C.\)

\( \Rightarrow B\) là giao điểm của \(BC\) và \(BH.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\overrightarrow {{n_{BH}}}  = \left( {1;\, - 1} \right).\)

Đường thẳng \(AC\) đi qua \(A\) và vuông góc với \(BH \Rightarrow AC\) nhận  vecto \(\left( {1;\,\,1} \right)\) làm VTPT

\( \Rightarrow AC:\,\,x + 1 + y - 3 = 0 \Leftrightarrow x + y - 2 = 0.\)

Khi đó tọa độ điểm \(C\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}x + 3y + 2 = 0\\x + y - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y =  - 2\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {4; - 2} \right).\)

\(BH \cap AC = \left\{ H \right\} \Rightarrow \) tọa độ điểm \(H\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}x + y - 2 = 0\\x - y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {1;\,\,1} \right).\)

Gọi \(K\) là điểm đối xứng của \(H\) qua \(CD\) 

Phương trình đường thẳng \(HK\) đi qua \(H\) và vuông góc với \(CD,\) nhận \(\left( {3; - 1} \right)\)  làm VTPT  là:

\(HK:\,\,\,3\left( {x - 1} \right) - \left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x - y - 2 = 0\)

Gọi \(I\) là giao điểm của \(CD\) và \(HK \Rightarrow \) tọa độ điểm \(I\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}x + 3y + 2 = 0\\3x - y - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{2}{5}\\y =  - \frac{4}{5}\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {\frac{2}{5}; - \frac{4}{5}} \right).\)

\(K\) là điểm đối xứng của \(H\) qua \(CD \Rightarrow I\)  là trung điểm của \(HK \Rightarrow K\left( { - \frac{1}{5}; - \frac{{13}}{5}} \right)\)

Phương trình đường thẳng đi qua \(C\left( {4; - 2} \right)\) và \(K\left( { - \frac{1}{5}; - \frac{{13}}{5}} \right)\) là:

\(\begin{array}{l}\frac{{x - 4}}{{ - \frac{1}{5} - 4}} = \frac{{y + 2}}{{ - \frac{{13}}{5} + 2}} \Leftrightarrow \frac{3}{5}\left( {x - 4} \right) = \frac{{21}}{5}\left( {y + 2} \right)\\ \Leftrightarrow x - 4 = 7y + 14 \Leftrightarrow x - 7y - 18 = 0\end{array}\)

Khi đó \(B\) là giao điểm của \(BH\) và \(BC \Rightarrow \) tọa độ điểm \(B\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}x - y = 0\\x - 7y - 18 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 3\\y =  - 3\end{array} \right. \Rightarrow B\left( { - 3; - 3} \right).\)

Chọn  B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 67 :

Cho ba đường thẳng d1: \({d_1}:\,\,\,x - 2y + 1 = 0,\,\,{d_2}:\,\,mx - \left( {3m - 2} \right)y + 2m - 2;\,\,{d_3}:\,\,x + y - 5 = 0.\)Giá trị của \(m\)  để hai đường thẳng \({d_1},\,\,{d_2}\) cắt nhau tại một điểm nằm trên \({d_3}\) là:

  • A \(m = 0\)                             
  • B \(m = 1\)                        
  • C \(m = 2\)                       
  • D không tồn tại

Đáp án: D

Phương pháp giải:

B1: Tìm tọa độ giao điểm \(M\)  của \({d_1},\,\,{d_3}.\)

B2: Để \({d_1},\,\,{d_2}\) cắt nhau tại một điểm thuộc \({d_3}\) thì \(M \in {d_2}.\) Thay tọa độ điểm \(M\) vào phương trình của  \({d_2}\) để tìm \(m.\) 

B3: Kiểm tra lại giá trị \(m\) vừa tìm được xem hai đường thẳng \({d_1},\,\,{d_2},\,\,{d_3}\) có  trùng nhau không rồi kết luận.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(M\) là giao điểm của \({d_1},\,\,{d_3}.\) Khi đó tọa độ của điểm \(M\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y + 1 = 0\\x + y - 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 2\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {3;\,\,2} \right).\)

Để \({d_1},\,\,{d_2}\) cắt nhau tại một điểm thuộc \({d_3}\) thì \(M \in {d_2}.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 3m - \left( {3m - 2} \right).2 + 2m - 2 = 0\\ \Leftrightarrow 3m - 6m + 4 + 2m - 2 = 0\\ \Leftrightarrow m = 2.\end{array}\)

Thay \(m = 2\) vào phương trình đường thẳng \({d_2}\) ta được: \({d_2}:\,\,2x - 4y + 2 = 0 \Leftrightarrow x - 2y + 1 = 0.\)

Ta thấy \({d_1} \equiv {d_2} \Rightarrow m = 2\) không thỏa mãn.

Vậy không có giá trị của \(m\) thỏa mãn bài toán.

Chọn  D

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 68 :

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy,\) cho hình chữ nhật \(ABCD\) có tâm \(I\left( {0;\,0} \right)\) và phương trình đường thẳng chứa cạnh \(AB:x - y + 2 = 0;AB = 2AD\).  Với \({x_A} > 0\), tọa độ điểm \(A\)

  • A \(A\left( {3;1} \right)\)                        
  • B \(A\left( {1;3} \right)\)            
  • C \(A\left( {3;1} \right)\)
  • D \(A\left( {1;0} \right)\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(I\) trên \(AB\)và tính \(IH \Rightarrow AH \Rightarrow A\)

Lời giải chi tiết:

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(I\) trên \(AB\)

\(IH = d\left( {I;AB} \right) = \frac{{\left| 2 \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \sqrt 2 \)

\(Pt\,\,IH:\left\{ \begin{array}{l}qua\,\,I\left( {0;0} \right)\\ \bot AB:x - y + 2 = 0\end{array} \right. \Rightarrow IH:x + y = 0\)

\(H = AB \cap IH \Rightarrow H:\left\{ \begin{array}{l}x - y + 2 = 0\\x + y = 0\end{array} \right. \Rightarrow H\left( { - 1;1} \right)\)

Vì \(A \in AB \Rightarrow A\left( {t;t + 2} \right)\,\,\left( {t > 0} \right)\)

\(AB = 2AD \Rightarrow AH = 2d\left( {I;AB} \right) = 2\sqrt 2 \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow A{H^2} = {\left( {2\sqrt 2 } \right)^2} \Leftrightarrow {\left( {t + 1} \right)^2} + {\left( {t + 1} \right)^2} = 8 \Rightarrow {\left( {t + 1} \right)^2} = 4\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\,\,\,\left( {tm} \right)\\t =  - 3\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {1;3} \right)\end{array}\)

Chọn  B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 69 :

Trong mặt phẳng \(Oxy\) cho điểm \(A\left( { - 1;2} \right);\,\,B\left( {3;4} \right)\) và đường thẳng \(\Delta :\,\,x - 2y - 2 = 0\). Tìm điểm \(M \in \Delta \) sao cho \(2A{M^2} + M{B^2}\) có giá trị nhỏ nhất.

  • A \(M\left( {\frac{{26}}{{15}}; - \frac{2}{{15}}} \right)\)  
  • B \(M\left( {\frac{{26}}{{15}};\frac{2}{{15}}} \right)\)  
  • C \(M\left( {\frac{{29}}{{15}};\frac{{28}}{{15}}} \right)\)        
  • D \(M\left( {\frac{{29}}{{15}}; - \frac{{28}}{{15}}} \right)\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Tìm điểm I thỏa mãn \(2\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  = \overrightarrow 0 \) từ đó suy ra \(2A{M^2} + M{B^2}\) nhỏ nhất khi IM nhỏ nhất\( \Leftrightarrow \) M là hình chiếu vuông góc của I lên \(\Delta \) từ đó tìm M

Lời giải chi tiết:

Gọi điểm \(I\left( {a;b} \right)\) thỏa mãn \(2\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow 2\left( { - 1 - a;\;2 - b} \right) + \left( {3 - a;\;4 - b} \right) = \overrightarrow 0 \)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\left( { - 1 - a} \right) + 3 - a = 0\\2\left( {2 - b} \right) + 4 - b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3a + 1 = 0\\ - 3b + 8 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{3}\\b = \frac{8}{3}\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {\frac{1}{3};\frac{8}{3}} \right).\)

Ta có: \(2A{M^2} + M{B^2} = 2{\left( {\overrightarrow {IM}  - \overrightarrow {IA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {IB}  - \overrightarrow {IM} } \right)^2}\)

      \(\begin{array}{l} = 2\left( {I{M^2} - 2\overrightarrow {IM} .\overrightarrow {IA}  + I{A^2}} \right) + I{B^2} - 2\overrightarrow {IB} .\overrightarrow {IM}  + I{M^2}\\ = 3I{M^2} + 2I{A^2} + I{B^2} - 2\overrightarrow {IM} \left( {2\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB} } \right) = 3I{M^2} + 2I{A^2} + I{B^2}\end{array}\)

\(2I{A^2} + I{B^2}\) không thay đổi nên \(2A{M^2} + M{B^2}\) nhỏ nhất khi IM  nhỏ nhất

\( \Leftrightarrow \) M là hình chiếu vuông góc của I  lên \(\Delta \)

 \(\Delta \) có VTPT là \(\overrightarrow n  = \left( {1; - 2} \right)\)

Gọi d  là đường thẳng đi qua I  vuông góc với \(\Delta \)

\( \Rightarrow \) d  nhận \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {2;\;1} \right)\) làm VTPT

\( \Rightarrow \)Phương trình tổng quát của d  là: \(2\left( {x - \frac{1}{3}} \right) + \left( {y - \frac{8}{3}} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + y - \frac{{10}}{3} = 0\)

M  là giao điểm của d và \(\Delta \)\( \Rightarrow \) tọa độ điểm M  là nghiệm của hệ phương trình:

 \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y - \frac{{10}}{3} = 0\\x - 2y - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{26}}{{15}}\\y =  - \frac{2}{{15}}\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {\frac{{26}}{{15}}; - \frac{2}{{15}}} \right).\)

Vậy \(M\left( {\frac{{26}}{{15}}; - \frac{2}{{15}}} \right)\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 70 :

Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm \(M\left( {2;1} \right)\). Đường thẳng d đi qua M, cắt các tia Ox, Oy lần lượt tại AB (A, B khác O) sao cho tam giác OAB có diện tích nhỏ nhất. Phương trình đường thẳng d là:

  • A \(2x - y - 3 = 0\)
  • B \(x - 2y = 0\)
  • C \(x + 2y - 4 = 0\)
  • D \(x - y - 1 = 0\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Gọi phương trình d cần tìm theo đoạn chắn.

Lời giải chi tiết:

Ta có A, B là giao điểm của d với hai tia Ox,Oy nên gọi \(A\left( {a;\;0} \right);\;B\left( {0;\;b} \right)\;\;\;\left( {a > 2;\;b > 1} \right).\) 

\( \Rightarrow \) Phương trình d  theo đoạn chắn là: \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\)

Do  \(M \in d \Rightarrow \frac{2}{a} + \frac{1}{b} = 1\;\;\;\;\left( 1 \right)\)     

Mặt khác: \({S_{OAB}} = \frac{1}{2}OA.OB = \frac{1}{2}\left| {ab} \right| = \frac{1}{2}ab\)

Để diện tích tam giác OAB là nhỏ nhất \( \Leftrightarrow ab\) nhỏ nhất

Ta có:  \(1 = \frac{2}{a} + \frac{1}{b} \ge 2\sqrt {\frac{2}{{ab}}}  \Leftrightarrow \frac{2}{{ab}} \le \frac{1}{4} \Leftrightarrow ab \ge 8\)

Vậy diện tích tam giác OAB là nhỏ nhất \( \Leftrightarrow ab = 8\;\;\;\;\left( 2 \right)\)   

Từ (1) và (2) ta có hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{2}{a} + \frac{1}{b} = 1\\ab = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2b + a = ab = 8\\ab = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 8 - 2b\\\left( {8 - 2b} \right)b = 8\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 8 - 2b\\2{b^2} - 8b + 8 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b = 2\end{array} \right.\,\,\,(tm)\)

\( \Rightarrow \) Phương trình d: \(\frac{x}{4} + \frac{y}{2} = 1 \Leftrightarrow x + 2y - 4 = 0\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 71 :

Trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) cho các điểm \(A\left( {1; - 1} \right)\) và \(B\left( {3;4} \right)\). Giả sử \(\left( d \right)\) là một đường thẳng bất kỳ luôn đi qua điểm \(B.\) Khi đó khoảng cách từ \(A\) đến đường thẳng \(\left( d \right)\) đạt giá trị lớn nhất, đường thẳng \(\left( d \right)\) có phương trình nào sau đây?

  • A \(x - y + 1 = 0\)
  • B \(3x + 4y = 25\)
  • C \(5x - 2y - 7 = 0\)
  • D \(2x + 4y - 26 = 0\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Gọi \(\overrightarrow n  = \left( {a;b} \right)\) là một VTPT của \(\left( d \right)\). Viết phương trình \(\left( d \right)\). Tính khoảng cách từ \(A\) đến .

Áp dụng BĐT Binhiacopxki để tìm tỉ số \(\frac{a}{b}\) sao cho thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(\overrightarrow n  = \left( {a;b} \right)\) là một VTPT của \(\left( d \right)\).

\( \Rightarrow \) Phương trình : \(a\left( {x - 3} \right) + b\left( {y - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow ax + by - 3a - 4b = 0\)

Khi đó: \(d\left( {A;\left( d \right)} \right) = \frac{{\left| {a - b - 3a - 4b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \frac{{\left| {2a + 5b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

Áp dụng BĐT Binhiacopxki \( \Rightarrow d\left( {A;\left( d \right)} \right) \le \frac{{\sqrt {\left( {4 + 25} \right)\left( {{a^2} + {b^2}} \right)} }}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \sqrt {29} \)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \frac{a}{2} = \frac{b}{5} \Leftrightarrow \frac{a}{b} = \frac{2}{5}\)

Chọn \(a = 2;\,\,b = 5 \Rightarrow \)  Phương trình \(d:\,\,2x + 5y - 26 = 0\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 72 :

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng đi qua hai điểm \(A\left( {1;2} \right)\), \(B\left( {4;6} \right)\), tìm tọa độ điểm \(M\) trên trục \(Oy\) sao cho diện tích \(\Delta MAB\) bằng 1.

  • A \(\left( {0;0} \right)\) và \(\left( { - 1;0} \right).\)
  • B \(\left( {0;0} \right)\) và \(\left( {0;\frac{4}{3}} \right).\)
  • C \(\left( {0; - 1} \right)\) và \(\left( {0;\frac{4}{3}} \right)\).
  • D \(\left( {0;\frac{2}{3}} \right)\) và \(\left( { - \frac{1}{2};0} \right)\).

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Gọi M theo 1 chữ, từ diện tích \(\Delta MAB\) bằng 1 viết phương trình tìm M.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(M\left( {0;m} \right) \in Oy;\,\,AB = \sqrt {{{\left( {4 - 1} \right)}^2} + {{\left( {6 - 2} \right)}^2}}  = 5.\) 

Có  \({S_{\Delta MAB}} = \frac{1}{2}d\left( {M,AB} \right).AB \Leftrightarrow 1 = \frac{1}{2}.d\left( {M,AB} \right).5 \Leftrightarrow d\left( {M,AB} \right) = \frac{2}{5}\)

\(\overrightarrow {AB}  = \left( {3;4} \right) \Rightarrow \overrightarrow n  = \left( {4; - 3} \right)\) là 1 VTPT của  AB.

\( \Rightarrow \) Phương trình AB: \(4\left( {x - 1} \right) - 3\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x - 3y + 2 = 0\)

\( \Rightarrow d\left( {M,AB} \right) = \frac{{\left| { - 3m + 2} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} \Leftrightarrow \frac{2}{5} = \frac{{\left| { - 3m + 2} \right|}}{5} \Leftrightarrow \left| { - 3m + 2} \right| = 2\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 3m + 2 = 2\\ - 3m + 2 =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0 \Rightarrow M\left( {0;0} \right)\\m = \frac{4}{3} \Rightarrow M\left( {0;\frac{4}{3}} \right)\end{array} \right.\) 

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 73 :

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy,\) cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {1;\,4} \right),\,\,B\left( {3;\,2} \right)\) và \(C\left( {7;\,3} \right).\) Viết phương trình tham số của đường trung tuyến \(CM\) của tam giác.

  • A \(\left\{ \begin{array}{l}x = 7\\y = 3 + 5t\end{array} \right.\)
  • B \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 5t\\y =  - 7\end{array} \right.\)         
  • C \(\left\{ \begin{array}{l}x = 7 + t\\y = 3\end{array} \right.\)                         
  • D \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 3 - t\end{array} \right.\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

+) \(CM\) là đường trung tuyến của \(\Delta ABC \Rightarrow M\) là trung điểm của \(AB.\)

+) Lập phương trình đường trung tuyến \(CM\) đi qua \(C,\,\,M.\) 

Lời giải chi tiết:

\(CM\) là đường trung tuyến của \(\Delta ABC \Rightarrow M\) là trung điểm của \(AB \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = 2\\{y_M} = \frac{{{y_M} + {y_B}}}{2} = 3\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {2;\,3} \right).\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {CM}  = \left( { - 5;\,0} \right) =  - 5\left( {1;\,\,0} \right)//\,\overrightarrow u  = \left( {1;\,0} \right).\)

\( \Rightarrow \) Phương trình đường thẳng \(CM\) đi qua \(M\left( {7;\,3} \right)\) và có VTCP  \(\overrightarrow u  = \left( {1;\,0} \right)\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 7 + t\\y = 3\end{array} \right..\)

Chọn  C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 74 :

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy,\) cho hình bình hành \(ABCD\) có đỉnh \(A\left( { - 2;\,1} \right)\) và phương trình đường thẳng chứa cạnh \(CD\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 4t\\y = 3t\end{array} \right..\)  Viết phương trình tham số của đường thẳng chứa cạnh \(AB.\)

  • A \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 + 3t\\y =  - 2 - 2t\end{array} \right.\)
  • B \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 - 4t\\y = 1 - 3t\end{array} \right.\)
  • C \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 - 3t\\y = 1 - 4t\end{array} \right.\)
  • D \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 - 3t\\y = 1 + 4t\end{array} \right.\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

\(ABCD\) là hình bình hành nên \(AB//CD.\)

\( \Rightarrow \) Đường thẳng \(AB\) đi qua \(A\) và nhận VTCP của đường thẳng \(CD\) làm VTCP.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(CD:\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 4t\\y = 3t\end{array} \right.\) nhận \(\overrightarrow u  = \left( {4;\,3} \right)\) làm VTCP.

\( \Rightarrow \) Đường thẳng \(AB\) đi qua \(A\) và nhận \(\overrightarrow u  = \left( {4;\,3} \right)\) làm VTCP\( \Rightarrow AB:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 + 4t\\y = 1 + 3t\end{array} \right..\)

Ta có: \(\overrightarrow u  = \left( {4;3} \right)//\overrightarrow v  = \left( { - 4; - 3} \right)\)

\( \Rightarrow \) Đường thẳng \(AB\) đi qua \(A\) và nhận \(\overrightarrow v  = \left( { - 4; - \,3} \right)\) làm VTCP\( \Rightarrow AB:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 - 4t\\y = 1 - 3t\end{array} \right..\)

Chọn  B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 75 :

Trong hệ trục tọa độ \(Oxy,\) cho hai đường thẳng \((\Delta ):2x + y - 1 = 0\), \((d):3x + 7y + 1 = 0\) và điểm \(M\left( {1;1} \right)\). Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua \(M\)và cắt \((\Delta )\),\((d)\) lần lượt tại hai điểm B, C sao cho \(M\) là trung điểm của \(BC\).

  • A \(28x + 25y - 53 = 0\)
  • B \(28x - 25y - 51 = 0\)
  • C \(28x + 25y - 49 = 0\)
  • D \(28x - 25y - 47 = 0\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Tìm tọa độ điểm A là giao điểm của \((\Delta )\)và \((d)\)

Tìm  N  là điểm sao cho ABNC là hình bình hành

Tìm điểm B là giao của BN và \(\Delta \)

Viết phương trình đường thẳng BM  là đường thẳng cần tìm

Lời giải chi tiết:

Gọi A là giao điểm của \((\Delta )\)và \((d)\)

\( \Rightarrow \) Tọa độ điểm A  là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}2x + y - 1 = 0\\3x + 7y + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{8}{{11}}\\y =  - \frac{5}{{11}}\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {\frac{8}{{11}}; - \frac{5}{{11}}} \right).\)

Gọi \(N\left( {a;\,\,b} \right)\)   là điểm sao cho ABNC là hình bình hành

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {MN}  \Leftrightarrow \left( {a - 1;\,b - 1} \right) = \left( {1 - \frac{8}{{11}};\,1 + \frac{5}{{11}}} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - 1 = 1 - \frac{8}{{11}}\\b - 1 = 1 + \frac{5}{{11}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{14}}{{11}}\\b = \frac{{27}}{{11}}\end{array} \right. \Rightarrow N\left( {\frac{{14}}{{11}};\frac{{27}}{{11}}} \right)\end{array}\)

Đường thẳng \(\left( {BN} \right)\) là đường thẳng đi qua N và song song với \((d)\)

\( \Rightarrow \left( {BN} \right):3\left( {x - \frac{{14}}{{11}}} \right) + 7\left( {y - \frac{{27}}{{11}}} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + 7y - 21 = 0\)

B là giao điểm của \((\Delta )\)và \((BN) \Rightarrow \) tọa độ điểm \(B\) là nghiệm của hệ:\(\left\{ \begin{array}{l}2x + y - 1 = 0\\3x + 7y - 21 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - \frac{{14}}{{11}}\\y = \frac{{39}}{{11}}\end{array} \right. \Rightarrow B\left( { - \frac{{14}}{{11}};\frac{{39}}{{11}}} \right)\)

Phương trình đường thẳng \(\left( {BM} \right)\) cần tìm là: \(\frac{{x - 1}}{{ - \frac{{14}}{{11}} - 1}} = \frac{{y - 1}}{{\frac{{39}}{{11}} - 1}} \Leftrightarrow \frac{{28}}{{11}}\left( {x - 1} \right) =  - \frac{{25}}{{11}}\left( {y - 1} \right) \Leftrightarrow 28x + 25y - 53 = 0.\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 76 :

Cho hai điểm \(A\left( { - 4; - 1} \right),B\left( { - 2;1} \right)\). Điểm \(C\) trên đường thẳng \(\Delta :\,\,x - 2y + 3 = 0\) sao cho \({S_{ABC}} = 40\,\,\left( {dvdt} \right).\) Khi đó tung độ của điểm \(C\)  là:

  • A \(-10\) hoặc \(10\)                             
  • B \(-40\) hoặc \(40\)                          
  • C \(20\)
  • D \(50\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

B1: Ta có: \(C \in \Delta :\,\,x - 2y + 3 = 0 \Rightarrow C\left( {2c - 3;\,\,c} \right).\)

B2: Sử dụng công thức \(S = \frac{1}{2}.AB.d\left( {C,AB} \right).\)  Giải phương trình tìm \(c.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(C \in \Delta :\,\,x - 2y + 3 = 0 \Rightarrow C\left( {2c - 3;\,\,c} \right).\)

Phương trình đường thẳng \(AB\) là: \(\frac{{x + 4}}{{ - 2 + 4}} = \frac{{y + 1}}{{1 + 1}} \Leftrightarrow x + 4 = y + 1 \Leftrightarrow x - y + 3 = 0.\)

Có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2;\,\,2} \right) \Rightarrow AB = 2\sqrt 2 .\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {S_{ABC}} = \frac{1}{2}d\left( {C;\,\,AB} \right).AB\\ \Leftrightarrow 40 = \frac{1}{2}.\frac{{\left| {2c - 3 - c + 3} \right|}}{{\sqrt {1 + 1} }}.2\sqrt 2 \\ \Leftrightarrow \left| c \right| = 40 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 40\\c =  - 40\end{array} \right..\end{array}\)

Chọn  B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 77 :

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy,\) cho hình vuông \(ABCD\) có \(A\left( {2;3} \right)\) và một đường chéo \(d:3x - y + 1 = 0\). Phương trình đường thẳng \(AB\)có thể là

  • A \(\left[ \begin{array}{l}AB:x + 2y - 7 = 0\\AB: - x + y - 4 = 0\end{array} \right.\)            
  • B \(\left[ \begin{array}{l}AB:2x + y - 7 = 0\\AB:x + y - 4 = 0\end{array} \right.\)   
  • C \(\left[ \begin{array}{l}AB:2x + y - 7 = 0\\AB: - x + 2y - 4 = 0\end{array} \right.\)          
  • D \(\left[ \begin{array}{l}AB:2x + y = 0\\AB: - x + 2y - 2 = 0\end{array} \right.\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Gọi VTPT của đường thẳng \(AB\) là \(\left( {a;b} \right)\) và dựa vào tính chất góc hợp bởi đường chéo và cạnh góc vuông bằng \({45^0}\) ta tính được mối liên hệ giữa \(a,b\) và chọn theo tỷ lệ.

Lời giải chi tiết:

\(A\left( {2;3} \right) \notin \Delta :3x - y + 1 = 0 \Rightarrow \Delta \) là đường chéo \(BD\)

Phương trình \(AB:a\left( {x - 2} \right) + b\left( {y - 3} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow ax + by - 2a - 3b = 0\)

\(ABCD\) là hình vuông \( \Rightarrow AB\) hợp với \(BD\) góc \({45^0}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \cos {45^0} = \frac{{\left| {3a - b} \right|}}{{\sqrt {9 + 1} .\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow 2.\left| {3a - b} \right| = \sqrt {20} .\sqrt {{a^2} + {b^2}} \\ \Rightarrow 4{\left( {3a - b} \right)^2} = 20\left( {{a^2} + {b^2}} \right) \Leftrightarrow 16{a^2} - 24ab - 16{b^2} = 0\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 2b\\a = \frac{{ - 1}}{2}b\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}AB:2x + y - 7 = 0\\AB: - x + 2y - 4 = 0\end{array} \right.\end{array}\)

Chọn  C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 78 :

Đường thẳng \(d\) đi qua \(M\left( {8;\,\,6} \right)\) và tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích \(S = 12.\) Phương trình tổng quát của đường thẳng \(d\) là:

  • A \(\left[ \begin{array}{l}3x - 2y - 12 = 0\\3x - 8y + 24 = 0\end{array} \right.\)
  • B \(\left[ \begin{array}{l}3x + 2y - 36 = 0\\3x + 8y - 72 = 0\end{array} \right.\)
  • C \(\left[ \begin{array}{l}2x - 3y + 2 = 0\\8x - 3y - 46 = 0\end{array} \right.\)
  • D \(\left[ \begin{array}{l}2x + 3y - 34 = 0\\8x + 3y - 82 = 0\end{array} \right.\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Đường thẳng \(d\) cắt \(Ox\) tại \(A\left( {a;\,\,0} \right),\) cắt \(Oy\) tại \(B\left( {0;\,\,b} \right) \Rightarrow {S_{OAB}} = \frac{1}{2}\left| {ab} \right|.\)  

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng \(d\) đi qua \(M\left( {8;\,\,6} \right)\) và có hệ số góc \(k\) có phương trình là: \(y = \,\,k\left( {x - 8} \right) + 6 \Leftrightarrow y = kx - 8k + 6.\)

Đk: \(\left\{ \begin{array}{l}k \ne 0\\ - 8k + 6 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k \ne 0\\k \ne \frac{3}{4}\end{array} \right..\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}d \cap Ox = \left\{ A \right\} \Rightarrow A\left( {\frac{{8k - 6}}{k};\,\,0} \right)\\d \cap Oy = \left\{ B \right\} \Rightarrow B\left( {0;\,\, - 8k + 6} \right)\end{array} \right..\\ \Rightarrow {S_{\Delta AOB}} = \frac{1}{2}OA.OB = \frac{1}{2}\left| {\frac{{8k - 6}}{k}.\left( {6 - 8k} \right)} \right| = \frac{1}{2}.\left| {\frac{{{{\left( {8k - 6} \right)}^2}}}{k}} \right| = 12\\ \Leftrightarrow {\left( {8k - 6} \right)^2} = 24\left| k \right|\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}64{k^2} - 96k + 36 = 24k\,\,\,\left( {k > 0} \right)\\64{k^2} - 96k + 36 =  - 24k\,\,\,\left( {k < 0} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}64{k^2} - 120k + 36 = 0\\64{k^2} - 72k + 36 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k = \frac{3}{2}\,\,\,\left( {tm} \right)\\k = \frac{3}{8}\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

+) Với \(k = \frac{3}{2} \Rightarrow d:\,\,y = \frac{3}{2}x - 6 \Leftrightarrow 3x - 2y - 12 = 0\)

+) Với \(k = \frac{3}{8} \Rightarrow d:\,\,y = \frac{3}{8}x + 3 \Leftrightarrow 3x - 8y + 24 = 0.\)

Chọn  A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 79 :

Cho đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(Q\left( {2;\,\,3} \right)\) và cắt các tia \(Ox,\,\,Oy\) tại các điểm \(A\) và \(B\,\,\left( { \ne O} \right).\) Biết rằng \(\Delta OAB\) có diện tích nhỏ nhất, đường thẳng \(d\) có phương trình là:

  • A \(x - y + 1 = 0\)
  • B \(4x - 3y + 1 = 0\)
  • C \(5x + 2y - 16 = 0\)
  • D \(3x + 2y - 12 = 0\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Đường thẳng \(d\) cắt \(Ox\) tại \(A\left( {a;\,\,0} \right),\) cắt \(Oy\) tại \(B\left( {0;\,\,b} \right) \Rightarrow {S_{OAB}} = \frac{1}{2}\left| {ab} \right|.\)

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng \(d\) đi qua \(Q\left( {2;\,\,3} \right)\) và có hệ số góc \(k\) có phương trình là: \(y = \,\,k\left( {x - 2} \right) + 3 \Leftrightarrow y = kx - 2k + 3.\)

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}k \ne 0\\ - 2k + 3 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k \ne 0\\k \ne \frac{3}{2}\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}d \cap Ox = \left\{ A \right\} \Rightarrow A\left( {\frac{{2k - 3}}{k};\,\,0} \right)\\d \cap Oy = \left\{ B \right\} \Rightarrow B\left( {0;\,\, - 2k + 3} \right)\end{array} \right..\\ \Rightarrow {S_{\Delta AOB}} = \frac{1}{2}OA.OB = \frac{1}{2}\left| {\frac{{2k - 3}}{k}.\left( {3 - 2k} \right)} \right| = \frac{1}{2}.\left| {\frac{{{{\left( {2k - 3} \right)}^2}}}{k}} \right|\\ = \frac{1}{2}\left| {\frac{{4{k^2} - 12k + 9}}{k}} \right| = \frac{1}{2}\left| {4k + \frac{9}{k} - 12} \right|\\ \ge \frac{1}{2}\left| {2\sqrt {4k.\frac{9}{k}}  - 12} \right| = \frac{1}{2}\left| { -0} \right| = 0.\end{array}\)

Dấu  xảy ra \( \Leftrightarrow 4k = \frac{9}{k} \Leftrightarrow {k^2} = \frac{9}{4} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k = \frac{3}{2}\,\,\,\left( {ktm} \right)\\k =  - \frac{3}{2}\end{array} \right.\)

+) Với \(k =  - \frac{3}{2}\) ta có: \(d:\,\,y =  - \frac{3}{2}x + 6 \Leftrightarrow 3x + 2y - 12 = 0.\)

Chọn  D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 80 :

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy,\) cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {2; - 1} \right),\,\,B\left( {5;\,5} \right),\,\,C\left( {6;\,\,1} \right).\)  Lập phương trình đường phân giác của \(\Delta ABC\) kẻ từ \(A.\) 

  • A \(x + y - 1 = 0\)                        
  • B \(x - y - 1 = 0\)             
  • C \(x + y + 3 = 0\)
  • D \(x - y - 3 = 0\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

+) Gọi \(AD\,\,\,\left( {D \in BC} \right)\) là đường phân giác từ đỉnh \(A\) của \(\Delta ABC.\)

+) Áp dụng định lý đường phân giác của \(\Delta ABC\) ta có: \(\frac{{DB}}{{AB}} = \frac{{DC}}{{AC}} \Leftrightarrow \frac{{\overrightarrow {DB} }}{{AB}} = \frac{{\overrightarrow {CD} }}{{AC}}\)  để tìm tọa độ điểm \(D.\)

+) Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm \(A\) và \(D.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {3;\,6} \right) \Rightarrow AB = 3\sqrt 5 ;\,\,\,\overrightarrow {AC}  = \left( {4;\,\,2} \right) \Rightarrow AC = 2\sqrt 5 .\)

Gọi \(AD\,\,\,\left( {D \in BC} \right)\) là đường phân giác từ đỉnh \(A\) của \(\Delta ABC.\)

Gọi \(D\left( {a;\,\,b} \right).\)

Áp dụng định lý đường phân giác của \(\Delta ABC\) ta có: \(\dfrac{{DB}}{{AB}} = \dfrac{{DC}}{{AC}} \Leftrightarrow \dfrac{{\overrightarrow {DB} }}{{AB}} = \dfrac{{\overrightarrow {CD} }}{{AC}}\) 

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {5 - a;\,\,5 - b} \right)}}{{3\sqrt 5 }} = \dfrac{{\left( {a - 6;\,\,b - 1} \right)}}{{2\sqrt 5 }}\\ \Leftrightarrow 2\sqrt 5 \left( {5 - a;\,\,5 - b} \right) = 3\sqrt 5 \left( { a-6;\,\, b-1} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\left( {5 - a} \right) = 3\left( {a - 6} \right)\\2\left( {5 - b} \right) = 3\left( {b - 1} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}10 - 2a = 3a - 18\\10 - 2b = 3b - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{{28}}{5}\\b =  \dfrac{{13}}{5}\end{array} \right.  \Rightarrow D\left( {\dfrac{{28}}{5};\dfrac{{13}}{5}} \right) \\  \Rightarrow \overrightarrow {AD}  = \left( {\dfrac{{18}}{5};\dfrac{{18}}{5}} \right) = \dfrac{{18}}{5}\left( {1;1} \right).\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Đường thẳng \(AD\) nhận vecto \(\left( {1;\,\,-1} \right)\) làm VTPT.

\( \Rightarrow AD:\,\,x - 2 - y - 1 = 0 \Leftrightarrow x - y - 3 = 0.\)

Chọn  D.

Đáp án - Lời giải

Xem thêm

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.