Lời giải chi tiết:

Điều kiện để \((C_m)\) là phương trình đường tròn là:

\(\eqalign{
& {a^2} + {b^2} - c > 0 \Leftrightarrow {m^2} + 4{\left( {m - 2} \right)^2} - \left( {6 - m} \right) > 0 \cr
& \Leftrightarrow 5{m^2} - 15m + 10 > 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
m > 2 \hfill \cr
m < 1 \hfill \cr} \right. \cr} \)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Phương trình của đường tròn có tâm \(I\left( a;b \right)\) và bán kính \(R\) là: \({{\left( x-a \right)}^{2}}+{{\left( y-b \right)}^{2}}={{R}^{2}}\)

Lời giải chi tiết:

Phương trình của đường tròn có tâm \(I(-3;4)\) và bán kính \(R=2\) là: \({{(x+3)}^{2}}+{{(y-4)}^{2}}={{2}^{2}}\) hay\({{(x+3)}^{2}}+{{(y-4)}^{2}}-4=0\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Phương trình đường tròn có dạng \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2ax+2by+c=0\) với các hệ số \(a,b,c\) thỏa mãn điều kiện \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}>c\)

Lời giải chi tiết:

\({{x}^{2}}+2{{y}^{2}}-4x-8y+1=0\) không phải là phương trình đường tròn. Vì \({{x}^{2}}:{{y}^{2}}=1:2\ne 1:2\) \(4{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-10x-6y-2=0\) không phải là phương trình đường tròn. Vì \({{x}^{2}}:{{y}^{2}}=4:1\ne 1:2\) \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x-8y+20=0\)có \(a=1\,\,,b=4,\,\,c=20\). Ta thấy \(a,b,c\)không thỏa mãn điều kiện \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}>c\). Đây không phải là một phương trình đường tròn. \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x+6y-12=0\) có \(a=2,\,\,b=-3,\,\,c=-12\). Ta thấy \(a,b,c\) thỏa mãn điều kiện \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}>c\). Đây là một phương trình đường tròn.

Chọn D.

Phương pháp giải:

Phương trình đường tròn có dạng \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2ax+2by+c=0\) với các hệ số \(a,b,c\) thỏa mãn điều kiện \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}>c\)có tâm \(I(-a;-b)\)và bán kính \(R=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-c}\)

Lời giải chi tiết:

\({{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+4y+1=0\) có hệ số \(a=1,b=-2,c=2\)  sẽ có tâm \(I\left( 1;-2 \right)\) và \(R=\sqrt{{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{2}^{2}}-1}=2\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Thay \(x=0,y=0\) vào phương trình đường tròn đã cho.

Nếu thu được mệnh đề đúng, thì phương trình đường tròn đó đi qua gốc tọa độ và ngược lại.

Lời giải chi tiết:

A. \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1.\) Thay \(x=0,y=0\) ta có \({{0}^{2}}+{{0}^{2}}=2\) là mệnh đề sai.

B. \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}-x-y+2=0\). Thay \(x=0,y=0\) ta có \(2=0\) là mệnh đề sai.

C. \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x-4y+8=0.\) Thay \(x=0,y=0\) ta có \(8=0\) là mệnh đề sai.

D. \({{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}=25.\) Thay \(x=0,y=0\) ta có \({{\left( -3 \right)}^{2}}+{{\left( -4 \right)}^{2}}=25\) là mệnh đề đúng. Vậy \({{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}=25.\) đi qua gốc tọa độ.

Chọn D

Phương pháp giải:

Phương trình đường tròn (C) có tâm I và đi qua điểm A sẽ có bán kính \(R=IA\).

Áp dụng cách viết phương trình đường tròn có tâm tâm \(I(a;b)\)  và bán kính \(R\) là: \({{\left( x-a \right)}^{2}}+{{\left( y-b \right)}^{2}}={{R}^{2}}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(R=IA=\sqrt{{{\left( 1-2 \right)}^{2}}+{{\left( 3+4 \right)}^{2}}}=\sqrt{50}\)

Phương trình đường tròn (C) có tâm \(I\left( 2;-4 \right)\)có bán kính \(R=\sqrt{50}\) là: \({{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y+4 \right)}^{2}}=50.\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Xét đường tròn có tâm I và bán kính R. Khi đó,

\(MI>R\) thì \(M\) nằm ngoài \(\left( C \right)\)

MI = R thì \(M\) nằm trên \(\left( C \right)\)

\(MI<R\) thì \(M\) nằm trong \(\left( C \right)\)

Lời giải chi tiết:

Đường tròn \(\left( C \right)\) có phương trình \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}-8x-6y+21=0\) sẽ có tâm \(I\left( 4;3 \right)\) bán kính \(R=\sqrt{{{4}^{2}}+{{3}^{2}}-21}=2\).

Ta có \(MI=\sqrt{{{\left( 4-4 \right)}^{2}}+{{\left( 2-3 \right)}^{2}}}=1<R=2\Rightarrow M\) nằm trong \(\left( C \right)\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Phương trình đường tròn (C) có tâm O  và đi qua điểm \(A\)  sẽ có bán kính \(R=OA\) .

Áp dụng cách viết phương trình đường tròn có tâm tâm \(O(a;b)\) và bán kính R là: \({{\left( x-a \right)}^{2}}+{{\left( y-b \right)}^{2}}={{R}^{2}}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \(R=OA=\sqrt{{{\left( 1-0 \right)}^{2}}+{{\left( 3-0 \right)}^{2}}}=\sqrt{10}\)

Phương trình đường tròn (C) có tâm \(O\left( 0;0 \right)\) có bán kính \(R=\sqrt{10}\) là: \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}=10.\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Tìm điểm \(I\left( {{x}_{I}};{{y}_{I}} \right)\) nằm trên đường thẳng dvà thỏa mãn điều kiện \(IA=IB\). Phương trình đường tròn (C) có tâm  \(I\left( {{x}_{I}};{{y}_{I}} \right)\) và bán kính \(R=IA=IB\).

Lời giải chi tiết:

Giả sử điểm \(I\left( {{x}_{I}};{{y}_{I}} \right)\) là tâm của đường tròn (C). Vì I nằm trên đường thẳng \(x-2y+5=0\) nên ta có \({{x}_{I}}-2{{y}_{I}}+5=0\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Vì đường tròn (C) đi qua hai điểm \(A\left( 0;4 \right),\,\,B\left( 2;6 \right)\) nên ta có \(IA=IB\). Điều này tương đương với \(I{{A}^{2}}=I{{B}^{2}}\)  hay \({{\left( {{x}_{I}} \right)}^{2}}+{{\left( 4-{{y}_{I}} \right)}^{2}}={{\left( 2-{{x}_{I}} \right)}^{2}}+{{\left( 6-{{y}_{I}} \right)}^{2}}\Leftrightarrow {{x}_{I}}+{{y}_{I}}-6=0\,\,\,\left( 2 \right)\)

.Từ (1) và (2) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}{x_I} - 2{y_I} + 5 = 0\\{x_I} + {y_I} - 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{7}{3}\\{y_I} = \frac{{11}}{3}\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {\frac{7}{3};\frac{{11}}{3}} \right)\).

Mặt khác ta có \(R=IA=\sqrt{{{\left( \frac{7}{3} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{11}{3}-4 \right)}^{2}}}=\sqrt{\frac{50}{9}}\) 

Vậy (C) có dạng \(\left( C \right):{{\left( x-\frac{7}{3} \right)}^{2}}+{{\left( y-\frac{11}{3} \right)}^{2}}=\frac{50}{9}\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Thay trực tiếp tọa độ của 3 điểm vào phương trình trong mỗi đáp án.

Lời giải chi tiết:

A. \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}-17x+21y+84=0\) . Ta thay \(A\left( 1;4 \right)\) vào phương trình có \({{1}^{2}}+{{4}^{2}}-17.1+21.4+84=0\) là mệnh đề sai. Loại A

B. \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+17x-21y+84=0\) . Ta thay \(A\left( 1;4 \right)\) vào phương trình có \({{1}^{2}}+{{4}^{2}}+17.1-21.4+84=0\) là mệnh đề sai. Loại B

C. \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}-17x+21y-84=0\)  Ta thay \(A\left( 1;4 \right)\) vào phương trình có \({{1}^{2}}+{{4}^{2}}-17.1+21.4-84=0\) là mệnh đề đúng.

Chọn C.

Phương pháp giải:

Tìm tọa độ giao điểm A, B là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}2x{\rm{ }} - {\rm{ }}y{\rm{ }} - {\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0\\{x^2} + {y^2} - 20x + 50 = 0\end{array} \right.\)

Phương trình đường tròn cần tìm có dạng: \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2ax+2by+c=0\,\,\,\left( * \right)\)

Lần lượt thay tọa độ các điểm A, B, C vào (*) được hệ 3 phương trình 3 ẩn và giải hệ tìm \(a,b,c\)

Lời giải chi tiết:

Tọa độ giao điểm A, B là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y = 5\\{x^2} + {y^2} - 20x + 50 = 0\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{ }}y{\rm{  }} = {\rm{ 2x - 5}}\\{x^2} + {y^2} - 20x + 50 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{ }}y{\rm{  }} = {\rm{ 2x - 5}}\\{x^2} + {\left( {2x - 5} \right)^2} - 20x + 50 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{ }}y{\rm{  }} = {\rm{ 2x - 5}}\\5{x^2} - 40x + 75 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = 5\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {5;5} \right)\\\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 1\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {3;1} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Phương trình đường tròn cần tìm có dạng: \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2ax+2by+c=0\,\,\,\left( * \right)\)

(*) qua 3 điểm \(A\left( 5;5 \right);\,\,B\left( 3;1 \right);\,\,C\left( 1;1 \right)\) nên ta có hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}10a + 10b + c =  - 50\\6a + 2b + c =  - 10\\2a + 2b + c =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 2\\b =  - 4\\c = 10\end{array} \right.\)

Vậy phương trình đường tròn cần tìm là: \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x-8y+10=0\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

+ Tìm tọa độ các đỉnh A,B,C của tam giác bằng cách lần lượt giải các hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}3y = x\\y = x + 2\end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}3y = x\\y = 8 - x\end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}y = 8 - x\\y = x + 2\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

+ Tìm tọa độ các đỉnh A,B,C của tam giác bằng cách lần lượt giải các hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}3y = x\\y = x + 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3y\\2y =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y =  - 1\\x =  - 3\end{array} \right. \Rightarrow A\left( { - 3; - 1} \right)\)

\(\left\{ \begin{array}{l}3y = x\\y = 8 - x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3y\\4y = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2\\x = 6\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {6;2} \right)\)

\(\left\{ \begin{array}{l}y = 8 - x\\y = x + 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = x + 2\\0 = 6 - 2x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 5\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {3;5} \right)\)

A. \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}-3x-y+20=0\) . Ta thay \(A\left( -3;-1 \right)\) vào phương trình có \({{\left( -3 \right)}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}-3\left( -3 \right)-\left( -1 \right)+20=0\)  là mệnh đề sai. Loại A

B. \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}-3x-y-20=0\) . Ta thay \(A\left( -3;-1 \right)\) vào phương trình có \({{\left( -3 \right)}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}-3\left( -3 \right)-\left( -1 \right)-20=0\) là mệnh đề đúng.

Ta thay \(B\left( 6;2 \right)\) vào phương trình có \({{6}^{2}}+{{2}^{2}}-3.6-2-20=0\)  là mệnh đề đúng

Ta thay \(C\left( 3;5 \right)\) vào phương trình có \({{3}^{2}}+{{5}^{2}}-3.3-5-20=0\)  là mệnh đề đúng.

Chọn B.

Phương pháp giải:

Suy luận để loại trừ đáp án.

Lời giải chi tiết:

Vì \(I\,\,\left( {{x}_{I}}>0 \right)\) nên ta loại đáp án C và D.

Vì \(I\,\,\left( {{x}_{I}}>0 \right)\) nằm trên đường thẳng \(y=-x\) nên loại được đáp án A. Vì đường tròn ở đáp án A có tâm là \(I(3;3)\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Dạng 1: Phương trình đường tròn (C) có tâm I(a;b) và bán kính R > 0 :   \({(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2}\)

Dạng 2: Phương trình tổng quát :  \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) (*) có tâm I(a;b), bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c} \).

Điều kiện để (*) là phương trình của một đường tròn là:  \({a^2} + {b^2} - c > 0\).

Lời giải chi tiết:

\({(x + 2)^2} + {y^2} = \sqrt 3 \), \({x^2} + {y^2} = 0,1\) là phương trình đường thẳng ở dạng 1.

\({x^2} + {y^2} + 2x + 2y + 10 = 0\) có \({a^2} + {b^2} - c = {( - 1)^2} + {( - 1)^2} - 10 =  - 8 < 0 \Rightarrow \) Đây không phải phương trình đường tròn.

\(3{x^2} + 3{y^2} - x = 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - \frac{1}{3}x = 0\) có \({a^2} + {b^2} - c = {\left( { - \frac{1}{6}} \right)^2} + {0^2} - 0 = \frac{1}{{36}} > 0 \Rightarrow \)Đây là phương trình đường tròn.

Chọn: A

Phương pháp giải:

Đường tròn \(\left( {I;R} \right)\) tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta \) khi và chỉ khi \(d\left( {I;\Delta } \right) = R\).

Lời giải chi tiết:

\(d(O;\Delta ) = \frac{{\left| {3.0 + 0 - 10} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {1^2}} }} = \sqrt {10} \)

Đường tròn tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta \)\( \Leftrightarrow d(O;\Delta ) = R \Leftrightarrow R = \sqrt {10} \)

Phương trình đường tròn đó là: \({x^2} + {y^2} = 10\).

Chọn: C

Phương pháp giải:

Đường tròn \({x^2} + {y^2} + 2ax + 2by + c = 0\) là đường tròn có tâm \(I\left( {a;b} \right)\), bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c} \).

Lời giải chi tiết:

\((C):{x^2} + {y^2} + 4y + 3 = 0\) có tâm I(0;-2), bán kính \(R = \sqrt {{0^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} - 3}  = 1\) .

Chọn: B

Lời giải chi tiết:

Ta có: Tâm I(1;2); bán kính R là: \(R = \sqrt {{1^2} + {2^2} + 20}  = 5\) . Chọn B.

Lời giải chi tiết:

+) Ta có tâm I là trung điểm của AB nên \(I\left( { - 1;3} \right)\) .

+) \(R = IA = \sqrt {4 + 1}  = \sqrt 5 \)

Vậy phương trình đường tròn (C) là: \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 5\) . Chọn A.

Lời giải chi tiết:

+) Ta có:

\(\begin{array}{l}{I_1}\left( {4;5} \right);{R_1} = 2\\{I_2}\left( {1;1} \right);{R_1} = 1\\{I_1}{I_2} = \sqrt {9 + 16}  = 5\end{array}\)

+) Lại có: \({R_1} + {R_2} = 3 < {I_1}{I_2}\) . Suy ra 2 đường tròn \(\left( {{C_1}} \right);\,\,\left( {{C_2}} \right)\) ở ngoài nhau.

Chọn C.

Lời giải chi tiết:

Chọn D vì:\(I\left( {2; - 1} \right);R = \sqrt {4 + 1 + 95}  = 10\)

Lời giải chi tiết:

Để \(\left( {{C_m}} \right)\)là đường tròn thì:

\(\begin{array}{l}{a^2} + {b^2} - c > 0\\ \Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^2} + 4{m^2} - 5{m^2} > 0\\ \Leftrightarrow  - 2m + 1 > 0\\ \Leftrightarrow m < \frac{1}{2}.\end{array}\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}\) có tâm \(I\left( {a;b} \right)\); bán kính \(R\)

Lời giải chi tiết:

Đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 16\) có tâm \(I\left( {1; - 3} \right)\); bán kính \(R = 4\) .

Chọn D.

Phương pháp giải:

Đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = c\) có tâm \(I\left( {a;b} \right)\), bán kính \(R = \sqrt c \)

Lời giải chi tiết:

Đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 9\) có tâm \(I\left( { - 1;2} \right)\), bán kính \(R = 3\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Phương trình đường tròn có dạng \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) và \({a^2} + {b^2} - c > 0.\)  

Lời giải chi tiết:

Thử các đáp án ta ta thấy phương trình \({x^2} + {y^2} + 2x - 8 = 0\) là phương trình đường tròn.

Chọn B.

Phương pháp giải:

Phương trình đường tròn có dạng \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) trong đó \(c = {a^2} + {b^2} + {R^2}.\)

Điều kiện để phương trình \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) là phương trình đường tròn là: \({a^2} + {b^2} - c > 0.\)

Lời giải chi tiết:

Dựa vào điều kiện để phương trình \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) là phương trình đường tròn là: \({a^2} + {b^2} - c > 0,\) ta thấy chỉ có phương trình \({x^2} + {y^2} - 4 = 0\) là phương trình đường tròn.

Chọn A.

Phương pháp giải:

Đường tròn \(\left( C \right):\,\,{\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {c^2}\) có tâm \(I\left( {a,b} \right)\), bán kính \(R = c\)

Lời giải chi tiết:

Đường tròn \(\left( C \right):\,\,{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 25\) có tâm \(I\left( {2;1} \right)\), bán kính \(R = 5\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Phương trình đường tròn có dạng \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) trong đó \({R^2} = {a^2} + {b^2} - c\)

Lời giải chi tiết:

Đường tròn \({x^2} + {y^2} - 10y - 24 = 0\) có bán kính \(R = \sqrt {{5^2} + 24}  = \sqrt {49}  = 7\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Phương trình đường tròn có dạng \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) trong đó \({a^2} + {b^2} > c\)

Lời giải chi tiết:

Xét phương trình \(2{x^2} + 2{y^2} - 4x + 6y - 12 = 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2x + 3y - 6 = 0\) có \(a = 1;\,b =  - \frac{3}{2};\,c =  - 6\) \( \Rightarrow {a^2} + {b^2} > c \Rightarrow \) phương trình là đường tròn.

Chọn D.

Phương pháp giải:

Phương trình đường tròn \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) có tâm \(I\left( {a;\,b} \right).\)

Lời giải chi tiết:

Đường tròn \({x^2} + {y^2} - 2x + 6y = 0\) có tâm \(I\left( {1; - 3} \right)\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Đường tròn \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = c\) có tâm \(I\left( {a;b} \right)\), bán kính \(R = \sqrt c .\)

Lời giải chi tiết:

Đường tròn \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 9\) có tâm \(I\left( {3; - 2} \right)\) , bán kính \(R = \sqrt 9  = 3.\)

Chọn D.