40 bài tập phương trình đường tròn mức độ vận dụng, vận dụng cao

Làm đề thi

Câu hỏi 1 :

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm cố định là \(A\left( {2;0} \right),\,\,B\left( {0;\,\,2} \right).\) Cho biết quỹ tích các điểm \(M\)thỏa mãn điều kiện \(M{A^2} + M{B^2} = 12\) là một đường tròn bán kính \(R\). Tìm \(R\).

  • A \(R = \sqrt 5 \)
  • B \(R = 4\)
  • C \(R = \sqrt 3 \)                       
  • D \(R = 2\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Gọi \(M\left( {x;y} \right)\) thay và đẳng thức bài cho tìm mối quan hệ giữa \(x\) và \(y\).

Từ đó suy ra tập hợp điểm M.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(M\left( {x;y} \right)\) ta có:

\(AM = \sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + {{\left( {y - 0} \right)}^2}} \) \( = \sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + {y^2}} \)

\( \Rightarrow M{A^2} = A{M^2} = {\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2}\)

\(BM = \sqrt {{{\left( {x - 0} \right)}^2} + {{\left( {y - 2} \right)}^2}} \) \( = \sqrt {{x^2} + {{\left( {y - 2} \right)}^2}} \)

\( \Rightarrow M{B^2} = B{M^2} = {x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2}\)

Do đó ta có: \(M{A^2} + M{B^2} = 12\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} + {x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 12\\ \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 4 + {y^2} + {x^2} + {y^2} - 4y + 4 = 12\\ \Leftrightarrow 2{x^2} + 2{y^2} - 4x - 4y - 4 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2x - 2y - 2 = 0\end{array}\)

Dễ thấy, phương trình trên là phương trình đường tròn có tâm \(I\left( {1;1} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{1^2} + {1^2} - \left( { - 2} \right)}  = 2\).

Vậy tập hợp điểm M thỏa mãn \(M{A^2} + M{B^2} = 12\) là đường tròn tâm \(I\left( {1;1} \right)\) và bán kính \(R = 2\).

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 2 :

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( { - 1;\,\,2} \right)\) và cắt đường thẳng \(d:3x - y - 15 = 0\) theo một dây cung có độ dài bằng 6. Tìm phương trình đường tròn \(\left( C \right).\)

  • A \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} + 2x - 4y - 44 = 0\).
  • B \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} + 2x - 4y - 5 = 0\).
  • C \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} + 2x - 4y - 35 = 0\).
  • D \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} + 2x - 4y - 31 = 0\).

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Bước 1: Gọi \(H\) là trung điểm dây \(AB \Rightarrow AH = HB = \frac{{AB}}{2}\) và \(IH \bot AB \Rightarrow IH = d\left( {I;d} \right)\)

Bước 2: Tính \({R^2} = A{I^2} = A{H^2} + I{H^2}\)(Áp dụng định lý Pithago trong tam giác vuông \(IAH\))

Bước 3: Lập phương trình đường tròn đi qua tâm \(I\) đã cho và bán kính \(R\) vừa tìm

Lời giải chi tiết:

Gọi \(H\) là trung điểm dây \(AB \Rightarrow AH = HB = \frac{{AB}}{2} = \frac{6}{2} = 3\) và \(IH \bot AB\)

\( \Rightarrow IH = d\left( {I;d} \right) = \frac{{\left| {3.\left( { - 1} \right) - 2 - 15} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = 2\sqrt {10} \)

Xét tam giác vuông \(IAH\)có: \(A{I^2} = I{H^2} + A{H^2} = {\left( {2\sqrt {10} } \right)^2} + {3^2} = 49\)

\( \Rightarrow {R^2} = 49\)

Phương trình đường tròn: \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 49\)\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 2x - 4y - 44 = 0\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 3 :

Cho đường tròn \(\left( C \right)\) đi qua hai điểm \(A\left( {7; - 1} \right),B\left( {1;5} \right)\) và tâm nằm trên đường thẳng \(d:3x - y--12 = 0\). Đường tròn \(\left( C \right)\) có bán kính bằng:

  • A \(6\sqrt 2 \).           
  • B \(\sqrt {10} \).
  • C \(2\sqrt 5 \).
  • D \(5\sqrt 2 \).

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Vì tâm của đường tròn nằm trên đường thẳng \(d:3x - y - 12 = 0\) nên ta gọi \(I\left( {a;\,\,3a - 12} \right)\) là tâm đường tròn.

Vì \(A,B\) nằm trên đường tròn nên \(IA = IB = R\) từ đó ta giải ra \(a \Rightarrow R\)

Lời giải chi tiết:

Vì tâm của đường tròn nằm trên đường thẳng \(d:3x - y - 12 = 0\) nên ta gọi \(I\left( {a;\,\,3a - 12} \right)\)là tâm đường tròn

Vì \(A,B\) nằm trên đường tròn nên ta có: \(IA = IB = R\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow I{A^2} = I{B^2} = {R^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {a - 7} \right)^2} + {\left( {3a - 12 + 1} \right)^2} = {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {3a - 12 - 5} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {a - 7} \right)^2} + {\left( {3a - 11} \right)^2} = {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {3a - 17} \right)^2}\\ \Leftrightarrow  - 14a + 49 - 66a + 121 =  - 2a + 1 - 102a + 289\\ \Leftrightarrow 24a = 120\\ \Leftrightarrow a = 5\\ \Rightarrow {R^2} = {\left( {5 - 7} \right)^2} + {\left( {3.5 - 11} \right)^2} = 20 \Rightarrow R = 2\sqrt 5 \end{array}\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 4 :

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ \(Oxy\), cho đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} + 2x - 8y - 8 = 0\). Phương trình đường thẳng song song với đường thẳng \(d:3x + y - 2 = 0\)và cắt đường tròn theo một dây cung \(AB\) có độ dài bằng \(6\).

  • A \(d':\,\,3x - y + 19 = 0\) hoặc \(d':3x + y - 21 = 0\)
  • B \(d':\,\,3x + y + 19 = 0\) hoặc \(d':3x + y + 21 = 0\)
  • C \(d':3x + y + 19 = 0\) hoặc \(d':3x + y - 21 = 0\)
  • D \(d':3x + y - 19 = 0\) hoặc \(d':3x - y - 21 = 0\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

+ Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng \(d\).

+ Áp dụng CT tính khoảng cách .

Lời giải chi tiết:

Gọi \(d'\) là đường thẳng song song với \(d:\,\,3x + y - 2 = 0\).

\( \Rightarrow d':\,\,3x + y + m = 0\)

Gọi \(IH\) là khoảng cách từ \(I\) đến \(d'\), ta có:

 \(d\left( {I,\,\,d'} \right) = IH = \frac{{\left| { - 3 + 4 + m} \right|}}{5} = \frac{{\left| {m + 1} \right|}}{5}\)

Xét tam giác vuông \(IHB\) vuông tại \(H\) ta có: \(I{H^2} = I{B^2} - \left( {\frac{{A{B^2}}}{4}} \right) = 25 - 9 = 16\)

\( \Rightarrow \frac{{{{\left( {m + 1} \right)}^2}}}{{25}} = 16 \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} = 400 \Leftrightarrow \left| {m + 1} \right| = 20 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 19\\m =  - 21\end{array} \right.\)

Với \(m = 19\), phương trình đường thẳng là \(d':3x + y + 19 = 0\)

Với \(m =  - 21\), phương trình đường thẳng là \(d':\,\,3x + y - 21 = 0\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 5 :

Cho đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 8x + 6y + 21 = 0\) và đường thẳng \(\left( d \right):x + y - 1 = 0\). Xác định tọa độ các đỉnh \(A\) của hình vuông \(ABCD\) ngoại tiếp \(\left( C \right)\) biết \(A \in \left( d \right)\).

  • A \(A\left( { - 2;\,\, - 1} \right)\) hoặc \(A\left( { - 6;\,\, - 5} \right)\)        
  • B \(A\left( { - 2;\,\,1} \right)\) hoặc \(A\left( { - 6;\,\,5} \right)\)
  • C \(A\left( {2;\,\,1} \right)\) hoặc \(A\left( {6;\,\,5} \right)\)                     
  • D \(A\left( {2;\,\, - 1} \right)\) hoặc \(A\left( {6;\,\, - 5} \right)\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

+) Chứng minh đường thẳng \(\left( d \right)\) đi qua tâm \(I\)của đường tròn \(\left( C \right)\)

+) Đường tròn \(\left( C \right)\) nội tiếp hình vuông \(ABCD\) nên tọa độ điểm \(A\) là giao điểm của \(AI\) và hai tiếp tuyến của đường tròn \(\left( C \right)\)

Lời giải chi tiết:

Đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 8x + 6y + 21 = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}I\left( {4;\,\, - 3} \right)\\R = 2\end{array} \right.\)

Thay \(I\left( {4;\,\, - 3} \right)\) vào phương trình \(d:x + y - 1 = 0\) ta được: \(4 + \left( { - 3} \right) - 1 = 0\)

\( \Rightarrow I\left( {4;\,\, - 3} \right) \in d\)

Vì \(A \in d\) và \(I \in d\) nên \(AI\) là đường chéo của hình vuông ngoại tiếp đường tròn có bán kính \(R = 2.\)

Vậy \(AI\) là một đường chéo của hình vuông ngoại tiếp đường tròn, có bán kính \(R = 2\); \(x = 2\) và \(x = 6\) là \(2\) tiếp tuyến của \(\left( C \right)\)  nên ta có:

Trường hợp \(1\): \(A\) là giao điểm các đường \(d\) và \(x = 2 \Rightarrow A\left( {2;\,\, - 1} \right)\)

Trường hợp \(2\): \(A\) là giao điểm các đường \(d\) và \(x = 6 \Rightarrow A\left( {6;\,\, - 5} \right)\)

Vậy \(A\left( {2;\,\, - 1} \right)\) và \(A\left( {6;\,\, - 5} \right)\).

Chọn  D

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 6 :

Đường tròn \(\left( C \right):\,\,{(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2}\) cắt đường thẳng \(\left( d \right):\,\,x + y - a - b = 0\) theo một dây cung có độ dài bằng bao nhiêu?

  • A \(2R\)   
  • B \(R\sqrt 2 \)      
  • C \(\frac{{R\sqrt 2 }}{2}\)
  • D \(R\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Xác định tâm \(I\)và bán kính \(R\) của đường tròn \(\left( C \right)\).

+) Nếu \(I \in \left( \Delta  \right)\) thì độ dài dây cung bằng đường kính của đường tròn \(\left( C \right)\).

+) Nếu \(I \notin \left( \Delta  \right)\) thì xác định tọa độ giao điểm của \(\left( \Delta  \right)\) và \(\left( C \right)\).

Lời giải chi tiết:

Cách 1: Đường tròn \(\left( C \right):\,\,{(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2}\) có tâm \(I\left( {a;\,\,b} \right)\) và bán kính \(R\).

Vì \(a + b - a - b = 0\) nên điểm \(I\left( {a;\,\,b} \right)\) thuộc đường thẳng \(\left( d \right)\)

Suy ra, đường tròn \(\left( C \right)\) cắt đường thẳng \(\left( d \right)\) theo một dây cung có độ dài bằng đường kính \( = 2R\).

Cách 2:

Tọa độ giao điểm của \(\left( C \right)\) và \(\left( d \right)\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}\\x + y - a - b = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}\\y = a + b - x\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow {\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {x - a} \right)^2} = {R^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = a + \frac{R}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow y = b - \frac{R}{{\sqrt 2 }}\\x = a - \frac{R}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow y = b + \frac{R}{{\sqrt 2 }}\end{array} \right.\)

Vậy tọa độ giao điểm của \(\left( C \right)\) và \(\left( d \right)\) là \(A\left( {a + \frac{R}{{\sqrt 2 }};\,\,b - \frac{R}{{\sqrt 2 }}} \right)\) và \(B\left( {a - \frac{R}{{\sqrt 2 }};\,\,b + \frac{R}{{\sqrt 2 }}} \right)\).

\(AB = \sqrt {{{\left( {a - \frac{R}{{\sqrt 2 }} - a - \frac{R}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2} + {{\left( {b + \frac{R}{{\sqrt 2 }} - b + \frac{R}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2}}  = \sqrt {{{\left( { - \frac{{2R}}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2} + {{\left( { - \frac{{2R}}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2}}  = \sqrt {2 \cdot \frac{{4{R^2}}}{2}}  = \sqrt {4{R^2}}  = 2R\)

Vậy \(AB = 2R\).

Chọn  A

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 7 :

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(d:\,\,x - 3y - 4 = 0\) và đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 4y = 0\). Biết \(M\)thuộc \(d\) và \(N\) thuộc \(\left( C \right)\) sao cho chúng đối xứng qua điểm \(A\left( {3;\,\,1} \right)\). Độ dài đoạn thẳng \(MN\) là:

  • A \(MN = \sqrt 2 \) và \(MN = \sqrt {\frac{{6088}}{5}} \)                      
  • B \(MN = 2\sqrt 2 \) và \(MN = \sqrt {\frac{{6088}}{{25}}} \)                          
  • C \(MN = 2\sqrt 2 \) và \(MN = \frac{{\sqrt {6088} }}{{25}}\)   
  • D \(MN = 2\sqrt 2 \) và \(MN = \sqrt {\frac{{6088}}{5}} \)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Xác định tọa độ của hai điểm \(M\) và \(N\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(M \in d \Rightarrow M\left( {3b + 4;\,\,b} \right)\)

Vì \(N\) đối xứng với \(M\) qua \(A\left( {3;\,\,1} \right)\) suy ra \(N\left( {2 - 3b;\,\,2 - b} \right)\).

Mặt khác, \(N \in \left( C \right)\) nên ta có: \({\left( {2 - 3b} \right)^2} + {\left( {2 - b} \right)^2} - 4\left( {2 - b} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 0\\b = \frac{6}{5}\end{array} \right.\)

+) Với \(b = 0 \Rightarrow M\left( {4;\,\,0} \right)\) và \(N\left( {2;\,\,2} \right)\)\( \Rightarrow MN = \sqrt {{{\left( {2 - 4} \right)}^2} + {{\left( {2 - 0} \right)}^2}}  = \sqrt {{2^2} + {2^2}}  = 2\sqrt 2 \)

+) Với \(b = \frac{6}{5} \Rightarrow M\left( {\frac{{38}}{5};\,\,\frac{6}{5}} \right)\) và \(N\left( { - \frac{8}{5};\,\,\frac{4}{5}} \right) \Rightarrow MN = \sqrt {{{\left( { - \frac{8}{5} - \frac{{38}}{5}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{4}{5} - \frac{6}{5}} \right)}^2}}  = \sqrt {\frac{{6088}}{{25}}} \)

Vậy \(MN = 2\sqrt 2 \) và \(MN = \sqrt {\frac{{6088}}{{25}}} \).

Chọn  B

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 8 :

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ \(Oxy\), cho đường tròn \(\left( C \right):\,\,{\left( {x + 4} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 25\) và đường thẳng \(\Delta :\,\,3x - 4y + 10 = 0\). Phương trình đường thẳng \(d\) vuông góc với \(\Delta \) và cắt \(\left( C \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A\) và \(B\) sao cho \(AB = 6\) là:

  • A \(4x + 3y - 27 = 0\) hoặc \(4x + 3y - 13 = 0\)
  • B \(3x + 4y + 27 = 0\) hoặc \(3x + 4y - 13 = 0\) 
  • C \(4x + 3y + 27 = 0\) hoặc \(4x + 3y + 13 = 0\)
  • D \(4x + 3y + 27 = 0\) hoặc \(4x + 3y - 13 = 0\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

+) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng \(\left( d \right)\).

+) Xác định khoảng cách từ điểm \(I\) đến đường thẳng \(\left( \Delta  \right)\) và sau đó tìm \(m\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\left( C \right):\,\,{\left( {x + 4} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 25 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}I\left( { - 4;\,\,3} \right)\\R = 5\end{array} \right.\)

Gọi \(H\) là trung điểm \(AB\), \(AH = 3\).

Do \(d \bot \Delta \) nên phương trình của \(d\) có dạng: \(4x + 3y + m = 0\)

Ta có: \(d\left( {I,\,\,\left( \Delta  \right)} \right) = IH = \sqrt {A{I^2} - A{H^2}}  = \sqrt {{5^2} - {3^2}}  = 4\)

\( \Rightarrow \frac{{\left| {4.\left( { - 4} \right) + 3.3 + m} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = 4\)\( \Leftrightarrow \frac{{\left| { - 16 + 9 + m} \right|}}{5} = 4 \Leftrightarrow \left| { - 7 + m} \right| = 20 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 7 + m = 20\\ - 7 + m =  - 20\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 27\\m =  - 13\end{array} \right.\)

Với \(m = 27\) suy ra \(d:\,\,4x + 3y + 27 = 0\)

Với \(m =  - 13\) suy ra \(d:\,\,4x + 3y - 13 = 0\)

Vậy \(d:\,\,4x + 3y + 27 = 0\) hoặc \(d:\,\,4x + 3y - 13 = 0\).

Chọn  D

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 9 :

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(\left( d \right):\,\,\sqrt 2 x + my + 1 - \sqrt 2  = 0\) và đường tròn \(\left( C \right)\) có phương trình: \({x^2} + {y^2} - 2x + 4y - 4 = 0\). Gọi \(I\) là tâm đường tròn \(\left( C \right)\). Điều kiện của \(m\) sao cho \(\left( d \right)\) cắt \(\left( C \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A\) và \(B\) là

  • A \(m \in \emptyset \)      
  • B \(m =  \pm 1\)              
  • C \(m \in \mathbb{R}\)   
  • D \(m =  \pm 2\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Để đường thẳng \(\left( d \right)\) cắt đường tròn \(\left( C \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A\) và \(B\) thì \(d\left( {I,\,\,\left( d \right)} \right) < R\).

Lời giải chi tiết:

\(\left( C \right):\,\,{x^2} + {y^2} - 2x + 4y - 4 = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}I\left( {1;\,\, - 2} \right)\\R = 3\end{array} \right.\)

\(\left( d \right)\) cắt \(\left( C \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A\) và \(B\)\( \Leftrightarrow d\left( {I,\,\,\left( d \right)} \right) < R\)

\( \Leftrightarrow \left| {\sqrt 2  - 2m + 1 - \sqrt 2 } \right| < 3\sqrt {2 + {m^2}} \)

\( \Leftrightarrow 1 - 4m + 4{m^2} < 18 + 9{m^2}\)

\( \Leftrightarrow 5{m^2} + 4m + 17 > 0\)

\( \Leftrightarrow 5.\left( {{m^2} + 2 \cdot m \cdot \frac{2}{5} + \frac{4}{5}} \right) + 13 > 0\)

\( \Leftrightarrow 5.{\left( {m + \frac{2}{5}} \right)^2} + 13 > 0\) luôn đúng với \(\forall m\)

Vậy \(m \in \mathbb{R}.\)

Chọn  C

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 10 :

Cho đường tròn \(\left( C \right):\,\,\,{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 10.\) Có bao nhiêu tiếp tuyến của đường tròn \(\left( C \right)\) biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng \(d:\,\,\,2x + y - 4 = 0\) một góc \({45^0}.\)

  • A \(4\)
  • B \(3\)
  • C \(2\)
  • D \(1\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {1; - 1} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {10} .\)

Giả sử tiếp tuyến \(\Delta :\,\,\,ax + by + c = 0\,\,\,\left( {{a^2} + {b^2} \ne 0} \right).\)

\(\Delta \) là tiếp tuyến của \(\left( C \right) \Rightarrow d\left( {I;\,\,\Delta } \right) = R = \sqrt {10} .\)

Theo đề bài ta có: \(\Delta \) tạo với \(d\) một góc \({45^0} \Rightarrow \cos {45^0} = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_\Delta }} .\overrightarrow {{n_d}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_\Delta }} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_d}} } \right|}}.\)

Giải phương trình để từ đó lập phương trình đường thẳng \(\Delta .\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\overrightarrow {{n_d}}  = \left( {2;\,\,1} \right).\)

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {1; - 1} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {10} .\)

Giả sử tiếp tuyến \(\Delta :\,\,\,ax + by + c = 0\,\,\,\left( {{a^2} + {b^2} \ne 0} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_\Delta }}  = \left( {a;\,\,b} \right).\)

\(\Delta \) là tiếp tuyến của \(\left( C \right) \Rightarrow d\left( {I;\,\,\Delta } \right) = R = \sqrt {10} .\)

\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {a - b + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \sqrt {10}  \Leftrightarrow \left| {a - b + c} \right| = \sqrt {10\left( {{a^2} + {b^2}} \right)} \,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Theo đề bài ta có: \(\Delta \) tạo với \(d\) một góc \({45^0} \Rightarrow \cos {45^0} = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_\Delta }} .\overrightarrow {{n_d}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_\Delta }} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_d}} } \right|}}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{\left| {2a + b} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + 1} .\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\ \Leftrightarrow 2\left| {2a + b} \right| = \sqrt {10} .\sqrt {{a^2} + {b^2}}  \Leftrightarrow 4{\left( {2a + b} \right)^2} = 10\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\\ \Leftrightarrow 6{a^2} + 16ab - 6{b^2} = 0 \Leftrightarrow 3{a^2} + 8ab - 3{b^2} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {a + 3b} \right)\left( {3a - b} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a + 3b = 0\\3a - b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a =  - 3b\\a = \frac{b}{3}\end{array} \right.\end{array}\)

+) Với \(a =  - 3b \Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow \left| { - 3b - b + c} \right| = \sqrt {10\left( {9{b^2} + {b^2}} \right)} \)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left| {c - 4b} \right| = \sqrt {100{b^2}}  \Leftrightarrow \left| {c - 4b} \right| = 10\left| b \right|\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c - 4b = 10b\\c - 4b =  - 10b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 14b\\c =  - 6b\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a =  - 3b\\c = 14b\end{array} \right. \Rightarrow {\Delta _1}:\,\,\, - 3x + y + 14 = 0\\\left\{ \begin{array}{l}a =  - 3b\\c =  - 6b\end{array} \right. \Rightarrow {\Delta _2}:\,\, - 3x + y - 6 = 0\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{\Delta _1}:\,\,\,3x - y - 14 = 0\\{\Delta _2}:\,\,3x - y + 6 = 0\end{array} \right..\end{array}\)

+) Với \(a = \frac{b}{3} \Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow \left| {\frac{b}{3} - b + c} \right| = \sqrt {10\left( {\frac{{{b^2}}}{9} + {b^2}} \right)} \)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left| {c - \frac{{2b}}{3}} \right| = \sqrt {\frac{{100{b^2}}}{9}}  \Leftrightarrow \left| {c - \frac{{2b}}{3}} \right| = \frac{{10}}{3}\left| b \right|\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c - \frac{{2b}}{3} = \frac{{10b}}{3}\\c - \frac{{2b}}{3} =  - \frac{{10b}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 4b\\c =  - \frac{8}{3}b\end{array} \right.\end{array}\)

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{b}{3}\\c = 4b\end{array} \right. \Rightarrow {\Delta _3}:\,\,\,\frac{1}{3}x + y + 4 = 0\\\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{b}{3}\\c =  - \frac{{8b}}{3}\end{array} \right. \Rightarrow {\Delta _4}:\,\,\frac{1}{3}x + y - \frac{8}{3} = 0\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{\Delta _3}:\,\,\,x + 3y + 12 = 0\\{\Delta _4}:\,\,x + 3y - 8 = 0\end{array} \right..\)

Như vậy có 4 tiếp tuyến thỏa mãn bài toán.

Chọn  A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 11 :

Lập phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn \(\left( {{C_1}} \right):\,\,\,{x^2} + {y^2} - 2x - 3 = 0\) và \(\left( {{C_2}} \right):\,\,{x^2} + {y^2} - 8x - 8y + 28 = 0.\)

  • A \(\left[ \begin{array}{l}{\Delta _1}:\,\,\,4x - 3y - 14 = 0\\{\Delta _2}:\,\,24x + 7y - 74 = 0\end{array} \right.\)                   
  • B \(\left[ \begin{array}{l}{\Delta _1}:\,\,\,4x - 3y - 14 = 0\\{\Delta _2}:\,\,\,4x - 3y + 6 = 0\\{\Delta _3}:\,\,y - 2 = 0\\{\Delta _4}:\,\,24x + 7y - 74 = 0\end{array} \right.\)                                
  • C \(\left[ \begin{array}{l}{\Delta _1}:\,\,\,4x - 3y - 14 = 0\\{\Delta _2}:\,\,\,4x - 3y + 6 = 0\end{array} \right.\)                     
  • D \(\left[ \begin{array}{l}{\Delta _1}:\,\,y - 2 = 0\\{\Delta _2}:\,\,24x + 7y - 74 = 0\end{array} \right.\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Xác định tâm, tính bán kính các đường tròn và vị trí tương đối của hai đường tròn.

+) Nếu hai đường tròn tiếp xúc trong nhau thì có 1 đường tiếp tuyến chung.

+) Nếu hai đường tròn tiếp xúc ngoài nhau thì có 3 đường tiếp tuyến chung.

+) Nếu hai đường tròn ngoài nhau thì có 4 đường tiếp tuyến chung.

+) Nếu hai đường tròn đựng nhau thì không có tiếp tuyến chung.

+) Nếu hai đường tròn cắt nhau thì có 2 đường tiếp tuyến chung.

Gọi \(\Delta :\,\,ax + by + c = 0\,\,\,\left( {{a^2} + {b^2} \ne 0} \right)\) là tiếp tuyến chung của hai đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right).\)

Khi đó ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}d\left( {{I_1};\,\,\Delta } \right) = {R_1}\\d\left( {{I_2};\,\,\Delta } \right) = {R_2}\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\left( {{C_1}} \right):\,\,\,{x^2} + {y^2} - 2x - 3 = 0\) có tâm \({I_1}\left( {1;\,\,0} \right)\) và bán kính \({R_1} = \sqrt {1 + 3}  = 2.\)

\(\left( {{C_2}} \right):\,\,{x^2} + {y^2} - 8x - 8y + 28 = 0\) có tâm \({I_2}\left( {4;\,\,4} \right)\) và bán kính \({R_2} = \sqrt {{4^2} + {4^2} - 28}  = 2.\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {{I_1}{I_2}}  = \left( {3;\,\,4} \right) \Rightarrow {I_1}{I_2} = 5.\)

Lại có:\({R_1} + {R_2} = 2 + 2 = 4.\)

\( \Rightarrow {I_1}{I_2} = 5 > {R_1} + {R_2} = 4 \Rightarrow \left( {{C_1}} \right)\)  và \(\left( {{C_2}} \right)\) ngoài nhau.

\( \Rightarrow \) Hai đường tròn có 4 tiếp tuyến chung.

Gọi \(\Delta :\,\,ax + by + c = 0\,\,\,\left( {{a^2} + {b^2} \ne 0} \right)\) là tiếp tuyến chung của hai đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right).\)

Khi đó ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}d\left( {{I_1};\,\,\Delta } \right) = {R_1}\\d\left( {{I_2};\,\,\Delta } \right) = {R_2}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\left| {a + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = 2\\\frac{{\left| {4a + 4b + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {a + c} \right| = 2\sqrt {{a^2} + {b^2}} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\\left| {4a + 4b + c} \right| = 2\sqrt {{a^2} + {b^2}} \,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left| {a + c} \right| = \left| {4a + 4b + c} \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a + c = 4a + 4b + c\\a + c =  - 4a - 4b - c\end{array} \right.\)  \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3a + 4b = 0\\5a + 4b + 2c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a =  - \frac{{4b}}{3}\\c =  - \frac{{5a + 4b}}{2}\end{array} \right..\)

+) Với \(a =  - \frac{{4b}}{3}\) \( \Rightarrow \left| {c - \frac{{4b}}{3}} \right| = 2\sqrt {\frac{{16}}{9}{b^2} + {b^2}} \) \( \Leftrightarrow \left| {c - \frac{{4b}}{3}} \right| = \frac{{10\left| b \right|}}{3}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c - \frac{{4b}}{3} = \frac{{10b}}{3}\\c - \frac{{4b}}{3} =  - \frac{{10b}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = \frac{{14b}}{3}\\c =  - 2b\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a =  - \frac{{4b}}{3}\\c = \frac{{14b}}{3}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a =  - \frac{{4b}}{3}\\c =  - 2b\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{\Delta _1}:\,\,\, - \frac{4}{3}x + y + \frac{{14}}{3} = 0\\{\Delta _2}:\,\, - \frac{4}{3}x + y - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\Delta _1}:\,\,\,\,4x - 3y - 14 = 0\\{\Delta _2}:\,\,\,4x - 3y + 6 = 0\end{array} \right.\end{array}\)

+) Với \(c =  - \frac{{5a + 4b}}{2}\) \( \Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow \left| {a - \frac{{5a - 4b}}{2}} \right| = 2\sqrt {{a^2} + {b^2}} \)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left| {3a + 4b} \right| = 4\sqrt {{a^2} + {b^2}}  \Leftrightarrow {\left( {3a + 4b} \right)^2} = 16\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\\ \Leftrightarrow 9{a^2} + 24ab + 16{b^2} = 16{a^2} + 16{b^2}\\ \Leftrightarrow a\left( {7a - 24b} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\\7a - 24b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0 \Rightarrow c =  - 2b\\a = \frac{{24b}}{7} \Rightarrow c =  - \frac{{74b}}{7}\end{array} \right.\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = 0\\c =  - 2b\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{24b}}{7}\\c =  - \frac{{74b}}{7}\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{\Delta _3}:\,\,\,y - 2 = 0\\{\Delta _4}:\,\,\,\frac{{24}}{7}x + y - \frac{{74}}{7} = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\Delta _3}:\,\,y - 2 = 0\\{\Delta _4}:\,\,24x + 7y - 74 = 0\end{array} \right..\end{array}\)

Vậy có 4 đường tiếp tuyến thỏa mãn bài toán là: \(\left[ \begin{array}{l}{\Delta _1}:\,\,\,4x - 3y - 14 = 0\\{\Delta _2}:\,\,\,4x - 3y + 6 = 0\\{\Delta _3}:\,\,y - 2 = 0\\{\Delta _4}:\,\,24x + 7y - 74 = 0\end{array} \right..\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 12 :

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), cho đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 2x - 4y - 5 = 0\) và \(A\left( {0;\, - 1} \right) \in \left( C \right)\). Tọa độ điểm \(B\) và \(C\) thuộc đường tròn \(\left( C \right)\) để \(\Delta ABC\) đều là

  • A \(\left( {\frac{{7 + \sqrt 3 }}{2};\,\,\,\frac{{3 - 3\sqrt 3 }}{2}} \right)\) \(\left( {\frac{{7 - \sqrt 3 }}{2};\,\,\,\frac{{3 + 3\sqrt 3 }}{2}} \right)\)            
  • B \(\left( {\frac{{7 + \sqrt 3 }}{2};\,\,\,\frac{{3 + 3\sqrt 3 }}{2}} \right)\) và \(\left( {\frac{{7 - \sqrt 3 }}{2};\,\,\,\frac{{3 + 3\sqrt 3 }}{2}} \right)\)
  • C \(\left( {\frac{{7 + 3\sqrt 3 }}{2};\,\,\,\frac{{3 + 3\sqrt 3 }}{2}} \right)\) và \(\left( {\frac{{7 - 3\sqrt 3 }}{2};\,\,\,\frac{{3 + 3\sqrt 3 }}{2}} \right)\)                        
  • D \(\left( {\frac{{7 + \sqrt 3 }}{2};\,\,\,\frac{{3 - \sqrt 3 }}{2}} \right)\) \(\left( {\frac{{7 - \sqrt 3 }}{2};\,\,\,\frac{{3 + \sqrt 3 }}{2}} \right)\) 

Đáp án: A

Phương pháp giải:

+) Viết phương trình đường thẳng \(\left( \Delta  \right)\) đi qua hai điểm \(B\) và \(C\).

+) Xác định tọa độ giao điểm của đường thẳng \(\left( \Delta  \right)\)với \(\left( C \right)\).

Lời giải chi tiết:

\(\left( C \right):\,\,{x^2} + {y^2} - 2x - 4y - 5 = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}I\left( {1;2} \right)\\R = \sqrt {10} \end{array} \right.\)

Để \(\Delta ABC\) đều thì \(I\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\).

\(A\left( {0;\,\, - 1} \right),\,\,I\left( {1;\,\,2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AI}  = \left( {1;\,\,3} \right)\)

Gọi \(H\) là trung điểm của \(BC\). Suy ra, \(\overrightarrow {AI}  = 2\,.\,\overrightarrow {IH}  \Rightarrow H\left( {\frac{3}{2};\,\,\frac{7}{2}} \right)\).

Ta có:

\(\left( {BC} \right):\left\{ \begin{array}{l}{\mathop{\rm qua}\nolimits} \,H\left( {\frac{3}{2};\frac{7}{2}} \right)\\{{\vec n}_{BC}} = \overrightarrow {AI}  = \left( {1;\,\,3} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( {BC} \right):\,\,1\,\,.\,\,\left( {x - \frac{3}{2}} \right) + 3\,\,.\,\,\left( {y - \frac{7}{2}} \right) = 0\)\( \Rightarrow \left( {BC} \right):\,\,x + 3y - 12 = 0\)

Vì \(B,\,\,C \in \left( C \right)\) nên tọa độ của \(B\) và \(C\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} - 2x - 4y - 5 = 0\\x + 3y - 12 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} - 2x - 4y - 5 = 0\\x = 12 - 3y\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow {\left( {12 - 3y} \right)^2} + {y^2} - 2\left( {12 - 3y} \right) - 4y - 5 = 0\)

\( \Leftrightarrow 144 - 72y + 9{y^2} + {y^2} - 24 + 6y - 4y - 5 = 0\)

\( \Leftrightarrow 10{y^2} - 70y + 115 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = \frac{{3 - 3\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow x = \frac{{7 + \sqrt 3 }}{2}\\y = \frac{{3 + 3\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow x = \frac{{7 - \sqrt 3 }}{2}\end{array} \right.\)

Vậy \(B\left( {\frac{{7 + \sqrt 3 }}{2};\,\,\frac{{3 - 3\sqrt 3 }}{2}} \right),\,\,C\left( {\frac{{7 - \sqrt 3 }}{2};\,\,\frac{{3 + 3\sqrt 3 }}{2}} \right)\,\) hoặc \(B\left( {\frac{{7 - \sqrt 3 }}{2};\,\,\frac{{3 + 3\sqrt 3 }}{2}} \right),\,\,C\left( {\frac{{7 + \sqrt 3 }}{2};\,\,\frac{{3 - 3\sqrt 3 }}{2}} \right)\,\).

Chọn  A

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 13 :

Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn \(\left( C \right):\,\,\,{x^2} + {y^2} = 25,\) biết rằng tiếp tuyến đó hợp với đường thẳng \(\Delta :\,\,x + 2y - 1 = 0\) một góc \(\alpha \) mà \(\cos \alpha  = \frac{2}{{\sqrt 5 }}.\)

  • A \(\left[ \begin{array}{l}{d_1}:\,\,y + 5 = 0\\{d_2}:\,\,y - 5 = 0\end{array} \right.\)                          
  • B \(\left[ \begin{array}{l}{d_1}:\,\,4x + 3y + 25 = 0\\{d_2}:\,\,4x + 3y = 25 = 0\end{array} \right.\)             
  • C \(\left[ \begin{array}{l}{d_1}:\,\,y + 5 = 0\\{d_2}:\,\,4x + 3y + 25 = 0\end{array} \right.\)             
  • D \(\left[ \begin{array}{l}{d_1}:\,\,y + 5 = 0\\{d_2}:\,\,y - 5 = 0\\{d_3}:\,\,4x + 3y + 25 = 0\\{d_4}:\,\,4x + 3y - 25 = 0\end{array} \right.\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {0;\,\,0} \right)\) và bán kính \(R = 5.\)

Giả sử tiếp tuyến \(d:\,\,\,ax + by + c = 0\,\,\,\left( {{a^2} + {b^2} \ne 0} \right).\)

\(d\) là tiếp tuyến của \(\left( C \right) \Rightarrow d\left( {I;\,\,d} \right) = R = 5.\)

Theo đề bài ta có: \(d\) tạo với \(\Delta \) một góc \(\alpha  \Rightarrow \cos \alpha  = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_\Delta }} .\overrightarrow {{n_d}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_\Delta }} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_d}} } \right|}}.\)

Giải phương trình để từ đó lập phương trình đường thẳng \(d.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\overrightarrow {{n_\Delta }}  = \left( {1;\,\,2} \right).\) Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {0;\,\,0} \right)\) và bán kính \(R = 5.\)

Giả sử tiếp tuyến \(d:\,\,\,ax + by + c = 0\,\,\,\left( {{a^2} + {b^2} \ne 0} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_d}}  = \left( {a;\,\,b} \right)\)

\(d\) là tiếp tuyến của \(\left( C \right) \Rightarrow d\left( {I;\,\,d} \right) = R = 5.\)

\( \Rightarrow \frac{{\left| c \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = 5 \Leftrightarrow \left| c \right| = 5\sqrt {{a^2} + {b^2}} \,\,\,\,\left( * \right)\)

Theo đề bài ta có: \(d\) tạo với \(\Delta \) một góc \(\alpha  \Rightarrow \cos \alpha  = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_\Delta }} .\overrightarrow {{n_d}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_\Delta }} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_d}} } \right|}}.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{2}{{\sqrt 5 }} = \frac{{\left| {a + 2b} \right|}}{{\sqrt 5 .\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \Leftrightarrow \left| {a + 2b} \right| = 2\sqrt {{a^2} + {b^2}} \\ \Leftrightarrow {\left( {a + 2b} \right)^2} = 4{a^2} + 4{b^2} \Leftrightarrow 3{a^2} - 4ab = 0\\ \Leftrightarrow a\left( {3a - 4b} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\\3a - 4b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\\b = \frac{{3a}}{4}\end{array} \right..\end{array}\)

+) Với \(a = 0 \Rightarrow \overrightarrow {{n_d}}  = \left( {0;\,\,b} \right)\) \( \Rightarrow d:\,\,\,by + c = 0.\)

\( \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow \left| c \right| = 5\sqrt {{b^2}}  \Leftrightarrow \left| c \right| = 5\left| b \right|\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 5b\\c =  - 5b\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{d_1}:\,\,\,y + 5 = 0\\{d_2}:\,\,\,y - 5 = 0\,\,\,\end{array} \right.\)

+) Với \(b = \frac{{3a}}{4} \Rightarrow \overrightarrow {{n_d}}  = \left( {a;\,\frac{{3a}}{4}} \right) = \frac{a}{4}\left( {4;\,\,3} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow \left| c \right| = 5\sqrt {{a^2} + \frac{{9{a^2}}}{{16}}}  \Leftrightarrow \left| c \right| = \frac{{25}}{4}\left| a \right|\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = \frac{{25a}}{4}\\c =  - \frac{{25a}}{4}\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}b = \frac{{3a}}{4}\\c = \frac{{25a}}{4}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}b = \frac{{3a}}{4}\\c =  - \frac{{25a}}{4}\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{d_3}:\,\,\,x + \frac{3}{4}y + \frac{{25}}{4} = 0\\{d_4}:\,\,\,x + \frac{3}{4}y - \frac{{25}}{4} = 0\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{d_3}:\,\,\,4x + 3y + 25 = 0\\{d_4}:\,\,\,4x + 3y - 25 = 0\end{array} \right..\end{array}\)

Vậy có 4 tiếp tuyến thỏa mãn bài toán: \(\left[ \begin{array}{l}{d_1}:\,\,\,y + 5 = 0\\{d_2}:\,\,\,y - 5 = 0\\{d_3}:\,\,\,4x + 3y + 25 = 0\\{d_4}:\,\,\,4x + 3y - 25 = 0\end{array} \right..\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 14 :

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường tròn \(\left( C \right):\,\,{x^2} + {y^2} = 1\), đường thẳng \(\left( d \right):\,\,x + y + m = 0\). Giá trị của \(m\) để \(\left( C \right)\) cắt \(\left( d \right)\) tại hai điểm \(A\) và \(B\) sao cho diện tích \(ABO\) lớn nhất là:

  • A \(m = 1\)                      
  • B \(m =  - 1\)                   
  • C \(m =  \pm 1\)  
  • D \(m =  \pm 2\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

+) Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\)cắt \(\left( d \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A\) và \(B\) thì \(d\left( {I,\,\,\left( d \right)} \right) < R\).

+) Áp dụng CT tính diện tích tam giác.

Lời giải chi tiết:

\(\left( C \right):\,\,{x^2} + {y^2} = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}O\left( {0;\,\,0} \right)\\R = 1\end{array} \right.\)

Vì \(\left( d \right)\) cắt \(\left( C \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A\) và \(B\) nên \(d\left( {O;\,\,d} \right) < R \Rightarrow d\left( {O;\,\,d} \right) < 1\).

Ta có: \({S_{OAB}} = \frac{1}{2} \cdot OA \cdot OB \cdot \sin \widehat {AOB} = \frac{1}{2} \cdot \sin \widehat {AOB} \le \frac{1}{2}\)

Dấu “\( = \)” xảy ra khi \(\widehat {AOB} = {90^0}\).

\( \Rightarrow {S_{\Delta OAB}}\) lớn nhất \( \Leftrightarrow \widehat {AOB} = {90^0}\).

\( \Rightarrow \Delta OAB\) là tam giác vuông cân tại \(O\).

\( \Rightarrow d\left( {O;\,\,d} \right) = \frac{{\left| {1\,\,.\,\,0 + 1\,\,.\,\,0 + m} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{{\left| m \right|}}{{\sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \left| m \right| = 1 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m =  - 1\end{array} \right.\)

Vậy \(m =  \pm 1\).

Chọn  C

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 15 :

Cho đường tròn \(\left( C \right):\,\,\,{x^2} + {y^2} + 2x - 4y - 4 = 0\) và điểm \(A\left( {2;\,\,5} \right).\) Lập phương trình tiếp tuyến kẻ từ \(A\) tới đường tròn. Giả sử các tiếp tuyến này tiếp xúc với đường tròn tại hai điểm \(M,\,\,N.\) Hãy tính độ dài \(MN.\)

  • A \(MN = 3\sqrt 2 \)        
  • B \(MN = 3\)       
  • C \(MN = 2\sqrt 5 \)        
  • D \(MN = 2\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Đường tròn \(\left( C \right):\,\,{x^2} + {y^2} + 2x - 4y - 4 = 0\) có tâm \(I\left( { - 1;\,\,2} \right)\) và bán kính \(R = 3.\)

Ta có: \(\overrightarrow {IA}  = \left( {3;\,\,3} \right) \Rightarrow IA = 3\sqrt 2  > R \Rightarrow A\)  nằm ngoài đường tròn \(\left( C \right).\)

Từ đó suy ra phương trình các đường tiếp tuyến của đường tròn \(\left( C \right)\) và tìm tọa độ các điểm \(M,\,\,N \Rightarrow MN.\)

Lời giải chi tiết:

Đường tròn \(\left( C \right):\,\,{x^2} + {y^2} + 2x - 4y - 4 = 0\) có tâm \(I\left( { - 1;\,\,2} \right)\) và bán kính \(R = 3.\)

Ta có: \(\overrightarrow {IA}  = \left( {3;\,\,3} \right) \Rightarrow IA = 3\sqrt 2  > R \Rightarrow A\)  nằm ngoài đường tròn \(\left( C \right).\)

\( \Rightarrow \) Từ \(A\) có thể kẻ được 2 đường tiếp tuyến với đường tròn \(\left( C \right).\)

Gọi tiếp tuyến của đường tròn \(\left( C \right)\) kẻ từ \(A\left( {2;\,5} \right)\) và có VTPT là \(\overrightarrow n  = \left( {a;\,\,b} \right).\) 

\(\begin{array}{l} \Rightarrow d:\,\,\,a\left( {x - 2} \right) + b\left( {y - 5} \right) = 0\\ \Rightarrow d:\,\,\,ax + by - 2a - 5b = 0\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow d\left( {I;\,\,d} \right) = R \Leftrightarrow \frac{{\left| { - a + 2b - 2a - 5b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = 3\\ \Leftrightarrow \left| { - 3a - 3b} \right| = 3\sqrt {{a^2} + {b^2}} \\ \Leftrightarrow \left| {a + b} \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + 2ab = {a^2} + {b^2}\\ \Leftrightarrow ab = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0 \Rightarrow {d_1}:\,\,\,\,y - 5 = 0\\b = 0 \Rightarrow {d_2}:\,\,\,x - 2 = 0\end{array} \right..\end{array}\)

Vậy có hai tiếp tuyến là \({d_1}:\,\,\,y = 5\) và \({d_2}:\,\,x = 2.\)

Gọi \(M = {d_1} \cap \left( C \right) \Rightarrow \) Tọa độ điểm \(M\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}y = 5\\{x^2} + {y^2} - 2x - 6y + 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 5\\x =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow M\left( { - 1;\,\,5} \right).\)

Gọi \(N = {d_2} \cap \left( C \right) \Rightarrow \) Tọa độ điểm \(N\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\{x^2} + {y^2} - 2x - 6y + 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 2\end{array} \right. \Rightarrow N\left( {2;\,\,2} \right).\\ \Rightarrow MN = \sqrt {{{\left( {2 + 1} \right)}^2} + {{\left( {2 - 5} \right)}^2}}  = 3\sqrt 2 .\end{array}\)

Chọn  A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 16 :

Cho đường tròn \(\left( C \right):\,\,\,{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 9\) và đường thẳng \(d:\,\,3x - 4y + m = 0.\) Tìm \(m\) để trên \(d\) có duy nhất một điểm \(P\) mà từ \(P\) có thể kẻ được hai tiếp tuyến \(PA,\,\,PB\) với \(A,\,\,B\) là các tiếp điểm sao cho \(\Delta PAB\) là tam giác đều. 

  • A \(\left[ \begin{array}{l}m =  - 19\\m = 41\end{array} \right.\)
  • B \(\left[ \begin{array}{l}m =  - 19\\m =  - 41\end{array} \right.\)                    
  • C \(\left[ \begin{array}{l}m = 19\\m = 41\end{array} \right.\)
  • D \(\left[ \begin{array}{l}m = 19\\m =  - 41\end{array} \right.\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Đường tròn \(\left( C \right):\,\,\,{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 9\) có tâm \(I\left( {1;\, - 2} \right)\) và bán kính \(R = 3.\)

\(\Delta PAB\) là tam giác đều \( \Leftrightarrow PA = 2AI = 6.\)

\( \Rightarrow P \in \left( {C'} \right)\) với \(\left( {C'} \right)\) là đường tròn tâm \(I\left( {1; - 2} \right)\) và có bán kính \(R' = 6cm.\)

\( \Rightarrow \) \(P\) là giao điểm của \(d:\,\,\,3x - 4y + m = 0\) và \(\left( {C'} \right).\)

Mà có duy nhất một điểm \(P\) mà từ \(P\) có thể kẻ được hai tiếp tuyến \(PA,\,\,PB\) với \(A,\,\,B\) là các tiếp điểm sao cho \(\Delta PAB\) là tam giác đều. 

\( \Rightarrow d\) tiếp xúc với \(\left( {C'} \right)\) hay \(d'\) là tiếp tuyến của \(\left( {C'} \right)\) tại \(P.\)

\( \Rightarrow d\left( {I;\,\,d} \right) = 6.\)

Lời giải chi tiết:

Đường tròn \(\left( C \right):\,\,\,{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 9\) có tâm \(I\left( {1;\, - 2} \right)\) và bán kính \(R = 3.\)

\(\Delta PAB\) là tam giác đều \( \Leftrightarrow PI = 2AI = 6.\)

\( \Rightarrow P \in \left( {C'} \right)\) với \(\left( {C'} \right)\) là đường tròn tâm \(I\left( {1; - 2} \right)\) và có bán kính \(R' = 6cm.\)

\( \Rightarrow \left( {C'} \right):\,\,\,\,{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 36.\)

\( \Rightarrow \) \(P\) là giao điểm của \(d:\,\,\,3x - 4y + m = 0\) và \(\left( {C'} \right).\)

Mà có duy nhất một điểm \(P\) mà từ \(P\) có thể kẻ được hai tiếp tuyến \(PA,\,\,PB\) với \(A,\,\,B\) là các tiếp điểm sao cho \(\Delta PAB\) là tam giác đều. 

\( \Rightarrow d\) tiếp xúc với \(\left( {C'} \right)\) hay \(d'\) là tiếp tuyến của \(\left( {C'} \right)\) tại \(P.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow d\left( {I;\,\,d} \right) = 6 \Leftrightarrow \frac{{\left| {3 + 4.2 + m} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 6\\ \Leftrightarrow \left| {11 + m} \right| = 30 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m + 11 = 30\\m + 11 =  - 30\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 19\\m =  - 41\end{array} \right..\end{array}\)

Chọn  D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 17 :

Cho hai đường tròn \(\left( {{C_1}} \right):\,\,{x^2} + {y^2} - 10x = 0\) và \(\left( {{C_2}} \right):\,\,{x^2} + {y^2} + 4x - 2y - 20 = 0.\) Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn \(\left( {{C_1}} \right),\,\,\left( {{C_2}} \right).\) 

  • A \(\left[ \begin{array}{l}{\Delta _1}:\,\,\,x - 7y + 25\sqrt 2  - 5 = 0\\{\Delta _2}:\,\,\,x + 7y - 25\sqrt 2  - 5 = 0\end{array} \right.\)
  • B \(\left[ \begin{array}{l}{\Delta _1}:\,\,\,x + 7y + 25\sqrt 2  - 5 = 0\\{\Delta _2}:\,\,\,x - 7y - 25\sqrt 2  - 5 = 0\end{array} \right.\)
  • C \(\left[ \begin{array}{l}{\Delta _1}:\,\,\,x + 7y + 25\sqrt 2  - 5 = 0\\{\Delta _2}:\,\,\,x + 7y - 25\sqrt 2  - 5 = 0\end{array} \right.\)              
  • D \(\left[ \begin{array}{l}{\Delta _1}:\,\,\,x - 7y + 25\sqrt 2  - 5 = 0\\{\Delta _2}:\,\,\,x - 7y - 25\sqrt 2  - 5 = 0\end{array} \right.\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) có tâm \({I_1}\left( {5;\,\,0} \right)\) và bán kính \({R_1} = 5.\) 

Đường tròn \(\left( {{C_2}} \right)\) có tâm \({I_2}\left( { - 2;\,\,1} \right)\) và bán kính \({R_2} = \sqrt {{2^2} + 1 + 20}  = 5.\) 

\( \Rightarrow {I_1}{I_2} = \sqrt {{{\left( { - 2 - 5} \right)}^2} + 1}  = 5\sqrt 2  < {R_1} + {R_2} = 10\)

\( \Rightarrow \) Hai đường tròn đã cho cắt nhau \( \Rightarrow \) hai đường tròn có 2 đường tiếp tuyến chung.

Gọi \(\Delta :\,\,ax + by + c = 0\,\,\,\left( {{a^2} + {b^2} \ne 0} \right)\) là tiếp tuyến chung của hai đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right).\)

Khi đó ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}d\left( {{I_1};\,\,\Delta } \right) = {R_1}\\d\left( {{I_2};\,\,\Delta } \right) = {R_2}\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

Đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) có tâm \({I_1}\left( {5;\,\,0} \right)\) và bán kính \({R_1} = 5.\) 

Đường tròn \(\left( {{C_2}} \right)\) có tâm \({I_2}\left( { - 2;\,\,1} \right)\) và bán kính \({R_2} = \sqrt {{2^2} + 1 + 20}  = 5.\) 

\( \Rightarrow {I_1}{I_2} = \sqrt {{{\left( { - 2 - 5} \right)}^2} + 1}  = 5\sqrt 2  < {R_1} + {R_2} = 10\)

\( \Rightarrow \) Hai đường tròn đã cho cắt nhau \( \Rightarrow \) hai đường tròn có 2 đường tiếp tuyến chung.

Gọi \(\Delta :\,\,ax + by + c = 0\,\,\,\left( {{a^2} + {b^2} \ne 0} \right)\) là tiếp tuyến chung của hai đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right).\)

Khi đó ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}d\left( {{I_1};\,\,\Delta } \right) = {R_1}\\d\left( {{I_2};\,\,\Delta } \right) = {R_2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\left| {5a + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = 5\\\frac{{\left| { - 2a + b + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = 5\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{\left| {5a + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \frac{{\left| { - 2a + b + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\\ \Leftrightarrow \left| {5a + c} \right| = \left| { - 2a + b + c} \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5a + c =  - 2a + b + c\\5a + c = 2a - b - c\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 7a\\3a + b + 2c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 7a\\b =  - 3a - 2c\end{array} \right.\end{array}\)

+) Với \(b = 7a \Rightarrow \frac{{\left| {5a + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = 5 \Leftrightarrow \left| {5a + c} \right| = 5\sqrt {{a^2} + 49{a^2}} \)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left| {5a + c} \right| = 25\sqrt 2 \left| a \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5a + c = 25\sqrt 2 a\\5a + c =  - 25\sqrt 2 a\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = \left( {25\sqrt 2  - 5} \right)a\\c =  - \left( {25\sqrt 2  + 5} \right)a\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{\Delta _1}:\,\,\,x + 7y + 25\sqrt 2  - 5 = 0\\{\Delta _2}:\,\,\,x + 7y - 25\sqrt 2  - 5 = 0\end{array} \right.\end{array}\)

+) Với \(b =  - 3a - 2c \Rightarrow \frac{{\left| {5a + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = 5\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left| {5a + c} \right| = 5\sqrt {{a^2} + {{\left( {3a + 2c} \right)}^2}} \\ \Leftrightarrow \left| {5a + c} \right| = 5\sqrt {10{a^2} + 12ac + 4{c^2}} \\ \Leftrightarrow 25{a^2} + 10ac + {c^2} = 25\left( {10{a^2} + 12ac + 4{c^2}} \right)\\ \Leftrightarrow 225{a^2} + 290ac + 99c = 0\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Phương trình vô nghiệm.

Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn bài toán: \(\left[ \begin{array}{l}{\Delta _1}:\,\,\,x + 7y + 25\sqrt 2  - 5 = 0\\{\Delta _2}:\,\,\,x + 7y - 25\sqrt 2  - 5 = 0\end{array} \right.\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 18 :

Cho hai đường tròn:\(\left( {{C_1}} \right):\,\,{x^2} + {y^2} - 4y - 5 = 0\) và \(\left( {{C_2}} \right):\,\,{x^2} + {y^2} - 6x + 8y + 16 = 0.\) Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn \(\left( {{C_1}} \right),\,\,\left( {{C_2}} \right).\) 

  • A \(\left[ \begin{array}{l}{\Delta _1}:\,\,\,2x + y + 3\sqrt 5  - 2 = 0\\{\Delta _2}:\,\,2x + y - 3\sqrt 5  - 2 = 0\end{array} \right.\)            
  • B \(\left[ \begin{array}{l}{\Delta _1}:\,\,\,y + 1 = 0\\{\Delta _2}:\,\,\,4x - 3y - 9 = 0\end{array} \right.\)                    
  • C \(\left[ \begin{array}{l}{\Delta _1}:\,\,\,2x + y + 3\sqrt 5  - 2 = 0\\{\Delta _2}:\,\,2x + y - 3\sqrt 5  - 2 = 0\\{\Delta _3}:\,\,\,y + 1 = 0\end{array} \right.\)
  • D \(\left[ \begin{array}{l}{\Delta _1}:\,\,\,2x + y + 3\sqrt 5  - 2 = 0\\{\Delta _2}:\,\,2x + y - 3\sqrt 5  - 2 = 0\\{\Delta _3}:\,\,\,y + 1 = 0\\{\Delta _4}:\,\,\,4x - 3y - 9 = 0\end{array} \right.\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) có tâm \({I_1}\left( {0;\,\,2} \right)\) và bán kính \({R_1} = \sqrt {{2^2} + 5}  = 3.\) 

Đường tròn \(\left( {{C_2}} \right)\) có tâm \({I_2}\left( {3;\,\, - 4} \right)\) và bán kính \({R_2} = \sqrt {{3^2} + {4^2} - 16}  = 3.\) 

\( \Rightarrow {I_1}{I_2} = \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4 - 2} \right)}^2}}  = 3\sqrt 5  > {R_1} + {R_2} = 6\)

\( \Rightarrow \) Hai đường tròn đã cho ngoài \( \Rightarrow \) hai đường tròn có 4 đường tiếp tuyến chung.

Gọi \(\Delta :\,\,ax + by + c = 0\,\,\,\left( {{a^2} + {b^2} \ne 0} \right)\) là tiếp tuyến chung của hai đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right).\)

Khi đó ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}d\left( {{I_1};\,\,\Delta } \right) = {R_1}\\d\left( {{I_2};\,\,\Delta } \right) = {R_2}\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

Đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) có tâm \({I_1}\left( {0;\,\,2} \right)\) và bán kính \({R_1} = \sqrt {{2^2} + 5}  = 3.\) 

Đường tròn \(\left( {{C_2}} \right)\) có tâm \({I_2}\left( {3;\,\, - 4} \right)\) và bán kính \({R_2} = \sqrt {{3^2} + {4^2} - 16}  = 3.\) 

\( \Rightarrow {I_1}{I_2} = \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4 - 2} \right)}^2}}  = 3\sqrt 5  > {R_1} + {R_2} = 6\)

\( \Rightarrow \) Hai đường tròn đã cho ngoài \( \Rightarrow \) hai đường tròn có 4 đường tiếp tuyến chung.

Gọi \(\Delta :\,\,ax + by + c = 0\,\,\,\left( {{a^2} + {b^2} \ne 0} \right)\) là tiếp tuyến chung của hai đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right).\)

Khi đó ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}d\left( {{I_1};\,\,\Delta } \right) = {R_1}\\d\left( {{I_2};\,\,\Delta } \right) = {R_2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\left| {2b + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = 3\\\frac{{\left| {3a - 4b + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = 3\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left| {2b + c} \right| = \left| {3a - 4b + c} \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2b + c = 3a - 4b + c\\2b + c =  - 3a + 4b - c\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3a = 6b\\3a - 2b + 2c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 2b\\b = \frac{{3a + 2c}}{2}\end{array} \right.\end{array}\)

+) Với \(a = 2b \Rightarrow \frac{{\left| {2b + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = 3 \Leftrightarrow \left| {2b + c} \right| = 3\sqrt {4{b^2} + {b^2}} \)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left| {2b + c} \right| = 3\sqrt 5 \left| b \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2b + c = 3\sqrt 5 b\\2b + c =  - 3\sqrt 5 b\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = \left( {3\sqrt 5  - 2} \right)b\\c =  - \left( {3\sqrt 5  + 2} \right)b\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = 2b\\c = \left( {3\sqrt 5  - 2} \right)b\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a = 2b\\c =  - \left( {3\sqrt 5  + 2} \right)b\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{\Delta _1}:\,\,\,2x + y + 3\sqrt 5  - 2 = 0\\{\Delta _2}:\,\,2x + y - 3\sqrt 5  - 2 = 0\end{array} \right.\end{array}\)

+) Với \(b = \frac{{3a + 2c}}{2} \Rightarrow \frac{{\left| {2b + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = 3 \Leftrightarrow \left| {3a + 2c + c} \right| = 3\sqrt {{a^2} + {{\left( {\frac{{3a + 2c}}{2}} \right)}^2}} \)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left| {3a + 3c} \right| = 3\sqrt {\frac{{13{a^2} + 12ac + 4{c^2}}}{4}} \\ \Leftrightarrow \left| {a + c} \right| = \sqrt {\frac{{13{a^2} + 12ac + 4{c^2}}}{4}} \\ \Leftrightarrow 4{\left( {a + c} \right)^2} = 13{a^2} + 12ac + 4{c^2}\\ \Leftrightarrow 9{a^2} + 4ac = 0 \Leftrightarrow a\left( {9a + 4c} \right) = 0\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\\9a + 4c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\\a =  - \frac{4}{9}c\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = c\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a =  - \frac{4}{9}c\\b = \frac{1}{3}c\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{\Delta _3}:\,\,\,y + 1 = 0\\{\Delta _4}:\,\, - \frac{4}{9}x + \frac{1}{3}y + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\Delta _3}:\,\,\,y + 1 = 0\\{\Delta _4}:\,\,\,4x - 3y - 9 = 0\end{array} \right..\end{array}\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 19 :

Cho đường thẳng \(d:\,\,x - y + 1 = 0\) và đường tròn \(\left( C \right):\,\,{x^2} + {y^2} + 2x - 4y = 0.\) Tìm tọa độ điểm \(M \in d\) mà qua đó ta kẻ được hai đường thẳng tiếp xúc với đường tròn \(\left( C \right)\) tại \(A\) và \(B\) sao cho \(\angle AMB = {60^0}.\)

  • A \(\left[ \begin{array}{l}M\left( {3;\,\,4} \right)\\M\left( { - 3; - 2} \right)\end{array} \right.\)          
  • B \(\left[ \begin{array}{l}M\left( {3;\,\,4} \right)\\M\left( { - 3;\,\,2} \right)\end{array} \right.\)         
  • C \(\left[ \begin{array}{l}M\left( {3;\,\,4} \right)\\M\left( {3; - 2} \right)\end{array} \right.\)                         
  • D \(\left[ \begin{array}{l}M\left( {3;\, - \,4} \right)\\M\left( { - 3; - 2} \right)\end{array} \right.\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( { - 1;\,\,2} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {1 + {2^2}}  = \sqrt 5 .\)

Ta có: \(M \in d \Rightarrow M\left( {m;\,\,m + 1} \right).\)

Theo đề bài ta có:\(\angle AMB = {60^0} \Rightarrow \Delta AMB\) đều \( \Rightarrow MI = 2IA = 2R = 2\sqrt 5 .\)

Lời giải chi tiết:

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( { - 1;\,\,2} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {1 + {2^2}}  = \sqrt 5 .\)

 Ta có: \(M \in d \Rightarrow M\left( {m;\,\,m + 1} \right).\)

Theo đề bài ta có:\(\angle AMB = {60^0} \Rightarrow \Delta AMB\) đều \( \Rightarrow MI = 2IA = 2R.\)

\( \Rightarrow M \in \left( {C'} \right)\) với \(\left( {C'} \right)\) là đường tròn tâm \(I\left( { - 1;\,\,2} \right)\) và có bán kính \(R' = 2\sqrt 5 cm.\)

\( \Rightarrow \left( {C'} \right):\,\,\,\,{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 20.\)

\( \Rightarrow \) \(M\) là giao điểm của \(d:\,\,\,x - y + 1 = 0\) và \(\left( {C'} \right).\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} + {\left( {m + 1 - 2} \right)^2} = 20\\ \Leftrightarrow {m^2} + 2m + 1 + {m^2} - 2m + 1 = 20\\ \Leftrightarrow 2{m^2} = 18\\ \Leftrightarrow {m^2} = 9\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 3\\m =  - 3\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}M\left( {3;\,\,4} \right)\\M\left( { - 3; - 2} \right)\end{array} \right..\end{array}\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 20 :

Đường tròn \(\left( C \right)\) đi qua điểm \(M\left( {2;\,\,1} \right)\) và tiếp xúc với hai trục tọa độ \(Ox,\,\,Oy\) có phương trình là:

  • A \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 1\) hoặc \({\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} = 25\)                  
  • B \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 1\) hoặc \({\left( {x + 5} \right)^2} + {\left( {y + 5} \right)^2} = 25\)               
  • C \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 1\)
  • D \({\left( {x + 5} \right)^2} + {\left( {y + 5} \right)^2} = 25\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

+) Gọi \(I\left( {a;\,\,b} \right)\) là tâm của đường tròn \(\left( C \right)\)

+) \(IM = R\)

Lời giải chi tiết:

Gọi \(I\left( {a;\,\,b} \right)\) là tâm của đường tròn \(\left( C \right)\).

Trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), vì \(M\left( {2;\,\,1} \right)\) thuộc góc phần tư thứ (I) và đường tròn tiếp xúc hai trục \(Ox,\,\,Oy\) nên \(I\left( {a;\,\,a} \right)\) với \(a > 0\).

Ta có: \({R^2} = {a^2} = I{M^2} = {\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {a - 1} \right)^2}\)

\( \Rightarrow {a^2} = {\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {a - 1} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow {a^2} = {a^2} - 4a + 4 + {a^2} - 2a + 1\)

\( \Leftrightarrow {a^2} - 6a + 5 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 1\\a = 5\end{array} \right.\)

+) Với \(a = 1\) \( \Rightarrow I\left( {1;\,\,1} \right),\,\,R = 1\).

\( \Rightarrow \) Phương trình đường tròn \(\left( C \right):\,\,{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 1\)

+) Với \(a = 5 \Rightarrow I\left( {5;\,\,5} \right),\,\,R = 5\)

\( \Rightarrow \) Phưng trình đường tròn \(\left( C \right):\,\,{\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} = 25\)

Chọn  A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 21 :

Đường tròn \(\left( C \right)\) đi qua hai điểm \(A\left( {1;\,\,2} \right),\,\,B\left( {3;\,\,4} \right)\) và tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta :3x + y - 3 = 0\), viết phương trình đường tròn \(\left( C \right)\), biết tâm của \(\left( C \right)\) có tọa độ là những số nguyên.

  • A \({x^2} + {y^2} - 3x -7y + 12 = 0\)     
  • B \({x^2} + {y^2} - 6x -4y + 5 = 0\)                              
  • C \({x^2} + {y^2} - 8x -2y - 10 = 0\)      
  • D \({x^2} + {y^2} - 2x - 8y + 7 = 0.\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng để xác định tọa tâm của đường tròn \(C\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(I\) là tâm của đường tròn \(\left( C \right)\)

\(\left( {AB} \right):\,\,x - y + 1 = 0 \Rightarrow \overrightarrow {{n_{AB}}}  = \left( {1;\, - 1} \right),\,\,\overrightarrow {{u_{AB}}}  = \left( {1;\,\,1} \right).\)

Gọi \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\)\( \Rightarrow M\left( {2;\,\,3} \right)\)

Phương trình đường thẳng trung trực của đoạn \(AB\) là \(d:x - 2 + y - 3 = 0 \Leftrightarrow x + y - 5 = 0\)

\( \Rightarrow I\left( {a;\,\,5 - a} \right)\) với \(a \in \mathbb{Z}\)

Ta có: \(R = IA = d\left( {I;\,\,\Delta } \right) = \sqrt {{{\left( {a - 1} \right)}^2} + {{\left( {a - 3} \right)}^2}}  = \frac{{\left| {2a + 2} \right|}}{{\sqrt {10} }}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 10\left( {{a^2} - 2a + 1 + {a^2} - 6a + 9} \right) = 4{a^2} + 8a + 4\\ \Leftrightarrow 16{a^2} - 88a - 96 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 4\,\,\,\left( {tm} \right)\\a = \frac{3}{2}\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}I\left( {4;\,\,\,1} \right)\\R = \sqrt {10} \end{array} \right..\end{array}\)

Vậy phương trình đường tròn là: \({\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 10\)\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 8x - 2y + 7 = 0.\)

Chọn  D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 22 :

Tìm bán kính \(R\) của đường tròn đi qua ba điểm \(A\left( {0;\,\,4} \right),\,\,B\left( {3;\,\,4} \right),\,\,C\left( {3;\,\,0} \right)\).

  • A \(R = 5\)                      
  • B \(R = 3\)          
  • C \(R = \sqrt {10} \)                    
  • D \(R = \frac{5}{2}\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Chứng minh ba điểm \(ABC\) là tam giác vuông.

Khi đó, độ dài cạnh huyền sẽ là đường kính của đường tròn đi qua ba điểm \(A\left( {0;\,\,4} \right),\,\,B\left( {3;\,\,4} \right),\,\,C\left( {3;\,\,0} \right).\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(A\left( {0;\,\,4} \right),\,\,B\left( {3;\,\,4} \right),\,\,C\left( {3;\,\,0} \right)\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  = \left( {3;\,\,0} \right)\\\overrightarrow {AC}  = \left( {3;\,\, - 4} \right)\\\overrightarrow {BC}  = \left( {0;\,\, - 4} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AB = 3\\AC = 5\\BC = 4\end{array} \right.\)

Vì \({5^2} = {4^2} + 3{}^2 \Rightarrow \)\(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2}\)

\( \Rightarrow \Delta ABC\) vuông tại \(C\) (định lý Py-ta-go đảo).

\( \Rightarrow \)\(AC\) là đường kính của đường tròn \(\left( C \right)\)\( \Rightarrow R = \frac{{AC}}{2} = \frac{5}{2}\)

Chọn  D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 23 :

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ \(Oxy\), cho đường tròn \(\left( C \right)\) có phương trình:\({x^2} + {y^2} + 4\sqrt 3 x - 4 = 0\). Tia \(Oy\) cắt \(\left( C \right)\) tại \(A\left( {0;2} \right)\). Lập phương trình đường tròn \(\left( {C'} \right)\), bán kính \(R' = 2\) và tiếp xúc ngoài với \(\left( C \right)\) tại \(A\).

  • A \(\left( {C'} \right):{\left( {x - \sqrt 3 } \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 4\)              
  • B \(\left( {C'} \right):{\left( {x - \sqrt 3 } \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 4\)                          
  • C \(\left( {C'} \right):{\left( {x + \sqrt 3 } \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 4\)  
  • D \(\left( {C'} \right):{\left( {x + \sqrt 3 } \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 4\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

+) Phương trình đường tròn tâm \(I\left( {a;\,\,b} \right)\), bán kính \(R\).

Lời giải chi tiết:

\(\left( C \right)\) có \(I\left( { - 2\sqrt 3 ;0} \right)\), \(R = 4\).

Gọi \(J\) là tâm đường tròn cần tìm: \(J(a;b)\)\( \Rightarrow \left( {C'} \right):{\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = 4\)

Do \(\left( C \right)\) và \(\left( {C'} \right)\) tiếp xúc ngoài với nhau \( \Rightarrow \sqrt {{{\left( {a + 2\sqrt 3 } \right)}^2} + {b^2}}  = 4 + 2 = 6\)\( \Leftrightarrow {a^2} + 4\sqrt 3 a + {b^2} = 28\)

Vì \(A\left( {0;2} \right)\) là tiếp điểm cho nên : \({\left( {0 - a} \right)^2} + {\left( {2 - b} \right)^2} = 4\left( 2 \right)\)

Do đó ta có hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {a + 2\sqrt 3 } \right)^2} + {b^2} = 36\\{a^2} + {\left( {2 - b} \right)^2} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + 4\sqrt 3 a + {b^2} = 24\\{a^2} - 4b + {b^2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \sqrt 3 \\b = 3\end{array} \right.\)

Giải hệ tìm được: \(b = 3\) và \(a = \sqrt 3  \Rightarrow \left( {C'} \right):{\left( {x - \sqrt 3 } \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 4\).

Chọn  B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 24 :

Từ điểm \(A\left( {6;2} \right)\) ta kẻ hai tiếp tuyến với đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} = 4,\) tiếp xúc với \(\left( C \right)\) lần lượt tại \(P\) và \(Q.\) Tâm \(I\) của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(APQ\) có tọa độ là:

  • A \(\left( {2;0} \right)\)   
  • B \(\left( {1;1} \right)\)   
  • C \(\left( {3;1} \right)\)               
  • D \(\left( {4;1} \right)\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Chứng minh tứ giác \(OQPA\) là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính \(OA \Rightarrow I\) là trung điểm của \(OA.\)

Lời giải chi tiết:

Đường tròn \(\left( C \right):\,\,\,{x^2} + {y^2} = 4\) có tâm \(O\left( {0;0} \right)\) và bán kính \(R = 2.\)

Ta có: \(A\left( {6;\,\,2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {OA}  = \left( {6;\,\,2} \right) \Rightarrow OA = 2\sqrt {10}  > R \Rightarrow \) \(A\left( {6;2} \right)\) nằm ngoài đường tròn.

Lại có: \(I\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta APQ\) với \(P,\,Q\) là hai tiếp điểm của hai tiếp tuyến kẻ từ \(A\) đến đường tròn \(\left( C \right).\)

Khi đó ta chứng minh được tứ giác \(OPAQ\) là tứ giác nội tiếp.

Lại có: \(\angle OQA = \angle OPA \Rightarrow \) Tâm \(I\) của đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(OPAQ\) hay đường tròn ngoại tiếp \(\Delta APQ\) là trung điểm \(OA \Rightarrow \)\(I\left( {3;1} \right)\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 25 :

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) cho điểm \(A\left( {1; - 3} \right)\), đường thẳng \(\left( \Delta  \right):2x - y + 3 = 0\) và đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 25.\)

Câu 1:

Tìm tọa độ tâm \(I\) và bán kính \(R\) của đường tròn \(\left( C \right).\) Chứng tỏ điểm \(A\) nằm ngoài đường tròn \(\left( C \right)\).

  • A \(I\left( {2;3} \right)\,\,;\,\,R = 5\)
  • B \(I\left( { - 2; - 3} \right)\,\,;\,\,R = 5\)
  • C \(I\left( {2;3} \right)\,\,;\,\,R = 25\)
  • D \(I = \left( { - 2; - 3} \right)\,\,;\,\,R = 25\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Đường tròn tâm \(I\left( {a;b} \right)\) bán kính \(R\) có phương trình: \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}.\)

Nếu \(IA > R\) thì điểm \(A\) nằm ngoài đường tròn \(\left( C \right).\)

Lời giải chi tiết:

\(\left( C \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 25\) có tâm \(I\left( {2;\,\,3} \right)\) và bán kính \(R = 5.\)

Có \(AI = \sqrt {{{\left( {2 - 1} \right)}^2} + {{\left( {3 + 3} \right)}^2}}  = \sqrt {37}  > R\) nên \(A\) nằm ngoài đường tròn \(\left( C \right).\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu 2:

Viết phương trình đường thẳng \(\left( d \right)\) đi qua điểm \(A\) và song song với đường thẳng \(\left( \Delta  \right)\).

  • A \(\left( d \right):2x - y - 1 = 0.\)
  • B \(\left( d \right):2x - y - 3 = 0.\)
  • C \(\left( d \right):2x - y - 5 = 0.\)
  • D \(\left( d \right):2x - y + 1 = 0.\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Hai đường thẳng song song với nhau thì có cùng véc-tơ pháp tuyến.

Phương trình đường thẳng \(d\) đi qua \(M\left( {{x_0};\,\,{y_0}} \right)\) và có VTPT \(\overrightarrow n  = \left( {A;\,\,B} \right)\) có dạng: \(A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) = 0.\)

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng \(\left( d \right)\) song song với đường thẳng \(\left( \Delta  \right):2x - y + 3 = 0\) nên \(\left( d \right)\) có VTPT là \(\overrightarrow n \left( {2; - 1} \right).\)

Đường thẳng \(\left( d \right)\) đi qua điểm \(A\left( {1; - 3} \right)\) và có VTPT là \(\overrightarrow n \left( {2; - 1} \right)\) nên \(\left( d \right)\) có phương trình là: \(2\left( {x - 1} \right) - \left( {y + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x - y - 5 = 0.\)

Vậy \(\left( d \right):2x - y - 5 = 0.\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu 3:

Tìm tọa độ điểm \(M\) thuộc đường thẳng \(\left( \Delta  \right)\) sao cho \(IM = 2R,\) (trong đó \(I,R\) lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn \(\left( C \right)\)).

  • A \(M\left( { - \frac{{24}}{5};\frac{{63}}{5}} \right)\) hoặc \(M\left( {4; - 5} \right)\)
  • B \(M\left( { - \frac{{24}}{5}; - \frac{{63}}{5}} \right)\) hoặc \(M\left( {4;5} \right)\)
  • C \(M\left( {\frac{{24}}{5};\frac{{63}}{5}} \right)\) hoặc \(M\left( { - 4; - 5} \right)\)
  • D \(M\left( {\frac{{24}}{5};\frac{{63}}{5}} \right)\) hoặc \(M\left( {4;5} \right)\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Lập phương trình \(IM = 2R\) theo tọa độ của \(M\) và giải phương trình. 

Lời giải chi tiết:

Vì \(M\) thuộc đường thẳng \(\left( \Delta  \right)\) nên gọi \(M\left( {a;\,\,2a + 3} \right).\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow IM = 2R \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {a - 2} \right)}^2} + {{\left( {2a + 3 - 3} \right)}^2}}  = 10\\ \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} - 4a + 4 + 4{a^2}}  = 10\\ \Leftrightarrow 5{a^2} - 4a + 4 = 100 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = \frac{{24}}{5} \Rightarrow M\left( {\frac{{24}}{5};\frac{{63}}{5}} \right)\\a =  - 4 \Rightarrow M\left( { - 4; - 5} \right)\end{array} \right..\end{array}\)

Vậy \(M\left( {\frac{{24}}{5};\frac{{63}}{5}} \right)\) hoặc \(M\left( { - 4; - 5} \right)\) thỏa mãn yêu cầu.

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 26 :

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\) cho đường tròn hai đường tròn \(\left( {{C_1}} \right):\,\,{x^2} + {\rm{ }}{y^2}--2x--2y + 1 = 0,\,\)\(({C_2}):\,\,{x^2} + {\rm{ }}{y^2} + 4x--5{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) cùng đi qua \(M\left( {1;\,\,0} \right)\). Phương trình đường thẳng \(d\) qua \(M\) cắt hai đường tròn \(\left( C \right)\) và \(\left( {C'} \right)\) lần lượt tạị \(A\) và \(B\) sao cho \(MA = 2MB\).

  • A \(d:6x + y + 6 = 0\) hoặc \(d:6x - y + 6 = 0\)               
  • B \(d:6x - y - 6 = 0\) hoặc \(d:6x - y + 6 = 0\)    
  • C \(d: - 6x + y - 6 = 0\) hoặc \(d:6x - y - 6 = 0\)  
  • D \(d:6x + y - 6 = 0\) hoặc \(d:6x - y - 6 = 0\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

+ Xác định tọa độ của hai điểm \(A\) và \(B\)lần lượt là giao điểm của đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right)\) với \(d\).

+ Xác định tọa độ thỏa mãn đề bài: \(MA = 2MB\)

Lời giải chi tiết:

Giả sử đường thẳng \(d\) cắt \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right)\) lần lượt tại hai điểm \(A\) và \(B\).

Ta có:

\(\left( {{C_1}} \right):\,\,{x^2} + {\rm{ }}{y^2}--2x--2y + 1 = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{I_1}\left( {1;\,\,1} \right)\\{R_1} = 1\end{array} \right.\)

\(({C_2}):\,\,{x^2} + {\rm{ }}{y^2} + 4x--5 = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}I\left( { - 2;\,\,0} \right)\\{R_2} = 3\end{array} \right.\)

Gọi \(d\) là đường thẳng qua \(M\) có véc tơ chỉ phương \(\vec u = \left( {a;\,\,b} \right) \Rightarrow d:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + at\\y = bt\end{array} \right.\).

Đường thẳng \(d\) cắt \(\left( {{C_1}} \right)\) tại \(A\) nên tọa  độ điểm \(A\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {\rm{ }}{y^2}--2x--2y + 1 = 0\\x = 1 + at\\y = bt\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow {\left( {1 + at} \right)^2} + {b^2}{t^2} - 2\left( {1 + at} \right) - 2bt + 1 = 0\)

\( \Leftrightarrow 1 + 2at + {a^2}{t^2} + {b^2}{t^2} - 2 - 2at - 2bt + 1 = 0\)

\( \Leftrightarrow {a^2}{t^2} + {b^2}{t^2} - 2bt = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {{a^2} + {b^2}} \right){t^2} - 2bt = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = \frac{{2b}}{{{a^2} + {b^2}}}\end{array} \right.\)

Với \(t = 0 \Rightarrow M\left( {1;\,\,0} \right)\)

Với \(t = \frac{{2b}}{{{a^2} + {b^2}}} \Rightarrow A\left( {1 + \frac{{2ab}}{{{a^2} + {b^2}}};\frac{{2{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}} \right)\)

Đường thẳng \(d\) cắt \(\left( {{C_2}} \right)\) tại \(B\) nên tọa  độ điểm \(B\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {\rm{ }}{y^2} + 4x--5 = 0\\x = 1 + at\\y = bt\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow {\left( {1 + at} \right)^2} + {b^2}{t^2} + 4.\left( {1 + at} \right) - 5 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {{a^2} + {b^2}} \right){t^2} + 6at = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t =  - \frac{{6a}}{{{a^2} + {b^2}}}\end{array} \right.\)

Với \(t = 0 \Rightarrow M\left( {1;\,\,0} \right)\)

Với \(t =  - \frac{{6a}}{{{a^2} + {b^2}}}\)\( \Rightarrow B\left( {1 - \frac{{6{a^2}}}{{{a^2} + {b^2}}};\,\, - \frac{{6ab}}{{{a^2} + {b^2}}}} \right)\)

Theo đề bài, ta có: \(MA = 2MB \Leftrightarrow M{A^2} = 4M{B^2}\)

\( \Rightarrow {\left( {\frac{{2ab}}{{{a^2} + {b^2}}}} \right)^2} + {\left( {\frac{{2{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}} \right)^2} = 4\left[ {{{\left( {\frac{{6{a^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{6ab}}{{{a^2} + {b^2}}}} \right)}^2}} \right]\)

\( \Leftrightarrow \frac{{4{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}} = 4.\frac{{36{a^2}}}{{{a^2} + {b^2}}} \Leftrightarrow {b^2} = 36{a^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 6a\\b =  - 6a\end{array} \right.\)

Với \(b =  - 6a \Rightarrow d:6x + y - 6 = 0\)

Với \(b = 6a \Rightarrow d:6x - y - 6 = 0\)

Chọn  D

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 27 :

Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho hai đường tròn \(\left( {{C_1}} \right):\,\,{x^2} + {y^2} = 13\) và \(\left( {{C_2}} \right):\;{\left( {x - 6} \right)^2} + {y^2} = 25\) cắt nhau tại \(A\left( {2;\,\,3} \right)\). Các phương trình đường thẳng\(d\) đi qua \(A\) và cắt \(\left( {{C_1}} \right),\,\,\;\left( {{C_2}} \right)\) theo hai dây cung có độ dài bằng nhau.

  • A \(d:x - 2 = 0\) và \(d:2x - 3y + 5 = 0\)
  • B \(d:x - 2 = 0\) và \(d:2x - 3y - 5 = 0\).  
  • C \(d:x + 2 = 0\) và \(d:2x - 3y - 5 = 0\)
  • D \(d:x - 2 = 0\) và \(d:2x + 3y + 5 = 0\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

+ Xác định tâm và bán kính của đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right)\).

+ Viết phương trình đường thẳng \(d\) đi qua \(A\) và nhận \(\vec u = \left( {a;\,\,b} \right)\) là VTCP.

+ Xác định tọa độ \(B\) và \(C\) lần lượt là giao điểm của đường thẳng \(\left( d \right)\) với \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right)\).

+ Đường thẳng \(d\) đi qua \(A\) cắt \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right)\) theo hai dây cung có độ dài bằng nhau thì \(A\) là trung điểm của \(BC\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\left( {{C_1}} \right):\,\,{x^2} + {y^2} = 13 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}I\left( {0;0} \right)\\{R_1} = \sqrt {13} \end{array} \right.\) và \(\left( {{C_2}} \right):\,\;{\left( {x - 6} \right)^2} + {y^2} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}J\left( {6;\,\,0} \right)\\{R_2} = \sqrt {25} \end{array} \right.\)

Gọi đường thẳng \(d\) qua \(A\left( {2;\,\,3} \right)\) có véc tơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {a;b} \right) \Rightarrow d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + at\\y = 3 + bt\end{array} \right.\).

Vì \(d\) cắt \(\left( {{C_1}} \right)\) tại \(A\), \(B\) nên tọa điểm \(A\) và  \(B\) là nghiệm của hệ phương trình:\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + at\\y = 3 + bt\\{x^2} + {y^2} = 13\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ {\left( {{a^2} + {b^2}} \right){t^2} + 2\left( {2a + 3b} \right)t} \right] = 0 \Rightarrow t =  - \frac{{2a + 3b}}{{{a^2} + {b^2}}}\) \( \Rightarrow B\left( {\frac{{b\left( {2b - 3a} \right)}}{{{a^2} + {b^2}}};\,\,\frac{{a\left( {3a - 2b} \right)}}{{{a^2} + {b^2}}}} \right)\).

Tương tự \(d\) cắt \(\left( {{C_2}} \right)\) tại \(A\), \(C\) thì tọa độ của \(A\),\(C\) là nghiệm của hệ phương trình:

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2 + at\\y = 3 + bt\\{\left( {x - 6} \right)^2} + {y^2} = 25\end{array} \right. \Rightarrow t = \frac{{2\left( {4a - 3b} \right)}}{{{a^2} + {b^2}}} \Leftrightarrow C\left( {\frac{{10{a^2} - 6ab + 2{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}};\,\,\frac{{3{a^2} + 8ab - 3{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}} \right)\)

Nếu 2 dây cung bằng nhau thì \(A\) là trung điểm của \(BC\). Từ đó ta có phương trình :

\(a = 0 \Rightarrow d:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 3 + t\end{array} \right.\)

\(a = \frac{3}{2}b \Rightarrow \vec u = \left( {\frac{3}{2}b;\,\,b} \right){\rm{ // }}\overrightarrow {u'}  = \left( {3;\,\,2} \right) \Rightarrow d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 3t\\y = 3 + 2t\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \frac{{\left( {2{b^2} - 3ab} \right)}}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{{10{a^2} - 6ab + 2{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}} = 4 \Leftrightarrow 6{a^2} - 9ab = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\\a = \frac{3}{2}\end{array} \right.\)

Vậy có 2 đường thẳng \(d\) là: \(d:x - 2 = 0\) và \(d:2x - 3y + 5 = 0\).

Chọn  A

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 28 :

Cho đường thẳng \(\Delta :mx + 4y = 0\) và đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 2x - 2my + {m^2} - 24 = 0\) có tâm \(I\)Có bao nhiêu giá trị của \(m\) để đường thẳng \(\Delta \) cắt đường tròn \(\left( C \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A\) và \(B\)sao cho diện tích tam giác \(IAB\) bằng \(12\).

  • A \(4\)      
  • B \(3\)      
  • C \(2\)                  
  • D \(1\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

+) Xác định tâm và bán kính của đường tròn đã cho

+) Áp dụng công thức tính diện tích tam giác để tìm \(m\).

Lời giải chi tiết:

+) \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 2x - 2my + {m^2} - 24 = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}I\left( {1;m} \right)\\R = 5\end{array} \right.\)

+) \(\Delta  \cap \left( C \right) = \left\{ {A;\,B} \right\}\). Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\).

\(IH = d\left( {I,\Delta } \right) = \frac{{\left| {m + 4m} \right|}}{{\sqrt {{m^2} + 16} }} = \frac{{\left| {5m} \right|}}{{\sqrt {{m^2} + 16} }}\)

\(AH = \sqrt {I{A^2} - I{H^2}}  = \sqrt {25 - \frac{{{{\left( {5m} \right)}^2}}}{{{m^2} + 16}}}  = \frac{{20}}{{\sqrt {{m^2} + 16} }}\)

Ta có: \({S_{IAB}} = 12 \Rightarrow \frac{1}{2} \cdot IH \cdot AB = 12\)

\( \Rightarrow IH.\frac{{AB}}{2} = 12 \Leftrightarrow IH.AH = 12\)\( \Leftrightarrow 3{m^2} - 25\left| m \right| + 48 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m =  \pm 3\\m =  \pm \frac{{16}}{3}\end{array} \right.\)

Vậy có \(4\) giá trị của \(m\) thỏa mãn.

Chọn  A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 29 :

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\). Cho đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 4x - 2y - 1\,\, = \,\,0\)và đường thẳng \(d:x + y + 1\,\, = \,\,0\). Tìm những điểm \(M\) thuộc đường thẳng \(d\) sao cho từ điểm \(M\) kẻ được đến \(\left( C \right)\) hai tiếp tuyến hợp với nhau góc \({90^0}\).

  • A \({M_1}\left( { - \sqrt 2 ;\sqrt 2  - 1} \right)\) hoặc \({M_2}\left( {\sqrt 2 ; - \sqrt 2  - 1} \right)\)   
  • B \({M_1}\left( { - \sqrt 2 ;\sqrt 2  + 1} \right)\) hoặc \({M_2}\left( {\sqrt 2 ; - \sqrt 2  + 1} \right)\)
  • C \({M_1}\left( {\sqrt 2 ;\sqrt 2  - 1} \right)\) hoặc \({M_2}\left( {\sqrt 2 ; - \sqrt 2  - 1} \right)\)      
  • D \({M_1}\left( { - \sqrt 2 ;\sqrt 2  - 1} \right)\) hoặc \({M_2}\left( {\sqrt 2 ;\sqrt 2  + 1} \right)\).

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Hai tiếp tuyến tại \(A\), \(B\) của đường tròn tâm \(I\) vuông góc và cắt nhau tại \(M\) khi đó \(IBMA\) là hình vuông.

\(M \in d \Rightarrow \) Tọa độ của điểm \(M\)

Áp dụng các tính chất của hình vuông, định lý Pytago để xác định tọa độ điểm \(M\)

Lời giải chi tiết:

\(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 4x - 2y - 1\,\, = \,\,0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}I\left( {2;1} \right)\\R = 2\end{array} \right.\).

\(M\) thuộc \(d\) suy ra \(M(t; - 1 - t)\).

Nếu hai tiếp tuyến vuông góc với nhau thì \(MAIB\) là hình vuông (\(A\),\(B\) là 2 tiếp điểm).

Do đó \(AB = MI = IA\sqrt 2  = R\sqrt 2  = \sqrt 6 .\sqrt 2  = 2\sqrt 3 \)

Ta có : \(MI = \sqrt {{{\left( {2 - t} \right)}^2} + {{\left( {2 + t} \right)}^2}}  = \sqrt {2{t^2} + 8}  = 2\sqrt 3 \)

Do đó : \(2{t^2} + 8 = 12\)\( \Leftrightarrow {t^2} = 2\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t =  - \sqrt 2  \Rightarrow {M_1}\left( { - \sqrt 2 ;\sqrt 2  - 1} \right)\\t = \sqrt 2  \Rightarrow {M_2}\left( {\sqrt 2 ; - \sqrt 2  - 1} \right)\end{array} \right.\)

Chọn  A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 30 :

Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho hai đường tròn :\(\left( {{C_1}} \right):{x^2} + {y^2} = 13\) và \(\left( {{C_2}} \right):\;{\left( {x - 6} \right)^2} + {y^2} = 25\) cắt  nhau tại \(A\left( {2;3} \right)\).Viết phương trình tất cả đường thẳng\(d\) đi qua \(A\) và cắt \(\left( {{C_1}} \right),\;\left( {{C_2}} \right)\) theo hai  dây cung có độ dài bằng nhau.

  • A \(d:x - 2 = 0\) và \(d:2x - 3y + 5 = 0\)
  • B \(d:x - 2 = 0\) và \(d:2x - 3y - 5 = 0\)                         
  • C \(d:x + 2 = 0\) và \(d:2x - 3y - 5 = 0\)             
  • D \(d:x - 2 = 0\) và \(d:2x + 3y + 5 = 0\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

+) Xác định tâm và bán kính của đường tròn \(\left( {{C_1}} \right),\,\,\left( {{C_2}} \right)\)

+) Xác định phương trình đường thẳng \(d\) cắt \(\left( {{C_1}} \right)\) tại hai điểm \(A,\,\,B\);   đường thẳng \(d\) cắt \(\left( {{C_2}} \right)\) tại hai điểm \(A,\,\,C\);

Lời giải chi tiết:

Theo giả thiết : \(\left( {{C_1}} \right):\;I = \left( {0;0} \right),R = \sqrt {13} .\left( {{C_2}} \right);J\left( {6;0} \right),R' = 5\)

Gọi đường thẳng \(d\) qua \(A\left( {2;3} \right)\) có véc tơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {a;b} \right) \Rightarrow d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + at\\y = 3 + bt\end{array} \right.\)

\(d\) cắt \(\left( {{C_1}} \right)\) tại \(A\), \(B\): \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2 + at\\y = 3 + bt\\{x^2} + {y^2} = 13\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ {\left( {{a^2} + {b^2}} \right){t^2} + 2\left( {2a + 3b} \right)t} \right] = 0 \Rightarrow t =  - \frac{{2a + 3b}}{{{a^2} + {b^2}}}\)

\( \Leftrightarrow B\left( {\frac{{b\left( {2b - 3a} \right)}}{{{a^2} + {b^2}}};\frac{{a\left( {3a - 2b} \right)}}{{{a^2} + {b^2}}}} \right)\).

Tương tự \(d\) cắt \(\left( {{C_2}} \right)\) tại \(A\), \(C\) thì tọa độ của \(A\), \(C\) là nghiệm của hệ : \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2 + at\\y = 3 + bt\\{\left( {x - 6} \right)^2} + {y^2} = 25\end{array} \right. \Rightarrow t = \frac{{2\left( {4a - 3b} \right)}}{{{a^2} + {b^2}}}\)\( \Leftrightarrow C\left( {\frac{{10{a^2} - 6ab + 2{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}};\frac{{3{a^2} + 8ab - 3{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}} \right)\)

Nếu 2 dây cung bằng nhau thì \(A\) là trung điểm của \(A\),\(C\). Từ đó ta có phương trình :

\( \Leftrightarrow \frac{{\left( {2{b^2} - 3ab} \right)}}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{{10{a^2} - 6ab + 2{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}} = 4\)\( \Leftrightarrow 6{a^2} - 9ab = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\\a = \frac{3}{2}b\end{array} \right.\)

Với \(a = 0 \Rightarrow \left( d \right):\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 3 + t\end{array} \right. \Rightarrow \left( d \right):x - 2 = 0\).

Với \(a = \frac{3}{2}b \Rightarrow \left( {d'} \right):\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 3t\\y = 3 + 2t\end{array} \right. \Rightarrow \left( {d'} \right):2x - 3y + 5 = 0\)

Vậy ta có hai đường thẳng \(\left( d \right):x - 2 = 0\)  và \(\left( {d'} \right):2x - 3y + 5 = 0\)

Chọn  A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 31 :

Cho đường tròn \(\left( C \right):\,\,\,{x^2} + {y^2} - 2x - 6y + 6 = 0\) và điểm \(M\left( { - 3;\,\,1} \right).\) Gọi \({T_1},\,\,{T_2}\) là các tiếp điểm của các tiếp tuyến từ \(M\) đến \(\left( C \right).\) Viết phương trình đường thẳng \({T_1}{T_2}.\)

  • A \(2x - y + 3 = 0.\)         
  • B \(2x - y - 3 = 0.\)          
  • C \(2x + y - 3 = 0.\)
  • D \(2x + y + 3 = 0.\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {1;\,\,3} \right)\) và bán kính \(R = 2.\)

Ta có: \(\overrightarrow {IM}  = \left( { - 4;\, - 2} \right) \Rightarrow IM = 2\sqrt 5  > R \Rightarrow M\) nằm ngoài đường tròn \(\left( C \right).\)

Gọi \(T\left( {{x_0};\,\,{y_0}} \right)\) là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ \(M\) đến \(\left( C \right).\)

Khi đó ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}T \in \left( C \right)\\\overrightarrow {MT}  = \overrightarrow {IT} \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}T \in \left( C \right)\\\overrightarrow {MT} .\overrightarrow {IT}  = 0\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {1;\,\,3} \right)\) và bán kính \(R = 2.\)

Ta có: \(\overrightarrow {IM}  = \left( { - 4;\, - 2} \right) \Rightarrow IM = 2\sqrt 5  > R \Rightarrow M\) nằm ngoài đường tròn \(\left( C \right).\)

Gọi \(T\left( {{x_0};\,\,{y_0}} \right)\) là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ \(M\) đến \(\left( C \right).\)

Khi đó ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}T \in \left( C \right)\\\overrightarrow {MT}  = \overrightarrow {IT} \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}T \in \left( C \right)\\\overrightarrow {MT} .\overrightarrow {IT}  = 0\end{array} \right..\)

Ta có: \(\overrightarrow {MT}  = \left( {{x_0} + 3;\,\,{y_0} - 1} \right),\,\,\overrightarrow {IT}  = \left( {{x_0} - 1;\,\,{y_0} - 3} \right).\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x_0^2 + y_0^2 - 2{x_0} - 6{y_0} + 6 = 0\\x_0^2 + y_0^2 + 2{x_0} - 4{y_0} = 0\end{array} \right.\\ \Rightarrow 2{x_0} + {y_0} - 3 = 0\,\,\,\,\left( * \right).\end{array}\)

Như vậy tọa độ các tiếp điểm \({T_1}\) và \({T_2}\) của các tiếp tuyến kẻ từ \(M\) đến \(\left( C \right)\) đều thỏa mãn đẳng thức \(\left( * \right).\)

\( \Rightarrow {T_1}{T_2}:\,\,\,2x + y - 3 = 0.\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 32 :

Cho đường tròn \(\left( C \right):\,\,\,{x^2} + {y^2} - 12x - 4y + 36 = 0.\) Viết phương trình đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) tiếp xúc với hai trục tọa độ\(Ox,\,\,Oy\) đồng thời tiếp xúc ngoài với đường tròn \(\left( C \right).\) 

  • A \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4\)
  • B \({\left( {x - 18} \right)^2} + {\left( {y - 18} \right)^2} = 324\)
  • C \({\left( {x - 6} \right)^2} + {\left( {y + 6} \right)^2} = 36\)                         
  • D Cả ba đáp án trên đều đúng.

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) tiếp xúc với hai trục tọa độ nên \({I_1} \in {d_1}:\,\,\,y = x\) hooặc \({I_1} \in {d_2}:\,\,\,y =  - x.\) \( \Rightarrow {I_1}\left( {a; \pm a} \right)\,\,\,\,\,\left( {a > 0} \right).\)

Đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) có tâm \({I_1},\) bán kính \({R_1}\) tiếp xúc ngoài với đường tròn \(\left( {{C_2}} \right)\) có tâm \({I_2},\) bán kính \({R_2}\)

\( \Rightarrow {I_1}{I_2} = {R_1} + {R_2}.\)

Lời giải chi tiết:

Đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) tiếp xúc với hai trục tọa độ nên \({I_1} \in {d_1}:\,\,\,y = x\) hooặc \({I_1} \in {d_2}:\,\,\,y =  - x.\) \( \Rightarrow {I_1}\left( {a; \pm a} \right)\,\,\,\,\,\left( {a > 0} \right).\)

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {6;\,\,2} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{6^2} + {2^2} - 36}  = 2.\)

TH1: Xét \({I_1}\left( {a;\,\,a} \right) \Rightarrow {R_1} = a.\) 

Khi đó ta có:\(\left( C \right),\,\,\left( {{C_1}} \right)\) tiếp xúc ngoài với nhau

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow I{I_1} = {R_1} + {R_2} \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {a - 6} \right)}^2} + {{\left( {a - 2} \right)}^2}}  = 2 + a\\ \Leftrightarrow \sqrt {2{a^2} - 16a + 40}  = a + 2\\ \Leftrightarrow 2{a^2} - 16a + 40 = {a^2} + 4a + 4\\ \Leftrightarrow {a^2} - 20a + 36 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {a - 2} \right)\left( {a - 18} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a - 2 = 0\\a - 18 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 2\,\,\left( {tm} \right)\\a = 18\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{I_1}\left( {2;\,\,2} \right)\\{R_1} = 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}{I_1}\left( {18;\,\,\,18} \right)\\{R_1} = 18\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left( {{C_1}} \right):\,\,\,{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4\\\left( {{C_1}} \right):\,\,\,{\left( {x - 18} \right)^2} + {\left( {y - 18} \right)^2} = 324\end{array} \right..\end{array}\)

TH2: Xét \({I_1}\left( {a;\, - a} \right) \Rightarrow {R_1} = a.\) 

Khi đó ta có:\(\left( C \right),\,\,\left( {{C_1}} \right)\) tiếp xúc ngoài với nhau

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow I{I_1} = {R_1} + {R_2} \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {a - 6} \right)}^2} + {{\left( {a + 2} \right)}^2}}  = 2 + a\\ \Leftrightarrow \sqrt {2{a^2} - 8a + 40}  = a + 2\\ \Leftrightarrow 2{a^2} - 8a + 40 = {a^2} + 4a + 4\\ \Leftrightarrow {a^2} - 12a + 36 = 0 \Leftrightarrow {\left( {a - 6} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow a - 6 = 0 \Leftrightarrow a = 6 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{I_1}\left( {2;\,\,2} \right)\\{R_1} = 2\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left( {{C_1}} \right):\,\,\,{\left( {x - 6} \right)^2} + {\left( {y - 6} \right)^2} = 36.\end{array}\)

Vậy có 3 đường tròn thỏa mãn bài toán.

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 33 :

Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC cân tại A, nội tiếp trong đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} + 2x - 4y + 1 = 0\) và \(M\left( {0;\,1} \right)\). Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết M là trung điểm cạnh ABA có hoành độ dương.

  • A \(A\left( { - 1;0} \right)\,\,;\,\,B\left( {1;2} \right)\,\,;\,\,C\left( { - 1;4} \right)\)
  • B \(A\left( {1;2} \right)\,\,;\,\,B\left( { - 1;0} \right)\,\,;\,\,C\left( {1; - 4} \right)\)
  • C \(A\left( {1; - 2} \right)\,\,;\,\,B\left( { - 1;1} \right)\,\,;\,\,C\left( {1; - 4} \right)\)
  • D \(A\left( {1; - 1} \right)\,\,;\,\,B\left( {2;1} \right)\,\,;\,\,C\left( {1;4} \right)\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Viết phương trình AB từ đó tìm được tọa độ điểm A,B. Tìm tọa độ điểm N là giao điểm của AI BC, từ đó suy ra tọa độ điểm C

Lời giải chi tiết:

Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC cân tại A, nội tiếp trong đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} + 2x - 4y + 1 = 0\)\(M\left( {0,1} \right)\). Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết M là trung điểm cạnh ABA có hoành độ dương.

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( { - 1;2} \right)\) bán kính \(R = 2\)

\( \Rightarrow IA = IB\) mà \(MA = MB\) (M là trung điểm cạnh AB)

\( \Rightarrow \) IM là đường trung trực của đoạn AB

Đường thẳng AB đi qua \(M\left( {0;1} \right)\) nhận \(\overrightarrow {IM}  = \left( {1; - 1} \right)\) làm VTPT

\( \Rightarrow \) Phương trình \(\left( {AB} \right):x - y + 1 = 0\)

Tọa độ A,B là nghiệm của hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}x - y + 1 = 0\\{x^2} + {y^2} + 2x - 4y + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1;y = 2\\x =  - 1;y = 0\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow A\left( {1;2} \right),B\left( { - 1;0} \right)\) (do \({x_A} > 0\))

Đường thẳng AI đi qua \(A\left( {1;2} \right)\) nhận \(\overrightarrow {IA}  = \left( {2;0} \right)\) làm VTCP

\( \Rightarrow \) Phương trình \(\left( {AI} \right):y - 2 = 0\)

Đường thẳng BC đi qua \(B\left( { - 1;0} \right)\) nhận \(\overrightarrow {IA}  = \left( {2;0} \right)\) làm VTPT (tam giác ABC cân tại A)

\( \Rightarrow \) Phương trình \(\left( {BC} \right):x + 1 = 0\)

Gọi N là giao điểm của AI BC, tọa độ điểm N là nghiệm của hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}y - 2 = 0\\x + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 1\\y = 2\end{array} \right. \Rightarrow N\left( { - 1;2} \right)\)

Do tam giác ABC cân tại A nên N là trung điểm của BC \( \Rightarrow C\left( { - 1;4} \right)\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 34 :

Cho đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 8x + 6y + 21 = 0\) và đường thẳng \(d:x + y - 1 = 0\). Xác định tọa độ các đỉnh A của hình vuông ABCD ngoại tiếp \(\left( C \right)\) biết \(A \in d\).

  • A \(A\left( {2; - 1} \right)\) hoặc \(A\left( {5; - 4} \right)\).               
  • B \(A\left( {2; - 1} \right)\) hoặc \(A\left( { - 6;7} \right)\).   
  • C \(A\left( { - 2;3} \right)\) hoặc \(A\left( {6; - 5} \right)\).   
  • D \(A\left( {2; - 1} \right)\) hoặc \(A\left( {6; - 5} \right)\).

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Xác định tâm I và bán kính của đường tròn \(\left( C \right)\), tính AI theo hình vẽ, gọi A theo 1 chữ tìm tọa độ của A

Lời giải chi tiết:

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {4; - 3} \right)\) bán kính \(R = \sqrt {16 + 9 - 21}  = 2\)

\( \Rightarrow \left( C \right):\,\,\,{\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 4.\)

Do hình vuông ABCD ngoại tiếp \(\left( C \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow MN = 2R = 4 = AB = AD\\ \Rightarrow AM = \frac{1}{2}AD = 2\\ \Rightarrow A{I^2} = {2^2} + {2^2} = 8\end{array}\)

 Gọi \(A\left( {a;\,\,1 - a} \right) \in \left( d \right) \Rightarrow {\left( {4 - a} \right)^2} + {\left( {a - 4} \right)^2} = 8\)

\( \Leftrightarrow 2{\left( {a - 4} \right)^2} = 8 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a - 4 = 2\\a - 4 =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 6 \Rightarrow A\left( {6; - 5} \right)\\a = 2 \Rightarrow A\left( {2; - 1} \right)\end{array} \right.\) 

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 35 :

Cho \(x,y\) là hai số thực thỏa mãn \({\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 5\) và biểu thức \(Q = \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {{\left( {y - 3} \right)}^2}}  + \sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}} \) đạt giá trị lớn nhất. Tìm \(P = x + y\).

  • A \(P = 4\)                           
  • B \(P = 10\)                      
  • C \(P = 6\)
  • D \(P = 8\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Sử dụng phương trình đường tròn để tìm giá trị lớn nhất của \(Q\) từ đó tìm \(x,y.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \(Q = \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {{\left( {y - 3} \right)}^2}}  + \sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}} \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {Q^2} = {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + 2\sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {{\left( {y - 3} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}} \\ \le 2\left[ {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {{\left( {y - 3} \right)}^2} + {{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}} \right] = 4\left( {{x^2} + {y^2} - 2y + 6} \right) = 4\left[ {{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}} \right] + 20.\end{array}\) 

Q đạt giá trị lớn nhất nên \({Q^2}\) đạt giá trị lớn nhất \( \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2}\) đạt giá trị lớn nhất

Ta có x, y là hai số thực thỏa mãn \({\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 5\)

\( \Rightarrow \) \(\left( {x;y} \right)\) là tọa độ điểm thuộc đường tròn \(\left( C \right)\) tâm \(A\left( {4;3} \right)\) bán kính \(R = \sqrt 5 \)

Mặt khác để \({x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2}\) đạt giá trị lớn nhất  \( \Leftrightarrow \left( {x;\,y} \right)\) cũng là điểm thuộc đường tròn \(\left( {C'} \right)\) tâm \(I\left( {0;1} \right)\) sao cho bán kính lớn nhất.

Gọi \(\left( C \right)\) giao tia đối của tia AI tại B

Ta có: \(IA = \sqrt {{4^2} + {2^2}}  = \sqrt {20}  = 2\sqrt 5  > R\)

\( \Rightarrow \) I nằm ngoài đường tròn \(\left( C \right)\)

\( \Rightarrow \) Để thỏa mãn đề bài \( \Leftrightarrow B\left( {x;y} \right)\)

\(\overrightarrow {IA}  = \left( {4;2} \right) \Rightarrow \overrightarrow n  = \left( { - 2;4} \right)\)

Phương trình IA: \( - 2x + 4\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow  - x + 2y - 2 = 0\)

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}B \in \left( {IA} \right)\\B \in \left( C \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - x + 2y - 2 = 0\\{\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2y - 2\\{\left( {2y - 6} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 5\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2y - 2\\5{\left( {y - 3} \right)^2} = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2y - 2\\\left[ \begin{array}{l}y - 3 = 1\\y - 3 =  - 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2y - 2\\\left[ \begin{array}{l}y = 4\\y = 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 6\\y = 4\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}B\left( {6;4} \right)\\B\left( {2;2} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

BI khác phía với A \( \Rightarrow B\left( {6;4} \right)\)

\( \Rightarrow P = x + y = 6 + 4 = 10\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 36 :

Cho \(x,y\) là hai số thực thỏa mãn \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 4\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \sqrt {{{\left( {x - 3} \right)}^2} + {{\left( {y - 5} \right)}^2}} \) là:

  • A \(2\left( {\sqrt 5  + 2} \right)\)                     
  • B \(2\left( {\sqrt 5  + 4} \right)\)                     
  • C \(2\left( {\sqrt 5  - 1} \right)\)
  • D \(2\left( {\sqrt 5  + 1} \right)\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Sử dụng phương trình đường tròn để tìm giá trị lớn nhất của \(P.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \(x,y\) là hai số thực thỏa mãn \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 4\)

\( \Rightarrow \left( {x;y} \right)\)  là tọa độ điểm thuộc đường tròn \(\left( C \right)\) tâm \(A\left( {1;1} \right)\) bán kính \(R = 2\)

Mặt khác để \(P = \sqrt {{{\left( {x - 3} \right)}^2} + {{\left( {y - 5} \right)}^2}} \) đạt giá trị lớn nhất \( \Leftrightarrow \left( {x;y} \right)\)  cũng là điểm thuộc đường tròn \(\left( {C'} \right)\) tâm \(I\left( {3;5} \right)\) sao cho bán kính \(R' = P = \sqrt {{{\left( {x - 3} \right)}^2} + {{\left( {y - 5} \right)}^2}} \)  lớn nhất.

Gọi \(\left( C \right)\) giao tia đối của tia AI tại B

Ta có \(IA = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}}  = \sqrt {20}  = 2\sqrt 5  > R\)

\( \Rightarrow \) I nằm ngoài đường tròn \(\left( C \right)\)

\( \Rightarrow \) Để thỏa mãn đề bài \( \Leftrightarrow R' = IB\)

\( \Leftrightarrow P = IA + AB = 2\sqrt 5  + 2 = 2\left( {\sqrt 5  + 1} \right)\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 37 :

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), phương trình đường thẳng \(d\) đi qua \(A\left( {1;\,\,2} \right)\) và cắt đường tròn \(\left( C \right)\) có phương trình \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 25\) theo một dây cung có độ dài \(l = 8\) là:

  • A \(d:2 - y = 0\) hoặc \(d:3x + 4y + 5 = 0\)         
  • B \(d:y - 2 = 0\) hoặc \(d:4x - 3y + 5 = 0\)                     
  • C \(d:y - 2 = 0\) hoặc \(d:3x - 4y + 5 = 0\)          
  • D \(d:y - 2 = 0\) hoặc \(d:3x + 4y + 5 = 0\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

+) \(d\) cắt đường tròn \(\left( C \right)\) theo dây cung có độ dài \(l\) nên khoảng cách từ tâm đường tròn đến \(d\) là\(h = \sqrt {{R^2} - {{\left( {\frac{l}{2}} \right)}^2}} .\)

Lời giải chi tiết:

Giả sử phương trình đường thẳng \(d\) cần tìm và đi qua điểm \(\left( {1;2} \right)\) là \(d:a\left( {x - 1} \right) + b\left( {y - 2} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow ax + by - a - 2b = 0\,\,\,\,\left( {{a^2} + {b^2} > 0} \right)\)

Vì \(d\) cắt \(\left( C \right)\) theo dây cung có độ dài  \(l = 8\) nên khoảng cách từ tâm \(I\left( {2; - 1} \right)\) của \(\left( C \right)\) đến \(d\) là:

\(IH = \sqrt {{R^2} - {{\left( {\frac{l}{2}} \right)}^2}}  = \sqrt {25 - {4^2}}  = 3.\)

\( \Rightarrow d\left( {I,d} \right) = \left| {\frac{{2a - b - a - 2b}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}} \right| = 3\)\( \Leftrightarrow \left| {a - 3b} \right| = 3\sqrt {{a^2} + {b^2}} \)

\( \Leftrightarrow 8{a^2} + 6ab = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\\a =  - \frac{3}{4}b\end{array} \right.\)

+) \(a = 0\); chọn \(b = 1\) suy ra \(d:y - 2 = 0\)

+) \(a = 3;\,\,\,b =  - 4\)\( \Rightarrow d:3x - 4y + 5 = 0\)

Chọn  C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 38 :

Cho \(\left( {{\Delta _\alpha }} \right):\,\,\left( {x - 1} \right)\cos \alpha  + \left( {y - 1} \right)\sin \alpha  - 4 = 0\) . Chứng minh \(\left( {{\Delta _\alpha }} \right)\) luôn tiếp xúc với đường tròn (C) cố định.

  • A \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4\)
  • B \({\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 16\)
  • C \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 4\)
  • D \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 16\)

Đáp án: D

Lời giải chi tiết:

\(\left( {{\Delta _\alpha }} \right):\,\,\left( {x - 1} \right)\cos \alpha  + \left( {y - 1} \right)\sin \alpha  - 4 = 0 \Leftrightarrow x\cos \alpha  + y\sin \alpha  - \cos \alpha  - \sin \alpha  - 4 = 0\)

+) Giả sử (C) có tâm \(I\left( {a;b} \right)\) , bán kính R. \(\left( {{\Delta _m}} \right)\) luôn tiếp xúc với đường tròn (C)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow d\left( {I;{\Delta _\alpha }} \right) = R,\forall \alpha \\ \Leftrightarrow \frac{{\left| {a\cos \alpha  + b\sin \alpha  - \cos \alpha  - \sin \alpha  - 4} \right|}}{{\sqrt {{{\cos }^2}\alpha  + {{\sin }^2}\alpha } }} = R,\forall \alpha \\ \Leftrightarrow \left| {\left( {a - 1} \right)\cos \alpha  + \left( {b - 1} \right)\sin \alpha  - 4} \right| = R,\forall \alpha \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - 1 = 0\\b - 1 = 0\\R = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 1\\R = 4\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy phương trình đường tròn (C) cần tìm là: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 16\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 39 :

(A 2009). Cho đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} + 4x + 4y + 6 = 0;\,\,\left( \Delta  \right):x + my - 2m+3= 0\) . Tìm m để \(\left( \Delta  \right)\)  cắt (C) tại A, B sao cho diện tích tam giác AIB lớn nhất.

  • A \(\left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 1\end{array} \right.\)
  • B \(\left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = \frac{2}{3}\end{array} \right.\)
  • C \(\left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = \frac{8}{{15}}\end{array} \right.\)       
  • D \(\left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = \frac{8}{{15}}\end{array} \right.\)

Đáp án: C

Lời giải chi tiết:

+) Ta có: \(I\left( { - 2; - 2} \right);R = \sqrt {4 + 4 - 6}  = \sqrt 2 \)

+) Vẽ \(IH \bot AB\)  Khi đó H là trung điểm của AB (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung).

+) \({S_{ABI}} = \frac{1}{2}IH.AB = IH.HA\)

+) Tam giác vuông IAH vuông tại H ta có: \(I{H^2} + H{A^2} = I{A^2} = 2\)

Theo Cosi ta có: \(\frac{{I{H^2} + H{A^2}}}{2} \ge \sqrt {I{H^2}.H{A^2}}  \Rightarrow IH.HA \le 1 \Rightarrow {S_{ABI\,\,\max }} = 1 \Leftrightarrow IH = HA = 1\) (IH =1 <R thỏa mãn điều kiện)

+) \(d\left( {I,\Delta } \right) = 1 \Leftrightarrow \frac{{\left| { - 2 - 2m - 2m + 3} \right|}}{{\sqrt {1 + {m^2}} }} = 1 \Leftrightarrow \left| { - 4m + 1} \right| = \sqrt {1 + {m^2}} \)

\( \Leftrightarrow 16{m^2} - 8m + 1 = 1 + {m^2} \Leftrightarrow 15{m^2} - 8m = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 0\\
m = \frac{8}{{15}}
\end{array} \right.\)

Vậy \(\left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = \frac{8}{{15}}\end{array} \right.\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 40 :

Cho đường thẳng \(\left( d \right):\;\;2x - y + 10 = 0\)  và đường tròn \(\left( C \right):\;\;{x^2} + {y^2} = 4.\) Tìm \(M \in \left( d \right)\) để từ điểm \(M\) kẻ được 2 tiếp tuyến \(MA,\;MB\) đến \(\left( C \right)\) (A, B  là các tiếp điểm) thỏa mãn \(AB\) qua \(N\left( {1;\;0} \right).\)

  • A \(M\left( { - 2; - 6} \right)\)
  • B \(M\left( {2; - 14} \right)\)
  • C \(M\left( { - 4; - 2} \right)\)
  • D \(M\left( {4;\;18} \right)\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp tách tọa độ: \(\left( C \right):\;\;{\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}.\)

Tiếp tuyến \(\left( d \right)\) tiếp xúc với \(\left( C \right)\) tại \(T\left( {{x_0};\;{y_0}} \right)\) có phương trình: \(\left( {x - a} \right)\left( {{x_0} - a} \right) + \left( {y - b} \right)\left( {{y_0} - b} \right) = {R^2}.\)

Lời giải chi tiết:

Theo đề bài ta có \(M \in \left( d \right) \Rightarrow M\left( {a;\;2a + 10} \right).\)

Giả sử \(A\left( {{x_A};\;{y_A}} \right).\) Phương trình tiếp tuyến \(MA\) của đường tròn \(\left( C \right)\) là: \(x.{x_A} + y.{y_A} - 4 = 0.\)

Vì \(M \in MA \Rightarrow a{x_A} + \left( {2a + 10} \right){y_A} - 4 = 0\;\;\;\left( 1 \right).\)

Giả sử \(B\left( {{x_B};\;{y_B}} \right).\) Phương trình tiếp tuyến \(MB\) của đường tròn \(\left( C \right)\) là: \(x.{x_B} + y.{y_B} - 4 = 0.\)

Vì \(M \in MB \Rightarrow a{x_B} + \left( {2a + 10} \right){y_B} - 4 = 0\;\;\;\left( 2 \right).\)

Từ (1) và (2) ta có phương trình đường thẳng \(AB\) là: \(ax + \left( {2a + 10} \right)y - 4 = 0.\)

Theo đề bài ta có \(AB\) qua \(N\left( {1;\;0} \right) \Rightarrow a.1 + \left( {2a + 10} \right).0 - 4 = 0 \Leftrightarrow a = 4.\)

\( \Rightarrow M = \left( {a;\;2a + 10} \right) = \left( {4;\;18} \right).\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Xem thêm

>> Học trực tuyến Lớp 10 tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.



Hỏi bài