Phương pháp giải:

Đặt nhân tử chung, rút gọn các phân thức sau đó biến đổi và rút gọn biểu thức.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(x > 0,\;\;y > 0,\;\;x \ne y.\)

\(\begin{array}{l}P = \frac{{x\sqrt y  + y\sqrt x }}{{\sqrt {xy} }} - \frac{{{{\left( {\sqrt x  + \sqrt y } \right)}^2} - 4\sqrt {xy} }}{{\sqrt x  - \sqrt y }} - y\\\;\;\; = \frac{{\sqrt {xy} \left( {\sqrt x  + \sqrt y } \right)}}{{\sqrt {xy} }} - \frac{{x + 2\sqrt {xy}  + y - 4\sqrt {xy} }}{{\sqrt x  - \sqrt y }} - y\\\;\;\; = \sqrt x  + \sqrt y  - \frac{{{{\left( {\sqrt x  - \sqrt y } \right)}^2}}}{{\sqrt x  - \sqrt y }} - y\\\;\;\; = \sqrt x  + \sqrt y  - \left( {\sqrt x  - \sqrt y } \right) - y\\\;\;\; = \sqrt x  + \sqrt y  - \sqrt x  + \sqrt y  - y\\\;\;\; = 2\sqrt y  - y.\end{array}\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Biến đổi biểu thức và tìm giá trị lớn nhất của biểu thức.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(x > 0,\;\;y > 0,\;\;x \ne y.\)

Ta có: \(P = 2\sqrt y  - y =  - \left( {y - 2\sqrt y  + 1} \right) + 1 = {\left( {\sqrt y  - 1} \right)^2} + 1\)

Vì \({\left( {\sqrt y  - 1} \right)^2} \ge 0\,\,\forall y \ge 0 \Rightarrow  - {\left( {\sqrt y  - 1} \right)^2} \le 0 \Rightarrow  - {\left( {\sqrt y  - 1} \right)^2} + 1 \le 1\)

\( \Rightarrow P \le 1.\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \sqrt y  - 1 = 0 \Leftrightarrow \sqrt y  = 1 \Leftrightarrow y = 1\,\,\,\left( {tm} \right).\) 

Vậy \(Max\,P = 1\)  khi  \(y = 1.\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Phân tích mẫu thức thành nhân tử sau đó quy đồng mẫu các phân thức  rồi biến đổi để rút gọn biểu thức.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(x > 0,\,\,\,x \ne 1.\)

\(\begin{array}{l}A = \left( {\frac{1}{{x - \sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x  - 1}}} \right):\frac{{\sqrt x  + 1}}{{{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2}}}\\\,\,\,\, = \left( {\frac{1}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}}} \right):\frac{{\sqrt x  + 1}}{{{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2}}}\\\,\,\,\,\, = \frac{{1 + \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}}.\frac{{{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x  + 1}} = \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x }}.\end{array}\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Sử dụng bất đẳng thức Cô-si để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P.\)

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(x > 0,\,\,\,x \ne 1.\)

\(P = A - 9\sqrt x  = \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x }} - 9\sqrt x  = 1 - \left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + 9\sqrt x } \right).\)

Với \(x > 0,x \ne 1\), áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương \(\frac{1}{{\sqrt x }};\,\,\,9\sqrt x \) ta có:

\(\frac{1}{{\sqrt x }} + 9\sqrt x  \ge 2\sqrt {\frac{1}{{\sqrt x }}.9\sqrt x }  = 6 \Leftrightarrow 1 - \left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + 9\sqrt x } \right) \le 1 - 6 =  - 5\)  

Dấu “=”  xảy ra \( \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt x }} = 9\sqrt x  \Leftrightarrow 9x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{1}{9}\,\,\,\,\left( {tm} \right).\)

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \(P\)  là \( - 5\) khi \(x = \frac{1}{9}.\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Bình phương hai vế, sau đó đưa về phương trình tích.

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ: \(36{x^2} - 12x + 1 \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {6x - 1} \right)^2} \ge 0\) (luôn đúng với mọi \(x \in \mathbb{R}\))

\[\begin{array}{l}\sqrt {36{x^2} - 12x + 1}  = 2 \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {6x - 1} \right)}^2}}  = 2\\ \Leftrightarrow \left| {6x - 1} \right| = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}6x - 1 = 2\\6x - 1 =  - 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}6x = 3\\6x =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{1}{2}\\x =  - \frac{1}{6}\end{array} \right..\end{array}\]

Vậy phương trình đã cho có nghiệm:\(x =  - \frac{1}{6},x = \frac{1}{2}\)

Phương pháp giải:

Phân tích tử số và mẫu số của phân thức thứ hai thành nhân tử để rút gọn.

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ: \(x > 0,x \ne 1\) . Với điều kiện trên ta có:

\(\begin{array}{l}A = \frac{x}{{\sqrt x  - 1}} - \frac{{2x - \sqrt x }}{{x - \sqrt x }} = \frac{x}{{\sqrt x  - 1}} - \frac{{\sqrt x \left( {2\sqrt x  - 1} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\\\;\;\; = \frac{x}{{\sqrt x  - 1}} - \frac{{2\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  - 1}} = \frac{{x - \left( {2\sqrt x  - 1} \right)}}{{\sqrt x  - 1}}\\\;\;\; = \frac{{{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} - 2\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 1}} = \frac{{{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x  - 1}} = \sqrt x  - 1.\end{array}\)

Vậy \(A = \frac{x}{{\sqrt x  - 1}} - \frac{{2x - \sqrt x }}{{x - \sqrt x }} = \sqrt x  - 1\)  

Phương pháp giải:

\(\sqrt A \) có nghĩa khi \(A \ge 0\)

Lời giải chi tiết:

Điều kiện để \(\sqrt A \) có nghĩa là \(A \ge 0\).

Áp dụng: \(\sqrt {3x - 7} \) có nghĩa khi \(3x - 7 \ge 0\) \( \Leftrightarrow 3x \ge 7\,\, \Leftrightarrow x \ge \frac{7}{3}\)

Vậy với \(x \ge \frac{7}{3}\) thì \(\sqrt {3x - 7} \) có nghĩa.

Chọn D.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức: \(\sqrt {{A^2}B}  = \left| A \right|\sqrt B  = \left\{ \begin{array}{l}A\sqrt B \;\;khi\;\;A \ge 0\\ - A\sqrt B \;\;khi\;\;A < 0\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

 \(\begin{array}{l}\frac{1}{2}\sqrt {48}  - 2\sqrt {75}  + \frac{{\sqrt {33} }}{{\sqrt {11} }} = \frac{1}{2}\sqrt {16.3}  - 2\sqrt {25.3}  + \sqrt {\frac{{33}}{{11}}} \\ = \frac{1}{2}.4\sqrt 3  - 2.5\sqrt 3  + \sqrt 3 \\ = 2\sqrt 3  - 10\sqrt 3  + \sqrt 3 \\ =  - 7\sqrt 3 \end{array}\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Phân tích mẫu của các phân thức, rút gọn các phân thức (nếu có nhân tử chung).

+) Tìm mẫu thức chung từ đó quy đồng mẫu các phân thức.

+) Biến đổi và rút gọn biểu thức đã cho.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(x > 0,\;\;x \ne 1.\)

\(\begin{array}{l}P = \left( {\frac{{x\sqrt x  - 1}}{{x - \sqrt x }} - \frac{{x\sqrt x  + 1}}{{x + \sqrt x }}} \right):\left[ {\frac{{2\left( {x - 2\sqrt x  + 1} \right)}}{{x - 1}}} \right]\\ = \left[ {\frac{{{{\left( {\sqrt x } \right)}^3} - {1^3}}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}} - \frac{{{{\left( {\sqrt x } \right)}^3} + {1^3}}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right)}}} \right]:\left[ {\frac{{2{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} - 1}}} \right]\\ = \left[ {\frac{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {x + \sqrt x  + 1} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}} - \frac{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {x - \sqrt x  + 1} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right)}}} \right]:\left[ {\frac{{2{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}} \right]\\ = \left( {\frac{{\left( {x + \sqrt x  + 1} \right)}}{{\sqrt x }} - \frac{{\left( {x - \sqrt x  + 1} \right)}}{{\sqrt x }}} \right):\frac{{2\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{{\sqrt x  + 1}}\\ = \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x }}.\frac{{\sqrt x  + 1}}{{2\left( {\sqrt x  - 1} \right)}} = \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 1}}\end{array}\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Quy đồng mẫu các phân thức sau đó biến đổi và rút gọn phân thức.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}B = \frac{1}{{\sqrt x  - 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 1}} + \frac{{2\sqrt x }}{{1 - x}} = \frac{1}{{\sqrt x  - 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 1}} - \frac{{2\sqrt x }}{{x - 1}}\\ = \frac{{\sqrt x  + 1 + \sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right) - 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}} = \frac{{\sqrt x  + 1 + x - \sqrt x  - 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\\ = \frac{{x - 2\sqrt x  + 1}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}} = \frac{{{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}} = \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}}.\end{array}\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Tìm giá trị biểu thức P, từ đó kết hợp điều kiện đề bài xét dấu P để tìm x

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(x \ge 0,\;x \ne 1.\)

\(P = B:A = \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}}:\frac{{x + 3}}{{\sqrt x  + 1}} = \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}}.\frac{{\sqrt x  + 1}}{{x + 3}} = \frac{{\sqrt x  - 1}}{{x + 3}}\)

Vì \(x \ge 0 \Rightarrow x + 3 > 0\)

Để \(P < 0 \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x  - 1}}{{x + 3}} < 0 \Leftrightarrow \sqrt x  - 1 < 0 \Leftrightarrow \sqrt x  < 1 \Leftrightarrow x < 1\)

Kết hợp điều kiện đề bài \( \Rightarrow 0 \le x < 1\)

Vậy với \(0 \le x < 1\) thì \(P < 0.\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Tính và biến đổi \(\frac{1}{P}\) sao cho để khi sử dụng bất đẳng thức Cô-si có thể triệt tiêu được hết x, từ đó áp dụng bất đẳng thức Cô-si để tìm giá trị nhỏ nhất của \(\frac{1}{P}.\)

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(x \ge 0,\;x \ne 1.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{1}{P} = \frac{{x + 3}}{{\sqrt x  - 1}} = \frac{{{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2} + 2\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  - 1}}\\\;\;\;\; = \frac{{{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2} + 2\left( {\sqrt x  - 1} \right) + 4}}{{\sqrt x  - 1}}\\\;\;\;\; = 2 + \left( {\sqrt x  - 1} \right) + \frac{4}{{\sqrt x  - 1}}.\end{array}\)

Vì \(x > 1\) nên \(\sqrt x  - 1 > 0\) \( \Rightarrow \frac{4}{{\sqrt x  - 1}} > 0\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số không âm \(\left( {\sqrt x  - 1} \right)\) và \(\frac{4}{{\sqrt x  - 1}}\) ta được:

\(\left( {\sqrt x  - 1} \right) + \frac{4}{{\sqrt x  - 1}} \ge 2\sqrt 4  = 4 \Rightarrow \frac{1}{P} = 2 + \left( {\sqrt x  - 1} \right) + \frac{4}{{\sqrt x  - 1}} \ge 2 + 4 = 6\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \sqrt x  - 1 = \frac{4}{{\sqrt x  - 1}} \Leftrightarrow {\left( {\sqrt x  - 1} \right)^2} = 4 \Leftrightarrow \sqrt x  - 1 = 2\;\;\;\left( {do\;\;\sqrt x  - 1 > 0} \right)\) 

\( \Leftrightarrow \sqrt x  = 3 \Leftrightarrow x = 9\;\;\left( {tm} \right)\)

Vậy \(\min \frac{1}{P} = 6\) đạt được khi \(x = 9.\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Rút gọn căn bậc hai dựa vào công thức: \(\sqrt {{A^2}B}  = \left| A \right|\sqrt B  = \left\{ \begin{array}{l}A\sqrt B \;\;khi\;\;A \ge 0\\ - A\sqrt B \;\;khi\;\;A < 0\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\sqrt {12}  + 3\sqrt {48}  - 5\sqrt {75}  = 2\sqrt 3  + 3.4\sqrt 3  - 5.5\sqrt 3 \\ = 2\sqrt 3  + 12\sqrt 3  - 25\sqrt 3  =  - 11\sqrt 3 .\end{array}\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Trục căn thức ở mẫu các phân thức sau đó rút gọn biểu thức.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}5\sqrt {\frac{1}{5}}  - \frac{8}{{1 + \sqrt 5 }} + \frac{{\sqrt {20}  - 5}}{{2 - \sqrt 5 }} = \sqrt 5  - \frac{{8\left( {1 - \sqrt 5 } \right)}}{{\left( {1 + \sqrt 5 } \right)\left( {1 - \sqrt 5 } \right)}} + \frac{{\sqrt 5 \left( {2 - \sqrt 5 } \right)}}{{2 - \sqrt 5 }}\\ = \sqrt 5  - \frac{{8\left( {1 - \sqrt 5 } \right)}}{{ - 4}} + \sqrt 5  = \sqrt 5  + 2\left( {1 - \sqrt 5 } \right) + \sqrt 5 \\ = \sqrt 5  + 2 - 2\sqrt 5  + \sqrt 5  = 2.\end{array}\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức: \(\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,khi\,\,A \ge 0\\ - A\,\,khi\,\,A < 0\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

\(\sqrt {9{x^2}}  = 6 \Leftrightarrow \left| {3x} \right| = 6 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = 6\\3x =  - 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x =  - 2\end{array} \right.\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ { - 2;2} \right\}\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Rút gọn căn bậc hai, bình phương hai vế không âm, \({\left( {\sqrt A } \right)^2} = A.\)

Lời giải chi tiết:

\(\sqrt {4x - 20}  + \sqrt {x - 5}  - \frac{1}{3}\sqrt {9x - 45}  = 4\)  (1)

ĐKXĐ: \(x \ge 5\)

\(\begin{array}{l}\left( 1 \right) \Leftrightarrow 2\sqrt {x - 5}  + \sqrt {x - 5}  - \frac{1}{3}.3\sqrt {x - 5}  = 4\\ \Leftrightarrow 2\sqrt {x - 5}  = 4 \Leftrightarrow \sqrt {x - 5}  = 2\\ \Leftrightarrow x - 5 = 4 \Leftrightarrow x = 9\;\;\;\left( {tm} \right)\end{array}\)

Vậy phương trình có tập nghiệm \(S = \left\{ 9 \right\}.\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Tìm điều kiện xác định sau đó bình phương hai vế.

Lời giải chi tiết:

\(\sqrt {4 - 3x}  = 4\).

ĐKXĐ: \(4 - 3x \ge 0 \Leftrightarrow x \le \frac{4}{3}\)

\(\sqrt {4 - 3x}  = 4 \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {4 - 3x} } \right)^2} = {4^2} \Leftrightarrow 4 - 3x = 16 \Leftrightarrow x =  - 4\;\;\left( {tm} \right)\)

Vậy \(x =  - 4\) là nghiệm của phương trình.

Chọn B.

Phương pháp giải:

Bình phương hai vế sau đó giải phương trình bậc 2.

Lời giải chi tiết:

\(\sqrt {4{x^2} + 4x + 1}  = 5\).

ĐKXĐ: \(4{x^2} + 4x + 1 \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {2x + 1} \right)^2} \ge 0\) (luôn đúng\(\forall x \in \mathbb{R}\))

 \(\begin{array}{l}\sqrt {4{x^2} + 4x + 1}  = 5 \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}  = 5\\ \Leftrightarrow \left| {2x + 1} \right| = 5 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + 1 = 5\\2x + 1 =  - 5\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = 4\\2x =  - 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x =  - 3\end{array} \right..\end{array}\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x =  - 3,x = 2\).

Chọn C.

Phương pháp giải:

Rút gọn căn bậc hai bằng công thức: \(\sqrt {{A^2}B}  = \left| A \right|\sqrt B  = \left\{ \begin{array}{l}A\sqrt B \,\;\,khi\,\,A \ge 0\\ - A\sqrt B \,\;\,khi\,\,A < 0\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

\(\sqrt {50}  - 3\sqrt 8  + \sqrt {32}  = 5\sqrt 2  - 3.2\sqrt 2  + 4\sqrt 2  = 5\sqrt 2  - 6\sqrt 2  + 4\sqrt 2  = 3\sqrt 2 \)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức: \(\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,khi\,\,A \ge 0\\ - A\,\,khi\,\,A < 0\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

\(\sqrt {{x^2} - 4x + 4}  = 1\)          

ĐKXĐ: \({x^2} - 4x + 4 \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} \ge 0\) luôn đúng với mọi x

\(PT \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2}}  = 1 \Leftrightarrow \left| {x - 2} \right| = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 2 = 1\\x - 2 =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = 1\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có tập nghiệm: \(S = \left\{ {1;\;3} \right\}.\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Đưa về phương trình tích để giải phương trình.

Lời giải chi tiết:

\(\sqrt {{x^2} - 3x}  - \sqrt {x - 3}  = 0\)      

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 3x \ge 0\\x - 3 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\left( {x - 3} \right) \ge 0\\x \ge 3\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge 3\)

\(\begin{array}{l}PT \Leftrightarrow \sqrt {x\left( {x - 3} \right)}  - \sqrt {x - 3}  = 0 \Leftrightarrow \sqrt {x - 3} \left( {\sqrt x  - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt {x - 3}  = 0\\\sqrt x  - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 3 = 0\\\sqrt x  = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\,\,\,\,(tm)\\x = 1\,\,\,\,\,(ktm)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy phương trình có tập nghiệm: \(S = \left\{ 3 \right\}.\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

+) Đặt ĐKXĐ để biểu thức có nghĩa.

+) Phân tích đa thức thành nhân tử: \(x - \sqrt x  - 2 = (\sqrt x  + 1)(\sqrt x  - 2)\)

+) Quy đồng mẫu các phân thức, biến đổi sau đó rút gọn biểu thức.

Lời giải chi tiết:

Đk:  \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x - \sqrt x  - 2\\\sqrt x  \ne 2\\1 - \sqrt x  \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right) \ne 0\\x \ne 4\\x \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 1\\x \ne 4\end{array} \right..\)

\(\begin{array}{l}A = \left( {\frac{{x - \sqrt x  + 2}}{{x - \sqrt x  - 2}} + \frac{2}{{\sqrt x  + 1}}} \right):\frac{{1 - \sqrt x }}{{2 - \sqrt x }} = \left[ {\frac{{x - \sqrt x  + 2}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}} + \frac{2}{{\sqrt x  + 1}}} \right]:\frac{{1 - \sqrt x }}{{2 - \sqrt x }}\\ = \frac{{x - \sqrt x  + 2 + 2\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}.\frac{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{\sqrt x  - 1}} = \frac{{\left( {x - \sqrt x  + 2 + 2\sqrt x  - 4} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\\\;\;\; = \frac{{x + \sqrt x  - 2}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}} = \frac{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}} = \frac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  + 1}}.\end{array}\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

+) Sử dụng các tính chất: Tổng các số nguyên là một số nguyên và phân số là số nguyên khi tử chia hết cho mẫu.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(x \ge 0,\;\;x \ne 1,\;\;x \ne 4.\)

Ta có: \(A = \frac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  + 1}} = \frac{{\sqrt x  + 1 + 1}}{{\sqrt x  + 1}} = 1 + \frac{1}{{\sqrt x  + 1}}\)

\( \Rightarrow \) Để A là số nguyên thì \(\frac{1}{{\sqrt x  + 1}} \in Z \Leftrightarrow \left( {\sqrt x  + 1} \right)\) là ước của 1\( \Leftrightarrow \sqrt x  + 1 \in \left\{ { \pm 1} \right\}\)

+)\(\sqrt x  + 1 = 1 \Leftrightarrow \sqrt x  = 0 \Leftrightarrow x = 0\;\;\left( {tm} \right)\)

+)\(\sqrt x  + 1 =  - 1 \Leftrightarrow \sqrt x  =  - 2\) (vô lý)

Vậy \(x = 0\) thì \(A\) là số nguyên.

Chọn D.

Phương pháp giải:

Xét xem \(a = 81\) có thỏa mãn ĐKXĐ hay không sau đó thay vào để tính giá trị biểu thức.

Lời giải chi tiết:

Khi \(a = 81\;\;\left( {tm} \right) \Rightarrow P = \frac{{81 - 9}}{{\sqrt {81}  - 3}} = \frac{{72}}{{9 - 3}} = \frac{{72}}{6} = 12\)

Vậy khi \(a = 81\) thì \(P = 12.\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Quy đồng mẫu các phân thức, biến đổi và rút gọn biểu thức.

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ: \(a \ge 0,\;\;a \ne 9.\)

\(\begin{array}{l}Q = \frac{3}{{\sqrt a  - 3}} + \frac{2}{{\sqrt a  + 3}} + \frac{{a - 5\sqrt a  - 3}}{{a - 9}} = \frac{{3\left( {\sqrt a  + 3} \right) + 2\left( {\sqrt a  - 3} \right) + a - 5\sqrt a  - 3}}{{\left( {\sqrt a  - 3} \right).\left( {\sqrt a  + 3} \right)}}\\\;\;\; = \frac{{3\sqrt a  + 9 + 2\sqrt a  - 6 + a - 5\sqrt a  - 3}}{{a - 9}} = \frac{a}{{a - 9}}.\end{array}\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Tính \(A,\) đưa kết quả về dạng sử dụng bất đẳng thức Cô-si sẽ triệt tiêu hết \(a.\)

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ: \(a > 9.\)

\(A = P.Q = \frac{{a - 9}}{{\sqrt a  - 3}}.\frac{a}{{a - 9}} = \frac{a}{{\sqrt a  - 3}} = \sqrt a  + 3 + \frac{9}{{\sqrt a  - 3}} = \left( {\sqrt a  - 3} \right) + \frac{9}{{\sqrt a  - 3}} + 6\)

Vì  \(a > 9 \Rightarrow \sqrt a  - 3 > 0 \Rightarrow \frac{9}{{\sqrt a  - 3}} > 0\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm \(\left( {\sqrt a  - 3} \right)\) và \(\frac{9}{{\sqrt a  - 3}}\) ta được:

\(\begin{array}{l}\left( {\sqrt a  - 3} \right) + \frac{9}{{\sqrt a  - 3}} \ge 2.\sqrt {\left( {\sqrt a  - 3} \right).\frac{9}{{\sqrt a  - 3}}}  = 6\\ \Rightarrow A = \left( {\sqrt a  - 3} \right) + \frac{9}{{\sqrt a  - 3}} + 6 \ge 12.\end{array}\)

Dấu ‘‘=’’ xảy ra

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt a  - 3 = \frac{9}{{\sqrt a  - 3}} \Leftrightarrow {\left( {\sqrt a  - 3} \right)^2} = 9\;\;\;\left( {do\;\;\sqrt a  - 3 > 0} \right)\\ \Leftrightarrow \sqrt a  - 3 = 3 \Leftrightarrow \sqrt a  = 6 \Leftrightarrow a = 36\;\;\left( {tm} \right)\end{array}\)

Vậy \(\min A = 12\) đạt được khi \(a = 36\).

Chọn C.

Phương pháp giải:

Thay \(x = \frac{9}{4}\) vào \(A\) rồi tính giá trị của biểu thức

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(x \ge 0,\;\;x \ne 1.\)

Với \(x = \frac{9}{4}\;\;\left( {tm} \right)\) ta được: \(A = \frac{{\sqrt {\frac{9}{4}}  + 1}}{{\sqrt {\frac{9}{4}}  - 1}} = \frac{{\frac{3}{2} + 1}}{{\frac{3}{2} - 1}} = \frac{{\frac{5}{2}}}{{\frac{1}{2}}} = 5.\)

Chọn C.          

Phương pháp giải:

Quy đồng và rút gọn phân thức

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(x \ge 0,\;\;x \ne 1.\)

\(B = \left( {\frac{1}{{\sqrt x  - 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{x - 1}}} \right).\frac{{x - \sqrt x }}{{2\sqrt x  + 1}} = \frac{{\sqrt x  + 1 + \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}.\frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{{2\sqrt x  + 1}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 1}}.\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Tính và đưa P về dạng \(P = a + \frac{b}{c}\) với a, b là các số nguyên, c là ciểu thức chứa x. Từ điều kiện của x để tìm giá trị nhỏ nhất của P

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(x \ge 0,\;\;x \ne 1.\)

\(P = A.B = \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 1}}.\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 1}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 1}} = \frac{{\sqrt x  - 1 + 1}}{{\sqrt x  - 1}} = 1 + \frac{1}{{\sqrt x  - 1}}\)

Ta có : \(x \ge 0 \Rightarrow \sqrt x  \ge 0 \Rightarrow \sqrt x  - 1 \ge  - 1 \Rightarrow \frac{1}{{\sqrt x  - 1}} \le  - 1 \Rightarrow P \le 0\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow x = 0\)

Vậy \(\max P = 0\) đạt được tại \(x = 0\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

Quy đồng và rút gọn phân thức

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(x > 0,\,\,x \ne 1.\)

\(\begin{array}{l}A = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 1}} + \frac{1}{{x - \sqrt x }}} \right):\left( {\frac{1}{{\sqrt x  + 1}} + \frac{2}{{x - 1}}} \right)\\ = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 1}} + \frac{1}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}}} \right):\left( {\frac{1}{{\sqrt x  + 1}} + \frac{2}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}} \right)\\ = \frac{{x + 1}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}}:\frac{{\sqrt x  + 1}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\\ = \frac{{x + 1}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}}.\left( {\sqrt x  - 1} \right) = \frac{{x + 1}}{{\sqrt x }}.\end{array}\)

Chọn A.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(x > 0,\,\,x \ne 1.\)

\(A = 2 \Leftrightarrow \frac{{x + 1}}{{\sqrt x }} = 2 \Leftrightarrow x + 1 = 2\sqrt x  \Leftrightarrow {\left( {\sqrt x  - 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x = 1\,\,\,\left( {ktm} \right)\)  

Vậy không có giá trị nào của x để \(A = 2\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

Tính và đưa \(P\) về dạng một tổng bình phương cộng một số.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(x > 0,\,\,x \ne 1.\)

\(P = \left( {A - 4} \right)\sqrt x  = \left( {\frac{{x + 1}}{{\sqrt x }} - 4} \right).\sqrt x  = x - 4\sqrt x  + 1 = {\left( {\sqrt x  - 2} \right)^2} - 3 \ge  - 3\)

Ta có \(P \ge  - 3\), dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \sqrt x  - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 4\,\,\,\left( {tm} \right)\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là \( - 3\) khi \(x = 4\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

Thay giá trị \(x = 25\) vào biểu thức A và tính giá trị của biểu thức.

Lời giải chi tiết:

ĐK: \(x \ge 0,\,\,x \ne 9.\)

Khi \(x = 25\,\,\left( {tm} \right) \Rightarrow A = \frac{{\sqrt {25}  + 1}}{{\sqrt {25}  - 3}} = \frac{6}{2} = 3.\)  \(\)  

Chọn B.

Phương pháp giải:

Phân tích đa thức thành nhân tử: \(x - \sqrt x  - 2 = (\sqrt x  + 1)(\sqrt x  - 2)\)

Lời giải chi tiết:

ĐK: \(x \ge 0,\,\,x \ne 9.\)

\(\begin{array}{l}P = B:A = \left( {\frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x  + 3}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}} - \frac{{3x + 3}}{{x - 9}}} \right):\frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 3}}\\ = \frac{{2\sqrt x (\sqrt x  - 3) + \sqrt x (\sqrt x  + 3) - (3x + 3)}}{{(\sqrt x  + 3)(\sqrt x  - 3)}}.\frac{{\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x  + 1}}\\ = \frac{{2x - 6\sqrt x  + x + 3\sqrt x  - 3x - 3}}{{(\sqrt x  + 3)(\sqrt x  - 3)}}.\frac{{\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x  + 1}}\\ = \frac{{ - 3\sqrt x  - 3x}}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}} = \frac{{ - 3(\sqrt x  + 1)}}{{(\sqrt x  + 3)(\sqrt x  + 1)}} = \frac{{ - 3}}{{\sqrt x  + 3}}.\end{array}\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Sử dụng các tính chất: Tổng các số nguyên là một số nguyên và phân số là số nguyên khi tử chia hết cho mẫu.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\sqrt x  + 3 \ge 3,\forall x \ge 0,x \ne 9\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{{\sqrt x  + 3}} \le \frac{1}{3},\forall x \ge 0,x \ne 9\\ \Leftrightarrow \frac{{ - 3}}{{\sqrt x  + 1}} \ge  - 1,\forall x \ge 0,x \ne 9.\end{array}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P\) là \(-1\)  khi \(x = 0.\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Quy đồng mẫu các phân thức sau đó biến đổi và rút gọn biểu thức.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(a > 0,\,\,\,a \ne 1.\)

\(\begin{array}{l}P = \left( {\frac{{\sqrt a  + 1}}{{\sqrt a  - 1}} - \frac{{\sqrt a  - 1}}{{\sqrt a  + 1}} + 4\sqrt a } \right):\left( {\frac{{{a^2} + a\sqrt a }}{{\sqrt a  + 1}}} \right)\\ = \frac{{{{\left( {\sqrt a  + 1} \right)}^2} - {{\left( {\sqrt a  - 1} \right)}^2} + 4\sqrt a \left( {a - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt a  + 1} \right)\left( {\sqrt a  - 1} \right)}}:\frac{{a\sqrt a \left( {\sqrt a  + 1} \right)}}{{\sqrt a  + 1}}\\ = \frac{{a + 2\sqrt a  + 1 - a + 2\sqrt a  - 1 + 4\sqrt a \left( {a - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt a  + 1} \right)\left( {\sqrt a  - 1} \right)}}.\frac{1}{{a\sqrt a }}\\ = \frac{{4\sqrt a  + 4\sqrt a \left( {a - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt a  + 1} \right)\left( {\sqrt a  - 1} \right)}}.\frac{1}{{a\sqrt a }}\\ = \frac{{4\sqrt a \left( {1 + a - 1} \right)}}{{a - 1}}.\frac{1}{{a\sqrt a }} = \frac{4}{{a - 1}}.\end{array}\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Biến đổi biểu thức \(P = b + \frac{c}{{MS}}\)

+) Khi đó \(P \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \frac{c}{{MS}} \in \mathbb{Z} \Rightarrow MS \in U\left( c \right).\) Từ đó tìm \(a \in \mathbb{Z}\)

+) Đối chiếu với điều kiện của \(a\) rồi kết luận.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(a > 0,\,\,\,a \ne 1.\)

Ta có: \(P = \frac{4}{{a - 1}} \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \left( {a - 1} \right) \in U\left( 4 \right)\)

Mà \(U\left( 4 \right) = \left\{ { \pm 1;\,\, \pm 2;\, \pm 4} \right\} \Rightarrow \left( {a - 1} \right) \in \left\{ { \pm 1;\,\, \pm 2;\,\, \pm 4} \right\}\)

Ta có bảng:

Vậy với \(a \in \left\{ {2;\,\,3;\,\,5} \right\}\) thì \(P \in \mathbb{Z}.\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức: \(\sqrt {{A^2}B}  = \left| A \right|\sqrt B  = \left\{ \begin{array}{l}A\sqrt B \,\,\,khi\,\,\,\,A \ge 0\\ - A\sqrt B \,\,\,khi\,\,\,A < 0\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}A = \sqrt {12}  + \sqrt {18}  - \sqrt 8  - 2\sqrt 3  = \sqrt {{2^2}.3}  + \sqrt {{3^2}.2}  - \sqrt {{2^2}.2}  - 2\sqrt 3 \\\,\,\,\,\,\, = 2\sqrt 3  + 3\sqrt 2  - 2\sqrt 2  - 2\sqrt 3  = \sqrt 2 .\end{array}\)

Vậy\(A = \sqrt 2 .\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Rút gọn biểu thức \(B\) sau đó giải phương trình \(B = 18\) tìm \(x\), đối chiếu với điều kiện rồi kết luận.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(x \ge  - 1.\)

\(\begin{array}{l}B = \sqrt {9x + 9}  + \sqrt {4x + 4}  + \sqrt {x + 1} \\ = \sqrt {9\left( {x + 1} \right)}  + \sqrt {4\left( {x + 1} \right)}  + \sqrt {x + 1} \\ = 3\sqrt {x + 1}  + 2\sqrt {x + 1}  + \sqrt {x + 1}  = 6\sqrt {x + 1} .\end{array}\)

Ta có: \(B = 18\)\( \Leftrightarrow 6\sqrt {x + 1}  = 18 \Leftrightarrow \sqrt {x + 1}  = 3 \Leftrightarrow x + 1 = 9 \Leftrightarrow x = 8\,\,\,\left( {tm} \right)\)

Vậy \(x = 8\) thì \(B\) có giá trị là \(18.\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Khi \(x = 9\,\,\left( {tm} \right)\) thay vào biểu thức để tính giá trị của biểu thức.

Lời giải chi tiết:

Khi \(x = 9\,\,\left( {tm} \right)\) thay vào biểu thức \(A = \frac{{4\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{25 - x}}\) ta được:

\(A = \frac{{4\left( {\sqrt 9  + 1} \right)}}{{25 - 9}} = \frac{{4\left( {3 + 1} \right)}}{{16}} = \frac{{16}}{{16}} = 1.\)

Vậy với \(x = 9\) thì \(A = 1.\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Quy đồng mẫu các phân thức rồi rút gọn biểu thức.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(x \ge 0,\,\,x \ne 25.\)

\(\begin{array}{l}B = \left( {\frac{{15 - \sqrt x }}{{x - 25}} + \frac{2}{{\sqrt x  + 5}}} \right):\frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 5}} = \left[ {\frac{{15 - \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 5} \right)\left( {\sqrt x  + 5} \right)}} + \frac{2}{{\sqrt x  + 5}}} \right].\frac{{\sqrt x  - 5}}{{\sqrt x  + 1}}\\ = \frac{{15 - \sqrt x  + 2\left( {\sqrt x  - 5} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 5} \right)\left( {\sqrt x  + 5} \right)}}.\frac{{\sqrt x  - 5}}{{\sqrt x  + 1}} = \frac{{15 - \sqrt x  + 2\sqrt x  - 10}}{{\sqrt x  + 5}}.\frac{1}{{\sqrt x  + 1}}\\ = \frac{{\sqrt x  + 5}}{{\sqrt x  + 5}}.\frac{1}{{\sqrt x  + 1}} = \frac{1}{{\sqrt x  + 1}}.\end{array}\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Tính biểu thức: \(P = AB.\) Biểu thức \(P \in \mathbb{Z} \Rightarrow \) tử số chia hết cho mẫu số.

Từ đó tìm các giá trị của \(x \in \mathbb{Z} \Rightarrow P \in \mathbb{Z}\) và tính được các giá trị của \(P\) và kết luận giá trị \(x \in \mathbb{Z}\) để \(P \in \mathbb{Z}\) và đạt giá trị lớn nhất.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(x \ge 0,\,\,x \ne 25.\)

Ta có: \(P = A.B = \frac{{4\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{25 - x}}.\frac{1}{{\sqrt x  + 1}} = \frac{4}{{25 - x}}.\)

\(x \in \mathbb{Z} \Rightarrow P \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \frac{4}{{25 - x}} \in \mathbb{Z} \Rightarrow 4\,\, \vdots \,\,\left( {25 - x} \right)\) hay \(\left( {25 - x} \right) \in U\left( 4 \right)\)

Mà \(U\left( 4 \right) = \left\{ { \pm 1;\,\, \pm 2;\,\, \pm 4} \right\} \Rightarrow \left( {25 - x} \right) \in \left\{ { \pm 1;\,\, \pm 2;\, \pm 4} \right\}.\)

Ta có bảng giá trị:

\( \Rightarrow \)  với \(x \in \left\{ {23;\,\,24;\,\,26;\,\,27;\,\,29} \right\}\) thì \(P \in \mathbb{Z}.\)

Qua bảng giá trị ta thấy với \(x = 24\) thì \(P = 4\) là số nguyên lớn nhất.

Vậy \(x = 24\) thỏa mãn điều kiện bài toán.

Chọn A.

Phương pháp giải:

Quy đồng mẫu các phân thức rồi rút gọn biểu thức.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(x \ge 0,\,\,x \ne 1.\)

\(\begin{array}{l}A = \frac{{{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2} + {{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}} - \frac{{3\sqrt x  + 1}}{{x - 1}}\\\,\,\,\, = \frac{{x + 2\sqrt x  + 1 + x - 2\sqrt x  + 1}}{{x - 1}} - \frac{{3\sqrt x  + 1}}{{x - 1}}\\\,\,\, = \frac{{2x + 2}}{{x - 1}} - \frac{{3\sqrt x  + 1}}{{x - 1}} = \frac{{2x + 2 - 3\sqrt x  - 1}}{{x - 1}}\\\,\,\, = \frac{{2x - 3\sqrt x  + 1}}{{x - 1}} = \frac{{2x - 2\sqrt x  - \sqrt x  + 1}}{{x - 1}}\\\,\,\, = \frac{{2\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right) - \left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}} = \frac{{\left( {2\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\, = \frac{{2\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}}.\end{array}\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Số \(x = {k^2}\) là số chính phương.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(x \ge 0,\,\,x \ne 1.\)

Ta có: \(2019A = 2019.\frac{{2\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}} = 2019\left( {2 - \frac{3}{{\sqrt x  + 1}}} \right) = 4038 - \frac{{6057}}{{\sqrt x  + 1}}.\)

Vì \(2019A \in \mathbb{Z} \Rightarrow \sqrt x  + 1 \in U\left( {6057} \right)\).

Mà \(\sqrt x  + 1 \ge 1\,\,\forall x \ge 0,\,\,x \ne 1 \Rightarrow \sqrt x  + 1 \in \left\{ {1;3;9;2019;6057} \right\}\).

TH1: \(\sqrt x  + 1 = 1 \Leftrightarrow x = 0\) (tm).

TH2: \(\sqrt x  + 1 = 3 \Leftrightarrow \sqrt x  = 2 \Leftrightarrow x = 4\,\,\left( {tm} \right)\).

TH3: \(\sqrt x  + 1 = 9 \Leftrightarrow \sqrt x  = 8 \Leftrightarrow x = 64\,\,\left( {tm} \right)\).

TH4: \(\sqrt x  + 1 = 2019 \Leftrightarrow \sqrt x  = 2018 \Leftrightarrow x = {2018^2}\,\,\left( {tm} \right)\).

TH5: \(\sqrt x  + 1 = 6057 \Leftrightarrow \sqrt x  = 6056 \Leftrightarrow x = {6056^2}\,\,\left( {tm} \right)\).

Vậy \(x \in \left\{ {0;\,\,4;\,\,64;\,\,{{2018}^2};\,\,{{6056}^2}} \right\}\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức: \(\sqrt {{A^2}B}  = \left| A \right|\sqrt B  = \left\{ \begin{array}{l}A\sqrt B \,\,\,khi\,\,A \ge 0\\ - A\sqrt B \,\,\,khi\,\,\,\,A < 0\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

\(A = \sqrt {18}  - \sqrt {50}  = \sqrt {9.2}  - \sqrt {25.2}  = 3\sqrt 2  - 5\sqrt 2  =  - 2\sqrt 2 \)

Vậy \(A =  - 2\sqrt 2 \)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức: \(\sqrt {{A^2}B}  = \left| A \right|\sqrt B  = \left\{ \begin{array}{l}A\sqrt B \,\,\,khi\,\,A \ge 0\\ - A\sqrt B \,\,\,khi\,\,\,\,A < 0\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

Với \(a > 0,\,\,a \ne 4\) ta có:

\(\begin{array}{l}B = \left( {\frac{1}{{\sqrt a  - 2}} + \frac{1}{{\sqrt a  + 2}}} \right).\frac{{a - 4}}{{\sqrt a }} = \left( {\frac{{\sqrt a  + 2}}{{a - 4}} + \frac{{\sqrt a  - 2}}{{a - 4}}} \right).\frac{{a - 4}}{{\sqrt a }}\\\,\,\,\, = \frac{{2\sqrt a }}{{a - 4}}.\frac{{a - 4}}{{\sqrt a }} = 2.\end{array}\)

Vậy \(B = 2\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

Khi \(x = 25\,\,\,\left( {tm} \right)\) ta thay vào biểu thức và tính giá trị biểu thức \(A.\)

Lời giải chi tiết:

Điều kiện để biểu thức \(A\) xác định là \(x \ge 0,\,\,x \ne 9.\)

Khi \(x = 25\,\,\left( {tm} \right)\) ta được: \(A = \frac{{25 + 5}}{{\sqrt {25}  - 3}} = \frac{{30}}{2} = 15.\)

Vậy khi \(x = 25\) thì \(A = 15.\) 

Chọn D.

Phương pháp giải:

Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức \(B.\)

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(x \ge 0,\,\,x \ne 9.\)

\(\begin{array}{l}B = \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 3}} + \frac{{7\sqrt x  - 3}}{{x - 9}} = \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 3}} + \frac{{7\sqrt x  - 3}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}\\\,\,\,\, = \frac{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right) + 7\sqrt x  - 3}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}} = \frac{{x - 3\sqrt x  - \sqrt x  + 3 + 7\sqrt x  - 3}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}\\\,\,\,\, = \frac{{x + 3\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}} = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}}.\end{array}\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Biến đổi biểu thức, sử dụng bất đẳng thức Cô-si để làm bài.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(x \ge 0,\,\,\,x \ne 9.\)

Ta có: \(\frac{A}{B} = \frac{{x + 5}}{{\sqrt x  - 3}}.\frac{{\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x }} = \frac{{x + 5}}{{\sqrt x }} = \sqrt x  + \frac{5}{{\sqrt x }}\)

Áp dụng bất đăng thức Cô-si cho hai số \(\sqrt x ,\,\,\frac{5}{{\sqrt x }}\) dương ta có:

\(\sqrt x  + \frac{5}{{\sqrt x }} \ge 2\sqrt {\sqrt x .\frac{5}{{\sqrt x }}}  = 2\sqrt 5 .\)

Dâu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \sqrt x  = \frac{5}{{\sqrt x }} \Leftrightarrow x = 5\,\,\left( {tm} \right).\)

Vậy với \(x = 5\) thì biểu thức \(\frac{A}{B}\) đạt giá trị nhỏ nhất là \(2\sqrt 5 .\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Tìm điều kiện xác định sau đó quy đồng, biến đổi và rút gọn biểu thức.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(x \ge 0;\,\,\,x \ne 1;\,\,\,x \ne \frac{1}{4}.\)

\(\begin{array}{l}M = \left( {\frac{{2x\sqrt x  + x - \sqrt x }}{{x\sqrt x  - 1}} - \frac{{x + \sqrt x }}{{x - 1}}} \right)\frac{{x - 1}}{{2x + \sqrt x  - 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{2\sqrt x  - 1}}\\\,\,\,\,\,\,\,\, = \left[ {\frac{{2x\sqrt x  + x - \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {x + \sqrt x  + 1} \right)}} - \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}} \right].\frac{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\left( {2\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}} + \frac{{\sqrt x }}{{2\sqrt x  - 1}}\\\,\,\,\,\,\,\,\, = \left[ {\frac{{2x\sqrt x  + x - \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {x + \sqrt x  + 1} \right)}} - \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 1}}} \right].\frac{{\sqrt x  - 1}}{{2\sqrt x  - 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{2\sqrt x  - 1}}\\\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{2x\sqrt x  + x - \sqrt x  - \sqrt x \left( {x + \sqrt x  + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {x + \sqrt x  + 1} \right)}}.\frac{{\sqrt x  - 1}}{{2\sqrt x  - 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{2\sqrt x  - 1}}\\\,\,\,\,\,\, = \frac{{2x\sqrt x  + x - \sqrt x  - x\sqrt x  - x - \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {x + \sqrt x  + 1} \right)}}.\frac{{\sqrt x  - 1}}{{2\sqrt x  - 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{2\sqrt x  - 1}}\\\,\,\,\,\,\, = \frac{{x\sqrt x  - 2\sqrt x }}{{x + \sqrt x  + 1}}.\frac{1}{{2\sqrt x  - 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{2\sqrt x  - 1}}\\\,\,\,\,\,\, = \frac{{x\sqrt x  - 2\sqrt x  + \sqrt x \left( {x + \sqrt x  + 1} \right)}}{{\left( {2\sqrt x  - 1} \right)\left( {x + \sqrt x  + 1} \right)}} = \frac{{x\sqrt x  + x\sqrt x  + x + \sqrt x }}{{\left( {2\sqrt x  - 1} \right)\left( {x + \sqrt x  + 1} \right)}}\\\,\,\,\,\,\, = \frac{{2x\sqrt x  + x - \sqrt x }}{{\left( {2\sqrt x  - 1} \right)\left( {x + \sqrt x  + 1} \right)}} = \frac{{2x\sqrt x  + 2x - x - \sqrt x }}{{\left( {2\sqrt x  - 1} \right)\left( {x + \sqrt x  + 1} \right)}}\\\,\,\,\,\,\, = \frac{{2x\left( {\sqrt x  + 1} \right) - \sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\left( {2\sqrt x  - 1} \right)\left( {x + \sqrt x  + 1} \right)}} = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {2\sqrt x  - 1} \right)}}{{\left( {2\sqrt x  - 1} \right)\left( {x + \sqrt x  + 1} \right)}}\\\,\,\,\,\,\, = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{x + \sqrt x  + 1}} = \frac{{x + \sqrt x }}{{x + \sqrt x  + 1}}.\end{array}\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Biến đổi biểu thức sau đó áp dụng bất đẳng thức Cô-si để làm bài.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(x \ge 0;\,\,\,x \ne 1;\,\,\,x \ne \frac{1}{4}.\)

Ta có: \(P = \frac{{x + \sqrt x }}{{x + \sqrt x  + 1}}\)

Với mọi \(x \ge 0\) ta có: \(x \ge 0;\,\,\,\sqrt x  \ge 0 \Rightarrow x + \sqrt x  \ge 0 \Rightarrow P \ge 0.\)

Dấu ‘‘=’’ xảy ra \( \Leftrightarrow x = 0.\)

Vậy \(Min\,\,P = 0\,\) khi  \(x = 0.\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Với \(x = 9\,\,\left( {tm} \right),\) thay vào biểu thức \(P\) và tính giá trị của biểu thức \(P.\)

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(x > 0,\,\,\,x \ne 4.\)

Ta có: \(x = 9\,\,\left( {tm} \right),\) ta có: \(P = \frac{{9 + 3}}{{\sqrt 9  - 2}} = \frac{{12}}{{3 - 2}} = 12.\)

Vậy với \(x = 9\) thì \(P = 12.\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Quy đồng mẫu, biến đổi và rút gọn biểu thức.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(x > 0,\,\,\,x \ne 4.\)

\(\begin{array}{l}Q = \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 2}} + \frac{{5\sqrt x  - 2}}{{x - 4}} = \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 2}} + \frac{{5\sqrt x  - 2}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}\\\,\,\,\,\, = \frac{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right) + 5\sqrt x  - 2}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}} = \frac{{x - 3\sqrt x  + 2 + 5\sqrt x  - 2}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}\\\,\,\,\,\, = \frac{{x + 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}} = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 2}}.\end{array}\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Rút gọn biểu thức \(\frac{P}{Q}\) sau đó tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng bất đẳng thức Cô-si.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(x > 0,\,\,\,x \ne 4.\)

Ta có: \(\frac{P}{Q} = \frac{{x + 3}}{{\sqrt x  - 2}}:\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 2}} = \frac{{x + 3}}{{\sqrt x  - 2}}.\frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x }} = \frac{{x + 3}}{{\sqrt x }} = \sqrt x  + \frac{3}{{\sqrt x }}.\)

Với mọi \(x > 0,\,\,x \ne 4\) ta có hai số \(\sqrt x ,\,\,\,\frac{3}{{\sqrt x }}\) là các số dương.

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số \(\sqrt x ,\,\,\,\frac{3}{{\sqrt x }}\) ta được:

\(P = \sqrt x  + \frac{3}{{\sqrt x }} \ge 2\sqrt {\sqrt x .\frac{3}{{\sqrt x }}}  = 2\sqrt 3 .\)

Dấu ‘‘=’’ xảy ra \( \Leftrightarrow \sqrt x  = \frac{3}{{\sqrt x }} \Leftrightarrow x = 3\,\,\,\left( {tm} \right).\)

Vậy \(Min\,\,P = 2\sqrt 3 \) khi \(x = 3.\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Giải phương trình bằng quy tắc chuyển vế, đổi dấu.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,3\left( {x - 1} \right) = 5x + 2 \Leftrightarrow 3x - 3 = 5x + 2\\ \Leftrightarrow 5x - 3x =  - 3 - 2 \Leftrightarrow 2x =  - 5 \Leftrightarrow x =  - \frac{5}{2}.\end{array}\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x =  - \frac{5}{2}.\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

a) Khi \(x = 5\,\,\left( {tm} \right),\) thay vào biểu thức \(A\) để tính giá trị biểu thức.

b) Thêm bớt 1 vào các căn bậc hai và rút gọn biểu thức nhờ công thức: \(\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,\,khi\,\,\,A \ge 0\\ - A\,\,\,khi\,\,\,A < 0\end{array} \right..\) 

Lời giải chi tiết:

a) Tính giá trị biểu thức \(A\) khi \(x = 5.\)

Điều kiện: \(x \ge 1.\)

Khi \(x = 5\,\,\left( {tm\,\,\,x \ge 1} \right),\) thay vào biểu thức ta được:

\(\begin{array}{l}A = \sqrt {5 + 2\sqrt {5 - 1} }  + \sqrt {5 - 2\sqrt {5 - 1} }  = \sqrt {5 + 2\sqrt 4 }  + \sqrt {5 - 2\sqrt 4 } \\\,\,\,\,\, = \sqrt {5 + 2.2}  + \sqrt {5 - 2.2}  = \sqrt 9  + \sqrt 1  = 3 + 1 = 4.\end{array}\)

Vậy khi \(x = 5\) thì \(A = 4.\)

b) Rút gọn biểu thức \(A\) khi \(1 \le x \le 2.\)

Điều kiện: \(1 \le x \le 2.\)

\(\begin{array}{l}A = \sqrt {x + 2\sqrt {x - 1} }  + \sqrt {x - 2\sqrt {x - 1} } \\\,\,\,\,\,\, = \sqrt {x - 1 + 2\sqrt {x - 1}  + 1}  + \sqrt {x - 1 - 2\sqrt {x - 1}  + 1} \\\,\,\,\,\,\, = \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 1}  + 1} \right)}^2}}  + \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 1}  - 1} \right)}^2}} \\\,\,\,\,\,\, = \left| {\sqrt {x - 1}  + 1} \right| + \left| {\sqrt {x - 1}  - 1} \right|\\\,\,\,\,\,\, = \sqrt {x - 1}  + 1 + 1 - \sqrt {x - 1} \,\,\,\,\left( {do\,\,\,\,1 \le x \le 2 \Rightarrow 0 \le \sqrt {x - 1}  \le 1 \Rightarrow \sqrt {x - 1}  - 1 \le 0} \right)\\\,\,\,\,\,\, = 2.\,\,\end{array}\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Điều kiện để biểu thức có nghĩa: \(\sqrt A \)có nghĩa \( \Leftrightarrow A \ge 0\) và \(\frac{A}{B}\)có nghĩa \( \Leftrightarrow B \ne 0\).

Lời giải chi tiết:

Điều kiện để biểu thức M có nghĩa là:  \(\left\{ \begin{array}{l}y \ge 0\\x \ge 0\\xy > 0\\\sqrt x  - \sqrt y  \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\y > 0\\\sqrt x  \ne \sqrt y \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\y > 0\\x \ne y\end{array} \right..\)

Vậy \(x > 0;y > 0;\,x \ne y\).

Chọn C.

Phương pháp giải:

Rút gọn biểu thức.

Lời giải chi tiết:

Đkxđ: \(x > 0;y > 0;\,x \ne y\)

Ta có: \(M = \frac{{x\sqrt y  + y\sqrt x }}{{\sqrt {xy} }}:\frac{1}{{\sqrt x  - \sqrt y }} - x\)

\(\begin{array}{l}M = \frac{{\sqrt {xy} \left( {\sqrt x  + \sqrt y } \right)}}{{\sqrt {xy} }}.\left( {\sqrt x  - \sqrt y } \right) - x\\M = \left( {\sqrt x  + \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x  - \sqrt y } \right) - x\\M = {\left( {\sqrt x } \right)^2} - {\left( {\sqrt y } \right)^2} - x\\M = x - y - x\\M =  - y\end{array}\)

Để \(M =  - 1\)\( \Rightarrow  - y =  - 1\,\, \Rightarrow y = 1\,\,\,\left( {tm} \right)\)

Vậy với mọi \(x > 0;\,x \ne 1\) và \(y = 1\) thì  \(M =  - 1\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

Thay giá trị của \(x = 4\) (tmđk) vào biểu thức \(A\) để tính.

Lời giải chi tiết:

Với \(x = 4\) thỏa mãn điều kiện \(x > 0\,\,;\,\,x \ne 9\)

Thay \(x = 4\) vào biểu thức \(A = \frac{6}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 3} \right)}}\) ta được:

\(A = \frac{6}{{\sqrt 4 .\left( {\sqrt 4  - 3} \right)}} = \frac{6}{{2.\left( {2 - 3} \right)}} = \frac{6}{{ - 2}} =  - 3\)

Vậy khi \(x = 4\) thì \(A =  - 3.\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Quy đồng, rút gọn phân thức.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(x > 0\,\,;\,\,x \ne 9\)

\(\begin{array}{l}M = A:B = \frac{6}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 3} \right)}}:\left( {\frac{{2\sqrt x }}{{x - 9}} - \frac{2}{{\sqrt x  + 3}}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\, = \frac{6}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 3} \right)}}:\frac{{2\sqrt x  - 2\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}\\\,\,\,\,\,\,\, = \frac{6}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 3} \right)}}:\frac{6}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}\\\,\,\,\,\,\,\, = \frac{6}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 3} \right)}}.\frac{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}{6}\\\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x }}\end{array}\)

Vậy \(M = \frac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x }}.\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Biến đổi để đưa về phương trình tích \(f\left( x \right).g\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) = 0\\g\left( x \right) = 0\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(x > 0.\)

\(\begin{array}{l}3\sqrt x  + 5 = 2M \Leftrightarrow 3\sqrt x  + 5 = 2.\frac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x }}\\ \Leftrightarrow \sqrt x \left( {3\sqrt x  + 5} \right) = 2\sqrt x  + 6\\ \Leftrightarrow 3x + 5\sqrt x  = 2\sqrt x  + 6 \Leftrightarrow 3x + 3\sqrt x  - 6 = 0\\ \Leftrightarrow x + \sqrt x  - 2 = 0 \Leftrightarrow \left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x  - 1 = 0\\\sqrt x  + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x  = 1\\\sqrt x  =  - 2\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

Vậy \(x = 1.\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Thay \(x = 9\) vào \(A\) và tính giá trị.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện : \(x \ge 0,\,\,\,x \ne 1.\)

Thay \(x = 9\) (tmđk) vào biểu thức \(A\), ta có : \(A = \frac{{2\sqrt 9  - 4}}{{\sqrt 9  - 1}} = \frac{{2.3 - 4}}{{3 - 1}} = \frac{2}{2} = 1\)

Vậy với \(x = 9\) thì \(A = 1.\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Qui đồng, khử mẫu và rút gọn.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện : \(x \ge 0,\,\,\,x \ne 1.\)

\(\begin{array}{l}B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 1}} + \frac{3}{{\sqrt x  + 1}} + \frac{{6\sqrt x  - 4}}{{1 - x}}\\\,\,\,\, = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 1}} + \frac{3}{{\sqrt x  + 1}} - \frac{{6\sqrt x  - 4}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\\\,\,\, = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right) + 3\left( {\sqrt x  - 1} \right) - 6\sqrt x  + 4}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\\\,\,\, = \frac{{x + \sqrt x  + 3\sqrt x  - 3 - 6\sqrt x  + 4}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\\\,\,\, = \frac{{x - 2\sqrt x  + 1}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}} = \frac{{{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\\\,\,\, = \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}}.\end{array}\)

Vậy \(B = \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}}\) với \(x \ge 0;\,\,x \ne 1\).

Chọn B.

Phương pháp giải:

Tính \(P = AB\) và xét dấu của hiệu \(P - 2\).

Lời giải chi tiết:

Điều kiện : \(x \ge 0,\,\,\,x \ne 1.\)

Có \(P = A.B = \frac{{2\sqrt x  - 4}}{{\sqrt x  - 1}}.\frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}} = \frac{{2\sqrt x  - 4}}{{\sqrt x  + 1}}\)

Xét  \(P - 2 = \frac{{2\sqrt x  - 4}}{{\sqrt x  + 1}} - 2\)\( = \frac{{2\sqrt x  - 4 - 2\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  + 1}} = \frac{{ - 6}}{{\sqrt x  + 1}}\)

Vì  \( - 6 < 0;\,\,\sqrt x  + 1 \ge 0\) với mọi \(x \ge 0;\,\,x \ne 1\)

\( \Rightarrow \frac{{ - 6}}{{\sqrt x  + 1}} < 0\) \( \Rightarrow P - 2 < 0 \Rightarrow P < 2\).

Vậy \(P < 2\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

Tìm điều kiện xác định, thay giá trị của \(x = 25\,\,\left( {tm} \right)\) vào biểu thức và tính giá trị của biểu thức.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện xác đinh: \(x \ge 0.\)

Thay \(x = 25\,\,\,\left( {tm} \right)\) vào biểu thức ta có: \(A = \frac{{\sqrt {25} }}{{\sqrt {25}  + 1}} = \frac{5}{6}.\)

Vậy \(x = 25\) thì \(A = \frac{5}{6}.\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Quy đồng mẫu các phân thức, biến đổi và rút gọn biểu thức đã cho.

Lời giải chi tiết:

Với \(x \ge 0;x \ne 4;x \ne 9,\) ta có:

\(\begin{array}{l}B = \frac{{5\sqrt x  - 9}}{{x - 5\sqrt x  + 6}} + \frac{{\sqrt x  + 2}}{{3 - \sqrt x }} + \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  - 2}}\\B = \frac{{5\sqrt x  - 9}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}} - \frac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  - 3}} + \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  - 2}}\\B = \frac{{5\sqrt x  - 9 - \left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right) + \left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}\\B = \frac{{5\sqrt x  - 9 - x + 4 + x - 4\sqrt x  + 3}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}\\B = \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}\\B = \frac{1}{{\sqrt x  - 3}}.\end{array}\)

Vậy \(B = \frac{1}{{\sqrt x  - 3}}\) với \(x \ge 0;x \ne 4;x \ne 9.\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Thay biểu thức \(B\) vừa rút gọn ở câu trên vào bất phương trình, giải bất phương trình tìm \(x.\)

Đối chiếu với điều kiện rồi kết luận.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(x \ge 0;x \ne 4;x \ne 9.\)

\(\begin{array}{l}\left( {x - 9} \right).B < 2x \Leftrightarrow \left( {x - 9} \right).\frac{1}{{\sqrt x  - 3}} < 2x\\ \Leftrightarrow \sqrt x  + 3 < 2x \Leftrightarrow 2x - \sqrt x  - 3 > 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {2\sqrt x  - 3} \right) > 0\\ \Leftrightarrow 2\sqrt x  - 3 > 0\,\,\,\left( {do\,\,\,\sqrt x  + 1 > 0} \right)\\ \Leftrightarrow \sqrt x  > \frac{3}{2} \Leftrightarrow x > \frac{9}{4}.\end{array}\)

Kết hợp điều kiện, ta được \(x > \frac{9}{4};x \ne 4;x \ne 9\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Vậy \(x > \frac{9}{4},\,\,x \ne 4,\,\,x \ne 9\) thỏa mãn điều kiện bài toán.

Chọn C.

Phương pháp giải:

Quy đồng mẫu các phân thức, biến đổi và rút gọn biểu thức đã cho.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(x \ge 0.\)

\(\begin{array}{l}A = \frac{{ - 4x - 9\sqrt x  + 3}}{{x + 3\sqrt x  + 2}} + \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}} - \frac{{2\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 2}}\\\,\,\,\,\, = \frac{{ - 4x - 9\sqrt x  + 3}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}} + \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}} - \frac{{2\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 2}}\\\,\,\,\,\, = \frac{{ - 4x - 9\sqrt x  + 3 + \left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right) - \left( {2\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\\\,\,\,\,\, = \frac{{ - 4x - 9\sqrt x  + 3 + x + \sqrt x  - 2 - 2x - \sqrt x  + 1}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\\\,\,\,\,\, = \frac{{ - 5x - 9\sqrt x  + 2}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}} = \frac{{ - 5x - 10\sqrt x  + \sqrt x  + 2}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\\\,\,\,\,\, = \frac{{ - 5\sqrt x \left( {\sqrt x  + 2} \right) + \left( {\sqrt x  + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}} = \frac{{\left( {1 - 5\sqrt x } \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}} = \frac{{1 - 5\sqrt x }}{{\sqrt x  + 1}}\end{array}\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Dựa vào điều kiện xác định của \(x\) để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(x \ge 0.\) 

Ta có: \(A = \frac{{1 - 5\sqrt x }}{{\sqrt x  + 1}} =  - 5 + \frac{6}{{\sqrt x  + 1}}.\)

Với mọi \(x \ge 0\) ta có: \(\sqrt x  + 1 \ge 1\) nên \(\frac{6}{{\sqrt x  + 1}} \le 6\)

Do đó \(A =  - 5 + \frac{6}{{\sqrt x  + 1}} \le 1.\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow x = 0.\)

Vậy giá trị lớn nhất của \(A\) là 1 khi \(x = 0.\)

Chọn B.