Lời giải chi tiết:

PTĐT (d) được viết dưới dạng:\( y – 2 = k ( x-1) \Leftrightarrow  kx – y +2 – k = 0\)

Vì (d) hợp với (∆) một góc 45⁰ nên:\(\text{cos 4}{{\text{5}}^{0}}=\frac{|3k+(-1).(-2)|}{\sqrt{{{k}^{2}}+1}.\sqrt{{{3}^{2}}+{{(-2)}^{2}}}}\Leftrightarrow \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{|3k+2|}{\sqrt{13}.\sqrt{{{k}^{2}}+1}}\Leftrightarrow \frac{2}{4}=\frac{9{{k}^{2}}+12k+4}{13.({{k}^{2}}+1)}\)

\(\Leftrightarrow 5{{k}^{2}}+24k-5=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& k=\frac{1}{5} \\  & k=-5 \\ \end{align} \right.\)

Vậy phương trình (d) là: \(\frac{1}{5}x-y+2-\frac{1}{5}=0\Leftrightarrow x-5y+9=0\)

 hay \(-5x-y+2-(-5)=0\Leftrightarrow 5x+y-7=0\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

+) Tham số hóa tọa độ điểm A.

+) B, D thuộc Ox nên A và C đối xứng nhau qua Ox. Từ đó suy ra tọa độ điểm C.

+) Xác định tâm của hình vuông ABCD là trung điểm của AC.

+) Gọi B(a;0), suy ra tọa độ điểm D và sử dụng tính chất \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}  = 0 \Rightarrow \) giá trị của a.

+) Tính diện tích hình vuông ABCD = \(A{B^2}\)

Lời giải chi tiết:

\(A \in {d_1} \Rightarrow A\left( {t;t} \right)\). Vì B, D thuộc trục Ox nên A và C đối xứng nhau qua Ox \( \Rightarrow C\left( {t; - t} \right)\). Mà \(C \in {d_2} \Rightarrow 2t - t - 1 = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow A\left( {1;1} \right),C\left( {1; - 1} \right)\)

Gọi I là tâm hình vuông ABCD \( \Rightarrow I\) là trung điểm của AC \( \Rightarrow I\left( {1;0} \right)\)

Gọi \(B\left( {a;0} \right) \in Ox\), I là trung điểm của BD \( \Rightarrow D\left( {2 - a;0} \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \left( {a - 1; - 1} \right);\overrightarrow {AD}  = \left( {1 - a; - 1} \right)\)

Vì ABCD là hình vuông nên \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}  = 0 \Leftrightarrow \left( {a - 1} \right)\left( {1 - a} \right) + 1 = 0 \Leftrightarrow  - {a^2} + 2a - 1 + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\\a = 2\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}+ )\,\,a = 0 \Rightarrow B\left( {0;0} \right);D\left( {2;0} \right) \Rightarrow AB = \sqrt 2  \Rightarrow {S_{ABCD}} = {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} = 2\\+ )\,\,a = 2 \Rightarrow B\left( {2;0} \right);D\left( {0;0} \right) \Rightarrow AB = \sqrt 2  \Rightarrow {S_{ABCD}} = {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} = 2\end{array}\)

Vậy \({S_{ABCD}} = 2\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

+) \(AB \bot AD \Rightarrow \) tìm b.

+) Tính \(AD = d\left( {I;\left( {CD} \right)} \right)\) với \(I \in AB\)

+) Lấy điểm A bất kì thuộc AB suy ra giá trị của c.

+) Tham số hóa tọa độ điểm B, tính AB và cho AB = AD tìm tọa độ điểm B.

+) \(B \in BC \Rightarrow \) thay tọa độ điểm B vừa tìm được vào phương trình BC tìm c’.

Lời giải chi tiết:

\({\overrightarrow n _{AB}} = \left( {2;3} \right);{\overrightarrow n _{AD}} = \left( {12;b} \right) \Rightarrow 12.2 + 3.b = 0 \Leftrightarrow b =  - 8 \Rightarrow \left( {AD} \right):12x - 8y + c = 0,\left( {BC} \right):12x - 8y + c' = 0\)

Lấy điểm \(I\left( {0;1} \right) \in AB \Rightarrow d\left( {I;CD} \right) = \frac{{\left| {2.0 + 3.1 + 10} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2}} }} = \sqrt {13}  = AD\)

Lấy \(A\left( {0;1} \right) \in AB \Rightarrow A \in AD \Rightarrow 12.0 - 8.1 + c = 0 \Rightarrow c = 8\)

Lấy \(B\left( {b;\frac{{3 - 2b}}{3}} \right) \in AB \Rightarrow A{B^2} = {\left( {b - 0} \right)^2} + {\left( {\frac{{3 - 2b}}{3} - 1} \right)^2} = 13 \Leftrightarrow {b^2} + \frac{{4{b^2}}}{9} = 13 \Leftrightarrow {b^2} = 9 \Leftrightarrow b =  \pm 3\)

\(\begin{array}{l}b = 3 \Rightarrow B\left( {3; - 1} \right) \Rightarrow B \in BC \Rightarrow 12.3 - 8\left( { - 1} \right) + c' = 0 \Leftrightarrow c' =  - 44 \Leftrightarrow \left| {c - c'} \right| = \left| {8 + 44} \right| = 52\\b =  - 3 \Rightarrow B\left( { - 3;3} \right) \Rightarrow B \in BC \Rightarrow 12.\left( { - 3} \right) - 8.3 + c' = 0 \Leftrightarrow c' = 60 \Leftrightarrow \left| {c - c'} \right| = \left| {8 - 60} \right| = 52\end{array}\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Gọi VTPT của AB là \(\overrightarrow {{n_{AB}}}  = \left( {a,b} \right)\,\,\left( {{a^2} + {b^2} > 0} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_{BC}}}  = \left( {b; - a} \right)\). Khi đó cạnh của hình vuông bằng \(d\left( {P;AB} \right) = d\left( {Q;BC} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Gọi VTPT của AB là \(\overrightarrow {{n_{AB}}}  = \left( {a,b} \right)\,\,\left( {{a^2} + {b^2} > 0} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_{BC}}}  = \left( {b; - a} \right)\).

Phương trình đường thẳng AB là \(a\left( {x - 10} \right) + b\left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow ax + by - 10a - 3b = 0\)

\(d\left( {AB;CD} \right) = d\left( {P;AB} \right) = \frac{{\left| { - 3a + 4b - 10a - 3b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \frac{{\left| { - 13a + b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

Phương trình đường thẳng BC : \( - b\left( {x - 7} \right) + a\left( {y + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow  - bx + ay + 7b + 2a = 0\)

\(d\left( {AD;BC} \right) = d\left( {Q;BC} \right) = \frac{{\left| { - 4b - 7a + 7b + 2a} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \frac{{\left| { - 5a + 3b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

Vì ABCD là hình vuông nên

\(\begin{array}{l}d\left( {AB;CD} \right) = d\left( {AD;BC} \right) \Rightarrow \frac{{\left| { - 13a + b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \frac{{\left| { - 5a + 3b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}- 13a + b =  - 5a + 3b\\ - 13a + b = 5a - 3b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}8a =  - 2b\\18a = 4b\end{array} \right.\end{array}\)

TH1 : \(8a =  - 2b.\) Chọn \(a = 1 \Rightarrow b =  - 4 \Rightarrow pt\left( {AB} \right):x - 4y + 2 = 0\)

TH2 : \(18a = 4b.\)  Chọn \(a = 2 \Rightarrow b = 9 \Rightarrow pt\left( {AB} \right):2x + 9y - 47 = 0\)

Chọn C.  

Phương pháp giải:

+) Tìm tọa độ điểm I.

+) M là trung điểm của AD \( \Rightarrow AB = 2IM\)

+) \({S_{ABCD}} = AB.BC \Rightarrow BC \Rightarrow MA = MD = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}BC\)

+) Viết phương trình đường thẳng AD đi qua M và nhận \(\overrightarrow {IM} \) là 1 VTPT.

+) Lập hệ phương trình tìm tọa độ điểm A. 

Lời giải chi tiết:

I có hoành độ \({x_1} = \frac{9}{2}\) và \(I \in \left( d \right):x - y - 3 = 0 \Rightarrow I\left( {\frac{9}{2};\frac{3}{2}} \right)\)

M là trung điểm của AD là giao điểm của d và Ox \( \Rightarrow M\left( {3;0} \right)\).

\(\begin{array}{l}AB = 2IM = 2\sqrt {{{\left( {3 - \frac{9}{2}} \right)}^2} + {{\left( {0 - \frac{3}{2}} \right)}^2}}  = 3\sqrt 2 \\{S_{ABCD}} = AB.BC = 12 \Leftrightarrow BC = \frac{{12}}{{AB}} = \frac{{12}}{{3\sqrt 2 }} = 2\sqrt 2  \Rightarrow MA = MD = \sqrt 2\end{array}\)

Đường thẳng AD đi qua M và nhận \(\overrightarrow {IM}  = \left( { - \frac{3}{2}; - \frac{3}{2}} \right) =  - \frac{3}{2}\left( {1;1} \right)\)  là 1 VTPT nên pt(AD) là \(1\left( {x - 3} \right) + 1\left( {y - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y - 3 = 0\)

Gọi \(A\left( {x;y} \right) \Rightarrow \) Tọa độ của A là nghiệm của hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}x + y - 3 = 0\\{\left( {3 - x} \right)^2} + {\left( {0 - y} \right)^2} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 3 - x\\2{\left( {3 - x} \right)^2} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 3 - x\\{\left( {3 - x} \right)^2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 3 - x\\\left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 4\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y =  - 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}A\left( {2;1} \right);D\left( {4; - 1} \right)\\A\left( {4; - 1} \right);D\left( {2;1} \right)\end{array} \right.\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

+) Đường trung trực của AB là đường thẳng đi qua trung điểm của AB và vuông góc với AB nên nhận \(k\overrightarrow {AB} \) là 1 VTPT.

+) Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) và có VTPT là \(\overrightarrow n \left( {a;b} \right)\,\,\left( {{a^2} + {b^2} > 0} \right)\) là: \(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) = 0\)

Lời giải chi tiết:

Gọi M là trung điểm của AB, ta có  \(\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = \frac{{1 + 1}}{2} = 1\\{y_M} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = \frac{{ - 4 + 2}}{2} =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {1; - 1} \right)\)

\(\overrightarrow {AB}  = \left( {0;6} \right) = 6\left( {0;1} \right) \Rightarrow \) Đường trung trực của AB đi qua M và nhận \(\overrightarrow n \left( {0;1} \right)\) là 1 VTPT nên có phương trình  \(0\left( {x - 1} \right) + 1\left( {y + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow y + 1 = 0\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

+) Gọi M’ là điểm đối xứng với M qua d thì  \(MM' \bot d\)

+) Gọi \(H = d \cap MM' \Rightarrow \) H là trung điểm của MM’.

+) Tìm tọa độ điểm M’:  \(\left\{ \begin{array}{l}{x_{M'}} = 2{x_H} - {x_M}\\{y_{M'}} = 2{y_H} - {y_M}\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

Gọi M’ là điểm đối xứng với M qua d, khi đó MM’ là đường thẳng qua M và vuông góc với d, khi đó MM’ có phương trình  \(1\left( {x - 1} \right) - 2\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 2y + 3 = 0\)

Gọi  tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y - 5 = 0\\x - 2y + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{7}{5}\\y = \frac{{11}}{5}\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {\frac{7}{5};\frac{{11}}{5}} \right)\)  và H là trung điểm của MM’.

Vậy tọa độ điểm M’ là: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_{M'}} = 2{x_H} - {x_M} = 2.\frac{7}{5} - 1 = \frac{9}{5}\\{y_{M'}} = 2{y_H} - {y_M} = 2.\frac{{11}}{5} - 2 = \frac{{12}}{5}\end{array} \right. \Rightarrow M'\left( {\frac{9}{5};\frac{{12}}{5}} \right)\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

+) Đường trung trực của BC là đường thẳng đi qua M và vuông góc với NP.

+) Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) và có VTPT là \(\overrightarrow n \left( {a;b} \right)\,\,\left( {{a^2} + {b^2} > 0} \right)\) là: \(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) = 0\)

Lời giải chi tiết:

Goi d là đường trung trực của BC.

NP là đường trung bình của tam giác ABC  \( \Rightarrow NP//BC \Rightarrow d \bot NP\)

Ta có \(\overrightarrow {NP}  = \left( {2; - 3} \right) \Rightarrow \) Đường thẳng d đi qua M và nhận \(\overrightarrow {NP}  = \left( {2; - 3} \right)\) là 1 VTPT, khi đó phương trình tổng quát của đường thẳng d là: \(2\left( {x - 2} \right) - 3\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x - 3y + 2 = 0\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Giả sử đường thẳng d cắt Ox tại A(a;0), cắt Oy tại điểm B(0;b) thì phương trình đoạn chắn của AB là\(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\)

Giả sử đường thẳng d cắt Ox tại , cắt Oy tại điểm  thì phương trình đoạn chắn của AB là  

Lời giải chi tiết:

Giả sử đường thẳng d cắt tia Ox tại A(a;0), cắt tia Oy tại điểm \(B\left( {0;b} \right)\,\,\,\left( {a,b > 0} \right) \Rightarrow \Delta OAB\) vuông cân tại O  \( \Rightarrow OA = OB \Rightarrow a = b\)

Khi đó đường thẳng d có phương trình \(\frac{x}{a} + \frac{y}{a} = 1 \Leftrightarrow x + y - a = 0\), d đi qua M  \( \Rightarrow 1 + 2 - a = 0 \Leftrightarrow a = 3 \Rightarrow \left( d \right):x + y - 3 = 0\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Gọi đường thẳng cần tìm là d.

Gọi \(\overrightarrow u  = \left( {a;b} \right)\) là vector chỉ phương của đường thẳng d. \(\overrightarrow i  = \left( {1;0} \right)\) là VTCP của trục Ox.

\( \Rightarrow c{\rm{os}}\widehat {\left( {\overrightarrow n ;\overrightarrow i } \right)} = \frac{{\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow i } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow i } \right|}} = c{\rm{os6}}{{\rm{0}}^0}\)

Lời giải chi tiết:

Gọi \(\overrightarrow u  = \left( {a;b} \right)\,\left( {{a^2} + {b^2} > 0} \right)\) là vector chỉ phương của đường thẳng cần tìm.

\(\begin{array}{l} \Rightarrow c{\rm{os}}\widehat {\left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow i } \right)} = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow i } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow i } \right|}} = \frac{{\left| {a.1 + b.0} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} .\sqrt {{1^2} + {0^2}} }} = \frac{{\left| a \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = c{\rm{os6}}{{\rm{0}}^0} = \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow 2\left| a \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}}  \Leftrightarrow 4{a^2} = {a^2} + {b^2} \Leftrightarrow 3{a^2} = {b^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = a\sqrt 3 \\b =  - \sqrt 3 a\end{array} \right.\end{array}\)

TH1: \(b = \sqrt 3 a \Rightarrow \overrightarrow n  = \left( { - b;a} \right) = \left( { - \sqrt 3 a;a} \right) =  - a\left( {\sqrt 3 ; - 1} \right) \Rightarrow \) Đường thẳng d nhận \(\left( {\sqrt 3 ; - 1} \right)\) là 1 VTPT, do đó đường thẳng d có phương trình: \(\sqrt 3 \left( {x - 1} \right) - 1\left( {y - \sqrt 3 } \right) = 0 \Leftrightarrow \sqrt 3 x - y = 0\)

TH2: \(b =  - \sqrt 3 a \Rightarrow \overrightarrow n  = \left( { - b;a} \right) = \left( {\sqrt 3 a;a} \right) = a\left( {\sqrt 3 ;1} \right) \Rightarrow \) Đường thẳng d nhận \(\left( {\sqrt 3 ;1} \right)\) là 1 VTPT, do đó đường thẳng d có phương trình: \(\sqrt 3 \left( {x - 1} \right) + 1\left( {y - \sqrt 3 } \right) = 0 \Leftrightarrow \sqrt 3 x + y - 2\sqrt 3  = 0\)

Dựa vào các đáp án chỉ có đáp án C thỏa mãn.

Chọn C.

Lời giải chi tiết:

Giả sử \(M\left( {x;y} \right)\) thuộc phân giác của \(\widehat {\left( {{d_1};{d_2}} \right)} \Rightarrow d\left( {M;{d_1}} \right) = d\left( {M;{d_2}} \right)\)

\( \Rightarrow \frac{{\left| {3x + 4y + 1} \right|}}{5} = \frac{{\left| {y + 2} \right|}}{1} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x + 4y + 1 = 5y + 10\\3x + 4y + 1 =  - 5y - 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x - y - 9 = 0\\3x + 9y + 11 = 0\end{array} \right.\)

Chọn A.

Lời giải chi tiết:

M là trung điểm của BC \( \Rightarrow M\left( {4; - 1} \right)\)

\( \Rightarrow \) Phương trình AM : \(\frac{{x - 2}}{{4 - 2}} = \frac{{y - 1}}{{ - 1 - 1}} \Leftrightarrow  x+ y - 3 = 0\)

Chọn B.

Lời giải chi tiết:

\(\overrightarrow {{n_{AH}}}  = \overrightarrow {BC}  = \left( {2;8} \right)//{\overrightarrow n _{AH}} = \left( {1;4} \right)\)

AH đi qua \(A\left( {2;1} \right)\) có phương trình:

\(1\left( {x - 2} \right) + 4\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 4y - 6 = 0\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Ta có: \(CH \bot AB \Rightarrow \) lập được phương trình đường thẳng đi qua \(A\) và vuông góc với \(CH.\)

Khi đó tọa độ điểm \(B\) là nghiệm của hệ phương trình gồm phương trình đường thẳng \(BC\) và \(AB.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(CH \bot AB \Rightarrow \) lập được phương trình đường thẳng \(AB\)  đi qua \(A\) và vuông góc với \(CH\) là:

\(x - 1 + y + 2 = 0 \Leftrightarrow x + y + 1 = 0.\) 

\( \Rightarrow \left\{ B \right\} = AB \cap BC \Rightarrow \) tọa độ điểm \(B\) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y + 5 = 0\\x + y + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 4\\y = 3\end{array} \right..\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm trên đường thẳng này đến đường thẳng kia.

Cho đường thẳng \(\Delta :ax + by + c = 0\) và điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right) \Rightarrow {d_{\left( {{M_0};\Delta } \right)}} = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}.\) 

Lời giải chi tiết:

\({\Delta _1}:\;\;3x + 4y = 12 \Leftrightarrow 3x + 4y - 12 = 0.\)

Xét phương trình đường thẳng \({\Delta _1},\;{\Delta _2}\) ta có: \(\frac{3}{6} = \frac{4}{8} \ne  - \frac{{12}}{{11}} \Rightarrow {\Delta _1}//{\Delta _2}.\)

Chọn \(A\left( {0;3} \right) \in {\Delta _1}.\) Khi đó ta có:

\( \Rightarrow d\left( {{\Delta _1};{\Delta _2}} \right) = d\left( {A;{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {24 - 11} \right|}}{{\sqrt {{6^2} + {8^2}} }} = \frac{{13}}{{10}} = 1,3.\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

+) Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB.

+) Đường trung trực của đoạn thẳng AB đi qua điểm I và nhận \(\overrightarrow {AB} \) là VTPT.

Lời giải chi tiết:

Gọi I  là trung điểm của AB \( \Rightarrow I\left( {2; - 4} \right)\)

d là đường trung trực của đoạn thẳng AB \( \Rightarrow \) d đi qua I và nhận \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 2;4} \right)\) làm VTPT

\( \Rightarrow \)Phương trình tổng quát của d là:

\( - 2\left( {x - 2} \right) + 4\left( {y + 4} \right) = 0 \Leftrightarrow  - 2x + 4y + 20 = 0 \Leftrightarrow  - x + 2y + 10 = 0\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Viết phương trình đường thẳng AB. Gọi \(M\left( {m;0} \right) \in Ox\)

Cho đường thẳng \(\Delta :ax + by + c = 0\) và điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right) \Rightarrow d\left( {{M_0};\Delta } \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}.\) 

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 3;4} \right) \Rightarrow \overrightarrow n  = \left( {4;3} \right)\) là 1 VTPT của AB; \(B\left( {0;3} \right) \in \left( {AB} \right)\)

\( \Rightarrow \) Phương trình \(\left( {AB} \right):4x + 3\left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x + 3y - 9 = 0\) 

Gọi \(M\left( {m;0} \right) \in Ox\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow d\left( {M;AB} \right) = \frac{{\left| {4m + 3.0 - 9} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} \Leftrightarrow \frac{{\left| {4m - 9} \right|}}{5} = 1 \Leftrightarrow \left| {4m - 9} \right| = 5\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4m - 9 = 5\\4m - 9 =  - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \frac{7}{2} \Rightarrow M\left( {\frac{7}{2};0} \right)\\m = 1 \Rightarrow M\left( {1;0} \right)\end{array} \right.\end{array}\) 

Chọn A.

Phương pháp giải:

Cách 1: Đường thẳng \(ax + by + c = 0\) song song với đường thẳng \(a'x + b'y + c' = 0 \Leftrightarrow \frac{a}{{a'}} = \frac{b}{{b'}} \ne \frac{c}{{c'}}.\)

Cách 2: Đường thẳng \(d:\;\;ax + by + c = 0\) có VTPT là \(\overrightarrow n  = \left( {a;\;b} \right).\) Đường thẳng \(d'//d \Leftrightarrow d'\) nhận vecto \(\overrightarrow n  = \left( {a;\;b} \right)\) hoặc \(\overrightarrow {n'}  = k\left( {a;\;b} \right)\)  làm VTPT.

Lời giải chi tiết:

Cách 1: Ta có: \(\frac{1}{{ - 2}} = \frac{{ - 2}}{4} \ne \frac{{ - 1}}{{ - 1}}\)

Vậy đường thẳng \(x - 2y - 1 = 0\) song song với đường thẳng \( - 2x + 4y - 1 = 0.\)

Cách 2: Ta có: \(d:\;x - 2y - 1 = 0\) nhận \(\overrightarrow n  = \left( {1; - 2} \right)\) làm VTPT.

Trong các đáp án, chỉ có đáp án D có đường thẳng \(d'\) có VTPT \(\overrightarrow {n'}  = \left( { - 2;\;4} \right) =  - 2\left( {1; - 2} \right)\) song song với đường thẳng \(d.\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Đường thẳng \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\end{array} \right.\) nhận \(\overrightarrow u  = \left( {a,b} \right)\) làm VTCP thì nhận vecto \(\overrightarrow n  = \left( {b; - a} \right) = \left( { - b;\;a} \right)\) làm VTPT.

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng \(d\,:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 - t\\y =  - 1 + 2t\end{array} \right.\) nhận \(\overrightarrow u  = \left( { - 1;2} \right)\) làm VTCP

\( \Rightarrow \overrightarrow n  = \left( { - 2; - 1} \right)\) là 1 VTPT của \(d\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Đường thẳng \(ax + by + c = 0\) nhận \(\overrightarrow n  = \left( {a;b} \right)\) là một VTPT.

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng \(d\,:\,\,2x + 3y - 4 = 0\) nhận \(\overrightarrow n  = \left( {2;3} \right)\) là một VTPT

\( \Rightarrow \overrightarrow {{n_2}}  = \left( { - 4; - 6} \right) =  - 2\overrightarrow n \) cũng là 1 VTPT của d

Chọn B.

Phương pháp giải:

Góc giữa hai đường thẳng bằng góc giữa 2 VTPT (VTCP) của 2 đường thẳng đó

\(\cos \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow a .\overrightarrow b } \right|}}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({\Delta _1}\) nhận \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {2;1} \right)\) là một VTPT.

\({\Delta _2}\) nhận \(\overrightarrow u  = \left( {1; - 1} \right)\) là một VTCP \( \Rightarrow \overrightarrow {{n_2}}  = \left( {1;\;1} \right)\) là 1 VTPT của \({\Delta _2}\)

\( \Rightarrow \cos \left( {{\Delta _1};{\Delta _2}} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ;\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {2.1 + 1.1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt 5 .\sqrt 2 }} = \frac{3}{{\sqrt {10} }} = \frac{{3\sqrt {10} }}{{10}}\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Phương trình đường thẳng \(AB\) đi qua \(A\) và nhận \(\overrightarrow {AB} \) làm VTCP.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {6;\, - 4} \right) = 2\left( {3; - 2} \right)\) 

\( \Rightarrow \) Phương trình tham số của \(AB:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 + 3t\\y = 3 - 2t\end{array} \right..\)

Với \(t = 1 \Rightarrow AB\) đi qua điểm:\(C\left( {1;\,1} \right) \Rightarrow AB:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = 1 - 2t\end{array} \right..\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) có VTCP \(\overrightarrow u  = \left( {a;b} \right)\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng đi qua \(A( - 2;3)\) và có VTCP \(\overrightarrow u  = \left( {2; - 3} \right)\)có phương trình tham số là: \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 + 2t\\y = 3 - 3t\end{array} \right.\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Phương trình tổng quát của đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) có VTPT \(\overrightarrow n  = \left( {a;b} \right)\) là: \(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) = 0\)

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng đi qua\(M(1; - 2)\)và có véctơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = (4; - 3)\)có phương trình tổng quát là:

\(4\left( {x - 1} \right) - 3\left( {y + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x - 3y - 10 = 0\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Xác định VTPT của \(\Delta \) để viết phương trình.

Lời giải chi tiết:

d có 1 VTPT là \(\overrightarrow n  = \left( {8; - 6} \right) = 2\left( {4; - 3} \right).\)

Ta có: \(\Delta  \bot d \Rightarrow \) \(\Delta \) nhận \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {3;4} \right)\) làm VTPT, \(O\left( {0;0} \right) \in \Delta \)

Phương trình \(\Delta :3x + 4y = 0\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Đường thẳng \(ax + by + c = 0\) và đường thẳng \(a'x + b'y + c' = 0\) cắt nhau \( \Leftrightarrow \frac{a}{{a'}} \ne \frac{b}{{b'}}\) 

Lời giải chi tiết:

Hai đường thẳng \({d_1}:mx + y = m - 5\,\,,\,\,\,{d_2}:x + my = 9\) cắt nhau

\( \Leftrightarrow \frac{m}{1} \ne \frac{1}{m} \Leftrightarrow {m^2} \ne 1 \Leftrightarrow m \ne  \pm 1\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Đường thẳng \(ax + by + c = 0\) nhận \(\overrightarrow n  = \left( {a;\,b} \right)\) làm VTPT

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng \(d:x + 2y - 1 = 0\) nhận \(\overrightarrow u  = \left( {1;\,2} \right)\) làm VTPT

\( \Rightarrow \overrightarrow u  = \left( {1;\,2} \right)\) không là VTCP của \(d.\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Đường thẳng \(d//d'\) thì \(d\) và \(d'\) có cùng VTCP.

Phương trình tham số của đường thẳng đi qua \(M\left( {{x_0};\,\,{y_0}} \right)\) và có VTCP \(\overrightarrow u  = \left( {a;\,b} \right)\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

Trục \(Ox:\,\,y = 0\) có VTCP \(\overrightarrow u  = \left( {1;\,\,0} \right)\)

Đường thẳng \(d\)  cần tìm song song với \(Ox \Rightarrow d\) có VTCP \(\overrightarrow u  = \left( {1;\,\,\,0} \right).\)

Đường thẳng \(d\) đi qua \(M\left( {2; - 3} \right)\) và song song với trục \(Ox\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y =  - 3\end{array} \right..\)

Chọn  D.

Phương pháp giải:

Phương trình đường thẳng đi qua điểm \(M\left( {{x_0};\,{y_0}} \right)\) và có hệ số góc \(k\) có phương trình: \(y = k\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}.\)

Lời giải chi tiết:

Phương trình đường thẳng đi qua điểm \(N\left( {\sqrt 3 ;\,2} \right)\) và có hệ số góc \(k = \sqrt 3 \) có phương trình:

\(y = \sqrt 3 \left( {x - \sqrt 3 } \right) + 2 = \sqrt 3 x - 3 + 2 = \sqrt 3 x - 1.\)

Chọn  D.

Phương pháp giải:

Phương trình \(ax + by + c = 0\) là phương trình của đường thẳng  \( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} > 0.\)

Lời giải chi tiết:

Phương trình đã cho là phương trình của một đường thẳng \( \Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^2} + {\left( {m - 3} \right)^2} > 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 1 + {m^2} - 6m + 9 > 0\\ \Leftrightarrow 2{m^2} - 8m + 10 > 0\\ \Leftrightarrow 2\left( {{m^2} - 4m} \right) + 10 > 0\\ \Leftrightarrow 2{\left( {m - 2} \right)^2} - 8 + 10 > 0\\ \Leftrightarrow 2{\left( {m - 2} \right)^2} + 2 > 0\,\,\forall m.\end{array}\)

Vậy với mọi \(m \in \mathbb{R}\) thỏa mãn bài toán.

Chọn  A.

Phương pháp giải:

Đường thẳng \(\Delta //d \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_\Delta }}  = \overrightarrow {{n_d}} \\\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \overrightarrow {{u_d}} \end{array} \right..\)

Đường thẳng \(\Delta \) nhận vecto \(\overrightarrow n  = \left( {a;\,\,b} \right)\) làm VTPT thì nhận các vecto \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( { - b;\,\,a} \right)\) hoặc \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {b; - a} \right)\) làm VTCP.

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng \(d\) có VTCP là: \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( { - 2;\,\,3} \right).\)

Vì \(\Delta //d \Rightarrow \overrightarrow {{u_\Delta }}  = \overrightarrow {{u_d}}  = \left( { - 2;\,\,3} \right)\)

\( \Rightarrow \Delta \) nhận vetco \(\overrightarrow n  = \left( {3;\,\,2} \right)\) làm 1 VTPT.

\( \Rightarrow \Delta :\,\,3\left( {x - 4} \right) + 2\left( {y + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + 2y - 6 = 0.\)

Chọn  C.

Phương pháp giải:

Phương trình đường thẳng d có hệ số góc là k có dạng \(y = kx + b\)

Đường thẳng \(ax + by + c = 0\) nhận vecto\(\overrightarrow n  = \left( {a;\,\,b} \right)\) làm VTPT, nhận vecto \(\overrightarrow u  = \left( { - a;\,\,b} \right) = \left( {a; - b} \right)\) làm VTCP và song song với đường thẳng có phương trình \(ax + by + d = 0\,\,\,\left( {d \ne c} \right).\)

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng \(d:\,\,x + 5y - 2019 = 0\) nhận vecto \(\overrightarrow n  = \left( {1;\,\,5} \right)\) làm VTPT và nhận các vecto \(\overrightarrow u  = \left( { - 5;\,\,1} \right) = \left( {5; - 1} \right)\) làm VTCP

\( \Rightarrow \) Đáp án A và B đúng.

Ta có: \(d:x + 5y - 2019 = 0 \Leftrightarrow y =  - \frac{1}{5}x + \frac{{2019}}{5}\) có hệ số góc là \(k =  - \frac{1}{5}\)

\( \Rightarrow \) Đáp án C sai.

Chọn C.

Phương pháp giải:

Hệ số góc của đường thẳng là tan góc tạo bởi đường thẳng và chiều dương trục \(Ox\)

Lời giải chi tiết:

Ta có đường thẳng \(\sqrt 3 x - y + 1 = 0 \Leftrightarrow y = \sqrt 3 x + 1\) có hệ số góc \(k = \sqrt 3  = \tan \alpha  \Rightarrow \alpha  = {60^o}\)

Góc tạo bởi 2 đường thẳng là góc nhọn nên góc cần tìm là \({60^o}\) 

Chọn C.

Phương pháp giải:

Cho hai đường thẳng có phương trình tổng quát như sau: \(\left\{ \begin{array}{l}{d_1}:\,\,{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0\,\,\,\left( {{a_1}^2 + {b_1}^2 \ne 0} \right)\\{d_2}:\,\,{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0\,\,\,\left( {{a_2}^2 + {b_2}^2 \ne 0} \right)\end{array} \right.\)

 \({d_1} \equiv {d_2} \Leftrightarrow \frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \frac{{{b_1}}}{{{b_2}}} = \frac{{{c_1}}}{{{c_2}}}.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({d_1} \equiv {d_2} \Leftrightarrow \frac{{2m - 1}}{3} = \frac{{{m^2}}}{4} = \frac{{10}}{{10}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m - 1 = 3\\{m^2} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 2\\m =  \pm 2\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 2.\) 

Chọn  C.

Phương pháp giải:

Cho hai đường thẳng có phương trình tổng quát như sau: \(\left\{ \begin{array}{l}{d_1}:\,\,{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0\,\,\,\left( {{a_1}^2 + {b_1}^2 \ne 0} \right)\\{d_2}:\,\,{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0\,\,\,\left( {{a_2}^2 + {b_2}^2 \ne 0} \right)\end{array} \right.\)

 \({d_1}//{d_2} \Leftrightarrow \frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \frac{{{b_1}}}{{{b_2}}} \ne \frac{{{c_1}}}{{{c_2}}}.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({d_1}//{d_2} \Leftrightarrow \frac{m}{2} = \frac{{m - 1}}{1} \ne \frac{{2m}}{{ - 1}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 2m - 2\\ - m \ne 4m\\ - m + 1 \ne 2m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 2\\m \ne 0\\m \ne \frac{1}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 2.\)

Chọn  A.

Phương pháp giải:

Cho hai đường thẳng có phương trình tổng quát như sau: \(\left\{ \begin{array}{l}{d_1}:\,\,{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0\,\,\,\left( {{a_1}^2 + {b_1}^2 \ne 0} \right)\\{d_2}:\,\,{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0\,\,\,\left( {{a_2}^2 + {b_2}^2 \ne 0} \right)\end{array} \right.\)

 \({d_1} \cap {d_2} = \left\{ M \right\} \Leftrightarrow \frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} \ne \frac{{{b_1}}}{{{b_2}}}.\)

Lời giải chi tiết:

+) Với \(m = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\Delta _1}:\,\,\,2x + 10 = 0\\{\Delta _2}:\,\,4y + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 5\\y =  - \frac{1}{4}\end{array} \right. \Rightarrow {\Delta _1}\) cắt \({\Delta _2}\) tại điểm \(M\left( { - 5; - \frac{1}{4}} \right).\)

+) Với \(m \ne 0\) ta có: \({\Delta _1}\) cắt \({\Delta _2} \Leftrightarrow \frac{2}{m} \ne \frac{{ - 3m}}{4} \Leftrightarrow 8 \ne  - 3{m^2} \Leftrightarrow {m^2} \ne  - \frac{8}{3} \Rightarrow \forall m \in \mathbb{R}\) thỏa mãn.

Chọn  D.

Phương pháp giải:

Đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) có VTPT lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} ,\,\,\overrightarrow {{n_2}} .\) Khi đó \({d_1} \bot {d_2} \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_1}}  \bot \overrightarrow {{n_2}}  \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}}  = 0.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \({d_1}\) có VTPT là: \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {2;\, - 3} \right)\) 

Đường thẳng \({d_2}\) có VTCP là \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( { - 3; - 4m} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_2}}  = \left( {4m; - 3} \right)\) là VTPT của \({d_2}.\)

\( \Rightarrow {d_1} \bot {d_2} \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_1}}  \bot \overrightarrow {{n_2}}  \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}}  = 0 \Leftrightarrow 2.4m - 3.\left( { - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow m =- \frac{9}{8}.\)

Chọn  C.

Phương pháp giải:

+) Ta có: \(M \in Oy \Rightarrow M\left( {0;\,\,{y_M}} \right).\)

+) Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm \(A\left( {{x_A};\,\,{y_A}} \right),\,\,\,B\left( {{x_B};\,\,{y_B}} \right)\) là: \(AB:\,\,\,\frac{{x - {x_A}}}{{{x_B} - {x_A}}} = \frac{{y - {y_A}}}{{{y_B} - {y_A}}}.\)

+) Công thức tính diện tích \(\Delta MAB\) là: \(S = \frac{1}{2}d\left( {M;\,\,AB} \right).AB.\)

 +) Sử dụng công thức tính khoảng cách từ điểm \(M\left( {{x_0};\,\,{y_0}} \right)\) đến đường thẳng \(d:\,\,ax + by + c = 0\) là:

\(d\left( {M;\,\,d} \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 3; - 4} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}}  = 5.\)

Phương trình đường thẳng đi qua \(A\left( {3;\,\,0} \right)\) và\(B\left( {0; - 4} \right)\) là:

\(AB:\,\,\,\frac{{x - 3}}{{0 - 3}} = \frac{{y - 0}}{{ - 4 - 0}} \Leftrightarrow 4\left( {x - 3} \right) = 3y \Leftrightarrow 4x - 3y - 12 = 0.\)

Ta có \(M \in Oy \Rightarrow M\left( {0;\,\,\,{y_M}} \right).\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {S_{\Delta MAB}} = \frac{1}{2}d\left( {M;\,\,AB} \right).AB = 6\\ \Leftrightarrow \frac{{\left| {4.0 - 3{y_M} - 12} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }}.5 = 12 \Leftrightarrow \left| {3{y_M} + 12} \right| = 12\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3{y_M} + 12 = 12\\3{y_M} + 12 =  - 12\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{y_M} = 0 \Rightarrow M\left( {0;\,\,0} \right)\,\,\,\\{y_M} =  - 8 \Rightarrow M\left( {0; - 8} \right)\,\,\,\end{array} \right.\end{array}\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành \( \Leftrightarrow \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC} .\)

Cho \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {{a_1};\,\,{b_1}} \right)\) và \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {{a_2};\,\,{b_2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{u_1}}  = \overrightarrow {{u_2}}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_1} = {a_2}\\{b_1} = {b_2}\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

Gọi \(D\left( {a;\,\,b} \right).\)  Tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành \( \Leftrightarrow \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC} \)

\( \Leftrightarrow \left( {4;\,\,5} \right) = \left( {6 - a;\,\,2 - b} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6 - a = 4\\2 - b = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b =  - 3\end{array} \right. \Rightarrow D\left( {2; - 3} \right).\)

Chọn  C.

Phương pháp giải:

Điểm \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3{x_G} = {x_A} + {x_B} + {x_C}\\3{y_G} = {y_A} + {y_B} + {y_C}\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

Gọi \(M\left( {a;\,\,b} \right)\) là điểm cần tìm. Khi đó \(C\left( {3;\,\,3} \right)\) là trọng tâm \(\Delta ABM\) ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = 3{x_C} - {x_A} - {x_B}\\{y_M} = 3{y_C} - {y_A} - {y_B}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3.3 - 1 + 2 = 10\\b = 3.3 - 5 - 4 = 0\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {10;\,\,0} \right).\) 

Chọn  C.

Phương pháp giải:

Tham số hóa điểm \(A\) theo đường thẳng \({d_1}\) và dựa vào trung điểm \(M\) của \(AB\) để giải ra \(A\)

Lời giải chi tiết:

\(A \in {d_1} \Rightarrow A\left( {t;t + 5} \right)\)

Gọi \(M\) là trung điểm \(AB\)

\( \Rightarrow M:\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{t + 2}}{2}\\y = \frac{{t + 5}}{2}\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {\frac{{t + 2}}{2};\frac{{t + 5}}{2}} \right)\)

Do \(M \in {d_2} \Rightarrow 2.\frac{{t + 2}}{2} + \frac{{t + 5}}{2} = 0 \Leftrightarrow 3t + 9 = 0 \Rightarrow t =  - 3\)

\( \Rightarrow A\left( { - 3;2} \right)\)

Chọn  C.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức đường phân giác giữa 2 đường thẳng \({d_1}:{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0;\,\,{d_2}:{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0\) là

\(\frac{{{a_1}x + {b_1}y + {c_1}}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2} }} =  \pm \frac{{{a_2}x + {b_2}y + {c_2}}}{{\sqrt {a_2^2 + b_2^2} }}\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  = \left( { - 1; - 2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_{AB}}}  = \left( {2; - 1} \right)\\ \Rightarrow AB:2x - y = 0\\\overrightarrow {AC}  = \left( { - 2;1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_{AC}}}  = \left( {1;2} \right)\\AC:\left( {x - 1} \right) + 2\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 2y - 5 = 0\end{array}\)

Phương trình đường phân giác góc \(A\):

\(\begin{array}{l}\frac{{2x - y}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} =  \pm \frac{{x + 2y - 5}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2}} }}\\ \Leftrightarrow 2x - y =  \pm \left( {x + 2y - 5} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - y = x + 2y - 5\\2x - y =  - x - 2y + 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 3y + 5 = 0\,\,\,\,\,\,\left( {{d_1}} \right)\\3x + y - 5 = 0\,\,\,\,\,\,\left( {{d_2}} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Xét phân giác \({d_1}:x - 3y + 5 = 0\)

+ Thay \(B\left( {0;0} \right)\) vào \({d_1}:0 - 0 + 5 > 0\)

+ Thay \(C\left( { - 1;3} \right)\)vào \({d_1}: - 1 - 3.3 + 5 =  - 5 < 0\)

\( \Rightarrow B,C\) khác phía với đường thẳng \({d_1}\)

\( \Rightarrow B,C\) là phân giác trong, \({d_2}:3x + y - 5 = 0\) là phân giác ngoài

Chọn  A.

Phương pháp giải:

Phương trình đường thẳng đi qua điểm \(M\left( {{x_0};\,{y_0}} \right)\) và có hệ số góc \(k\) có phương trình: \(y = k\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}.\)

Lời giải chi tiết:

\(CD:\left\{ \begin{array}{l}qua\,\,C\left( {5;0} \right)\\//AB \Rightarrow \overrightarrow {{u_{CD}}}  = \overrightarrow {AB}  = \left( { - 10;2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_{CD}}}  = \left( {1;5} \right)\end{array} \right. \Rightarrow CD:x + 5y - 5 = 0\)

Gọi \(I,\,J\) lần lượt là trung điểm của hai đường thẳng \(AB,\,CD \Rightarrow IJ \bot AB;\,IJ \bot CD\) (tính chất hình thang cân)

\( \Rightarrow I = \frac{{A + B}}{2} \Rightarrow I\left( {3;5} \right)\)

Đường thẳng \(IJ\left\{ \begin{array}{l}qua\,\,I\left( {3;5} \right)\\ \bot AB \Rightarrow \overrightarrow {{n_{IJ}}}  = \overrightarrow {AB}  = \left( { - 10;2} \right)//\left( { - 5;1} \right)\end{array} \right. \Rightarrow IJ: - 5x + y + 10 = 0\)

Ta có \(J = IJ \cap CD \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 5x + y + 10 = 0\\x + 5y - 5 = 0\end{array} \right. \Rightarrow J\left( {\frac{{55}}{{26}};\frac{{15}}{{26}}} \right)\)

Do \(J\) là trung điểm \(CD \Rightarrow J = \frac{{C + D}}{2} \Rightarrow D = 2J - C \Rightarrow D\left( {\frac{{ - 10}}{{13}};\frac{{15}}{{13}}} \right)\)

Chọn  D.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức góc giữa 2 đường thẳng \(\overrightarrow {{n_{{d_1}}}}  = \left( {{a_1};{b_1}} \right);\,\,\overrightarrow {{n_{{d_2}}}}  = \left( {{a_2};{b_2}} \right) \Rightarrow \cos \varphi  = \frac{{\left| {{a_1}.{a_2} + {b_1}.{b_2}} \right|}}{{\sqrt {{a_1}^2 + {b_1}^2} .\sqrt {{a_2}^2 + {b_2}^2} }}\)

Lời giải chi tiết:

Sử dụng công thức góc giữa 2 đường thẳng \(\overrightarrow {{n_{{d_1}}}}  = \left( {{a_1};{b_1}} \right);\,\,\overrightarrow {{n_{{d_2}}}}  = \left( {{a_2};{b_2}} \right) \Rightarrow \cos \varphi  = \frac{{\left| {{a_1}.{a_2} + {b_1}.{b_2}} \right|}}{{\sqrt {{a_1}^2 + {b_1}^2} .\sqrt {{a_2}^2 + {b_2}^2} }}\)

Chọn  B.

Phương pháp giải:

Tìm tọa độ trung điểm \(M\) của \(AC\) sau đó viết phương trình đường thẳng \(BM.\)

Thay hoành độ điểm \(N\) vào phương trình đường thẳng \(BM\) để tìm tung độ điểm \(N.\)    

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(M\) là trung điểm của \(AC\) suy ra \(M\left( {2;\frac{5}{2}} \right).\)

Phương trình đường trung tuyến \(BM\) đi qua hai điểm \(B\left( {5;0} \right)\) và \(M\left( {2;\frac{5}{2}} \right)\) là:

\(\begin{array}{l}\frac{{x - 5}}{{2 - 5}} = \frac{y}{{\frac{5}{2}}} \Leftrightarrow \frac{5}{2}\left( {x - 5} \right) =  - 3y\\ \Leftrightarrow 5x - 25 + 6y = 0 \Leftrightarrow 5x + 6y - 25 = 0.\end{array}\)

Điểm\(N\) thuộc đường trung tuyến \(BM\) của \(\Delta ABC\) và có hoành độ bằng \( - 1\)

\( \Rightarrow 5.\left( { - 1} \right) + 6{y_N} - 25 = 0 \Rightarrow {y_N} = 5.\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Phương trình đường thẳng \(d\) đi qua \(M\left( {{x_0};\,\,{y_0}} \right)\) và có VTCP \(\overrightarrow u  = \left( {A;\,\,B} \right)\) có dạng: \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + At\\y = {y_0} + Bt\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(A\left( { - 1;3} \right),B\left( {3;1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = (4; - 2) =  - 2\left( { - 2;1} \right).\)

Vậy phương trình tham số của đường thẳng \(AB\)  đi qua điểm \(A\left( { - 1;3} \right)\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 2t\\y = 3 + t\end{array} \right..\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

+) Xác định tọa độ \(A \in Ox;\,\,B \in Oy\).

+) Lập phương trình đoạn chắn đi qua hai điểm \(A\) và \(B\)\( \Rightarrow \) PTTQ của đường thẳng \(AB\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(A \in Ox \Rightarrow A\left( {{x_A};0} \right);\,\,B \in Oy \Rightarrow B\left( {0;{y_B}} \right).\)

Ta có \(M\) là trung điểm \(AB\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_B} = 2{x_M}\\{y_A} + {y_B} = 2{y_M}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} = 10\\{y_B} =  - 6\end{array} \right.\)

Suy ra \(\left( {AB} \right):\frac{x}{{10}} + \frac{y}{{ - 6}} = 1 \Leftrightarrow  - 6x + 10y =  - 60 \Leftrightarrow 3x - 5y - 30 = 0\).

Chọn  A.

Phương pháp giải:

Đường cao của tam giác \(ABC\)  kẻ từ \(A\) sẽ nhận \(\overrightarrow {BC} \) là một VTPT.

Phương trình đường thẳng \(d\) đi qua \(M\left( {{x_0};\,\,{y_0}} \right)\) và có VTPT \(\overrightarrow n  = \left( {A;\,\,B} \right)\) có dạng: \(A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) = 0.\)

Lời giải chi tiết:

Đường cao của \(\Delta ABC\) kẻ từ \(A\left( {1;2} \right)\) sẽ nhận \(\overrightarrow {BC} \left( {2;3} \right)\) là một VTPT nên đường cao đó có phương trình là: \(2\left( {x - 1} \right) + 3\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + 3y - 8 = 0.\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Cosin của góc giữa hai đường thẳng \({d_1}:{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0\) và \({d_2}:{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0\) là:

\(\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}} \right|}}{{\sqrt {{a_1}^2 + {b_1}^2} .\sqrt {{a_2}^2 + {b_2}^2} }}.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({d_1}:\,\,\,x + 2y + 4 = 0\) có VTPT \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {1;\,\,2} \right)\) và \({d_2}:\,\,x - 3y + 6 = 0\) có VTPT là: \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {1; - 3} \right).\)

\( \Rightarrow \cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \frac{{\left| {1.1 + 2.\left( { - 3} \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2}} .\sqrt {{1^2} + {3^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

Vậy góc giữa hai đường thẳng \({d_1}:x + 2y + 4 = 0\) và \({d_2}:x - 3y + 6 = 0\) là \(45^\circ .\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Hai đường thẳng: \({d_1}:\,\,\,{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0\) và \({d_2}:\,\,\,{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0\) vuông góc với nhau

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}}  = 0 \Leftrightarrow {a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} = 0.\)

Lời giải chi tiết:

\({\Delta _1}:\left( {2m - 1} \right)x + my - 10 = 0\) vuông góc với đường thẳng \({\Delta _2}:3x + 2y + 6 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {2m - 1} \right).3 + m.2 = 0\) \( \Leftrightarrow 6m - 3 + 2m = 0 \Leftrightarrow m = \frac{3}{8}.\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

+) Xác định tọa độ của ba điểm \(A,\,\,B,\,\,C\).

+) Gọi \(\left( d \right)\) là đường phân giác trong góc \(A\) được tạo bởi hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2},\) \(M\left( {x;\,\,y} \right) \in d\) bất kỳ, khi đó: \(d\left( {M,\,\,{\Delta _1}} \right) = d\left( {M,\,\,{\Delta _2}} \right).\)

+) Viết phương trình đường phân giác trong góc \(\angle A.\)

Lời giải chi tiết:

+) \(A = \left( {{\Delta _1}} \right) \cap \left( {{\Delta _2}} \right) \Rightarrow \) Tọa độ điểm \(A\) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 4y - 6 = 0\\4x + 3y - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 2\\y = 3\end{array} \right.\)\( \Rightarrow A\left( { - 2;\,\,3} \right)\)

+) \(B = \left( {{\Delta _2}} \right) \cap \left( {{\Delta _3}} \right)\)\( \Rightarrow \) Tọa độ điểm \(B\) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}4x + 3y - 1 = 0\\y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{4}\\y = 0\end{array} \right.\) \( \Rightarrow B\left( {\frac{1}{4};\,\,0} \right)\)

+) \(C = \left( {{\Delta _1}} \right) \cap \left( {{\Delta _3}} \right)\)\( \Rightarrow \) Tọa độ điểm \(C\) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 4y - 6 = 0\\y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 0\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {2;\,\,0} \right)\)

+) Gọi \(\left( d \right)\)  là đường phân giác trong góc \(A\) và \(M\left( {x;\,\,y} \right) \in d\) bất kỳ, khi đó: \(d\left( {M,\,\,{\Delta _1}} \right) = d\left( {M,\,\,{\Delta _2}} \right)\)

\( \Rightarrow \frac{{\left| {3x + 4y - 6} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = \frac{{\left| {4x + 3y - 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left| {3x + 4y - 6} \right| = \left| {4x + 3y - 1} \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x + 4y - 6 = 4x + 3y - 1\\3x + 4y - 6 =  - 4x - 3y + 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left( {{d_1}} \right):\,\,{f_1}\left( {x;\,\,y} \right) = x - y + 5 = 0\\\left( {{d_2}} \right):\,\,{f_2}\left( {x;\,\,y} \right) = x + y - 1 = 0\end{array} \right.\end{array}\)

+) Ta có: \({f_1}\left( B \right).{f_1}\left( C \right) = \left( {\frac{1}{4} - 0 + 5} \right)\,\, \cdot \,\,\left( {2 - 0 + 5} \right) > 0 \Rightarrow \)\(B,\,\,C\) cùng phía so với \(\left( d \right)\)\( \Rightarrow \left( {{d_1}} \right)\) là đường phân giác ngoài góc \(A\).

\( \Rightarrow \) Đường phân giác trong góc \(A\) là:  \(\left( {{d_2}} \right):\,\,x + y - 1 = 0\)

Chọn  D.

Phương pháp giải:

+) Lập phương trình cạnh \(AB,\,\,AC\)

+)  Gọi \(M\left( {x;\,\,y} \right)\) là điểm nằm trên đường phân giác trong của \(\angle A.\)  

Khi đó: \(d\left( {M,\,\,AB} \right) = d\left( {M,\,\,AC} \right)\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  = \left( {4;\,\,6} \right) = 2\left( {2;\,\,3} \right)\\\overrightarrow {AC}  = \left( { - 3;\,\,2} \right)\end{array} \right.\)

+) \(\left( {AB} \right):\left\{ \begin{array}{l}{\rm{qua}}\,\,A\left( {1;\,\, - 2} \right)\\{{\vec n}_{AB}} = \left( { - 3;\,\,2} \right)\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left( {AB} \right):\,\,\, - 3.\left( {x - 1} \right) + 2.\left( {y + 2} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow  - 3x + 3 + 2y + 4 = 0 \Leftrightarrow 3x - 2y - 7 = 0\)

\( \Rightarrow \left( {AB} \right):\,\,3x - 2y - 7 = 0.\)

+) \(\left( {AC} \right):\left\{ \begin{array}{l}{\rm{qua}}\,\,A\left( {1;\,\, - 2} \right)\\{{\vec n}_{AC}} = \left( {2;\,\,3} \right)\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left( {AC} \right):\,\,\,2.\left( {x - 1} \right) + 3.\left( {y + 2} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow 2x + 3y - 2 + 6 = 0 \Leftrightarrow 2x + 3y + 4 = 0\)

\( \Rightarrow \left( {AC} \right):\,\,2x + 3y + 4 = 0\)

Gọi \(M\left( {x;\,\,y} \right)\) là điểm nằm trên đường phân giác trong của \(\angle A\)  

Khi đó: \(d\left( {M,\,\,AB} \right) = d\left( {M,\,\,AC} \right)\)

\(\begin{array}{l}\frac{{\left| {3x - 2y - 7} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {2^2}} }} = \frac{{\left| {2x + 3y + 4} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2}} }}\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}3x - 2y - 7 = 2x + 3y + 4\\3x - 2y - 7 =  - 2x - 3y - 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 5y - 11 = 0\\5x + y - 3 = 0\end{array} \right.\end{array}\)

Xét: \({d_1}:\,f\left( {x;\,\,y} \right) = \,x - 5y - 11 = 0\) ta có:

\(\left( {5 - 5.4 - 11} \right)\left( { - 2 - 5.0 - 11} \right) =  - 26.\left( { - 13} \right) > 0 \Rightarrow B,\,\,C\) nằm cùng phía với \({d_1}\)

\( \Rightarrow {d_1}\) là đường phân giác ngoài của \(\angle A.\)

\( \Rightarrow {d_2}:\,\,5x + y - 3 = 0\) là đường phân giác trong của \(\angle A.\)

Chọn  A.

Phương pháp giải:

+) Vì biết tọa độ điểm \(A\left( {1;\, - 2} \right)\) và phương trình đường phân giác trong \(BN:\,\,2x + y + 5 = 0\) nên gọi \(A'\) là điểm đối xứng với \(A\) qua \(BN\).

+) Xác định tọa độ điểm \(B\), \(A'\)

+) Viết phương trình tham số của đường thẳng \(BC\) đi qua \(B\) nhận \(\overrightarrow {BA'} \) là VTCP.

Lời giải chi tiết:

*) Phương trình đường cao \(CH:\,\,x - y + 1 = 0 \Rightarrow {\vec n_{CH}} = \left( {1;\,\, - 1} \right),\,\,{\vec u_{CH}} = \left( {1;\,\,1} \right)\)

*) Phương trình đường thẳng \(AB\) đi qua \(A\left( {1;\, - 2} \right)\) nhận \({\vec u_{CH}} = \left( {1;\,\,1} \right)\) là VTPT:

\(x - 1 + y + 2 = 0\)\( \Leftrightarrow x + y + 1 = 0\)

\( \Rightarrow \) Phương trình đường thẳng \(AB\) là \(x + y + 1 = 0\)

*) \(B\) là giao điểm của \(BN\) và \(AB\) nên tọa độ đỉnh \(B\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}x + y + 1 = 0\\2x + y + 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 4\\y = 3\end{array} \right. \Rightarrow B\left( { - 4;\,\,3} \right)\)

*) Gọi \(A'\) là điểm đối xứng với \(A\) qua \(BN\).

+) Phương trình đường thẳng \(AA'\) đi qua \(A\left( {1;\, - 2} \right)\) nhận \({\vec u_{BN}} = \left( { - 1;\,\,2} \right)\) làm VTPT là:

\( - 1.\left( {x - 1} \right) + 2.\left( {y + 2} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow  - x + 1 + 2y + 4 = 0\)\( \Leftrightarrow  - x + 2y + 5 = 0\)

\( \Rightarrow \)Phương trình đường thẳng \(AA'\) là \( - x + 2y + 5 = 0\)

+) \(J = BN \cap AA'\). Tọa độ điểm \(J\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l} - x + 2y + 5 = 0\\2x + y + 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 1\\y =  - 3\end{array} \right. \Rightarrow J\left( { - 1;\,\, - 3} \right)\)

+) Tọa độ \(A'\) là \(\left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = 2.\left( { - 1} \right) - 1 =  - 3\\{y_{A'}} = 2.\left( { - 3} \right) - \left( { - 2} \right) =  - 4\end{array} \right. \Rightarrow A'\left( { - 3;\,\, - 4} \right)\)

*) Ta có: \(A' \in BC\); \(B\left( { - 4;\,\,3} \right),\,\,A'\left( { - 3;\,\, - 4} \right)\)

Phương trình tham số của đường thẳng \(BC\) đi qua \(B\left( { - 4;\,\,3} \right)\) nhận \(\overrightarrow {BA'}  = \left( {1;\,\, - 7} \right)\) là VTCP là: \(\left( {BC} \right):\,\,\left\{ \begin{array}{l}x =  - 4 + t\\y = 3 - 7t\end{array} \right.\)

Chọn  B.

Phương pháp giải:

+) Lấy điểm \(H'\) là điểm đối xứng với \(H\) qua \(AD\)\( \Rightarrow \) Xác định được tọa độ \(H'\)

+) Viết phương trình đường thẳng \(AC\)

+) \(A\) là giao điểm của \(AC\) và \(AD\)

Lời giải chi tiết:

*) Phương trình đường phân giác \(AD\): \(x - y + 2 = 0\)\( \Rightarrow {\vec n_{AD}} = \left( {1;\,\, - 1} \right) \Rightarrow {\vec u_{AD}} = \left( {1;\,\,1} \right)\)

*) Gọi \(H'\) là điểm đối xứng với \(H\) qua \(AD\)\( \Rightarrow HH' \bot AD\)

+) Phương trình đường thẳng \(HH'\) đi qua \(H\left( { - 1;\,\, - 1} \right)\) nhận \({\vec u_{AD}} = \left( {1;\,\,1} \right)\) là VTPT:

\(HH':\,\,\,\,x + 1 + y + 1 = 0\)\( \Leftrightarrow x + y + 2 = 0\)

+) Gọi \(J = HH' \cap AD\). Tọa độ của điểm \(J\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}x + y + 2 = 0\\x - y + 2 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 2\\y = 0\end{array} \right. \Rightarrow J\left( { - 2;\,\,0} \right)\)

+) \(J\) là trung điểm của \(HH'\). Tọa độ của \(H'\)là \(\left\{ \begin{array}{l}{x_{H'}} = 2.\left( { - 2} \right) - \left( { - 1} \right)\\{y_{H'}} = 2.0 - \left( { - 1} \right)\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{H'}} =  - 3\\{y_{H'}} = 1\end{array} \right.\)\( \Rightarrow H'\left( { - 3;\,\,1} \right)\)

*) Phương trình đường cao \(BG\): \(4x + 3y - 1 = 0 \Rightarrow {\vec n_{BG}} = \left( {4;\,\,3} \right)\)\( \Rightarrow {\vec u_{BG}} = \left( {3;\,\, - 4} \right)\)

*) Viết phương trình đường thẳng \(AC\)

 Vì \(BG \bot AC\) tại \(G\) nên phương trình đường thẳng \(AC\) đi qua \(H'\left( { - 3;\,\,1} \right)\) nhận \({\vec u_{BG}} = \left( {3;\,\, - 4} \right)\) là VTPT là:

\(AC:\,\,\,3.\left( {x + 3} \right) + \left( { - 4} \right).\left( {y - 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 3x + 9 - 4y + 4 = 0\)\( \Leftrightarrow 3x - 4y + 13 = 0\)

*) Xác định tọa độ điểm \(A\)

Phương trình đường phân giác \(AD\) là: \(x - y + 2 = 0\)

Phương trình đường thẳng \(AC\) là: \(3x - 4y + 13 = 0\)

Vì \(AC \cap AD = A\) nên tọa độ điểm \(A\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}3x - 4y + 13 = 0\\x - y + 2 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = 7\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {5;\,\,7} \right)\)

Vậy \(A\left( {5;\,\,7} \right)\).

Chọn  D.

Phương pháp giải:

Bài toán này cho biết phương trình \(2\) đường phân giác của góc \(B\), góc \(C\) và biết tọa độ điểm \(A\).

+ Lấy hai điểm \({A_1},\,\,{A_2}\) đối xứng với điểm \(A\) qua phân giác của góc \(B\) và góc \(C\)\( \Rightarrow {A_1},\,\,{A_2} \in BC\)

+ Xác định tọa độ \({A_1},\,\,{A_2}\)\( \Rightarrow \) Viết được phương trình đường thẳng \(BC\)

Lời giải chi tiết:

*) Phương trình đường phân giác \(BD:\,\,x + y - 2 = 0\) có \({\vec n_{BD}} = \left( {1;\,\,1} \right),\,\,{\vec u_{BD}} = \left( {1;\,\, - 1} \right)\)

*) Phương trình đường phân giác \(CE:\,\,x - 3y - 6 = 0\)có \({\vec n_{CE}} = \left( {1;\,\, - 3} \right),\,\,{\vec u_{CE}} = \left( {3;\,\,1} \right)\)

*) Gọi \({A_1}\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(BD\) và \(A{A_1} \cap BD = H\).

    \({A_2}\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(BD\) và \(A{A_2} \cap CE = G\).

+) Xác định tọa độ \({A_1}\)

Phương trình tổng quát của \(A{A_1}\) đi qua \(A\left( {2;\,\,4} \right)\) nhận \({\vec u_{BD}} = \left( {1;\,\, - 1} \right)\) là:

\(A{A_1}:\,\,\,\,x - 2 - \left( {y - 4} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow x - 2 - y + 4 = 0\)\( \Leftrightarrow x - y + 2 = 0\)

Tọa độ điểm \(H\) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}\,x + y - 2 = 0\\x - y + 2 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 2\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {0;\,\,2} \right)\)

Mà \(H\) là  trung điểm của \(A{A_1}\) nên tọa độ của điểm\({A_1}\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_{{A_1}}} = 2\,\,.\,\,0 - 2 =  - 2\\{y_{{A_1}}} = 2\,\,.\,\,2 - 4 = 0\end{array} \right. \Rightarrow {A_1}\left( { - 2;\,\,0} \right)\)

+) Xác định tọa độ \({A_2}\)

Phương trình tổng quát của \(A{A_2}\) đi qua \(A\left( {2;\,\,4} \right)\) nhận \({\vec u_{CE}} = \left( {3;\,\,1} \right)\) là:

\(A{A_2}:\,\,\,3\,\left( {x - 2} \right) + y - 4 = 0\)\( \Leftrightarrow 3x - 6 + y - 4 = 0\)\( \Leftrightarrow 3x + y - 10 = 0\)

Tọa độ điểm \(G\) là nghiệm của hệ phương trình:  \(\left\{ \begin{array}{l}3x + y - 10 = 0\\x - 3y - 6 = 0\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{18}}{5}\\y =  - \frac{4}{5}\end{array} \right. \Rightarrow G\left( {\frac{{18}}{5};\,\, - \frac{4}{5}} \right)\)

Mà \(G\) là trung điểm của \(A{A_2}\) nên tọa độ của điểm \({A_2}\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_{{A_2}}} = 2 \cdot \frac{{18}}{5} - 2\\{y_{{A_2}}} = 2 \cdot \left( { - \frac{4}{5}} \right) - 4\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{{A_2}}} = \frac{{26}}{5}\\{y_{{A_2}}} =  - \frac{{28}}{5}\end{array} \right. \Rightarrow {A_2}\left( {\frac{{26}}{5};\,\, - \frac{{28}}{5}} \right)\)

*) Viết phương trình đường thẳng \(BC\) đi qua \({A_1}\left( { - 2;\,\,0} \right)\), \({A_2}\left( {\frac{{26}}{5};\,\, - \frac{{28}}{5}} \right)\)

\(\overrightarrow {{A_1}{A_2}} \left( {\frac{{36}}{5};\,\, - \frac{{28}}{5}} \right) \Rightarrow {\vec n_{{A_1}{A_2}}} = \left( {\frac{{28}}{5};\,\,\frac{{36}}{5}} \right)\)

Phương trình tổng quát của đường thẳng \(BC\) đi \({A_1}\left( { - 2;\,\,0} \right)\) qua nhận \({\vec n_{{A_1}{A_2}}} = \left( {\frac{{28}}{5};\,\,\frac{{36}}{5}} \right)\) là VTPT:

\(BC:\,\,\,\frac{{28}}{5}\left( {x + 2} \right) + \frac{{36}}{5}\left( {y - 0} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \frac{{28}}{5}x + \frac{{56}}{5} + \frac{{36}}{5}y = 0\)\( \Leftrightarrow 28x + 36y + 56 = 0\)\( \Leftrightarrow 7x + 9y + 14 = 0\)

Vậy phương trình tổng quát của \(BC\) là: \(7x + 9y + 14 = 0\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

+ Xác định tọa độ giao điểm \(M\)của hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\).

+ Thay tọa độ điểm \(M\) vào phương trình đường thẳng \({d_3}\) để tìm được giá trị của tham số \(m.\)

Lời giải chi tiết:

+) Gọi \(M\left( {a;\,\,b} \right)\) là giao điểm của \({d_1},\,\,{d_2}\). Do đó, tọa độ điểm \(M\left( {a;\,\,b} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}2a + b = 1\\a + 2b =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + b = 1\\2a + 4b =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + b = 1\\ - 3b = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {1;\,\, - 1} \right)\)
+) Để ba đường thẳng \({d_1},\,\,{d_2},\,\,{d_3}\) đồng quy thì \(M\left( {1;\,\, - 1} \right) \in \left( {{d_3}} \right):\,\,mx - y - 7 = 0\), khi đó:\(m.1 - \left( { - 1} \right) - 7 = 0 \Leftrightarrow m + 1 - 7 = 0 \Leftrightarrow m = 6\)

Vậy \(m = 6.\)

Chọn  B

Phương pháp giải:

+ Viết PTĐT \(\Delta \) đi qua \(M\left( {8;\,\,2} \right)\) và vuông góc với đường thẳng \(d\).

+ Xác định tọa độ giao điểm của hai đường thẳng \(\Delta \) và \(d\).

+ Áp dụng công thức tìm tọa độ trung điểm để xác định tọa độ của \({M_1}\left( {a;\,\,b} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \( \left ( d \right ) : 2x - 3y + 3 = 0 \Rightarrow \overrightarrow{n_{d}} = \left ( 2 ; - 3 \right ) ;\) \({\vec u_d} = \left( {3;\,\,2} \right)\)

Phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(M\left( {8;\,\,2} \right)\) và vuông góc với đường thẳng \(d\) nhận \({\vec u_d} = \left( {3;\,\,2} \right)\) làm VTPT là: \(3(x - 8) + 2(y - 2) = 0 \Leftrightarrow 3x + 2y - 28 = 0\)

Gọi \(H = d \cap \Delta \), tọa độ điểm \(H\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}2x--3y + 3 = 0\\3x + 2y - 28 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 6\\y = 5\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {6;\,\,5} \right)\)

Khi đó, \({M_1}\left( {a;\,\,b} \right)\) là điểm đối xứng với \(M\left( {8;\,\,2} \right)\) qua \(H\left( {6;\,\,5} \right)\)\( \Rightarrow \)\(H\) là trung điểm của \(M{M_1}.\) Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}6 = \frac{{8 + a}}{2}\\5 = \frac{{2 + b}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}12 = 8 + a\\10 = 2 + b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b = 8\end{array} \right. \Rightarrow {M_1}\left( {4;\,\,8} \right)\)

Thay \(a = 4;\,\,b = 8\) vào công thức \(2a - b\)ta được: \(2.4 - 8 = 0\)

Chọn  C

Phương pháp giải:

Viết phương trình đường cao \(AH\) và \(H = AH \cap BC\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(B\left( {4;\,\,1} \right),\,\,C\left( {1;\,\, - 2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {BC}  = \left( { - 3;\,\, - 3} \right)\)

Phương trình đường thẳng \(BC\) đi qua \(B\left( {4;\,\,1} \right)\), nhận \(\vec n = \left( { - 1;\,\,1} \right)\) làm VTPT là:\( - 1.\left( {x - 4} \right) + 1.\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow  - x + 4 + y - 1 = 0 \Leftrightarrow  - x + y + 3 = 0\)

Phương trình đường cao \(AH\) đi qua \(A\left( { - 2;\,\,3} \right)\), nhận \(\vec n = \left( {1;\,\,1} \right)\) làm VTPT là:\(1.\left( {x + 2} \right) + 1.\left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 2 + y - 3 = 0 \Leftrightarrow x + y - 1 = 0\)

Tọa độ điểm \(H\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l} - x + y + 3 = 0\\x + y - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {2;\,\, - 1} \right)\)

Chọn  D

Phương pháp giải:

+ Xác định tọa độ \(H\) là giao điểm của \({d_2}\) và trục hoành.

+ Thay tọa độ điểm \(H\) vào \({d_1}\) để xác định \(a.\)

Lời giải chi tiết:

Gọi \(H\left( {{x_H};\,\,{y_H}} \right)\) là giao điểm của \({d_1}\) và \({d_2}\).

+) \(H\left( {{x_H};\,\,{y_H}} \right) \in Ox \Rightarrow {y_H} = 0\)\( \Rightarrow H\left( {{x_H};\,\,0} \right)\)

Ta lại có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_H} =  - 1 + t\\0 = 3 + 3t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_H} =  - 1 + t\\t =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow {x_H} =  - 2\)

Do đó, \(H\left( { - 2;\,\,0} \right).\)

+) Vì \(H\left( { - 2;\,\,0} \right) \in {d_1}:ax + 3y--4 = 0\) nên ta có: \(a.\left( { - 2} \right) + 3.0 - 4 = 0 \Leftrightarrow  - 2a - 4 = 0 \Rightarrow a =  - 2\)

Chọn  D

Phương pháp giải:

Đường thẳng \(d\) đi qua hai điểm \(A\left( {{x_A};\,\,{y_A}} \right)\) và \(B\left( {{x_B};\,\,{y_B}} \right)\) nhận VTCP là \(\overrightarrow {AB}  = \left( {a;\,\,b} \right)\) và có phương trình tham số là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_A} + at\\y = {y_A} + bt\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\overrightarrow u  = \overrightarrow {AB}  = \left( {2;2} \right) = 2\left( {1;\,\,1} \right)\)

\( \Rightarrow \) Phương trình tham số của đường thẳng \(AB\) là:  \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = 3 + t\end{array} \right.\)

Với \(t =  - 3 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 0\end{array} \right. \Rightarrow AB\) đi qua điểm \(O\left( {0;\,0} \right).\)

Khi đó ta có phương trình đường thẳng \(AB:\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = t\end{array} \right..\)

Chọn D.