Phương pháp giải:

+) Gọi k là hệ số góc của đường thẳng AB (k > 0), phương trình AB có dạng \(y = k\left( {x - 2} \right) - 1 \Leftrightarrow kx - y - 2k - 1 = 0\)

+) AB hợp với BD một góc 45⁰ nên \(\cos {45^0} = \left| {\cos \left( {{{\overrightarrow n }_{AB}};{{\overrightarrow n }_{BD}}} \right)} \right| = \frac{{\left| {{{\overrightarrow n }_{AB}}.{{\overrightarrow n }_{BD}}} \right|}}{{\left| {{{\overrightarrow n }_{AB}}} \right|\left| {.{{\overrightarrow n }_{BD}}} \right|}}\)

Lời giải chi tiết:

Gọi k là hệ số góc của đường thẳng AB (k > 0), phương trình AB có dạng \(y = k\left( {x - 2} \right) - 1 \Leftrightarrow kx - y - 2k - 1 = 0\)

Ta có AB hợp với BD một góc 45⁰ nên

\(\begin{array}{l}\cos {45^0} = \left| {\cos \left( {{{\overrightarrow n }_{AB}};{{\overrightarrow n }_{BD}}} \right)} \right| = \frac{{\left| {k.1 - 1.2} \right|}}{{\sqrt {{k^2} + 1} .\sqrt {{1^2} + {2^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\\Leftrightarrow 2{\left( {k - 2} \right)^2} = 5\left( {{k^2} + 1} \right)\\ \Leftrightarrow 3{k^2} + 8k - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k = \frac{1}{3}\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\k =  - 3\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right. \Rightarrow pt\left( {AB} \right):y = \frac{1}{3}\left( {x - 2} \right) - 1 = \frac{1}{3}x - \frac{5}{3} \Rightarrow x - 3y - 5 = 0\end{array}\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Khoảng cách từ điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) đến đường thẳng \(\left( d \right):\,\,ax + by + c = 0\) là : \(d\left( {M;d} \right) = \dfrac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(d\left( {I;\Delta } \right) = \dfrac{{\left| {3.1 - 4\left( { - 2} \right) - 26} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = \dfrac{{15}}{5} = 3\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

Viết phương trình đường thẳng dưới dạng phương trình đoạn chắn.

Lời giải chi tiết:

Phương trình đường thẳng \(\left( d \right):\,\,\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\).

Chọn C.

Lời giải chi tiết:

\(\overrightarrow {{u_d}}  = \overrightarrow {BC}  = \left( {3; - 4} \right)\)

\( \Rightarrow \) Phương trình đường thẳng \(\left( d \right):\,\,\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y - 1}}{{ - 4}} \Leftrightarrow 4x + 3y - 7 = 0\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Trung tuyến AM là đường thẳng đi qua A và M với M là trung điểm của BC.

+) Tìm tọa độ điểm M:  \(\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \frac{{{x_B} + {x_C}}}{2}\\{y_M} = \frac{{{y_B} + {y_C}}}{2}\end{array} \right.\)

+) Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) và có VTPT là \(\overrightarrow n \left( {a;b} \right)\,\,\left( {{a^2} + {b^2} > 0} \right)\) là: \(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) = 0\)

Lời giải chi tiết:

Gọi M là trung điểm của BC ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \frac{{{x_B} + {x_C}}}{2} = \frac{{0 + 4}}{2} = 2\\{y_M} = \frac{{{y_B} + {y_C}}}{2} = \frac{{ - 2 + 2}}{2} = 0\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {2;0} \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AM}  = \left( {1; - 1} \right) \Rightarrow \) Đường thẳng AM đi qua A và nhận \(\overrightarrow n  = \left( {1;1} \right)\) là 1 VTPT. Khi đó phương trình đường thẳng AB là  \(1\left( {x - 1} \right) + 1\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y - 2 = 0\)

Phương pháp giải:

Phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) có VTCP \(\overrightarrow u  = \left( {a;b} \right)\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

Phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A\left( {2; - 1} \right)\) và nhận \(\overrightarrow n  = \left( {3; - 2} \right)\) làm VTCP là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 3t\\y =  - 1 - 2t\end{array} \right.\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Đường thẳng \(\Delta \) nhận \(\overrightarrow u  = \left( {a;b} \right)\) làm VTCP\( \Rightarrow \) nhận \(\overrightarrow n  = \left( { - b;a} \right) = \left( {b; - a} \right)\) làm VTPT.

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng \(\Delta \) đi qua A, B nhận \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2;\;1} \right)\) làm VTCP.

\( \Rightarrow \)Đường thẳng \(\Delta \)  nhận \(\overrightarrow n  = \left( { - 1;\;2} \right)\) làm VTPT.

Chọn C.

Phương pháp giải:

Phương trình đường tròn có dạng \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) trong đó \(c = {a^2} + {b^2} - {R^2}.\)

\( \Rightarrow \) Để phương trình  \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) trở thành phương trình đường tròn thì \({a^2} + {b^2} - c > 0.\)

Lời giải chi tiết:

Xét các đáp án ta thấy:

+) Loại đáp án A vì có hệ số của \({x^2},\;{y^2}\) không bằng nhau.

+) Đáp án B có: \({a^2} + {b^2} - c = {2^2} + {\left( { - 3} \right)^2} + 12 = 25 > 0 \Rightarrow \) chọn đáp án B. 

Chọn B.

Phương pháp giải:

Đường thẳng \(ax + by + c = 0\) và đường thẳng \(a'x + b'y + c' = 0\) cắt nhau \( \Leftrightarrow \frac{a}{{a'}} \ne \frac{b}{{b'}}\) 

Lời giải chi tiết:

\(d:\,\,y = 3x - 2 \Leftrightarrow 3x - y - 2 = 0\)

Ta có \(\frac{3}{3} \ne \frac{{ - 1}}{1}\) nên 2 đường thẳng \(y = 3x - 2\) và \(3x + y - 6 = 0\) cắt nhau nên chúng không song song

Chọn D.

Phương pháp giải:

Thay tọa độ từng điểm vào phương trình đường thẳng d để kiểm chứng.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(3.5 + 5.3 - 15 = 15 \ne 0\)

Vậy \({M_3}\) không thuộc \(d\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Đường thẳng \(ax + by + c = 0\) và đường thẳng \(a'x + b'y + c' = 0\) cắt nhau \( \Leftrightarrow \frac{a}{{a'}} \ne \frac{b}{{b'}}\) 

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\frac{3}{3} \ne \frac{{ - 2}}{2}\)  nên \(\Delta \) và \({d_1}\) cắt nhau.

Chọn A.

Phương pháp giải:

Đường thẳng \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\end{array} \right.\) nhận \(\overrightarrow u  = \left( {a;\,b} \right)\) làm VTCP

Lời giải chi tiết:

Vectơ \(\overrightarrow u  = \left( {2; - 5} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3 - 5t\end{array} \right.\,\,\,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\)

Chọn D.         

Phương pháp giải:

Đường thẳng \(ax + by + c = 0\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow n  = \left( {a;b} \right).\)

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng \(x - 5y + 1 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {1; - 5} \right)\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Đường thẳng \(\Delta \) nhận vecto \(\overrightarrow u \) làm 1 VTCP thì cũng nhận vecto \(k\overrightarrow u \) làm VTCP.

Phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A\left( {{x_0};\,\,{y_0}} \right)\) và có VTCP \(\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left( {a;\,b} \right):\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\overrightarrow u  = \left( { - 1;\,2} \right)//\left( {1; - 2} \right)\)

\( \Rightarrow \) đường thẳng \(d\) nhận vecto \(\overrightarrow u  = \left( { - 1;\,2} \right)\) làm VTCP thì cũng nhận vecto \(\left( {1; - 2} \right)\) làm VTCP.

Đường thẳng \(d\) đi qua gốc tọa độ \(O\) và có VTCP \(\overrightarrow {u'}  = \left( {1; - \,2} \right)\) có phương trình tham số là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 + t = t\\y = 0 - 2t =  - 2t\end{array} \right..\)

Chọn  C.

Phương pháp giải:

Đường thẳng \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\end{array} \right.\) nhận \(\overrightarrow u  = \left( {a,b} \right)\) làm VTCP

Lời giải chi tiết:

 \(\overrightarrow u  = \left( {2; - 5} \right)\) là 1 VTCP của \(d\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Đường thẳng \(d:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\end{array} \right.\) đi qua điểm \(M\left( {{x_0};\,{y_0}} \right)\) và có CTCP \(\overrightarrow u  = \left( {a;\,b} \right).\)

Đường thẳng \(\Delta \) nhận vecto \(\overrightarrow u \) làm 1 VTCP thì cũng nhận vecto \(k\overrightarrow u \) làm VTCP.

Lời giải chi tiết:

Ta có đường thẳng \(d:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y =  - 1 + 6t\end{array} \right.\) đi qua \(M\left( {2; - 1} \right)\) và có VTCP  \(\overrightarrow u  = \left( {0;\,6} \right) = 6\left( {0;\,1} \right).\)

Chọn  D.

Phương pháp giải:

Đường thẳng \(d:\,\,\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b}\) có VTCP  là: \(\overrightarrow u  = \left( {a;\,b} \right).\) 

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng \(d:\,\,\frac{{x - 2}}{{ - 2}} = \frac{{y + 1}}{3}\)   có VTCP là: \(\overrightarrow n  = \left( { - 2;\,3} \right).\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Đường thẳng \(\Delta \) nhận vecto \(\overrightarrow u \) làm 1 VTCP thì cũng nhận vecto \(k\overrightarrow u \) làm VTCP.

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng \(\Delta :\,\,\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 3}}{4}\)  nhận vecto \(\overrightarrow u  = \left( {2;\,4} \right)\) làm VTCP.

Ta thấy: \(\overrightarrow u  = \left( {2;\, - 4} \right) \ne \left( {2;\,\,4} \right) \Rightarrow {\overrightarrow u _4} = \left( {2; - 4} \right)\) không là VTPT của \(\Delta .\)

Chọn  D.

Phương pháp giải:

Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua \(M\left( {{x_0};\,\,{y_0}} \right)\) và có VTCP \(\overrightarrow u  = \left( {a;\,b} \right)\) là: \(\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b}.\)

Lời giải chi tiết:

Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua \(M\left( {0; - 2} \right)\) và có VTCP \(\overrightarrow u  = \left( {3;\,1} \right)\) là: \(\frac{x}{3} = \frac{{y + 2}}{1}.\)

Chọn  D.

Phương pháp giải:

Đường thẳng \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\end{array} \right.\) nhận \(\overrightarrow u  = \left( {a,b} \right)\) làm VTCP

\(\overrightarrow n  = k\overrightarrow {n'} \) thì \(\overrightarrow n //\overrightarrow {n'} \)

Lời giải chi tiết:

Vectơ \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( { - 2;1} \right)\) là 1 VTCP của \(\Delta \)

Mà  \(\overrightarrow u  = \left( {4; - 2} \right)//\overrightarrow {{u_1}} \)  do \(\overrightarrow u  =  - 2\overrightarrow {{u_1}} \)

Vậy  \(\overrightarrow u  = \left( {4; - 2} \right)\) cũng là 1 VTCP của \(\Delta \)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Đường thẳng \(ax + by + c = 0\) nhận \(\overrightarrow n  = \left( {a,b} \right)\) là 1 VTPT.

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng d: \(x - 5y + 4 = 0\) nhận \(\overrightarrow n  = \left( {1; - 5} \right)\) là 1 VTPT.

Chọn B.

Phương pháp giải:

Vecto chỉ phương phương của trục \(Ox\) là \(\overrightarrow i  = \left( {1;\,0} \right)\)

Gọi \(\overrightarrow n  = \left( {a;\,b} \right)\) là VTPT của đường thẳng song song với \(Ox \Rightarrow \overrightarrow n  \bot \overrightarrow i  \Leftrightarrow \overrightarrow n .\overrightarrow i  = 0.\)

Lời giải chi tiết:

Vecto chỉ phương phương của trục \(Ox\) là \(\overrightarrow i  = \left( {1;\,0} \right)\)

Gọi \(\overrightarrow n  = \left( {a;\,b} \right)\) là VTPT của đường thẳng song song với \(Ox \Rightarrow \overrightarrow n  \bot \overrightarrow i  \Leftrightarrow \overrightarrow n .\overrightarrow i  = 0.\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow a.1 + b.0 = 0 \Leftrightarrow a = 0\\ \Rightarrow \overrightarrow n  = \left( {0;\,\,b} \right) = b\left( {0;\,\,1} \right).\end{array}\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {{n_1}}  = \left( {0;\,\,1} \right)\) là 1 VTPT của đường thẳng song song với \(Ox.\) 

Chọn  A.

Phương pháp giải:

Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) và có VTPT là \(\overrightarrow n \left( {a;b} \right)\,\,\left( {{a^2} + {b^2} > 0} \right)\) là:\(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) = 0\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A}} \right) = \left( { - 2;6} \right) =  - 2\left( {1; - 3} \right) \Rightarrow \) Đường thẳng AB đi qua A và nhận \(\overrightarrow n \left( {3;1} \right)\) là 1 VTPT. Khi đó phương trình đường thẳng AB là: \(3\left( {x - 3} \right) + 1\left( {y + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + y - 8 = 0\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Phương trình đường thẳng d có hệ số góc là k có dạng \(y = kx + b\)

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng \(\left( d \right)\) có phương trình tổng quát: \(3x - 2y + 2019 = 0 \Leftrightarrow y = \frac{3}{2}x + \frac{{2019}}{2}\) có hệ số góc \(k = \frac{3}{2}.\) 

Chọn D.

Phương pháp giải:

Cho hai đường thẳng có phương trình tổng quát như sau: \(\left\{ \begin{array}{l}{\Delta _1}:\,\,{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0\,\,\,\left( {{a_1}^2 + {b_1}^2 \ne 0} \right)\\{\Delta _2}:\,\,{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0\,\,\,\left( {{a_2}^2 + {b_2}^2 \ne 0} \right)\end{array} \right.\)

Ta xét nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0\\{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0\end{array} \right.\)

+) Hệ có một nghiệm \(\left( {{x_0};\,{y_0}} \right)\) duy nhất \( \Leftrightarrow {\Delta _1}\) cắt \({\Delta _2}\) tại \(M\left( {{x_0};\,{y_0}} \right)\)

+) Hệ vô nghiệm \( \Leftrightarrow {\Delta _1}//{\Delta _2}\)

+) Hệ có vô số nghiệm \( \Leftrightarrow {\Delta _1} \equiv {\Delta _2}\)

Lời giải chi tiết:

Xét hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y + 1 = 0\\ - 3x + 6y - 10 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2y =  - 1\\x - 2y =  - \frac{{10}}{3}\end{array} \right. \Rightarrow \) hệ phương trình vô nghiệm.

\( \Rightarrow {d_1}//{d_2}.\)

Chọn  B.

Phương pháp giải:

Cho hai đường thẳng có phương trình tổng quát như sau: \(\left\{ \begin{array}{l}{d_1}:\,\,{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0\,\,\,\left( {{a_1}^2 + {b_1}^2 \ne 0} \right)\\{d_2}:\,\,{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0\,\,\,\left( {{a_2}^2 + {b_2}^2 \ne 0} \right)\end{array} \right.\)

Xét các TH:

+) \(\frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} \ne \frac{{{b_1}}}{{{b_2}}} \Rightarrow \,{d_1},\,\,\,{d_2}\) cắt nhau.

+) \(\frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \frac{{{b_1}}}{{{b_2}}} \ne \frac{{{c_1}}}{{{c_2}}} \Rightarrow {d_1}//{d_2}.\)

+) \(\frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \frac{{{b_1}}}{{{b_2}}} = \frac{{{c_1}}}{{{c_2}}} \Rightarrow {d_1} \equiv {d_2}.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({d_1}:\,\,\frac{x}{3} - \frac{y}{4} = 1 \Leftrightarrow 4x - 3y = 12.\)

\( \Rightarrow {d_1}\) có VTPT là: \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {4;\,\, - 3} \right),\,\,{d_2}\) có VTPT là: \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {3;\,\,4} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}}  = 4.3 - 3.4 = 0 \Rightarrow \overrightarrow {{n_1}}  \bot \overrightarrow {{n_2}} .\\ \Rightarrow {d_1} \bot {d_2}.\end{array}\)

Chọn  C.

Phương pháp giải:

Lập phương trình các đường thẳng \(AB\) và \(CD\) sau đó xác định vị trí tương đối giữa hai đường thẳng.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {3; - 2} \right);\,\,\overrightarrow {CD}  = \left( {6; - 4} \right) = 2\left( {3 - 2} \right)\)

Lại có \(\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {CD} \) lần lượt là các vecto chỉ phương của các đường thẳng \(AB,\,\,CD.\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} //\overrightarrow {CD}  \Rightarrow AB//CD.\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Sử dụng phương trình đoạn chắn để viết phương trình đường thẳng \(AB.\)

Lời giải chi tiết:

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm \(A\left( {0;2} \right),\,\,B\left( { - 3;0} \right)\).

Phương trình đường thẳng AB là: \(\frac{x}{{ - 3}} + \frac{y}{2} = 1\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Hai đường thẳng không có điểm chung \( \Leftrightarrow \) hai đường thẳng đó song song với nhau.

Đường thẳng \(d\) có VTPT \(\overrightarrow n \) và đường thẳng \(\Delta \) có VTCP \(\overrightarrow u \) song song với nhau \( \Leftrightarrow \overrightarrow n  \bot \overrightarrow u  \Leftrightarrow \overrightarrow n .\overrightarrow u  = 0.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(d:\,\,x - 3y + 4 = 0\) có VTPT là:  \(\overrightarrow n  = \left( {1; - 3} \right).\)

Đường thẳng  \(\Delta \) cần tìm không có điểm chung với đường thẳng \(d \Rightarrow \Delta //d.\)

\( \Rightarrow \) VTCP \(\overrightarrow u \) của \(\Delta \) vuông góc với \(\overrightarrow n  = \left( {1; - 3} \right)\) của \(d.\)

\( \Rightarrow \overrightarrow u  = \left( {3;\,\,1} \right) = \left( { - 3; - 1} \right).\)

Dựa vào các đáp án ta thấy chỉ có đáp án D thỏa mãn.

Chọn  D.

Phương pháp giải:

Gọi \(B\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(d \Rightarrow d\) là đường trung trực của \(AB.\)

Lập phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A\) và vuông góc với \(d.\)

Gọi \(I\) là giao điểm của \(d\) \(\Delta  \Rightarrow I\) là  trung điểm của \(AB \Rightarrow \) tọa độ điểm \(B.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\overrightarrow {{n_d}}  = \left( {2; - 3} \right)\)

Gọi \(\Delta \) là đường thẳng  đi qua \(A\) và vuông góc với \(d.\)

\( \Rightarrow \Delta \) nhận vecto \(\overrightarrow {{n_\Delta }}  = \left( {3;\,\,2} \right)\) làm VTPT.

\( \Rightarrow \Delta :\,\,3\left( {x - 8} \right) + 2\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + 2y - 28 = 0.\)

Gọi \(I\) là giao điểm của \(d\) \(\Delta  \Rightarrow \)tọa độ điểm \(I\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y + 3 = 0\\3x + 2y - 28 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 6\\y = 5\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {6;\,\,5} \right).\)

\(B\) đối xứng với \(A\) qua \(d \Rightarrow I\) là trung điểm của \(AB \Rightarrow B\left( {4;\,\,8} \right).\)

Chọn  B.

Phương pháp giải:

Lập phương trình đường thẳng  \(d\)  đi qua \(M\) và vuông góc với \(\Delta .\)

Khi đó điểm \(H\) là hình chiếu của \(M\) trên \(\Delta \) chính là giao điểm của \(d\) và \(\Delta .\) 

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\overrightarrow {{n_\Delta }}  = \left( {1; - 2} \right).\)

Đường thẳng \(d \bot \Delta  \Rightarrow \overrightarrow {{n_d}}  = \left( {2;\,\,1} \right).\)

 Phương trình đường thẳng  \(d\)  đi qua \(M\) và vuông góc với  \(\Delta :\,\,\,2\left( {x - 4} \right) + y - 1 = 0 \Leftrightarrow 2x + y - 9 = 0.\)

Khi đó điểm \(H\) là hình chiếu của \(M\) trên \(\Delta \) chính là giao điểm của \(d\) và \(\Delta .\) 

\( \Rightarrow \) Tọa độ điểm \(H\) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y + 4 = 0\\2x + y - 9 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{14}}{5}\\y = \frac{{17}}{5}\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {\frac{{14}}{5};\,\,\frac{{17}}{5}} \right).\)

Chọn  A.

Phương pháp giải:

Ta có: \(M \in Oy \Rightarrow M\left( {0;\,\,b} \right).\)

 Sử dụng công thức tính khoảng cách từ điểm \(M\left( {{x_0};\,\,{y_0}} \right)\) đến đường thẳng \(d:\,\,ax + by + c = 0\) là:

\(d\left( {M;\,\,d} \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(M \in Oy;\,\,{y_M} > 0 \Rightarrow M\left( {0;\,\,b} \right),\,\,b > 0\,.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow d\left( {M;\,\,{d_1}} \right) = d\left( {M;\,\,{d_2}} \right) \Leftrightarrow \frac{{\left| {3.0 - 4.b + 6} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = \frac{{\left| {4.0 - 3.b - 9} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }}\\ \Leftrightarrow \left| {6 - 4b} \right| = \left| {3b + 9} \right| \Leftrightarrow {\left( {4b - 6} \right)^2} = {\left( {3b + 9} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 16{b^2} - 48b + 36 = 9{b^2} + 54b + 81\\ \Leftrightarrow 7{b^2} - 102b - 45 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 15\,\,\,\left( {tm} \right)\\b =  - \frac{3}{7}\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {0;\,\,15} \right).\end{array}\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Cho \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {{a_1};\,\,{b_1}} \right)\) và \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {{a_2};\,\,{b_2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{u_1}}  = \overrightarrow {{u_2}}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_1} = {a_2}\\{b_1} = {b_2}\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

Gọi \(C\left( {a;\,\,b} \right)\) là điểm cần tìm. Ta có: \(\overrightarrow {CA}  = \left( {1 - a;\,\,6 - b} \right);\,\,\,\overrightarrow {CB}  = \left( {6 - a;\,\,3 - b} \right).\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {CA}  = 2\overrightarrow {CB}  \Leftrightarrow \left( {1 - a;\,\,6 - b} \right) = 2\left( {6 - a;\,\,3 - b} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - a = 2\left( {6 - a} \right)\\6 - b = 2\left( {3 - b} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - a = 12 - 2a\\6 - b = 6 - 2b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 11\\b = 0\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {11;\,\,0} \right).\end{array}\)

Chọn  B.

Phương pháp giải:

Điểm \(C \in Ox \Rightarrow C\left( {c;\,\,0} \right).\)

Ba điểm \(A,\,\,B,\,\,C\) thẳng hàng \( \Rightarrow \overrightarrow {AC}  = k\overrightarrow {AB} .\)

Cho \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {{a_1};\,\,{b_1}} \right)\) và \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {{a_2};\,\,{b_2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{u_1}}  = \overrightarrow {{u_2}}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_1} = {a_2}\\{b_1} = {b_2}\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

Điểm \(C \in Ox \Rightarrow C\left( {c;\,\,0} \right).\)

Ta có: \(\overrightarrow {AC}  = \left( {c + 2; - 2} \right);\,\,\,\overrightarrow {AB}  = \left( {3;\, - 1} \right).\)

Ba điểm \(A,\,\,B,\,\,C\) thẳng hàng \( \Rightarrow \overrightarrow {AC}  = k\overrightarrow {AB}  \Leftrightarrow \left( {c + 2; - 2} \right) = k\left( {3; - 1} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c + 2 = 3k\\ - 2 =  - k\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = 2\\c = 4\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {4;\,\,0} \right).\)

Chọn  D.

Phương pháp giải:

\(\overrightarrow n  \ne \overrightarrow 0 \) là VTPT \( \Leftrightarrow \overrightarrow n  \bot \left( d \right).\) Nếu \(\overrightarrow n \)  là một VTCP của \(\Delta \) thì \(k\overrightarrow n \,\,\left( {k \ne 0} \right)\) cũng là một VTCP của \(\Delta .\)

Lời giải chi tiết:

Nếu  \(\overrightarrow n \)   là vectơ pháp tuyến của một đường thẳng thì  \(k\overrightarrow n \,\,\left( {k \ne 0} \right)\) đều là vectơ pháp tuyến của đường thẳng. Vì thế có vô số vectơ pháp tuyến của một đường thẳng.

Chọn D.

Phương pháp giải:

Đưa phương trình đường thẳng đã cho về dạng \(ax + by + c = 0.\) Khi đó VTPT của đường thẳng đã cho là \(\left( {a;\,\,b} \right).\)

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng \(\Delta \) có phương trình \(y = 4x - 2 \Leftrightarrow 4x - y - 2 = 0.\)

\( \Rightarrow \Delta \) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {4; - 1} \right)\)

Chọn  B.

Phương pháp giải:

Viết phương trình đường thẳng \(AB\) và tìm \(B = AB \cap {d_1}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \(AB \bot {d_2} \Rightarrow \overrightarrow {{n_{AB}}}  \bot \overrightarrow {{n_{{d_2}}}}  = \left( {2; - 5} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_{AB}}}  = \left( {5;2} \right)\)

\(AB:\left\{ \begin{array}{l}qua\,A(1;1)\\\overrightarrow {{n_{AB}}}  = \left( {5;2} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AB:5\left( {x - 1} \right) + 2\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 5x + 2y - 7 = 0\)

\(B = AB \cap {d_1} \Rightarrow B\left\{ \begin{array}{l}5x + 2y - 7 = 0\\ - x + y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {1;1} \right)\)

Chọn  C.

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất trọng tâm tam giác

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}B = BC \cap BB' \Rightarrow B:\left\{ \begin{array}{l} - 2x + y = 0\\2x + y - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{2}\\y = 1\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {\frac{1}{2};1} \right)\\C = BC \cap CC' \Rightarrow C:\left\{ \begin{array}{l} - 2x + y = 0\\x + 3y = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 0\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {0;0} \right)\end{array}\)

Gọi \(G = BB' \cap CC' \Rightarrow G\) là trọng tâm \(\Delta ABC\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow G:\left\{ \begin{array}{l}2x + y - 2 = 0\\x + 3y = 0\end{array} \right. \Rightarrow G\left( {\frac{6}{5}; - \frac{2}{5}} \right)\\A = 3G - B - C \Rightarrow A:\left\{ \begin{array}{l}x = 3.\frac{6}{5} - \frac{1}{2} - 0 = \frac{{31}}{{10}}\\y = 3.\left( {\frac{{ - 2}}{5}} \right) - 1 - 0 = \frac{{ - 11}}{5}\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {\frac{{31}}{{10}};\frac{{ - 11}}{5}} \right)\\ \Rightarrow {x_A} + {y_A} = \frac{9}{{10}}\end{array}\)

Chọn  A.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức góc giữa 2 đường thẳng \(\overrightarrow {{n_{{d_1}}}}  = \left( {{a_1};{b_1}} \right);\,\,\overrightarrow {{n_{{d_2}}}}  = \left( {{a_2};{b_2}} \right) \Rightarrow \cos \varphi  = \frac{{\left| {{a_1}.{a_2} + {b_1}.{b_2}} \right|}}{{\sqrt {{a_1}^2 + {b_1}^2} .\sqrt {{a_2}^2 + {b_2}^2} }}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\overrightarrow {{n_{{d_1}}}}  = \left( {2; - 1} \right);\,\,\overrightarrow {{n_{{d_2}}}}  = \left( {1; - 3} \right) \Rightarrow \cos \varphi  = \frac{{\left| {2.1 + \left( { - 1} \right).\left( { - 3} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \varphi  = {45^0}\)

Chọn  C.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức góc giữa 2 đường thẳng \(\overrightarrow {{n_{{d_1}}}}  = \left( {{a_1};{b_1}} \right);\,\,\overrightarrow {{n_{{d_2}}}}  = \left( {{a_2};{b_2}} \right) \Rightarrow \cos \varphi  = \frac{{\left| {{a_1}.{a_2} + {b_1}.{b_2}} \right|}}{{\sqrt {{a_1}^2 + {b_1}^2} .\sqrt {{a_2}^2 + {b_2}^2} }}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\overrightarrow {{u_{{d_1}}}}  = \left( { - 1;2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_{{d_1}}}}  = \left( {2;1} \right);\,\,\overrightarrow {{n_{{d_2}}}}  = \left( { - 1;2} \right) \Rightarrow \cos \varphi  = \frac{{\left| {2.\left( { - 1} \right) + 1.2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2}} .\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = 0 \Rightarrow \varphi  = {90^0}\)

Chọn  D.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức góc giữa 2 đường thẳng \(\overrightarrow {{n_{{d_1}}}}  = \left( {{a_1};{b_1}} \right);\,\,\overrightarrow {{n_{{d_2}}}}  = \left( {{a_2};{b_2}} \right) \Rightarrow \cos \varphi  = \frac{{\left| {{a_1}.{a_2} + {b_1}.{b_2}} \right|}}{{\sqrt {{a_1}^2 + {b_1}^2} .\sqrt {{a_2}^2 + {b_2}^2} }}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\overrightarrow {{n_{{d_1}}}}  = \left( {\sqrt 3 ;1} \right);\,\,\overrightarrow {{n_{{d_2}}}}  = \left( {0;1} \right) \Rightarrow \cos \varphi  = \frac{{\left| {\sqrt 3 .0 + 1.1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} + {1^2}} .\sqrt {{0^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{2} \Rightarrow \varphi  = {60^0}\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Góc giữa hai đường thẳng: \({0^0} \le \left( {{\Delta _1};{\Delta _2}} \right) \le {90^0}\)

Lời giải chi tiết:

Góc giữa hai đường thẳng: \({0^0} \le \left( {{\Delta _1};{\Delta _2}} \right) \le {90^0}\)

Chọn  B.

Phương pháp giải:

Góc giữa hai đường thẳng trùng nhau bằng \({0^0}\)

Lời giải chi tiết:

Góc giữa hai đường thẳng trùng nhau bằng \({0^0}\)

Chọn  A.

Phương pháp giải:

Cho hai đường thẳng \({\Delta _1},\,\,{\Delta _2}\) có hai VTPT lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {{a_1};\,\,{b_1}} \right)\) và \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {{a_2};\,\,{b_2}} \right).\)

Khi đó góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) được tính bởi công thức:

\(\cos \left( {{\Delta _1};{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}} \right|}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2} .\sqrt {a_2^2 + b_2^2} }}.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({d_1}:\,\,x + 2y - \sqrt 2  = 0\) có VTPT là: \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {1;\,\,2} \right).\)

           \({d_2}:\,\,\,x - y = 0\) có VTPT là: \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {1; - 1} \right).\)

\( \Rightarrow \cos \alpha  = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\,\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {1.1 + 2.\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt {10} }}{{10}}.\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Đường thẳng \(d\) nhận \(\overrightarrow n  = \left( {A;\,\,B} \right)\) làm VTPT thì có VTCP là \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {B; - A} \right)\) hoặc \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( { - B;\,\,A} \right).\)

Lời giải chi tiết:

Xét phương trình đường thẳng: \(\frac{x}{3} + \frac{y}{2} = 1 \Leftrightarrow 2x + 3y - 6 = 0\)

\( \Rightarrow \) Đường thẳng có VTPT là \(\vec n = \left( {2;\,3} \right)\). Suy ra VTCP là \(\overrightarrow u  = \left( {3;\, - 2} \right)\).

Chọn  B.

Phương pháp giải:

Đường thẳng \(\Delta \) song song với \(d\) nhận VTPT của \(d\) làm VTPT.

Đường thẳng \(d\) nhận \(\overrightarrow n  = \left( {A;\,\,B} \right)\) làm VTPT thì có VTCP là \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {B; - A} \right)\) hoặc \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( { - B;\,\,A} \right).\)

Lời giải chi tiết:

Vì \(\Delta \,{\rm{//}}\,d\) nên \({\vec n_\Delta } = {\vec n_d} = \left( { - 2;\,\, - 5} \right) \Rightarrow {\vec u_d} = \left( {5;\,\, - 2} \right)\)

Chọn  C.

Phương pháp giải:

Phương trình chính tắc đường thẳng \(\left( \Delta  \right)\) qua điểm \(M\left( {{x_0};\,\,{y_0}} \right)\) và có VTCP \(\vec u = \left( {a;\,\,b} \right)\) là:

\(\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b}\) với \(a \ne 0,\,\,b \ne 0.\)

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng  D  đi qua \(M\left( {1;\, - 3} \right)\) và nhận vectơ \(\overrightarrow u \left( {1;2} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc là \(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 3}}{2}.\)

Chọn B

Phương pháp giải:

Đường thẳng \(\left( \Delta  \right)\) đi qua \(M\left( {{x_0};\,\,{y_0}} \right),\) hệ số góc \(k\) có phương trình là: \(\left( \Delta  \right):y = k\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}.\)

Lời giải chi tiết:

Phương trình đường thẳng \(\Delta \)đi qua điểm \(M\left( {2;\, - 5} \right)\) và có hệ số góc \(k =  - 2\) là:

\(y =  - 2\left( {x - 2} \right) - 5 \Leftrightarrow y =  - 2x - 1\)

Chọn  A.

Phương pháp giải:

Hai đường thẳng song song có cùng VTPT.

Phương trình đường thẳng \(d\) đi qua \(M\left( {{x_0};\,\,{y_0}} \right)\) và có VTPT \(\overrightarrow n  = \left( {A;\,\,B} \right)\) có dạng: \(A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) = 0.\)

Lời giải chi tiết:

+) Xét phương trình \(\Delta :\,\,6x + 2y + 1 = 0 \Rightarrow {\vec n_\Delta } = \left( {6;\,\,2} \right)\)

+) Vì \(d\,\,{\rm{//}}\,\,\Delta \) nên  \({\vec n_d} = {\vec n_\Delta } = \left( {6;\,\,2} \right) \Rightarrow {\vec u_\Delta } = \left( {2;\,\, - 6} \right)\)

Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) đi qua \(O\left( {0;\,\,0} \right)\) nhận \({\vec u_\Delta } = \left( {2;\,\, - 6} \right)\) làm VTCP là:

\(\left( d \right):\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y =  - 6t\end{array} \right..\)

Chọn  B.

Phương pháp giải:

Đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\end{array} \right.\) nhận \(\overrightarrow u \left( {a,b} \right)\) là một vectơ chỉ phương.

Lời giải chi tiết:

Vectơ \(\overrightarrow u \left( {3; - 1} \right)\)là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 3t\\y =  - 3 - t\end{array} \right.\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Phương trình đoạn chắn của đường thẳng \(d\) đi qua hai điểm \(A\left( {a;\,\,0} \right),\,\,B\left( {0;\,\,b} \right)\) có dạng: \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\)

Lời giải chi tiết:

Phương trình đoạn chắn đi qua hai điểm \(A\left( {3;\,\,0} \right)\) và \(B\left( {0;\,\,2} \right)\) là: \(\frac{x}{3} + \frac{y}{2} = 1\)

Chọn  C.

Phương pháp giải:

+) Viết phương trình cạnh \(AB,\,\,AC\).

+) Gọi \(d\) là đường phân giác trong góc \(A\) và \(M\left( {x;\,\,y} \right)\) là điểm bất kì thuộc đường thẳng \(d.\)

Khi đó: \(d\left( {M,\,\,AB} \right) = d\left( {M,\,\,AC} \right).\)

Lời giải chi tiết:

+) Phương trình cạnh \(\left( {AB} \right):\,\,\frac{x}{2} + \frac{y}{4} = 1 \Leftrightarrow 2x + y = 4 \Leftrightarrow 2x + y - 4 = 0\)

+) Phương trình cạnh \(\left( {AC} \right)\):

\(\frac{{x - {x_C}}}{{{x_C} - {x_A}}} = \frac{{y - {y_C}}}{{{y_C} - {y_A}}} \Rightarrow \frac{{x - 4}}{{4 - 2}} = \frac{{y - \left( { - 1} \right)}}{{\left( { - 1} \right) - 0}}\)

\( \Rightarrow \frac{{x - 4}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} \Leftrightarrow  - x + 4 = 2y + 2\)\( \Leftrightarrow  - x - 2y + 2 = 0 \Leftrightarrow x + 2y - 2 = 0\)

+) Gọi \(d\) là đường phân giác trong góc \(A\) và \(M\left( {x;\,\,y} \right) \in d\) bất kỳ, khi đó: \(d\left( {M,\,\,AB} \right) = d\left( {M,\,\,AC} \right)\)

\( \Rightarrow \frac{{\left| {2x + y - 4} \right|}}{{\sqrt 5 }} = \frac{{\left| {x + 2y - 2} \right|}}{{\sqrt 5 }}\)\( \Leftrightarrow \left| {2x + y - 4} \right| = \left| {x + 2y - 2} \right|\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + y - 4 = x + 2y - 2\\2x + y - 4 =  - x - 2y + 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - y - 2 = 0\\x + y - 2 = 0\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left( {{d_1}} \right):{f_1}\,\left( {x;y} \right) = \,x - y - 2 = 0\\\left( {{d_2}} \right):\,\,{f_2}\,\left( {x;y} \right) = x + y - 2 = 0\end{array} \right.\)

+) Ta có: \({f_1}\left( B \right) =  - 6;{f_1}\left( C \right) = 3 \Rightarrow {f_1}\left( B \right)\,\,.\,\,{f_1}\left( C \right) =  - 18 < 0\)

Suy ra, \(B,\,\,C\) nằm khác phía so với \(\left( {{d_1}} \right)\)\( \Rightarrow \left( {{d_1}} \right):\,\,\,x - y - 2 = 0\) là đường phân giác trong của góc \(A\) của \(\Delta ABC.\)

Chọn  A.

Phương pháp giải:

Để hai điểm \(A\) và \(B\) cùng phía so với đường thẳng \(d\) thì \({f_1}\left( A \right).{f_1}\left( B \right) > 0\).

Lời giải chi tiết:

\(A\left( {1;\,\,3} \right)\) và \(B\left( {2;\,\,m} \right)\) nằm cùng phía đối với \(\left( d \right):\,\,3x + 4y - 5 = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {3{x_A} + 4{y_A} - 5} \right).\left( {3{x_B} + 4{y_B} - 5} \right) > 0\\ \Leftrightarrow \left( {3.1 + 4.3 - 5} \right)\left( {3.2 + 4m - 5} \right) > 0\\ \Leftrightarrow 10.\left( {1 + 4m} \right) > 0\\ \Leftrightarrow 1 + 4m > 0 \Leftrightarrow m >  - \frac{1}{4}\end{array}\)

Chọn  B.

Phương pháp giải:

Điểm \(M\left( {x;\,\,y} \right)\) thuộc đường phân giác của góc tạo bởi \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\)\( \Leftrightarrow d\left( {M;{\Delta _1}} \right) = d\left( {M;{\Delta _2}} \right)\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(d\left( {M;{\Delta _1}} \right) = d\left( {M;{\Delta _2}} \right) \Leftrightarrow \frac{{\left| {x + 2y - 3} \right|}}{{\sqrt 5 }} = \frac{{\left| {2x - y + 3} \right|}}{{\sqrt 5 }}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 2y - 3 = 2x - y + 3\\x + 2y - 3 =  - 2x + y - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - x + 3y - 6 = 0\\3x + y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 3y + 6 = 0\\3x + y = 0\end{array} \right.\)

Chọn  C.

Phương pháp giải:

Điểm \(M\left( {x;\,\,y} \right)\) thuộc đường phân giác của góc tạo bởi \({\Delta _1}\) và \(Ox\)\( \Leftrightarrow d\left( {M;\,\,{\Delta _1}} \right) = d\left( {M;\,\,Ox} \right)\)

Lời giải chi tiết:

Điểm \(M\left( {x;\,\,y} \right)\) thuộc đường phân giác của góc tạo bởi \(\Delta \) và \(Ox\)

Ta có: \(d\left( {M;\,\,\Delta } \right) = d\left( {M;\,\,Ox} \right) \Leftrightarrow \frac{{\left| {x + y} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\left| y \right|}}{{\left| 1 \right|}} \Leftrightarrow \left| {x + y} \right| = \sqrt 2 \left| y \right|\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + y = \sqrt 2 y\\x + y =  - \sqrt 2 y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \left( {1 - \sqrt 2 } \right)y = 0\\x + \left( {1 + \sqrt 2 } \right)y = 0\end{array} \right.\)

Chọn  D.

Phương pháp giải:

\(M = {d_1} \cap {d_2}\)\( \Rightarrow \) Giải hệ phương trình để xác định tọa độ của điểm \(M.\)

Lời giải chi tiết:

Tọa độ giao điểm \(M\) của \({d_1}\) và \({d_2}\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}2x - y + 8 = 0\\x = 1 - 2t\\y = 4 - t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2.\left( {1 - 2t} \right) - \left( {4 - t} \right) + 8 = 0\\x = 1 - 2t\\y = 4 - t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 - 4t - 4 + t + 8 = 0\\x = 1 - 2t\\y = 4 - t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3t + 6 = 0\\x = 1 - 2t\\y = 4 - t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 2\\x =  - 3\\y = 2\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow M\left( { - 3;\,\,2} \right).\)

Chọn  B

Phương pháp giải:

+ Viết phương trình đường thẳng \(AB\).

+ Xác định tọa độ giao điểm của \(AB\) và \(d\).

Lời giải chi tiết:

+) Giả sử \(AB \cap d = H\)

+) \(A\left( { - 2;\,\,0} \right),\,\,B\left( {1;\,\,4} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \left( {3;\,\,4} \right)\), Phương trình đường thẳng \(AB\) đi qua \(A\left( { - 2;\,\,0} \right)\) nhận \({\vec n_{AB}} = \left( {4;\, - \,3} \right)\) làm VTPT là:

\(4.\left( {x + 2} \right) - 3.\left( {y - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x + 8 - 3y - 0 = 0 \Leftrightarrow 4x - 3y + 8 = 0\)

+) Tọa độ của điểm \(H\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}4x - 3y + 8 = 0\\x =  - t\\y = 2 - t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4t - 3.\left( {2 - t} \right) + 8 = 0\\x =  - t\\y = 2 - t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4t - 6 + 3t + 8 = 0\\x =  - t\\y = 2 - t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 2\\x =  - 2\\y = 0\end{array} \right. \Rightarrow H\left( { - 2;\,\,0} \right)\)

Chọn  B

Phương pháp giải:

Đường thẳng \(ax + by + c = 0\) không đi qua điểm \(A\left( {{x_A};\,\,{y_B}} \right)\) khi và chỉ khi \(a{x_A} + b{y_A} + c \ne 0\).

Lời giải chi tiết:

Vì \(12.1 - 7.1 + 5 = 10 \ne 0 \Rightarrow M\left( {1;\,\,1} \right)\) không thuộc đường thẳng \(12x - 7y + 5 = 0\).

Chọn A 

Phương pháp giải:

Xét hai đường thẳng: \({d_1}:\,\,\,ax + by + c = 0\) và \({d_2}:\,\,a'x + b'y + c' = 0\) ta có:

+) \({d_1} \bot {d_2} \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}}  = 0.\)

+) \({d_1}//{d_2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_1}}  = k\overrightarrow {{n_2}} \\c \ne c'\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{a}{{a'}} = \frac{b}{{b'}} \ne \frac{c}{{c'}}.\)

+) \({d_1}\) cắt \({d_2} \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_1}} \) không cùng phương với \(\overrightarrow {{n_2}}  \Leftrightarrow \frac{a}{{a'}} \ne \frac{b}{{b'}}.\)

+) \({d_1}\) trùng với \({d_2} \Leftrightarrow \frac{a}{{a'}} = \frac{b}{{b'}} = \frac{c}{{c'}}.\)

Lời giải chi tiết:

Xét hai đường thẳng \({d_1}:\,\,2x + y + 15 = 0\) và \({d_2}:\,\,x - 2y - 3 = 0\) ta có: \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {2;\,\,1} \right),\,\,\,\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {1; - 2} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}}  = 2.1 + 1.\left( { - 2} \right) = 0\\ \Rightarrow {d_1} \bot {d_2}.\end{array}\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Véctơ chỉ phương của đường thẳng là vectơ có giá song song hoặc trùng với đường thẳng đó.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\overrightarrow {A'B'} \parallel \overrightarrow {AB}  \Rightarrow \overrightarrow {A'B'} \) là 1 véctơ chỉ phương của đường thẳng \(AB\).

Chọn D.