50 bài tập vận dụng ôn tập chương 1: Căn bậc hai. Căn bậc ba

Trắc nghiệm Toán 9 có đáp án và lời giải chi tiết 100 bài tập Ôn tập chương 1: Căn bậc hai. Căn bậc ba

50 bài tập vận dụng ôn tập chương 1: Căn bậc hai. Căn bậc ba

Làm đề thi

Câu hỏi 1 :

Cho biểu thức: $P = \frac{{x\sqrt y + y\sqrt x }}{{\sqrt {xy} }} - \frac{{{{\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}^2} - 4\sqrt {xy} }}{{\sqrt x - \sqrt y }} - y$ (với $x > 0,\;\;y > 0,\;\;x \ne y$ ).

Câu 1: Rút gọn biểu thức $P.$

$P = 2\sqrt y - y$
$P = y - 2\sqrt y$
$P = \sqrt x - \sqrt y$
$P = \sqrt x + \sqrt y$

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Đặt nhân tử chung, rút gọn các phân thức sau đó biến đổi và rút gọn biểu thức.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: $x > 0,\;\;y > 0,\;\;x \ne y.$

$\begin{array}{l}P = \frac{{x\sqrt y + y\sqrt x }}{{\sqrt {xy} }} - \frac{{{{\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}^2} - 4\sqrt {xy} }}{{\sqrt x - \sqrt y }} - y\\\;\;\; = \frac{{\sqrt {xy} \left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}}{{\sqrt {xy} }} - \frac{{x + 2\sqrt {xy} + y - 4\sqrt {xy} }}{{\sqrt x - \sqrt y }} - y\\\;\;\; = \sqrt x + \sqrt y - \frac{{{{\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)}^2}}}{{\sqrt x - \sqrt y }} - y\\\;\;\; = \sqrt x + \sqrt y - \left( {\sqrt x - \sqrt y } \right) - y\\\;\;\; = \sqrt x + \sqrt y - \sqrt x + \sqrt y - y\\\;\;\; = 2\sqrt y - y.\end{array}$

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P.$

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Biến đổi biểu thức và tìm giá trị lớn nhất của biểu thức.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: $x > 0,\;\;y > 0,\;\;x \ne y.$

Ta có: $P = 2\sqrt y - y = - \left( {y - 2\sqrt y + 1} \right) + 1 = {\left( {\sqrt y - 1} \right)^2} + 1$

Vì ${\left( {\sqrt y - 1} \right)^2} \ge 0\,\,\forall y \ge 0 \Rightarrow - {\left( {\sqrt y - 1} \right)^2} \le 0 \Rightarrow - {\left( {\sqrt y - 1} \right)^2} + 1 \le 1$

$\Rightarrow P \le 1.$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow \sqrt y - 1 = 0 \Leftrightarrow \sqrt y = 1 \Leftrightarrow y = 1\,\,\,\left( {tm} \right).$

Vậy $Max\,P = 1$ khi $y = 1.$

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 2 :

Cho phương trình $A = \left( {\frac{1}{{x - \sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x - 1}}} \right):\frac{{\sqrt x + 1}}{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}$ (với $x > 0,x \ne 1$ )

Câu 1: Rút gọn biểu thức $A.$

$A = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}$
$A = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }}$
$A = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}$
$A = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}$

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Phân tích mẫu thức thành nhân tử sau đó quy đồng mẫu các phân thức rồi biến đổi để rút gọn biểu thức.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: $x > 0,\,\,\,x \ne 1.$

$\begin{array}{l}A = \left( {\frac{1}{{x - \sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x - 1}}} \right):\frac{{\sqrt x + 1}}{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}\\\,\,\,\, = \left( {\frac{1}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}} \right):\frac{{\sqrt x + 1}}{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}\\\,\,\,\,\, = \frac{{1 + \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}.\frac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }}.\end{array}$

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = A - 9\sqrt x$

$- 1$
$- 3$
$- 5$
$1$

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Sử dụng bất đẳng thức Cô-si để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P.$

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: $x > 0,\,\,\,x \ne 1.$

$P = A - 9\sqrt x = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }} - 9\sqrt x = 1 - \left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + 9\sqrt x } \right).$

Với $x > 0,x \ne 1$ , áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương $\frac{1}{{\sqrt x }};\,\,\,9\sqrt x$ ta có:

$\frac{1}{{\sqrt x }} + 9\sqrt x \ge 2\sqrt {\frac{1}{{\sqrt x }}.9\sqrt x } = 6 \Leftrightarrow 1 - \left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + 9\sqrt x } \right) \le 1 - 6 = - 5$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt x }} = 9\sqrt x \Leftrightarrow 9x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{1}{9}\,\,\,\,\left( {tm} \right).$

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức $P$ là $- 5$ khi $x = \frac{1}{9}.$

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 3 :

Cho $Q = \sqrt[3]{{{{\left( {a - 1} \right)}^3}}} + \sqrt {{{\left( {3a - 1} \right)}^2}}$ với $a \ge \frac{1}{3}$ . Khẳng định nào sau đây đúng ?

$Q = - 4a + 2$
$Q = 2a$
$Q = 4a - 2$
$Q = - 2a$

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|,\,\,\sqrt[3]{{{A^3}}} = A$ .

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l}Q = \sqrt[3]{{{{\left( {a - 1} \right)}^3}}} + \sqrt {{{\left( {3a - 1} \right)}^2}} ,\,\,a \ge \frac{1}{3}\\Q = a - 1 + \left| {3a - 1} \right|\\Q = a - 1 + 3a - 1 = 4a - 2\end{array}$

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 4 :

Cho biểu thức $B = \left( {\frac{{2x + 1}}{{\sqrt {{x^3}} - 1}} - \frac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}}} \right).\left( {\frac{{1 + \sqrt {{x^3}} }}{{1 + \sqrt x }} - \sqrt x } \right)$ với $x \ge 0$ và $x \ne 1$ . Tính B khi $x = 9$

$B = 1$ .
$B = 2$ .
$B = 3$ .
$B = 5$ .

Đáp án: B

Phương pháp giải:

+) Tìm điều kiện xác định của biểu thức.

+) Sử dụng biểu thức liên hợp.

+) Đặt nhân tử chung.

+) Rút gọn các phân thức trước khi tiến hành tính toán.

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ: $x \ge 0$ và $x \ne 1$

$\begin{array}{l}B = \left( {\frac{{2x + 1}}{{\sqrt {{x^3}} - 1}} - \frac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}}} \right).\left( {\frac{{1 + \sqrt {{x^3}} }}{{1 + \sqrt x }} - \sqrt x } \right)\\ = \frac{{2x + 1 - \sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right).\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}.\left[ {\frac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {x - \sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x + 1}} - \sqrt x } \right]\\ = \frac{{2x + 1 - x + \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right).\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}.\left( {1 - 2\sqrt x + x} \right)\\ = \frac{{x + \sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right).\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}.{\left( {\sqrt x - 1} \right)^2} = \sqrt x - 1\end{array}$

Ta có $B = \sqrt x - 1$

Với $x = 9$ thỏa mãn điều kiện suy ra $B = \sqrt x - 1 = \sqrt 9 - 1 = 3 - 1 = 2$ .

Vậy khi $x = 9$ thì $B = 2$ .

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 5 :

Cho biểu thức $P = \left( {\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}} - \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}} \right):\left( {\frac{1}{{\sqrt x + 1}} - \frac{{\sqrt x }}{{1 - \sqrt x }} + \frac{2}{{x - 1}}} \right)$

a) Tính giá trị của P khi $x = \frac{{\sqrt {7 - 4\sqrt 3 } }}{2}$ . b) Tính các giá trị của x để $P = \frac{1}{2}$ .

a) $P = 20 - 12\sqrt 5$ .

b) $x = 17 + 12\sqrt 2$ hoặc $x = 17 - 12\sqrt 2$
a) $P = 22 - 12\sqrt 3$ .

b) $x = 17 + 12\sqrt 2$ hoặc $x = 17 - 12\sqrt 2$
a) $P = 20 - 12\sqrt 3$ .

b) $x = 17 + 12\sqrt 2$ hoặc $x = 17 - 12\sqrt 2$
a) $P = 20 - 12\sqrt 3$ .

b) $x = 47 + 12\sqrt 2$ hoặc $x = 17 - 12\sqrt 2$

Đáp án: C

Phương pháp giải:

- Sử dụng biểu thức liên hợp.

- Rút gọn biểu thức.

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ: $\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 1\end{array} \right.$

$\begin{array}{l}P = \left( {\frac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right) - \left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}} \right):\left( {\frac{{\sqrt x - 1 + \sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right) + 2}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}} \right)\\\,\,\,\,\, = \left( {\frac{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2} - {{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}} \right).\left( {\frac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{x + 2\sqrt x + 1}}} \right)\\\,\,\,\,\, = \frac{{\left( {\sqrt x + 1 - \sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 1 + \sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}.\frac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}\\\,\,\,\,\, = \frac{{4\sqrt x }}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}\end{array}$

Vậy $P = \frac{{4\sqrt x }}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}$ (1)

a) Ta có $x = \frac{{\sqrt {7 - 4\sqrt 3 } }}{2} = \frac{{\sqrt {{2^2} - 2.2.\sqrt 3 + {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}} }}{2} = \frac{{\sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}^2}} }}{2} = \frac{{\left| {2 - \sqrt 3 } \right|}}{2} = \frac{{2 - \sqrt 3 }}{2}\,\,\left( {Do\,\,2 - \sqrt 3 > 0} \right)$

$\Rightarrow \sqrt x = \sqrt {\frac{{2 - \sqrt 3 }}{2}} = \frac{{\sqrt {4 - 2\sqrt 3 } }}{2} = \frac{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}^2}} }}{2} = \frac{{\left| {\sqrt 3 - 1} \right|}}{2} = \frac{{\sqrt 3 - 1}}{2}\,\,\left( {Do\,\,\sqrt 3 - 1 > 0} \right)$

Thay $\sqrt x = \frac{{\sqrt 3 - 1}}{2}$ vào biểu thức P ta được:

$P = \frac{{4\left( {\frac{{\sqrt 3 - 1}}{2}} \right)}}{{{{\left( {\frac{{\sqrt 3 - 1}}{2} + 1} \right)}^2}}} = \frac{{8\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}}{{{{\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}^2}}} = \frac{{8\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}}{{4 + 2\sqrt 3 }} = \frac{{4\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}}{{2 + \sqrt 3 }} = 4\left( {\sqrt 3 - 1} \right)\left( {2 - \sqrt 3 } \right) = - 20 + 12\sqrt 3$

Vậy khi $x = \frac{{\sqrt {7 - 4\sqrt 3 } }}{2}$ thì $P = 20 - 12\sqrt 3$ .

b) Theo bài ra ta có $P = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{{4\sqrt x }}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}} = \frac{1}{2}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow x + 2\sqrt x + 1 = 8\sqrt x \Leftrightarrow x - 6\sqrt x + 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x = 3 + 2\sqrt 2 \\\sqrt x = 3 - 2\sqrt 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 17 + 12\sqrt 2 \\x = 17 - 12\sqrt 2 \end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right)\end{array}$

Vậy với $x = 17 + 12\sqrt 2$ hoặc $x = 17 - 12\sqrt 2$ thì $P = \frac{1}{2}$ .

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 6 :

Cho biểu thức $P = \left( {\frac{{1 - a\sqrt a }}{{1 - \sqrt a }} + \sqrt a } \right).\left( {\frac{{1 + a\sqrt a }}{{1 + \sqrt a }} - \sqrt a } \right)$ .Tính $a$ để $P < 7 - 4\sqrt 3$

$a \in \left( {\sqrt 3 - 1;3 - \sqrt 3 } \right)/\left\{ 1 \right\}$ .
$a \in \left( {\sqrt 2 - 1;3 - \sqrt 3 } \right)/\left\{ 1 \right\}$ .
$a \in \left( {\sqrt 3 - 1;3 - \sqrt 7 } \right)/\left\{ 1 \right\}$ .
$a \in \left( {\sqrt 3 - 1;7 - \sqrt 3 } \right)/\left\{ 1 \right\}$ .

Đáp án: A

Phương pháp giải:

+) Bước 1: Tìm điều kiện xác định của P

+) Bước 2: Áp dụng hằng đẳng thức rồi rút gọn P.

+) Bước 3: Cho $P < 7 - 4\sqrt 3$ ( P đã rút gọn ở trên). Từ đó tìm giá trị của a thỏa mãn yêu cầu.

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ: $\left\{ \begin{array}{l}a \ge 0\\1 - \sqrt a \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow a \ge 0,a \ne 1$

$\begin{array}{l}P = \left( {\frac{{1 - a\sqrt a }}{{1 - \sqrt a }} + \sqrt a } \right).\left( {\frac{{1 + a\sqrt a }}{{1 + \sqrt a }} - \sqrt a } \right)\\P = \left( {\frac{{\left( {1 - \sqrt a } \right).\left( {1 + \sqrt a + a} \right)}}{{1 - \sqrt a }} + \sqrt a } \right).\left( {\frac{{\left( {1 + \sqrt a } \right).\left( {1 - \sqrt a + a} \right)}}{{1 + \sqrt a }} - \sqrt a } \right)\\P = \left( {1 + \sqrt a + a + \sqrt a } \right).\left( {1 - \sqrt a + a - \sqrt a } \right) = {\left( {1 + \sqrt a } \right)^2}.{\left( {1 - \sqrt a } \right)^2} = {\left( {1 - a} \right)^2}\\P < 7 - 4\sqrt 3 \Leftrightarrow P < {\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^2}\\ \Rightarrow {\left( {1 - a} \right)^2} < {\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^2} \Leftrightarrow \left| {1 - a} \right| < \left| {2 - \sqrt 3 } \right| \Leftrightarrow \left| {a - 1} \right| < 2 - \sqrt 3 \\ \Leftrightarrow - 2 + \sqrt 3 < 1 - a < 2 - \sqrt 3 \Leftrightarrow \sqrt 3 - 1 < a < 3 - \sqrt 3 \end{array}$

Kết hợp với điều kiện ta được $a \in \left( {\sqrt 3 - 1;3 - \sqrt 3 } \right)/\left\{ 1 \right\}$ .

Vậy $a \in \left( {\sqrt 3 - 1;3 - \sqrt 3 } \right)/\left\{ 1 \right\}$ .

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 7 :

Cho biểu thức $P = \left( {\frac{{2a + 1}}{{\sqrt {{a^3}} - 1}} - \frac{{\sqrt a }}{{a + \sqrt a + 1}}} \right).\left( {\frac{{1 + \sqrt {{a^3}} }}{{1 + \sqrt a }} - \sqrt a } \right)$ . Hãy xét dấu của biểu thức $S = P\sqrt {1 - a}$ .

$S > 0$
$S < 0$
$S\le 0$
D $S\ge 0$

Đáp án: B

Phương pháp giải:

- Sử dụng biểu thức liên hợp

- Rút gọn biểu thức

Lời giải chi tiết:

$P = \left( {\frac{{2a + 1}}{{\sqrt {{a^3}} - 1}} - \frac{{\sqrt a }}{{a + \sqrt a + 1}}} \right).\left( {\frac{{1 + \sqrt {{a^3}} }}{{1 + \sqrt a }} - \sqrt a } \right)$

ĐKXĐ: $a \ge 0,\,\,a \ne 1$ .

$\begin{array}{l}P = \left[ {\frac{{2a + 1}}{{\left( {\sqrt a - 1} \right)\left( {a + \sqrt a + 1} \right)}} - \frac{{\sqrt a .\left( {\sqrt a - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt a - 1} \right)\left( {a + \sqrt a + 1} \right)}}} \right].\left[ {\frac{{\left( {1 + \sqrt a } \right)\left( {1 - \sqrt a + a} \right)}}{{1 + \sqrt a }} - \sqrt a } \right]\\P = \frac{{2a + 1 - \left( {a - \sqrt a } \right)}}{{\left( {\sqrt a - 1} \right)\left( {a + \sqrt a + 1} \right)}}.\left( {1 - \sqrt a + a - \sqrt a } \right)\\P = \frac{{\left( {a + \sqrt a + 1} \right)\left( {1 - 2\sqrt a + a} \right)}}{{\left( {\sqrt a - 1} \right)\left( {a + \sqrt a + 1} \right)}}\\P = \frac{{{{\left( {\sqrt a - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt a - 1}} \Leftrightarrow P = \sqrt a - 1\end{array}$

$\Rightarrow S = P\sqrt {1 - a} = \left( {\sqrt a - 1} \right)\sqrt {1 - a}$ .

Kết hợp điều kiện của biểu thức $P$ , điều kiện có nghĩa của $S$ : $0 \le a < 1$ .

Khi đó: $P = \sqrt a - 1 < 0$ và $\sqrt {1 - a} > 0$ .

Suy ra: $S = P\sqrt {1 - a} < 0$

Vậy $S < 0$ với mọi $x$ để biểu thức có nghĩa.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 8 :

Tính $S = {x^3} + 12x - 8$ khi $x = \sqrt[3]{{4 + \sqrt {80} }}\, - \sqrt[3]{{\sqrt {80} - 4}}$

$S = 0$ .
$S = 1$ .
$S = 2$ .
$S = 3$ .

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Đơn giản x trước khi tính toán bằng cách lập phương 2 vế, xác định phương trình chứa x là nghiệm, giải phương trình tìm x sau đó thay vào tính giá trị của S.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$\begin{array}{l}{x^3} = \,{\left( {\sqrt[3]{{4 + \sqrt {80} }}\, - \sqrt[3]{{\sqrt {80} - 4}}} \right)^3}\\{x^3} = \,\left( {4 + \sqrt {80} - (\sqrt {80} - 4)} \right) - 3\left( {\sqrt[3]{{4 + \sqrt {80} }}\, - \sqrt[3]{{\sqrt {80} - 4}}} \right).\left( {\sqrt[3]{{4 + \sqrt {80} }}\,.\sqrt[3]{{\sqrt {80} - 4}}} \right)\\{x^3} = \,8 - 3x.\left( {\sqrt[3]{{4 + \sqrt {80} }}\,.\sqrt[3]{{\sqrt {80} - 4}}} \right)\\{x^3} = \,8 - 3x.\left( {\sqrt[3]{{80 - 16}}\,} \right)\\{x^3} = \,8 - 3x.4\\{x^3} + 12x - 8 = 0\end{array}$

Vậy $S = 0$ .

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 9 :

Cho x,y là 2 số thực dương thỏa mãn ${x^2} - 6xy + 5{y^2} = 0$ tính giá trị của biểu thức $P = \frac{{{x^3} - 4x{y^2}}}{{{y^3} - 4{x^2}y}}$

$P = 1$ hoặc $P = \frac{{ - 35}}{{33}}$
$P = 1$ hoặc $P = \frac{{ - 75}}{{33}}$
$P = 2$ hoặc $P = \frac{{ - 35}}{{33}}$
$P = 9$ hoặc $P = \frac{{ - 35}}{{33}}$

Đáp án: A

Phương pháp giải:

+) Dựa vào giải thiết đề bài cho tìm mối liên hệ giữa x và y.

+) Thay x theo y hoặc ngược lại vào biểu thức P và tính giá trị của P.

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l}{x^2} - 6xy + 5{y^2} = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - xy - 5xy + 5{y^2} = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x - y} \right) - 5y\left( {x - y} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 5y} \right)\left( {x - y} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y\\x = 5y\end{array} \right.\end{array}$

TH1: $x = y$ thay vào P ta có $P = \frac{{{x^3} - 4x{y^2}}}{{{y^3} - 4{x^2}y}} = \frac{{{x^3} - 4{x^3}}}{{{x^3} - 4{x^3}}} = 1$

TH2 : $x = 5y$ thay vào P ta có $p = \frac{{{x^3} - 4x{y^2}}}{{{y^3} - 4{x^2}y}} = \frac{{{{(5y)}^3} - 4.5{y^3}}}{{{{(y)}^3} - 4.{{(5y)}^2}.y}} = \frac{{ - 35}}{{33}}$

Kết luận $P = 1$ hoặc $P = \frac{{ - 35}}{{33}}$

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 10 :

Cho các biểu thức:

$A = 1 - \frac{{\sqrt x }}{{1 + \sqrt x }}$ và $B = \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} + \frac{{\sqrt x + 2}}{{3 - \sqrt x }} + \frac{{\sqrt x + 2}}{{x - 5\sqrt x + 6}}$ với $x \ge 0,\,\,x \ne 4,\,\,x \ne 9.$

a) Hãy tính giá trị của A khi $x = 16$ .

b) Rút gọn B.

c) Xét biểu thức $T = \frac{A}{B}$ . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của T.

$a)\,\,A = \frac{1}{5}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,b)\,\,B = \frac{1}{{\sqrt x + 2}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,c)\,\,\min T = 0$
$a)\,\,A = \frac{1}{5}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,b)\,\,B = \frac{1}{{\sqrt x - 2}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,c)\,\,\min T = - 2$
$a)\,\,A = \frac{6}{5}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,b)\,\,B = \frac{1}{{\sqrt x - 3}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,c)\,\,\min T = - 2$
$a)\,\,A = \frac{1}{4}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,b)\,\,B = \frac{1}{{\sqrt x - 2}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,c)\,\,\min T = - 3$

Đáp án: B

Phương pháp giải:

+ Quy đồng và rút gọn phân thức

+ Tính và đưa T về dạng $T = a + \frac{b}{c}$ với a, b là các số nguyên, c là ciểu thức chứa x.Từ điều kiện của x để tìm giá trị nhỏ nhất của T

Lời giải chi tiết:

a) Hãy tính giá trị của A khi $x = 16$ .

Tại $x = 16$ thì $A = 1 - \frac{{\sqrt {16} }}{{1 + \sqrt {16} }} = 1 - \frac{4}{{1 + 4}} = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$

b) Rút gọn B.

$\begin{array}{l}B = \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} + \frac{{\sqrt x + 2}}{{3 - \sqrt x }} + \frac{{\sqrt x + 2}}{{x - 5\sqrt x + 6}}\\\;\;\; = \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} - \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 3}} + \frac{{\sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\\\;\;\; = \frac{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right) - \left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right) + \sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\\\,\,\,\,\, = \frac{{x - 9 - x + 4 + \sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} = \frac{{\sqrt x - 3}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} = \frac{1}{{\sqrt x - 2}}\end{array}$

c) Xét biểu thức $T = \frac{A}{B}$ . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của T.

$A = 1 - \frac{{\sqrt x }}{{1 + \sqrt x }} = \frac{{1 + \sqrt x - \sqrt x }}{{1 + \sqrt x }} = \frac{1}{{1 + \sqrt x }}$

$T = \frac{A}{B} = \frac{1}{{1 + \sqrt x }}:\frac{1}{{\sqrt x - 2}} = \frac{{\sqrt x - 2}}{{1 + \sqrt x }} = \frac{{\sqrt x + 1 - 3}}{{1 + \sqrt x }} = 1 - \frac{3}{{1 + \sqrt x }}$

Do $x \ge 0 \Rightarrow \sqrt x \ge 0 \Rightarrow \frac{3}{{1 + \sqrt x }} \le \frac{3}{1} = 3 \Rightarrow T = 1 - \frac{3}{{1 + \sqrt x }} \ge 1 - 3 = - 2$

Dấu bằng xảy ra khi $x = 0$

Vậy $\min T = - 2$ khi $x = 0.$

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 11 :

Cho $A = \left( {\dfrac{{2x + 1}}{{\sqrt {{x^3}} - 1}} - \dfrac{1}{{\sqrt x - 1}}} \right):\left( {1 - \dfrac{{x + 4}}{{x + \sqrt x + 1}}} \right)$ với $x \ge 0;\,\,x \ne 1$ .

a) Rút gọn A. b) Tìm $x \in Z$ để $A \in Z$

$\begin{array}{l} a)\,\,A = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}}\\ b)\,\,x \in \left\{ {0;4;16} \right\} \end{array}$
$\begin{array}{l} a)\,\,A = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}}\\ b)\,\,x \in \left\{ {0;4;16;36} \right\} \end{array}$
$\begin{array}{l} a)\,\,A = \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x }}\\ b)\,\,x \in \left\{ {0;4;16;36} \right\} \end{array}$
$\begin{array}{l} a)\,\,A = \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x }}\\ b)\,\,x \in \left\{ {4;16;36} \right\} \end{array}$

Đáp án: B

Phương pháp giải:

a) Sử dụng hằng đẳng thức, quy đồng phần thức và rút gọn.

b) Đưa biểu thức về dạng $A\left( x \right) + \frac{C}{{B\left( x \right)}}$ với C là hằng số. Để biểu thức đó là số nguyên thì $B\left( x \right) \in U\left( C \right)$ .

Lời giải chi tiết:

a) TXĐ: $x \ge 0;\,\,x \ne 1$

$\begin{array}{l}A = \left( {\dfrac{{2x + 1}}{{\sqrt {{x^3}} - 1}} - \dfrac{1}{{\sqrt x - 1}}} \right):\left( {1 - \dfrac{{x + 4}}{{x + \sqrt x + 1}}} \right)\\\,\,\,\, = \left( {\dfrac{{2x + 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}} - \dfrac{{x + \sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}} \right):\left( {\dfrac{{x + \sqrt x + 1}}{{x + \sqrt x + 1}} - \dfrac{{x + 4}}{{x + \sqrt x + 1}}} \right)\\\,\,\,\, = \dfrac{{2x + 1 - x - \sqrt x - 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}\;.\dfrac{{x + \sqrt x + 1}}{{x + \sqrt x + 1 - x - 4}}\\\,\,\,\, = \dfrac{{x - \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}.\dfrac{{x + \sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}}\\\,\,\,\, = \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}.\dfrac{{x + \sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}} = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}}\end{array}$

b) $A = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} = \dfrac{{\sqrt x - 3 + 3}}{{\sqrt x - 3}} = 1 + \dfrac{3}{{\sqrt x - 3}}$

Để $A \in Z \Leftrightarrow \dfrac{3}{{\sqrt x - 3}} \in Z \Leftrightarrow \sqrt x - 3\; \in U\left( 3 \right)$

Mà $\;U\left( 3 \right) = \left\{ { \pm 1; \pm 3} \right\}$ .

TH1: $\;\sqrt x - 3 = 1 \Leftrightarrow \sqrt x = 4 \Leftrightarrow x = 16\,\,\left( {tm} \right)$

TH2: $\;\sqrt x - 3 = 3 \Leftrightarrow \sqrt x = 6 \Leftrightarrow x = 36\,\,\left( {tm} \right)$

TH3: $\;\sqrt x - 3 = - 1 \Leftrightarrow \sqrt x = 2 \Leftrightarrow x = 4\,\,\left( {tm} \right)$

TH4: $\;\sqrt x - 3 = - 3 \Leftrightarrow \sqrt x = 0 \Leftrightarrow x = 0\;\,\,\left( {tm} \right)$

Vậy để $A \in Z$ thì $x \in \left\{ {0;4;16;36} \right\}$ .

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 12 :

Cho $A = \dfrac{{x + 2}}{{x\sqrt x - 1}} + \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{x + \sqrt x + 1}} + \dfrac{1}{{1 - \sqrt x }}$ với $x \ge 0,x \ne 1.$

a) Rút gọn A. b) Tìm giá trị lớn nhất của A.

$\begin{array}{l} a)\,\,A = \dfrac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}}\\ b)\,\,\max A = \dfrac{1}{3} \end{array}$
$\begin{array}{l} a)\,\,A = \dfrac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}}\\ b)\,\,\max A = 3 \end{array}$
$\begin{array}{l} a)\,\,A = \dfrac{{x + \sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}\\ b)\,\,\max A = \dfrac{1}{3} \end{array}$
$\begin{array}{l} a)\,\,A = \dfrac{{x + \sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}\\ b)\,\,\max A = 3 \end{array}$

Đáp án: A

Phương pháp giải:

a) Sử dụng hằng đẳng thức, quy đồng và rút gọn biểu thức.

b) TH1: $x = 0$

TH2: $x > 0$ . Chia cả tử và mẫu cho $\sqrt x \ne 0$ . Sử dụng BĐT Cô – si để đánh giá.

Lời giải chi tiết:

a) Với $x \ge 0,x \ne 1:$

$\begin{array}{l}A = \dfrac{{x + 2}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}} + \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{x + \sqrt x + 1}} - \dfrac{1}{{\sqrt x - 1}}\\A = \dfrac{{x + 2 + \left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right) - x - \sqrt x - 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}\\A = \dfrac{{x + 2 + x - 1 - x - \sqrt x - 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}\\A = \dfrac{{x - \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}\\A = \dfrac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}}.\end{array}$

b) Khi $x = 0 \Rightarrow A = 0$ .

Khi $x > 0$ ta có: $A = \dfrac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}} = \dfrac{1}{{\sqrt x + 1 + \dfrac{1}{{\sqrt x }}}}$ .

Để A max thì $B = \sqrt x + \dfrac{1}{{\sqrt x }} + 1$ min.

Áp dụng bất đăng thức Cô – si cho 2 số dương ta được:

$\begin{array}{l}\sqrt x + \dfrac{1}{{\sqrt x }} \ge 2\sqrt {\sqrt x .\dfrac{1}{{\sqrt x }}} = 2 \Rightarrow \sqrt x + \dfrac{1}{{\sqrt x }} + 1 \ge 2 + 1 = 3\\ \Rightarrow B \ge 3 \Rightarrow A \le \dfrac{1}{3}\end{array}$

Vậy giá trị lớn nhất của A là $\dfrac{1}{3}$ . Dấu bằng xảy ra khi: $\sqrt x = \dfrac{1}{{\sqrt x }} \Leftrightarrow x = 1.$

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 13 :

Cho $A = \left( {\dfrac{1}{{\sqrt x + 1}} - \dfrac{{2\sqrt x - 2}}{{x\sqrt x - \sqrt x + x - 1}}} \right):\left( {\dfrac{1}{{\sqrt x - 1}} - \dfrac{2}{{x - 1}}} \right)$ với $x \ge 0,x \ne 1.$

a) Rút gọn A.

b) Tìm $x \in Z$ để $A \in Z$

c) Tìm x để A đạt GTNN.

$\begin{array}{l} a)\,\,A = \dfrac{{ - 2}}{{\sqrt x + 1}}\\ b)\,\,x \in \left\{ {0;2} \right\}\\ c)\,\,\min A = - 1 \end{array}$
$\begin{array}{l} a)\,\,A = \dfrac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}\\ b)\,\,x = 0\\ c)\,\,\min A = - 1 \end{array}$
$\begin{array}{l} a)\,\,A = \dfrac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}\\ b)\,\,x \in \left\{ {0;\pm2} \right\}\\ c)\,\,\min A = 1 \end{array}$
$\begin{array}{l} a)\,\,A = \dfrac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}\\ b)\,\,x \in \left\{ {0;2} \right\}\\ c)\,\,\min A = - 1 \end{array}$

Đáp án: D

Lời giải chi tiết:

a) Với $x \ge 0,x \ne 1$ ta có:

$\begin{array}{l}A = \left( {\dfrac{1}{{\sqrt x + 1}} - \dfrac{{2\sqrt x - 2}}{{x\sqrt x - \sqrt x + x - 1}}} \right):\left( {\dfrac{1}{{\sqrt x - 1}} - \dfrac{2}{{x - 1}}} \right)\\A = \left( {\dfrac{1}{{\sqrt x + 1}} - \dfrac{{2\sqrt x - 2}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}} \right):\left( {\dfrac{1}{{\sqrt x - 1}} - \dfrac{2}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}} \right)\\A = \dfrac{{x - 1 - 2\sqrt x + 2}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}:\dfrac{{\sqrt x + 1 - 2}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\\A = \dfrac{{x - 2\sqrt x + 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}:\dfrac{{\sqrt x - 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\\A = \dfrac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}.\left( {\sqrt x + 1} \right)\\A = \dfrac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \dfrac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}\end{array}$

b) Có $A = \dfrac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}} = \dfrac{{\sqrt x + 1 - 2}}{{\sqrt x + 1}} = 1 - \dfrac{2}{{\sqrt x + 1}},\,\,\,\left( {x \ge 0} \right).$

Đặt $B = \sqrt x + 1$ , để A nguyên khi x nguyên thì B là ước nguyên của 2.

Có $B > 0\,\,do\,x \ge 0 \Rightarrow B = \left\{ {1;2} \right\}.$

TH1: $\sqrt x + 1 = 1 \Leftrightarrow x = 0\,\,\left( {tm} \right)$

TH2: $\sqrt x + 1 = 2 \Leftrightarrow x = 1\,\,\left( {tm} \right)$

Vậy $x = \left\{ {0;2} \right\}$ thì A nguyên.

c) $A = \dfrac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}} = 1 - \dfrac{2}{{\sqrt x + 1}}$ .

Ta có: $\sqrt x + 1 \ge 1\,\,\,\left( {do\,\,\sqrt x \ge 0} \right).$ Dấu “=” xảy ra khi $x = 0.$

$\Leftrightarrow \sqrt x + 1 \ge 1 \Rightarrow \dfrac{2}{{\sqrt x + 1}} \le \dfrac{2}{1} \Rightarrow - \dfrac{2}{{\sqrt x + 1}} \ge - 2 \Rightarrow 1 - \dfrac{2}{{\sqrt x + 1}} \ge - 1$

$\Rightarrow A \ge - 1$ dấu “=” xảy ra khi $x = 0.$

Vậy $\min A = - 1$ khi $x = 0$ .

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 14 :

Cho $A = \left( {1 - \dfrac{{\sqrt x }}{{1 + \sqrt x }}} \right):\left( {\dfrac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} + \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{3 - \sqrt x }} + \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{x - 5\sqrt x + 6}}} \right)$ với $x \ge 0,x \ne 4,x \ne 9.$

a) Rút gọn A.

b) Tìm $x \in Z$ để $A \in Z$

c) Tìm x để $A < 0.$

$\begin{array}{l} a)\,\,A = \dfrac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 1}}\\ b)\,\,x \in \left\{ {0} \right\}\\ c)\,\,0 \le x < 4 \end{array}$
$\begin{array}{l} a)\,\,A = \dfrac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 1}}\\ b)\,\,x \in \left\{ {0;4} \right\}\\ c)\,\,0 < x < 4 \end{array}$
$\begin{array}{l} a)\,\,A = \dfrac{3}{{\sqrt x + 1}}\\ b)\,\,x \in \left\{ {0;4} \right\}\\ c)\,\,0 \le x < 4 \end{array}$
$\begin{array}{l} a)\,\,A = \dfrac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 1}}\\ b)\,\,x \in \left\{ {0; \pm 4} \right\}\\ c)\,\,0 \le x < 4 \end{array}$

Đáp án: A

Phương pháp giải:

a) Quy đồng, rút gọn.

b) Đưa biểu thức về dạng $A\left( x \right) + \dfrac{C}{{B\left( x \right)}}$ với C là hằng số. Để biểu thức đó là số nguyên thì $B\left( x \right) \in U\left( C \right)$ .

c) Nhận xét mẫu số trước khi giải bất phương trình, lưu ý kết hợp điều kiện.

Lời giải chi tiết:

a) Với $x \ge 0,x \ne 4,x \ne 9.$ Ta có:

$\begin{array}{l}A = \left( {1 - \dfrac{{\sqrt x }}{{1 + \sqrt x }}} \right):\left( {\dfrac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} + \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{3 - \sqrt x }} + \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{x - 5\sqrt x + 6}}} \right)\\A = \dfrac{1}{{\sqrt x + 1}}:\left( {\dfrac{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} - \dfrac{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} + \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}} \right)\\A = \dfrac{1}{{\sqrt x + 1}}:\dfrac{{x - 9 - \left( {x - 4} \right) + \sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\\A = \dfrac{1}{{\sqrt x + 1}}:\dfrac{{\sqrt x - 3}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} = \dfrac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 1}}.\end{array}$

b) $A = \dfrac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 1}} = 1 - \dfrac{3}{{\sqrt x + 1}}\left( {x \ge 0} \right)$

Để $A \in Z$ với x nguyên thì $\sqrt x + 1$ là ước nguyên dương của 3 do $\sqrt x + 1 > 0$

. $\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x + 1 = 1 \Leftrightarrow x = 0\,\,\,\left( {tm} \right)\\\sqrt x + 1 = 3 \Leftrightarrow x = 4\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.$

Vậy với $x = 0$ thì $A \in Z$

c) $A < 0 \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 1}} < 0.$

Do $\sqrt x + 1 > 0 \Rightarrow \dfrac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 1}} < 0 \Leftrightarrow \sqrt x - 2 < 0 \Leftrightarrow x < 4.$

Kết với $x \ge 0$ , suy ra $A > 0 < = > 0 \le x < 4.$

Vậy $0 \le x < 4$ thì $A < 0.$

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 15 :

Cho biểu thức $P\left( x \right) = \dfrac{1}{x} + \dfrac{{9 - x}}{{x + 3\sqrt x }};\,\,\,Q\left( x \right) = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}$ với $x > 0$ . Tìm giá trị nguyên x nhỏ nhất thỏa mãn $\dfrac{{P\left( x \right)}}{{Q\left( x \right)}} \le \dfrac{1}{2}$

$x = 4$
$x = 5$
C Không tồn tại x thỏa mãn.
$\forall x > 0$

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Rút gọn $P\left( x \right)$ , sau đó giải bất phương trình $\dfrac{{P\left( x \right)}}{{Q\left( x \right)}} \le \dfrac{1}{2}$

Lời giải chi tiết:

Ta có

$\begin{array}{l}P\left( x \right) = \dfrac{1}{x} + \dfrac{{9 - x}}{{x + 3\sqrt x }} = \dfrac{1}{x} + \dfrac{{\left( {3 - \sqrt x } \right)\left( {3 + \sqrt x } \right)}}{{\sqrt x \left( {3 + \sqrt x } \right)}}\\P\left( x \right) = \dfrac{1}{x} + \dfrac{{3 - \sqrt x }}{{\sqrt x }} = \dfrac{{1 + \left( {3 - \sqrt x } \right)\sqrt x }}{x} = \dfrac{{ - x + 3\sqrt x + 1}}{x}\end{array}$

$Q\left( x \right) = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}$

Suy ra :

$\begin{array}{l}\dfrac{{P\left( x \right)}}{{Q\left( x \right)}} \le \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{ - x + 3\sqrt x + 1}}{x}:\dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }} \le \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{ - x + 3\sqrt x + 1}}{x}.\dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} \le \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{ - x + 3\sqrt x + 1}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}} \le \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow - 2x + 6\sqrt x + 2 \le x + \sqrt x \,\,\left( {Do\,\,\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right) > 0} \right)\\ \Leftrightarrow 3x - 5\sqrt x - 2 \ge 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {3\sqrt x + 1} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow \sqrt x - 2 \ge 0\,\,\,\left( {Do\,\,3\sqrt x + 1 > 0} \right)\\ \Leftrightarrow x \ge 4\end{array}$

Suy ra số nguyên nhỏ nhất thỏa mãn $x = 4$ .

Vậy $x = 4$ .

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 16 :

Giải bất phương trình : $\left( {\dfrac{{x + 1}}{{\sqrt x + 1}} + \dfrac{1}{{\sqrt x + x}} - \dfrac{1}{{\sqrt x }}} \right):\dfrac{x}{{x + 2\sqrt x + 1}} \ge 2017 + \sqrt {2017}$

$x \ge 2017$
$x \ge 2016^2$
$x \ge {\left( {2017 + \sqrt {2016} } \right)^2}$
$x \ge {\left( {2016 + \sqrt {2017} } \right)^2}$

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Rút gọn VT sau đó tìm x.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: $x > 0$ .

$\begin{array}{l}\left( {\dfrac{{x + 1}}{{\sqrt x + 1}} + \dfrac{1}{{\sqrt x + x}} - \dfrac{1}{{\sqrt x }}} \right):\dfrac{x}{{x + 2\sqrt x + 1}} \ge 2017 + \sqrt {2017} \\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {x + 1} \right)\sqrt x + 1 - \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}.\dfrac{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}{x} \ge 2017 + \sqrt {2017} \\ \Leftrightarrow \dfrac{{x\sqrt x .}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}.\dfrac{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}{x} \ge 2017 + \sqrt {2017} \\ \Leftrightarrow \sqrt x + 1 \ge 2017 + \sqrt {2017} \\ \Leftrightarrow \sqrt x \ge 2016 + \sqrt {2017} \\ \Leftrightarrow x \ge {\left( {2016 + \sqrt {2017} } \right)^2}\end{array}$

Vậy $x \ge {\left( {2016 + \sqrt {2017} } \right)^2}$

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 17 :

Cho biểu thức $T = \dfrac{{15\sqrt x - 11}}{{x + 2\sqrt x - 3}} - \dfrac{{3\sqrt x - 2}}{{\sqrt x - 1}} - \dfrac{{2\sqrt x + 3}}{{\sqrt x + 3}}$ với điều kiện $x \ge 0,x \ne 1$

a) Rút gọn T b) Tìm x để $T = \dfrac{1}{2}$ .

$\begin{array}{l} a)\,\,T = \dfrac{{ - \left( {5\sqrt x - 2} \right)}}{{\sqrt x + 3}}\\ b)\,\,x = \dfrac{1}{{11}} \end{array}$
$\begin{array}{l} a)\,\,T = \dfrac{{ - \left( {5\sqrt x - 2} \right)}}{{\sqrt x + 3}}\\ b)\,\,x = \dfrac{1}{{121}} \end{array}$
$\begin{array}{l} a)\,\,T = \dfrac{{ {5\sqrt x - 2} }}{{\sqrt x + 3}}\\ b)\,\,x = \dfrac{1}{{121}} \end{array}$
$\begin{array}{l} a)\,\,T = \dfrac{{ {5\sqrt x - 2} }}{{\sqrt x + 3}}\\ b)\,\,x = \dfrac{1}{{11}} \end{array}$

Đáp án: B

Lời giải chi tiết:

a) Với với điều kiện $x \ge 0,x \ne 1$ ta có :

$\begin{array}{l}T = \dfrac{{15\sqrt x - 11}}{{x + 2\sqrt x - 3}} - \dfrac{{3\sqrt x - 2}}{{\sqrt x - 1}} - \dfrac{{2\sqrt x + 3}}{{\sqrt x + 3}}\\ \Leftrightarrow T = \dfrac{{15\sqrt x - 11}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} - \dfrac{{3\sqrt x - 2}}{{\sqrt x - 1}} - \dfrac{{2\sqrt x + 3}}{{\sqrt x + 3}}\\ \Leftrightarrow T = \dfrac{{15\sqrt x - 11 - \left( {3\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right) - \left( {2\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\\ \Leftrightarrow T = \dfrac{{15\sqrt x - 11 - 3x - 7\sqrt x + 6 - 2x - \sqrt x + 3}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\\ \Leftrightarrow T = \dfrac{{ - 5x + 7\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} = \dfrac{{ - \left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {5\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} = \dfrac{{ - \left( {5\sqrt x - 2} \right)}}{{\sqrt x + 3}}\end{array}$

b) $T = \dfrac{{ - \left( {5\sqrt x - 2} \right)}}{{\sqrt x + 3}} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow - 10\sqrt x + 4 = \sqrt x + 3 \Leftrightarrow 11\sqrt x = 1 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{{121}}$

Vậy $x = \dfrac{1}{{121}}$ .

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 18 :

Cho hai biểu thức $A = \frac{{x - 2\sqrt x + 9}}{{\sqrt x - 3}}$ và $B = \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 3}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} - \frac{{x + 9}}{{x - 9}}$ với $x > 0,\,\,x \ne 9$

1) Tính giá trị của biểu thức A khi $x = 3$

2) Chứng minh $B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}}$

3) So sánh $\frac{A}{B}$ và 4.

$\begin{array}{l}1)\,\,A = - 5 - \sqrt 3 \\3)\,\,\frac{A}{B}\,\, \ge \,\,4\end{array}$
$\begin{array}{l}1)\,\,A = 5 + \sqrt 3 \\3)\,\,\frac{A}{B}\,\, > \,\,4\end{array}$
$\begin{array}{l}1)\,\,A = - 5 - \sqrt 3 \\3)\,\,\frac{A}{B}\,\, \le \,\,4\end{array}$
$\begin{array}{l}1)\,\,A = 5 + \sqrt 3 \\3)\,\,\frac{A}{B}\,\, < \,\,4\end{array}$

Đáp án: A

Phương pháp giải:

1) Thay $x = 3$ vào A. Phân tích tử thức thành nhân tử và rút gọn.

2) Rút gọn B để được điều phải chứng minh.

3) Biến đổi $\frac{A}{B}$ và dùng bất đẳng thức Cô-si để so sánh với 4.

Lời giải chi tiết:

Cho hai biểu thức $A = \frac{{x - 2\sqrt x + 9}}{{\sqrt x - 3}}$ và $B = \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 3}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} - \frac{{x + 9}}{{x - 9}}$ với $x > 0,\,\,x \ne 9$

1) Tính giá trị của biểu thức A khi $x = 3$

Khi $x = 3$ thì $A = \frac{{3 - 2\sqrt 3 + 9}}{{\sqrt 3 - 3}} = \frac{{\left( { - 5 - \sqrt 3 } \right)\left( {\sqrt 3 - 3} \right)}}{{\sqrt 3 - 3}} = - 5 - \sqrt 3$

2) Chứng minh $B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}}$

$\begin{array}{l}B = \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 3}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} - \frac{{x + 9}}{{x - 9}} = \frac{{{{\left( {\sqrt x + 3} \right)}^2} + \sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right) - \left( {x + 9} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\\\;\;\; = \frac{{x + 6\sqrt x + 9 + x - 3\sqrt x - x - 9}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} = \frac{{x + 3\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\\\;\;\; = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}}.\end{array}$

3) So sánh $\frac{A}{B}$ và 4.

$\begin{array}{l}\frac{A}{B} = \frac{{x - 2\sqrt x + 9}}{{\sqrt x - 3}}.\frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x }} = \frac{{x - 2\sqrt x + 9}}{{\sqrt x }}\\\;\;\; = \sqrt x - 2 + \frac{9}{{\sqrt x }}.\end{array}$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm $\sqrt x$ và $\frac{9}{{\sqrt x }}$ ta có: $\sqrt x + \frac{9}{{\sqrt x }} \ge 2.\sqrt {\sqrt x .\frac{9}{{\sqrt x }}} = 2.3 = 6.$

$\Rightarrow \frac{A}{B} = \left( {\sqrt x + \frac{9}{{\sqrt x }}} \right) - 2 \ge 6 - 2 = 4.$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow \sqrt x = \frac{9}{{\sqrt x }} \Leftrightarrow x = 9\;\;\left( {tm} \right).$

Vậy $\frac{A}{B} \ge 4$ .

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 19 :

Cho biểu thức $P = \left( {\frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} - \frac{{3x + 3}}{{x - 9}}} \right):\left( {\frac{{2\sqrt x - 2}}{{\sqrt x - 3}} - 1} \right)$ , với $x \ge 0$ và $x \ne 9$

a) Rút gọn P. b) Tìm x để P đạt giá trị nhỏ nhất.

$\begin{array}{l}a)\,\,P = \frac{{ - 3}}{{\sqrt x + 3}}\\b)\,\,x = 0\end{array}$
$\begin{array}{l}a)\,\,P = \frac{{ - 3}}{{\sqrt x - 3}}\\b)\,\,x = 9\end{array}$
$\begin{array}{l}a)\,\,P = \frac{3}{{\sqrt x + 3}}\\b)\,\,x = 0\end{array}$
$\begin{array}{l}a)\,\,P = \frac{3}{{\sqrt x - 3}}\\b)\,\,x = 9\end{array}$

Đáp án: A

Phương pháp giải:

a) Quy đồng, rút gọn P

b) Từ điều kiện của x suy ra điều kiện của $\sqrt x$ từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của P

Lời giải chi tiết:

Cho biểu thức $P = \left( {\frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} - \frac{{3x + 3}}{{x - 9}}} \right):\left( {\frac{{2\sqrt x - 2}}{{\sqrt x - 3}} - 1} \right)$ , với $x \ge 0$ và $x \ne 9$

a) Rút gọn P.

$\begin{array}{l}P = \left( {\frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} - \frac{{3x + 3}}{{x - 9}}} \right):\left( {\frac{{2\sqrt x - 2}}{{\sqrt x - 3}} - 1} \right) = \frac{{2\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right) + \sqrt x \left( {\sqrt x + 3} \right) - \left( {3x + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}:\frac{{2\sqrt x - 2 - \sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 3}}\\\;\;\; = \frac{{2x - 6\sqrt x + x + 3\sqrt x - 3x - 3}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}:\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}} = \frac{{ - 3\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}.\frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{ - 3}}{{\sqrt x + 3}}\end{array}$

b) Tìm x để P đạt giá trị nhỏ nhất.

Ta có $\sqrt x \ge 0 \Rightarrow \sqrt x + 3 \ge 3 \Rightarrow \frac{1}{{\sqrt x + 3}} \le \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{{ - 3}}{{\sqrt x + 3}} \ge \frac{{ - 3}}{3} = - 1$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\sqrt x = 0 \Leftrightarrow x = 0$ (tmđk)

Vậy ${P_{\min }} = - 1 \Leftrightarrow x = 0$

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 20 :

Cho biểu thức $P = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} - \frac{{x - 2\sqrt x }}{{x - 4}}$ và $Q = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 2}}\,\,\left( {x \ge 0;x \ne 4} \right)$

a) Rút gọn P

b) Tìm x sao cho $P = 2$

c) Biết $M = P:Q$ . Tìm giá trị của x để ${M^2} < \frac{1}{4}$

$\begin{array}{l}a)\,\,P = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}\\b)\,\,x = 16\\c)\,\,0\, \le x\, < \,4\end{array}$
$\begin{array}{l}a)\,\,P = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}\\b)\,\,x = 4\\c)\,\,0\, \le x\, < \,4\end{array}$
$\begin{array}{l}a)\,\,P = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}\\b)\,\,x = 4\\c)\,\,0\, \le x\, < \,2\end{array}$
$\begin{array}{l}a)\,\,P = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}\\b)\,\,x = 16\\c)\,\,0\, < x\, < \,2\end{array}$

Đáp án: A

Phương pháp giải:

a) Rút gọn phân thức trước rồi rưt gọn biểu thức

c) Tìm M thay vào ${M^2} < \frac{1}{4}$ để tìm x, lưu ý điều kiện đầu bài

Lời giải chi tiết:

Cho biểu thức $P = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} - \frac{{x - 2\sqrt x }}{{x - 4}}$ và $Q = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 2}}\,\,\left( {x \ge 0;x \ne 4} \right)$

a) Rút gọn P

$\begin{array}{l}P = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} - \frac{{x - 2\sqrt x }}{{x - 4}}\\\;\;\; = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} - \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\\\;\; = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} - \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}\end{array}$

b) Tìm x sao cho $P = 2$

$P = 2 \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} = 2 \Leftrightarrow \sqrt x = 2\sqrt x - 4 \Leftrightarrow \sqrt x = 4 \Leftrightarrow x = 16$

c) Biết $M = P:Q$ . Tìm giá trị của x để ${M^2} < \frac{1}{4}$

$M = P:Q = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}.\frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 2}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}$

${M^2} < \frac{1}{4} \Leftrightarrow {\left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}} \right)^2} < \frac{1}{4} \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} < \frac{1}{2} \Leftrightarrow 2\sqrt x < \sqrt x + 2 \Leftrightarrow \sqrt x < 2 \Leftrightarrow x < 4$

Kết hợp điều kiện đầu bài $\Rightarrow 0 \le x < 4$

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 21 :

Cho $A = \left( {\frac{{x + \sqrt x + 10}}{{x - 9}} + \frac{1}{{3 - \sqrt x }}} \right):\frac{1}{{\sqrt x - 3}}$ và $B = \sqrt x + 1$ (với $x \ge 0;\,\,x \ne 9$ )

a) Tính giá trị của biểu thức B khi $x = 16$

b) Rút gọn A

c) Tìm giá trị của x để $A > B$

a) $B = 5$

b) $\frac{{x + 7}}{{\sqrt x + 3}}$

c) $0 \le x < 1$
a) $B = 4$

b) $\frac{{x + 7}}{{\sqrt x + 3}}$

c) $0 \le x < 1$
a) $B = 5$

b) $\frac{{x + 8}}{{\sqrt x + 3}}$

c) $0 \le x < 1$
a) $B = 5$

b) $\frac{{x + 7}}{{\sqrt x + 3}}$

c) $0 \le x < 2$

Đáp án: A

Phương pháp giải:

b) Quy đồng, thực hiện phép tính trong dấu ngoặc trước, ngoài dấu ngoặc sau

c) Lưu ý kết hợp điều kiện đầu bài

Lời giải chi tiết:

Cho $A = \left( {\frac{{x + \sqrt x + 10}}{{x - 9}} + \frac{1}{{3 - \sqrt x }}} \right):\frac{1}{{\sqrt x - 3}}$ và $B = \sqrt x + 1$ (với $x \ge 0;\,\,x \ne 9$ )

a) Tính giá trị của biểu thức B khi $x = 16$

Với $x = 16$ (tm) ta có $B = \sqrt {16} + 1 = 4 + 1 = 5.$

Vậy với $x = 16$ thì $B = 5$

b) Rút gọn A

$\begin{array}{l}A = \left( {\frac{{x + \sqrt x + 10}}{{x - 9}} + \frac{1}{{3 - \sqrt x }}} \right):\frac{1}{{\sqrt x - 3}} = \left[ {\frac{{x + \sqrt x + 10}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} - \frac{1}{{\sqrt x - 3}}} \right].\left( {\sqrt x - 3} \right)\\\;\;\; = \left[ {\frac{{x + \sqrt x + 10 - \left( {\sqrt x + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}} \right].\left( {\sqrt x - 3} \right) = \frac{{x + 7}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}.\left( {\sqrt x - 3} \right) = \frac{{x + 7}}{{\sqrt x + 3}}\end{array}$

c) Tìm giá trị của x để $A > B$

$\begin{array}{l}A > B \Leftrightarrow \frac{{x + 7}}{{\sqrt x + 3}} > \sqrt x + 1 \Leftrightarrow x + 7 > \left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)\\ \Leftrightarrow x + 7 > x + 4\sqrt x + 3 \Leftrightarrow 4\sqrt x < 4 \Leftrightarrow x < 1\end{array}$

Kết hợp điều kiện ta được $0 \le x < 1$ thì $A > B.$

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 22 :

Cho hai biểu thức $A = \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} - \frac{{3x + 3}}{{x - 9}}$ và $B = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}}$ với $x \ge 0\,,\,\,x \ne 9$

1) Rút gọn biểu thức A.

2) Tìm tất cả các giá trị của x để $\frac{A}{B} < - \frac{1}{2}$ .

$\begin{array}{l}1)\,\,A = \frac{{ - 3\sqrt x - 3}}{{x - 9}}\\2)\,\,0 \le x < 9\end{array}$
$\begin{array}{l}1)\,\,A = \frac{{ - 3\sqrt x - 3}}{{x - 9}}\\2)\,\,0 \le x < 9\end{array}$
$\begin{array}{l}1)\,\,A = \frac{{ - 3\sqrt x - 3}}{{x - 9}}\\2)\,\,0 < x < 9\end{array}$
$\begin{array}{l}1)\,\,A = \frac{{ - 3\sqrt x - 3}}{{\sqrt x + 3}}\\2)\,\,0 < x < 9\end{array}$

Đáp án: A

Phương pháp giải:

1) Quy đồng, rút gọn A

2) Tìm $\frac{A}{B}$ , từ $\frac{A}{B} < - \frac{1}{2}$ để tìm x, kết hợp điều kiện đầu bài để đưa ra kết luận.

Lời giải chi tiết:

Cho hai biểu thức $A = \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} - \frac{{3x + 3}}{{x - 9}}$ và $B = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}}$ với $x \ge 0\,,\,\,x \ne 9$

1) Rút gọn biểu thức A.

$\begin{array}{l}A = \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} - \frac{{3x + 3}}{{x - 9}} = \frac{{2\sqrt x .\left( {\sqrt x - 3} \right) + \sqrt x .\left( {\sqrt x + 3} \right) - \left( {3x + 3} \right)}}{{x - 9}}\\\;\;\; = \frac{{2x - 6\sqrt x + x + 3\sqrt x - 3x - 3}}{{x - 9}} = \frac{{ - 3\sqrt x - 3}}{{x - 9}}.\end{array}$

2) Tìm tất cả các giá trị của x để $\frac{A}{B} < - \frac{1}{2}$ .

$\begin{array}{l}\frac{A}{B} = \frac{{ - 3\sqrt x - 3}}{{x - 9}}:\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}} = \frac{{ - 3\sqrt x - 3}}{{x - 9}}.\frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{ - 3\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \frac{{ - 3}}{{\sqrt x + 3}}\\\frac{A}{B} < - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{{ - 3}}{{\sqrt x + 3}} < - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{3}{{\sqrt x + 3}} > \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow 6 > \sqrt x + 3 \Leftrightarrow \sqrt x < 3 \Leftrightarrow x < 9.\end{array}$

Kết hợp điều kiện đầu bài $\Rightarrow$ $0 \le x < 9.$

Vậy với mọi $0 \le x < 9$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 23 :

Giải phương trình và rút gọn biểu thức trong những bài tập sau

Câu 1: Giải phương trình sau: $\sqrt {36{x^2} - 12x + 1} = 2$ .

$x = - \frac{1}{6},x = \frac{-1}{2}$
$x = - \frac{1}{6},x = \frac{1}{2}$
$x = \frac{1}{6},x = \frac{1}{2}$
$x = \frac{1}{6},x = \frac{-1}{2}$

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Bình phương hai vế, sau đó đưa về phương trình tích.

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ: $36{x^2} - 12x + 1 \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {6x - 1} \right)^2} \ge 0$ (luôn đúng với mọi $x \in \mathbb{R}$ )

$\begin{array}{l}\sqrt {36{x^2} - 12x + 1} = 2 \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {6x - 1} \right)}^2}} = 2\\ \Leftrightarrow \left| {6x - 1} \right| = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}6x - 1 = 2\\6x - 1 = - 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}6x = 3\\6x = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{1}{2}\\x = - \frac{1}{6}\end{array} \right..\end{array}$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm: $x = - \frac{1}{6},x = \frac{1}{2}$

Đáp án - Lời giải

Câu 2: Rút gọn: $A = \frac{x}{{\sqrt x - 1}} - \frac{{2x - \sqrt x }}{{x - \sqrt x }}$ ( với $x > 0,x \ne 1$ ).

$A= -\sqrt x + 1$
$A= -\sqrt x - 1$
$A= \sqrt x + 1$
$A= \sqrt x - 1$

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Phân tích tử số và mẫu số của phân thức thứ hai thành nhân tử để rút gọn.

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ: $x > 0,x \ne 1$ . Với điều kiện trên ta có:

$\begin{array}{l}A = \frac{x}{{\sqrt x - 1}} - \frac{{2x - \sqrt x }}{{x - \sqrt x }} = \frac{x}{{\sqrt x - 1}} - \frac{{\sqrt x \left( {2\sqrt x - 1} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}\\\;\;\; = \frac{x}{{\sqrt x - 1}} - \frac{{2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x - 1}} = \frac{{x - \left( {2\sqrt x - 1} \right)}}{{\sqrt x - 1}}\\\;\;\; = \frac{{{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} - 2\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}} = \frac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x - 1}} = \sqrt x - 1.\end{array}$

Vậy $A = \frac{x}{{\sqrt x - 1}} - \frac{{2x - \sqrt x }}{{x - \sqrt x }} = \sqrt x - 1$

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 24 :

Chọn đáp án đúng nhất

Câu 1: Nêu điều kiện để $\sqrt A$ có nghĩa. Áp dụng: Tìm điều kiện của $x$ để $\sqrt {3x - 7}$ có nghĩa.

$A > 0.$ Áp dụng: $x > \frac{7}{3}.$
$A \ge 0.$ Áp dụng: $x \ge \frac{3}{7}.$
$A \le 0.$ Áp dụng: $x \le \frac{7}{3}.$
$A \ge 0.$ Áp dụng: $x \ge \frac{7}{3}.$

Đáp án: D

Phương pháp giải:

$\sqrt A$ có nghĩa khi $A \ge 0$

Lời giải chi tiết:

Điều kiện để $\sqrt A$ có nghĩa là $A \ge 0$ .

Áp dụng: $\sqrt {3x - 7}$ có nghĩa khi $3x - 7 \ge 0$ $\Leftrightarrow 3x \ge 7\,\, \Leftrightarrow x \ge \frac{7}{3}$

Vậy với $x \ge \frac{7}{3}$ thì $\sqrt {3x - 7}$ có nghĩa.

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu 2: Tính: $\frac{1}{2}\sqrt {48} - 2\sqrt {75} + \frac{{\sqrt {33} }}{{\sqrt {11} }}.$

$- 7\sqrt 3$
$7\sqrt 3$
$15\sqrt 3$
$11\sqrt 3$

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức: $\sqrt {{A^2}B} = \left| A \right|\sqrt B = \left\{ \begin{array}{l}A\sqrt B \;\;khi\;\;A \ge 0\\ - A\sqrt B \;\;khi\;\;A < 0\end{array} \right..$

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$\begin{array}{l}\frac{1}{2}\sqrt {48} - 2\sqrt {75} + \frac{{\sqrt {33} }}{{\sqrt {11} }} = \frac{1}{2}\sqrt {16.3} - 2\sqrt {25.3} + \sqrt {\frac{{33}}{{11}}} \\ = \frac{1}{2}.4\sqrt 3 - 2.5\sqrt 3 + \sqrt 3 \\ = 2\sqrt 3 - 10\sqrt 3 + \sqrt 3 \\ = - 7\sqrt 3 \end{array}$

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu 3: Rút gọn biểu thức: $P = \left( {\frac{{x\sqrt x - 1}}{{x - \sqrt x }} - \frac{{x\sqrt x + 1}}{{x + \sqrt x }}} \right):\left[ {\frac{{2\left( {x - 2\sqrt x + 1} \right)}}{{x - 1}}} \right]$ (với $x > 0$ và $x \ne 1$ )

$P = \frac{{2\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x - 1}}$
$P = \frac{{\sqrt x + 1}}{{2\left( {\sqrt x - 1} \right)}}$
$P = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}$
$P = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}$

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Phân tích mẫu của các phân thức, rút gọn các phân thức (nếu có nhân tử chung).

+) Tìm mẫu thức chung từ đó quy đồng mẫu các phân thức.

+) Biến đổi và rút gọn biểu thức đã cho.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: $x > 0,\;\;x \ne 1.$

$\begin{array}{l}P = \left( {\frac{{x\sqrt x - 1}}{{x - \sqrt x }} - \frac{{x\sqrt x + 1}}{{x + \sqrt x }}} \right):\left[ {\frac{{2\left( {x - 2\sqrt x + 1} \right)}}{{x - 1}}} \right]\\ = \left[ {\frac{{{{\left( {\sqrt x } \right)}^3} - {1^3}}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}} - \frac{{{{\left( {\sqrt x } \right)}^3} + {1^3}}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}} \right]:\left[ {\frac{{2{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} - 1}}} \right]\\ = \left[ {\frac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}} - \frac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {x - \sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}} \right]:\left[ {\frac{{2{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}} \right]\\ = \left( {\frac{{\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x }} - \frac{{\left( {x - \sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x }}} \right):\frac{{2\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\sqrt x + 1}}\\ = \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x }}.\frac{{\sqrt x + 1}}{{2\left( {\sqrt x - 1} \right)}} = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}\end{array}$

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 25 :

a) Tính: $3\sqrt {16} + 5\sqrt {36}$

b) Chứng minh rằng: với $x > 0$ và $x \ne 1$ thì $\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} - \frac{1}{{x - \sqrt x }} = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}$

$a)\,\,42$
$a)\,\,45$
$a)\,\,48$
$a)\,\,40$

Đáp án: A

Phương pháp giải:

a) Sử dụng công thức: $\sqrt {{A^2}B} = \left| A \right|\sqrt B = \left\{ \begin{array}{l}A\sqrt B \;\;khi\;\;A \ge 0\\ - A\sqrt B \;\;khi\;\;A < 0\end{array} \right..$

b) Quy đồng mẫu các phân thức sau đó biến đổi và rút gọn biểu thức của vế trái. Chứng minh kết quả rút gọn của vế trái bằng vế phải.

Lời giải chi tiết:

a) $3\sqrt {16} + 5\sqrt {36} = 3.4 + 5.6 = 12 + 30 = 42$

b) Với $x > 0$ và $x \ne 1$ ta có:

$\begin{array}{l}\;\;\;\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} - \frac{1}{{x - \sqrt x }} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} - \frac{1}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}} = \frac{{\sqrt x .\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}} - \frac{1}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}\\ = \frac{{x - 1}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}} = \frac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}} = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}\end{array}$

Vậy với $x > 0$ và $x \ne 1$ thì $\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} - \frac{1}{{x - \sqrt x }} = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}$ .

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 26 :

Cho hai biểu thức: $A = \frac{{x + 3}}{{\sqrt x + 1}}$ và $B = \frac{1}{{\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} + \frac{{2\sqrt x }}{{1 - x}}$ với $x \ge 0;x \ne 1$

Câu 1: Rút gọn biểu thức B

$B = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}$
$B = \frac{1}{{\sqrt x + 1}}$
$B = \frac{1}{{\sqrt x - 1}}$
$B = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}$

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Quy đồng mẫu các phân thức sau đó biến đổi và rút gọn phân thức.

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l}B = \frac{1}{{\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} + \frac{{2\sqrt x }}{{1 - x}} = \frac{1}{{\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} - \frac{{2\sqrt x }}{{x - 1}}\\ = \frac{{\sqrt x + 1 + \sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right) - 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} = \frac{{\sqrt x + 1 + x - \sqrt x - 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\\ = \frac{{x - 2\sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} = \frac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}.\end{array}$

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu 2: Cho biểu thức $P = B:A$ . Tìm giá trị của x để $P < 0$ .

$0 \le x < 1$
$0 < x < 1$
$1 < x < 2$
$1 \le x < 2$

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Tìm giá trị biểu thức P, từ đó kết hợp điều kiện đề bài xét dấu P để tìm x

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: $x \ge 0,\;x \ne 1.$

$P = B:A = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}:\frac{{x + 3}}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}.\frac{{\sqrt x + 1}}{{x + 3}} = \frac{{\sqrt x - 1}}{{x + 3}}$

Vì $x \ge 0 \Rightarrow x + 3 > 0$

Để $P < 0 \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x - 1}}{{x + 3}} < 0 \Leftrightarrow \sqrt x - 1 < 0 \Leftrightarrow \sqrt x < 1 \Leftrightarrow x < 1$

Kết hợp điều kiện đề bài $\Rightarrow 0 \le x < 1$

Vậy với $0 \le x < 1$ thì $P < 0.$

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của $\frac{1}{P}$ với $x > 1$ .

$\min \frac{1}{P} = 4$
$\min \frac{1}{P} = 5$
$\min \frac{1}{P} = 6$
$\min \frac{1}{P} = 7$

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Tính và biến đổi $\frac{1}{P}$ sao cho để khi sử dụng bất đẳng thức Cô-si có thể triệt tiêu được hết x, từ đó áp dụng bất đẳng thức Cô-si để tìm giá trị nhỏ nhất của $\frac{1}{P}.$

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: $x \ge 0,\;x \ne 1.$

Ta có:

$\begin{array}{l}\frac{1}{P} = \frac{{x + 3}}{{\sqrt x - 1}} = \frac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2} + 2\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 1}}\\\;\;\;\; = \frac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2} + 2\left( {\sqrt x - 1} \right) + 4}}{{\sqrt x - 1}}\\\;\;\;\; = 2 + \left( {\sqrt x - 1} \right) + \frac{4}{{\sqrt x - 1}}.\end{array}$

Vì $x > 1$ nên $\sqrt x - 1 > 0$ $\Rightarrow \frac{4}{{\sqrt x - 1}} > 0$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số không âm $\left( {\sqrt x - 1} \right)$ và $\frac{4}{{\sqrt x - 1}}$ ta được:

$\left( {\sqrt x - 1} \right) + \frac{4}{{\sqrt x - 1}} \ge 2\sqrt 4 = 4 \Rightarrow \frac{1}{P} = 2 + \left( {\sqrt x - 1} \right) + \frac{4}{{\sqrt x - 1}} \ge 2 + 4 = 6$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow \sqrt x - 1 = \frac{4}{{\sqrt x - 1}} \Leftrightarrow {\left( {\sqrt x - 1} \right)^2} = 4 \Leftrightarrow \sqrt x - 1 = 2\;\;\;\left( {do\;\;\sqrt x - 1 > 0} \right)$

$\Leftrightarrow \sqrt x = 3 \Leftrightarrow x = 9\;\;\left( {tm} \right)$

Vậy $\min \frac{1}{P} = 6$ đạt được khi $x = 9.$

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 27 :

Chọn đáp án đúng nhất:

Câu 1: Rút gọn biểu thức: $\sqrt {12} + 3\sqrt {48} - 5\sqrt {75}$

$- 11\sqrt 3$
$11\sqrt 3$
$9\sqrt 3$
$2\sqrt 3$

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Rút gọn căn bậc hai dựa vào công thức: $\sqrt {{A^2}B} = \left| A \right|\sqrt B = \left\{ \begin{array}{l}A\sqrt B \;\;khi\;\;A \ge 0\\ - A\sqrt B \;\;khi\;\;A < 0\end{array} \right..$

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l}\sqrt {12} + 3\sqrt {48} - 5\sqrt {75} = 2\sqrt 3 + 3.4\sqrt 3 - 5.5\sqrt 3 \\ = 2\sqrt 3 + 12\sqrt 3 - 25\sqrt 3 = - 11\sqrt 3 .\end{array}$

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu 2: Rút gọn biểu thức: $5\sqrt {\frac{1}{5}} - \frac{8}{{1 + \sqrt 5 }} + \frac{{\sqrt {20} - 5}}{{2 - \sqrt 5 }}$

$4\sqrt 5$
$2$
$- \sqrt 5$
$2\sqrt 5$

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Trục căn thức ở mẫu các phân thức sau đó rút gọn biểu thức.

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l}5\sqrt {\frac{1}{5}} - \frac{8}{{1 + \sqrt 5 }} + \frac{{\sqrt {20} - 5}}{{2 - \sqrt 5 }} = \sqrt 5 - \frac{{8\left( {1 - \sqrt 5 } \right)}}{{\left( {1 + \sqrt 5 } \right)\left( {1 - \sqrt 5 } \right)}} + \frac{{\sqrt 5 \left( {2 - \sqrt 5 } \right)}}{{2 - \sqrt 5 }}\\ = \sqrt 5 - \frac{{8\left( {1 - \sqrt 5 } \right)}}{{ - 4}} + \sqrt 5 = \sqrt 5 + 2\left( {1 - \sqrt 5 } \right) + \sqrt 5 \\ = \sqrt 5 + 2 - 2\sqrt 5 + \sqrt 5 = 2.\end{array}$

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu 3: Giải phương trình: $\sqrt {9{x^2}} = 6$

$S = \left\{ {1;\,2} \right\}$
$S = \left\{ { - 2;\,2} \right\}$
$S = \left\{ { - 1;\,1} \right\}$
$S = \left\{ { - 1;\,3} \right\}$

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức: $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,khi\,\,A \ge 0\\ - A\,\,khi\,\,A < 0\end{array} \right.$

Lời giải chi tiết:

$\sqrt {9{x^2}} = 6 \Leftrightarrow \left| {3x} \right| = 6 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = 6\\3x = - 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = - 2\end{array} \right.$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ { - 2;2} \right\}$

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu 4: Giải phương trình: $\sqrt {4x - 20} + \sqrt {x - 5} - \frac{1}{3}\sqrt {9x - 45} = 4$

$x = 7$
$x = 8$
$x = 9$
$x = 10$

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Rút gọn căn bậc hai, bình phương hai vế không âm, ${\left( {\sqrt A } \right)^2} = A.$

Lời giải chi tiết:

$\sqrt {4x - 20} + \sqrt {x - 5} - \frac{1}{3}\sqrt {9x - 45} = 4$ (1)

ĐKXĐ: $x \ge 5$

$\begin{array}{l}\left( 1 \right) \Leftrightarrow 2\sqrt {x - 5} + \sqrt {x - 5} - \frac{1}{3}.3\sqrt {x - 5} = 4\\ \Leftrightarrow 2\sqrt {x - 5} = 4 \Leftrightarrow \sqrt {x - 5} = 2\\ \Leftrightarrow x - 5 = 4 \Leftrightarrow x = 9\;\;\;\left( {tm} \right)\end{array}$

Vậy phương trình có tập nghiệm $S = \left\{ 9 \right\}.$

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 28 :

Giải phương trình:

Câu 1: $\sqrt {4 - 3x} = 4$

$x = 4$
$x = - 4$
$x = - 2$
$x = 2$

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Tìm điều kiện xác định sau đó bình phương hai vế.

Lời giải chi tiết:

$\sqrt {4 - 3x} = 4$ .

ĐKXĐ: $4 - 3x \ge 0 \Leftrightarrow x \le \frac{4}{3}$

$\sqrt {4 - 3x} = 4 \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {4 - 3x} } \right)^2} = {4^2} \Leftrightarrow 4 - 3x = 16 \Leftrightarrow x = - 4\;\;\left( {tm} \right)$

Vậy $x = - 4$ là nghiệm của phương trình.

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu 2: $\sqrt {4{x^2} + 4x + 1} = 5$

$x = - 3,x = - 2$
$x = 3,x = 2$
$x = - 3,x = 2$
$x = 3,x = - 2$

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Bình phương hai vế sau đó giải phương trình bậc 2.

Lời giải chi tiết:

$\sqrt {4{x^2} + 4x + 1} = 5$ .

ĐKXĐ: $4{x^2} + 4x + 1 \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {2x + 1} \right)^2} \ge 0$ (luôn đúng $\forall x \in \mathbb{R}$ )

$\begin{array}{l}\sqrt {4{x^2} + 4x + 1} = 5 \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {2x + 1} \right)}^2}} = 5\\ \Leftrightarrow \left| {2x + 1} \right| = 5 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + 1 = 5\\2x + 1 = - 5\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = 4\\2x = - 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = - 3\end{array} \right..\end{array}$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = - 3,x = 2$ .

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 29 :

Chọn đáp án đúng nhất:

Câu 1: Thực hiện phép tính: $\sqrt {50} - 3\sqrt 8 + \sqrt {32}$

$5\sqrt 2$
$4\sqrt 2$
$3\sqrt 2$
$2\sqrt 2$

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Rút gọn căn bậc hai bằng công thức: $\sqrt {{A^2}B} = \left| A \right|\sqrt B = \left\{ \begin{array}{l}A\sqrt B \,\;\,khi\,\,A \ge 0\\ - A\sqrt B \,\;\,khi\,\,A < 0\end{array} \right..$

Lời giải chi tiết:

$\sqrt {50} - 3\sqrt 8 + \sqrt {32} = 5\sqrt 2 - 3.2\sqrt 2 + 4\sqrt 2 = 5\sqrt 2 - 6\sqrt 2 + 4\sqrt 2 = 3\sqrt 2$

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu 2: Giải phương trình sau: $\sqrt {{x^2} - 4x + 4} = 1$

$S = \left\{ {1;\,2} \right\}$
$S = \left\{ {1;\;3} \right\}$
$S = \left\{ {2;\,3} \right\}$
$S = \left\{ {0;\,1} \right\}$

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức: $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,khi\,\,A \ge 0\\ - A\,\,khi\,\,A < 0\end{array} \right.$

Lời giải chi tiết:

$\sqrt {{x^2} - 4x + 4} = 1$

ĐKXĐ: ${x^2} - 4x + 4 \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} \ge 0$ luôn đúng với mọi x

$PT \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2}} = 1 \Leftrightarrow \left| {x - 2} \right| = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 2 = 1\\x - 2 = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = 1\end{array} \right.$

Vậy phương trình có tập nghiệm: $S = \left\{ {1;\;3} \right\}.$

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu 3: Giải phương trình sau: $\sqrt {{x^2} - 3x} - \sqrt {x - 3} = 0$

$x = 2$
$x = 3$
$x = 4$
$x = 1$

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Đưa về phương trình tích để giải phương trình.

Lời giải chi tiết:

$\sqrt {{x^2} - 3x} - \sqrt {x - 3} = 0$

ĐKXĐ: $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 3x \ge 0\\x - 3 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\left( {x - 3} \right) \ge 0\\x \ge 3\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge 3$

$\begin{array}{l}PT \Leftrightarrow \sqrt {x\left( {x - 3} \right)} - \sqrt {x - 3} = 0 \Leftrightarrow \sqrt {x - 3} \left( {\sqrt x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt {x - 3} = 0\\\sqrt x - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 3 = 0\\\sqrt x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\,\,\,\,(tm)\\x = 1\,\,\,\,\,(ktm)\end{array} \right.\end{array}$

Vậy phương trình có tập nghiệm: $S = \left\{ 3 \right\}.$

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 30 :

Cho biểu thức $A = \left( {\frac{{x - \sqrt x + 2}}{{x - \sqrt x - 2}} + \frac{2}{{\sqrt x + 1}}} \right):\frac{{1 - \sqrt x }}{{2 - \sqrt x }}$

Câu 1: Rút gọn biểu thức $A.$

$A = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 1}}$
$A = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 1}}$
$A = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}$
$A = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}$

Đáp án: A

Phương pháp giải:

+) Đặt ĐKXĐ để biểu thức có nghĩa.

+) Phân tích đa thức thành nhân tử: $x - \sqrt x - 2 = (\sqrt x + 1)(\sqrt x - 2)$

+) Quy đồng mẫu các phân thức, biến đổi sau đó rút gọn biểu thức.

Lời giải chi tiết:

Đk: $\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x - \sqrt x - 2\\\sqrt x \ne 2\\1 - \sqrt x \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right) \ne 0\\x \ne 4\\x \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 1\\x \ne 4\end{array} \right..$

$\begin{array}{l}A = \left( {\frac{{x - \sqrt x + 2}}{{x - \sqrt x - 2}} + \frac{2}{{\sqrt x + 1}}} \right):\frac{{1 - \sqrt x }}{{2 - \sqrt x }} = \left[ {\frac{{x - \sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} + \frac{2}{{\sqrt x + 1}}} \right]:\frac{{1 - \sqrt x }}{{2 - \sqrt x }}\\ = \frac{{x - \sqrt x + 2 + 2\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}.\frac{{\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\sqrt x - 1}} = \frac{{\left( {x - \sqrt x + 2 + 2\sqrt x - 4} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\\\;\;\; = \frac{{x + \sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} = \frac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 1}}.\end{array}$

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu 2: Tìm tất cả các giá trị của $x$ sao cho $A$ là một số nguyên.

$x = 1$
$x = 2$
$x = - 1$
$x = 0$

Đáp án: D

Phương pháp giải:

+) Sử dụng các tính chất: Tổng các số nguyên là một số nguyên và phân số là số nguyên khi tử chia hết cho mẫu.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: $x \ge 0,\;\;x \ne 1,\;\;x \ne 4.$

Ta có: $A = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{\sqrt x + 1 + 1}}{{\sqrt x + 1}} = 1 + \frac{1}{{\sqrt x + 1}}$

$\Rightarrow$ Để A là số nguyên thì $\frac{1}{{\sqrt x + 1}} \in Z \Leftrightarrow \left( {\sqrt x + 1} \right)$ là ước của 1 $\Leftrightarrow \sqrt x + 1 \in \left\{ { \pm 1} \right\}$

+) $\sqrt x + 1 = 1 \Leftrightarrow \sqrt x = 0 \Leftrightarrow x = 0\;\;\left( {tm} \right)$

+) $\sqrt x + 1 = - 1 \Leftrightarrow \sqrt x = - 2$ (vô lý)

Vậy $x = 0$ thì $A$ là số nguyên.

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 31 :

Cho hai biểu thức $P = \frac{{a - 9}}{{\sqrt a - 3}}$ và $Q = \frac{3}{{\sqrt a - 3}} + \frac{2}{{\sqrt a + 3}} + \frac{{a - 5\sqrt a - 3}}{{a - 9}}$ với $a \ge 0,\,\,a \ne 9$

Câu 1: Khi $a = 81$ , tính giá trị biểu thức $P.$

$10$
$11$
$12$
$13$

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Xét xem $a = 81$ có thỏa mãn ĐKXĐ hay không sau đó thay vào để tính giá trị biểu thức.

Lời giải chi tiết:

Khi $a = 81\;\;\left( {tm} \right) \Rightarrow P = \frac{{81 - 9}}{{\sqrt {81} - 3}} = \frac{{72}}{{9 - 3}} = \frac{{72}}{6} = 12$

Vậy khi $a = 81$ thì $P = 12.$

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu 2: Rút gọn biểu thức $Q.$

$Q = \frac{a}{{a - 3}}$
$Q = \frac{a}{{a - 9}}$
$Q = \frac{{\sqrt a }}{{a - 3}}$
$Q = \frac{{\sqrt a }}{{a - 9}}$

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Quy đồng mẫu các phân thức, biến đổi và rút gọn biểu thức.

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ: $a \ge 0,\;\;a \ne 9.$

$\begin{array}{l}Q = \frac{3}{{\sqrt a - 3}} + \frac{2}{{\sqrt a + 3}} + \frac{{a - 5\sqrt a - 3}}{{a - 9}} = \frac{{3\left( {\sqrt a + 3} \right) + 2\left( {\sqrt a - 3} \right) + a - 5\sqrt a - 3}}{{\left( {\sqrt a - 3} \right).\left( {\sqrt a + 3} \right)}}\\\;\;\; = \frac{{3\sqrt a + 9 + 2\sqrt a - 6 + a - 5\sqrt a - 3}}{{a - 9}} = \frac{a}{{a - 9}}.\end{array}$

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu 3: $Q = \frac{{\sqrt a }}{{a - 9}}$

$\min A = 10$
$\min A = 11$
$\min A = 12$
$\min A = 13$

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Tính $A,$ đưa kết quả về dạng sử dụng bất đẳng thức Cô-si sẽ triệt tiêu hết $a.$

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ: $a > 9.$

$A = P.Q = \frac{{a - 9}}{{\sqrt a - 3}}.\frac{a}{{a - 9}} = \frac{a}{{\sqrt a - 3}} = \sqrt a + 3 + \frac{9}{{\sqrt a - 3}} = \left( {\sqrt a - 3} \right) + \frac{9}{{\sqrt a - 3}} + 6$

Vì $a > 9 \Rightarrow \sqrt a - 3 > 0 \Rightarrow \frac{9}{{\sqrt a - 3}} > 0$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm $\left( {\sqrt a - 3} \right)$ và $\frac{9}{{\sqrt a - 3}}$ ta được:

$\begin{array}{l}\left( {\sqrt a - 3} \right) + \frac{9}{{\sqrt a - 3}} \ge 2.\sqrt {\left( {\sqrt a - 3} \right).\frac{9}{{\sqrt a - 3}}} = 6\\ \Rightarrow A = \left( {\sqrt a - 3} \right) + \frac{9}{{\sqrt a - 3}} + 6 \ge 12.\end{array}$

Dấu ‘‘=’’ xảy ra

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt a - 3 = \frac{9}{{\sqrt a - 3}} \Leftrightarrow {\left( {\sqrt a - 3} \right)^2} = 9\;\;\;\left( {do\;\;\sqrt a - 3 > 0} \right)\\ \Leftrightarrow \sqrt a - 3 = 3 \Leftrightarrow \sqrt a = 6 \Leftrightarrow a = 36\;\;\left( {tm} \right)\end{array}$

Vậy $\min A = 12$ đạt được khi $a = 36$ .

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 32 :

Cho hai biểu thức $A = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}$ và $B = \left( {\frac{1}{{\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{x - 1}}} \right).\frac{{x - \sqrt x }}{{2\sqrt x + 1}}$ với $x \ge 0$ và $x \ne 1$ .

Câu 1: Tính giá trị của $A$ khi $x = \frac{9}{4}$ .

$\frac{4}{5}$
$\frac{5}{4}$
$5$
$\frac{5}{2}$

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Thay $x = \frac{9}{4}$ vào $A$ rồi tính giá trị của biểu thức

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: $x \ge 0,\;\;x \ne 1.$

Với $x = \frac{9}{4}\;\;\left( {tm} \right)$ ta được: $A = \frac{{\sqrt {\frac{9}{4}} + 1}}{{\sqrt {\frac{9}{4}} - 1}} = \frac{{\frac{3}{2} + 1}}{{\frac{3}{2} - 1}} = \frac{{\frac{5}{2}}}{{\frac{1}{2}}} = 5.$

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu 2: Rút gọn $B.$

$B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}$
$B = \frac{{\sqrt x }}{{2\sqrt x + 1}}$
$B = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}$
$B = \frac{{\sqrt x - 1}}{{2\sqrt x + 1}}$

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Quy đồng và rút gọn phân thức

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: $x \ge 0,\;\;x \ne 1.$

$B = \left( {\frac{1}{{\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{x - 1}}} \right).\frac{{x - \sqrt x }}{{2\sqrt x + 1}} = \frac{{\sqrt x + 1 + \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}.\frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{2\sqrt x + 1}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}.$

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu 3: Với $x \in N$ và $x \ne 1$ , hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = A.B$ .

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Tính và đưa P về dạng $P = a + \frac{b}{c}$ với a, b là các số nguyên, c là ciểu thức chứa x. Từ điều kiện của x để tìm giá trị nhỏ nhất của P

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: $x \ge 0,\;\;x \ne 1.$

$P = A.B = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}.\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} = \frac{{\sqrt x - 1 + 1}}{{\sqrt x - 1}} = 1 + \frac{1}{{\sqrt x - 1}}$

Ta có : $x \ge 0 \Rightarrow \sqrt x \ge 0 \Rightarrow \sqrt x - 1 \ge - 1 \Rightarrow \frac{1}{{\sqrt x - 1}} \le - 1 \Rightarrow P \le 0$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow x = 0$

Vậy $\max P = 0$ đạt được tại $x = 0$ .

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 33 :

Cho hai biểu thức: $A = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} + \frac{1}{{x - \sqrt x }}} \right):\left( {\frac{1}{{\sqrt x + 1}} + \frac{2}{{x - 1}}} \right)$ với $x > 0;x \ne 1$

Câu 1: Rút gọn biểu thức $A.$

$A = \frac{{x + 1}}{{\sqrt x }}$
$A = \frac{{x - 1}}{{\sqrt x }}$
$A = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}$
$A = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }}$

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Quy đồng và rút gọn phân thức

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: $x > 0,\,\,x \ne 1.$

$\begin{array}{l}A = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} + \frac{1}{{x - \sqrt x }}} \right):\left( {\frac{1}{{\sqrt x + 1}} + \frac{2}{{x - 1}}} \right)\\ = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} + \frac{1}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}} \right):\left( {\frac{1}{{\sqrt x + 1}} + \frac{2}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}} \right)\\ = \frac{{x + 1}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}:\frac{{\sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\\ = \frac{{x + 1}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}.\left( {\sqrt x - 1} \right) = \frac{{x + 1}}{{\sqrt x }}.\end{array}$

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu 2: Tìm $x$ biết $A = 2$ .

$x = 1$
$x = 0$
$x = 4$
Không có giá trị nào của $x$ thỏa mãn

Đáp án: D

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: $x > 0,\,\,x \ne 1.$

$A = 2 \Leftrightarrow \frac{{x + 1}}{{\sqrt x }} = 2 \Leftrightarrow x + 1 = 2\sqrt x \Leftrightarrow {\left( {\sqrt x - 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x = 1\,\,\,\left( {ktm} \right)$

Vậy không có giá trị nào của x để $A = 2$ .

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \left( {A - 4} \right)\sqrt x .$

$- 3$
$- 1$
$1$
$2$

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Tính và đưa $P$ về dạng một tổng bình phương cộng một số.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: $x > 0,\,\,x \ne 1.$

$P = \left( {A - 4} \right)\sqrt x = \left( {\frac{{x + 1}}{{\sqrt x }} - 4} \right).\sqrt x = x - 4\sqrt x + 1 = {\left( {\sqrt x - 2} \right)^2} - 3 \ge - 3$

Ta có $P \ge - 3$ , dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow \sqrt x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 4\,\,\,\left( {tm} \right)$

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là $- 3$ khi $x = 4$ .

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 34 :

Cho hai biểu thức $A = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}},B = \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} - \frac{{3x + 3}}{{x - 9}}$ với $x \ge 0,\,\,x \ne 9.$

Câu 1: Tính giá trị biểu thức A khi $x = 25.$

$2$
$3$
$\frac{3}{2}$
$\frac{6}{5}$

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Thay giá trị $x = 25$ vào biểu thức A và tính giá trị của biểu thức.

Lời giải chi tiết:

ĐK: $x \ge 0,\,\,x \ne 9.$

Khi $x = 25\,\,\left( {tm} \right) \Rightarrow A = \frac{{\sqrt {25} + 1}}{{\sqrt {25} - 3}} = \frac{6}{2} = 3.$

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu 2: Rút gọn biểu thức $P = B:A.$

$P = - \frac{3}{{\sqrt x + 3}}$
$P = \frac{3}{{\sqrt x + 3}}$
$P = \frac{3}{{\sqrt x - 3}}$
$P = - \frac{3}{{\sqrt x - 3}}$

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Phân tích đa thức thành nhân tử: $x - \sqrt x - 2 = (\sqrt x + 1)(\sqrt x - 2)$

Lời giải chi tiết:

ĐK: $x \ge 0,\,\,x \ne 9.$

$\begin{array}{l}P = B:A = \left( {\frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} - \frac{{3x + 3}}{{x - 9}}} \right):\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}}\\ = \frac{{2\sqrt x (\sqrt x - 3) + \sqrt x (\sqrt x + 3) - (3x + 3)}}{{(\sqrt x + 3)(\sqrt x - 3)}}.\frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x + 1}}\\ = \frac{{2x - 6\sqrt x + x + 3\sqrt x - 3x - 3}}{{(\sqrt x + 3)(\sqrt x - 3)}}.\frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x + 1}}\\ = \frac{{ - 3\sqrt x - 3x}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \frac{{ - 3(\sqrt x + 1)}}{{(\sqrt x + 3)(\sqrt x + 1)}} = \frac{{ - 3}}{{\sqrt x + 3}}.\end{array}$

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của P

$0$
$1$
$- 1$
$2$

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Sử dụng các tính chất: Tổng các số nguyên là một số nguyên và phân số là số nguyên khi tử chia hết cho mẫu.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\sqrt x + 3 \ge 3,\forall x \ge 0,x \ne 9$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{{\sqrt x + 3}} \le \frac{1}{3},\forall x \ge 0,x \ne 9\\ \Leftrightarrow \frac{{ - 3}}{{\sqrt x + 1}} \ge - 1,\forall x \ge 0,x \ne 9.\end{array}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $P$ là $-1$ khi $x = 0.$

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 35 :

Cho biểu thức $P = \left( {\frac{{\sqrt a + 1}}{{\sqrt a - 1}} - \frac{{\sqrt a - 1}}{{\sqrt a + 1}} + 4\sqrt a } \right):\left( {\frac{{{a^2} + a\sqrt a }}{{\sqrt a + 1}}} \right)$ với $a > 0,\,\,a \ne 1.$

Câu 1: Rút gọn biểu thức $P.$

$P = \frac{4}{{a - 1}}$
$P = \frac{1}{{a - 1}}$
$P = \frac{4}{{a + 1}}$
$P = \frac{1}{{a + 1}}$

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Quy đồng mẫu các phân thức sau đó biến đổi và rút gọn biểu thức.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: $a > 0,\,\,\,a \ne 1.$

$\begin{array}{l}P = \left( {\frac{{\sqrt a + 1}}{{\sqrt a - 1}} - \frac{{\sqrt a - 1}}{{\sqrt a + 1}} + 4\sqrt a } \right):\left( {\frac{{{a^2} + a\sqrt a }}{{\sqrt a + 1}}} \right)\\ = \frac{{{{\left( {\sqrt a + 1} \right)}^2} - {{\left( {\sqrt a - 1} \right)}^2} + 4\sqrt a \left( {a - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)}}:\frac{{a\sqrt a \left( {\sqrt a + 1} \right)}}{{\sqrt a + 1}}\\ = \frac{{a + 2\sqrt a + 1 - a + 2\sqrt a - 1 + 4\sqrt a \left( {a - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)}}.\frac{1}{{a\sqrt a }}\\ = \frac{{4\sqrt a + 4\sqrt a \left( {a - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)}}.\frac{1}{{a\sqrt a }}\\ = \frac{{4\sqrt a \left( {1 + a - 1} \right)}}{{a - 1}}.\frac{1}{{a\sqrt a }} = \frac{4}{{a - 1}}.\end{array}$

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu 2: Tìm các giá trị nguyên của $a$ để $P$ nhận giá trị là số nguyên.

$a \in \left\{ {0;\,\,2;\,\,3;\,\,5} \right\}$
$a \in \left\{ {1;\,\,3;\,\,5} \right\}$
$a \in \left\{ {1;\,\,2;\,\,3} \right\}$
$a \in \left\{ {2;\,\,3;\,\,5} \right\}$

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Biến đổi biểu thức $P = b + \frac{c}{{MS}}$

+) Khi đó $P \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \frac{c}{{MS}} \in \mathbb{Z} \Rightarrow MS \in U\left( c \right).$ Từ đó tìm $a \in \mathbb{Z}$

+) Đối chiếu với điều kiện của $a$ rồi kết luận.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: $a > 0,\,\,\,a \ne 1.$

Ta có: $P = \frac{4}{{a - 1}} \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \left( {a - 1} \right) \in U\left( 4 \right)$

Mà $U\left( 4 \right) = \left\{ { \pm 1;\,\, \pm 2;\, \pm 4} \right\} \Rightarrow \left( {a - 1} \right) \in \left\{ { \pm 1;\,\, \pm 2;\,\, \pm 4} \right\}$

Ta có bảng:

Vậy với $a \in \left\{ {2;\,\,3;\,\,5} \right\}$ thì $P \in \mathbb{Z}.$

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 36 :

Chọn đáp án đúng nhất:

Câu 1: Tính $A = \sqrt {12} + \sqrt {18} - \sqrt 8 - 2\sqrt 3 .$

$A = \sqrt 2$
$A = 2\sqrt 2$
$A = - \sqrt 2$
$A = \sqrt 3$

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức: $\sqrt {{A^2}B} = \left| A \right|\sqrt B = \left\{ \begin{array}{l}A\sqrt B \,\,\,khi\,\,\,\,A \ge 0\\ - A\sqrt B \,\,\,khi\,\,\,A < 0\end{array} \right..$

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l}A = \sqrt {12} + \sqrt {18} - \sqrt 8 - 2\sqrt 3 = \sqrt {{2^2}.3} + \sqrt {{3^2}.2} - \sqrt {{2^2}.2} - 2\sqrt 3 \\\,\,\,\,\,\, = 2\sqrt 3 + 3\sqrt 2 - 2\sqrt 2 - 2\sqrt 3 = \sqrt 2 .\end{array}$

Vậy $A = \sqrt 2 .$

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu 2: Cho biểu thức $B = \sqrt {9x + 9} + \sqrt {4x + 4} + \sqrt {x + 1}$ với $x \ge - 1.$ Tìm $x$ sao cho $B$ có giá trị là $18.$

$x = 2$
$x = 4$
$x = 6$
$x = 8$

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Rút gọn biểu thức $B$ sau đó giải phương trình $B = 18$ tìm $x$ , đối chiếu với điều kiện rồi kết luận.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: $x \ge - 1.$

$\begin{array}{l}B = \sqrt {9x + 9} + \sqrt {4x + 4} + \sqrt {x + 1} \\ = \sqrt {9\left( {x + 1} \right)} + \sqrt {4\left( {x + 1} \right)} + \sqrt {x + 1} \\ = 3\sqrt {x + 1} + 2\sqrt {x + 1} + \sqrt {x + 1} = 6\sqrt {x + 1} .\end{array}$

Ta có: $B = 18$ $\Leftrightarrow 6\sqrt {x + 1} = 18 \Leftrightarrow \sqrt {x + 1} = 3 \Leftrightarrow x + 1 = 9 \Leftrightarrow x = 8\,\,\,\left( {tm} \right)$

Vậy $x = 8$ thì $B$ có giá trị là $18.$

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 37 :

Cho hai biểu thức: $A = \frac{{4\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{25 - x}}$ và $B = \left( {\frac{{15 - \sqrt x }}{{x - 25}} + \frac{2}{{\sqrt x + 5}}} \right):\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 5}}\,\,\,\left( {x \ge 0,\,\,x \ne 25} \right)$

Câu 1: Tính giá trị của biểu thức $A$ khi $x = 9.$

$A = 0$
$A = 1$
$A = 4$
$A = 5$

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Khi $x = 9\,\,\left( {tm} \right)$ thay vào biểu thức để tính giá trị của biểu thức.

Lời giải chi tiết:

Khi $x = 9\,\,\left( {tm} \right)$ thay vào biểu thức $A = \frac{{4\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{25 - x}}$ ta được:

$A = \frac{{4\left( {\sqrt 9 + 1} \right)}}{{25 - 9}} = \frac{{4\left( {3 + 1} \right)}}{{16}} = \frac{{16}}{{16}} = 1.$

Vậy với $x = 9$ thì $A = 1.$

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu 2: Rút gọn biểu thức $B.$

$B = \frac{1}{{\sqrt x + 1}}$
$B = \frac{1}{{\sqrt x + 5}}$
$B = 1$
$B = \frac{{\sqrt x + 5}}{{\sqrt x + 1}}$

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Quy đồng mẫu các phân thức rồi rút gọn biểu thức.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: $x \ge 0,\,\,x \ne 25.$

$\begin{array}{l}B = \left( {\frac{{15 - \sqrt x }}{{x - 25}} + \frac{2}{{\sqrt x + 5}}} \right):\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 5}} = \left[ {\frac{{15 - \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 5} \right)\left( {\sqrt x + 5} \right)}} + \frac{2}{{\sqrt x + 5}}} \right].\frac{{\sqrt x - 5}}{{\sqrt x + 1}}\\ = \frac{{15 - \sqrt x + 2\left( {\sqrt x - 5} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 5} \right)\left( {\sqrt x + 5} \right)}}.\frac{{\sqrt x - 5}}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{15 - \sqrt x + 2\sqrt x - 10}}{{\sqrt x + 5}}.\frac{1}{{\sqrt x + 1}}\\ = \frac{{\sqrt x + 5}}{{\sqrt x + 5}}.\frac{1}{{\sqrt x + 1}} = \frac{1}{{\sqrt x + 1}}.\end{array}$

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu 3: Tìm tất cả các giá trị nguyên của $x$ để biểu thức $P = AB$ đạt giá trị nguyên lớn nhất.

$x = 24$
$x \in \left\{ {23;\,\,24;\,\,26;\,\,27;\,\,29} \right\}$
$x = 26$
$x \in \left\{ {23;\,\,24;\,\,26} \right\}$

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Tính biểu thức: $P = AB.$ Biểu thức $P \in \mathbb{Z} \Rightarrow$ tử số chia hết cho mẫu số.

Từ đó tìm các giá trị của $x \in \mathbb{Z} \Rightarrow P \in \mathbb{Z}$ và tính được các giá trị của $P$ và kết luận giá trị $x \in \mathbb{Z}$ để $P \in \mathbb{Z}$ và đạt giá trị lớn nhất.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: $x \ge 0,\,\,x \ne 25.$

Ta có: $P = A.B = \frac{{4\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{25 - x}}.\frac{1}{{\sqrt x + 1}} = \frac{4}{{25 - x}}.$

$x \in \mathbb{Z} \Rightarrow P \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \frac{4}{{25 - x}} \in \mathbb{Z} \Rightarrow 4\,\, \vdots \,\,\left( {25 - x} \right)$ hay $\left( {25 - x} \right) \in U\left( 4 \right)$

Mà $U\left( 4 \right) = \left\{ { \pm 1;\,\, \pm 2;\,\, \pm 4} \right\} \Rightarrow \left( {25 - x} \right) \in \left\{ { \pm 1;\,\, \pm 2;\, \pm 4} \right\}.$

Ta có bảng giá trị:

$\Rightarrow$ với $x \in \left\{ {23;\,\,24;\,\,26;\,\,27;\,\,29} \right\}$ thì $P \in \mathbb{Z}.$

Qua bảng giá trị ta thấy với $x = 24$ thì $P = 4$ là số nguyên lớn nhất.

Vậy $x = 24$ thỏa mãn điều kiện bài toán.

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 38 :

Cho biểu thức: $A = \frac{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2} + {{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} - \frac{{3\sqrt x + 1}}{{x - 1}}$ với $x \ge 0,\,\,x \ne 1.$

Câu 1: Rút gọn biểu thức $A.$

$A = \frac{{2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}$
$A = \frac{{2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x - 1}}$
$A = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}$
$A = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}$

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Quy đồng mẫu các phân thức rồi rút gọn biểu thức.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: $x \ge 0,\,\,x \ne 1.$

$\begin{array}{l}A = \frac{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2} + {{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} - \frac{{3\sqrt x + 1}}{{x - 1}}\\\,\,\,\, = \frac{{x + 2\sqrt x + 1 + x - 2\sqrt x + 1}}{{x - 1}} - \frac{{3\sqrt x + 1}}{{x - 1}}\\\,\,\, = \frac{{2x + 2}}{{x - 1}} - \frac{{3\sqrt x + 1}}{{x - 1}} = \frac{{2x + 2 - 3\sqrt x - 1}}{{x - 1}}\\\,\,\, = \frac{{2x - 3\sqrt x + 1}}{{x - 1}} = \frac{{2x - 2\sqrt x - \sqrt x + 1}}{{x - 1}}\\\,\,\, = \frac{{2\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right) - \left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} = \frac{{\left( {2\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\, = \frac{{2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}.\end{array}$

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu 2: Tìm $x$ là số chính phương để $2019A$ là số nguyên.

$x \in \left\{ {4;\,\,64;\,\,{{2018}^2};\,\,{{6056}^2}} \right\}$
$x \in \left\{ {1;\,\,3;\,\,9;\,\,2019;\,\,6057} \right\}$
$x \in \left\{ {0;\,\,2;\,\,8;\,\,2018;\,\,6056} \right\}$
$x \in \left\{ {0;\,\,4;\,\,64;\,\,{{2018}^2};\,\,{{6056}^2}} \right\}$

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Số $x = {k^2}$ là số chính phương.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: $x \ge 0,\,\,x \ne 1.$

Ta có: $2019A = 2019.\frac{{2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}} = 2019\left( {2 - \frac{3}{{\sqrt x + 1}}} \right) = 4038 - \frac{{6057}}{{\sqrt x + 1}}.$

Vì $2019A \in \mathbb{Z} \Rightarrow \sqrt x + 1 \in U\left( {6057} \right)$ .

Mà $\sqrt x + 1 \ge 1\,\,\forall x \ge 0,\,\,x \ne 1 \Rightarrow \sqrt x + 1 \in \left\{ {1;3;9;2019;6057} \right\}$ .

TH1: $\sqrt x + 1 = 1 \Leftrightarrow x = 0$ (tm).

TH2: $\sqrt x + 1 = 3 \Leftrightarrow \sqrt x = 2 \Leftrightarrow x = 4\,\,\left( {tm} \right)$ .

TH3: $\sqrt x + 1 = 9 \Leftrightarrow \sqrt x = 8 \Leftrightarrow x = 64\,\,\left( {tm} \right)$ .

TH4: $\sqrt x + 1 = 2019 \Leftrightarrow \sqrt x = 2018 \Leftrightarrow x = {2018^2}\,\,\left( {tm} \right)$ .

TH5: $\sqrt x + 1 = 6057 \Leftrightarrow \sqrt x = 6056 \Leftrightarrow x = {6056^2}\,\,\left( {tm} \right)$ .

Vậy $x \in \left\{ {0;\,\,4;\,\,64;\,\,{{2018}^2};\,\,{{6056}^2}} \right\}$ .

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 39 :

Bằng các phép biến đổi đại số, hãy rút gọn các biểu thức sau:

Câu 1: $A = \sqrt {18} - \sqrt {50}$

$A = - \sqrt 2$
$A = - 2\sqrt 2$
$A = \sqrt 2$
$A = 2\sqrt 2$

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức: $\sqrt {{A^2}B} = \left| A \right|\sqrt B = \left\{ \begin{array}{l}A\sqrt B \,\,\,khi\,\,A \ge 0\\ - A\sqrt B \,\,\,khi\,\,\,\,A < 0\end{array} \right..$

Lời giải chi tiết:

$A = \sqrt {18} - \sqrt {50} = \sqrt {9.2} - \sqrt {25.2} = 3\sqrt 2 - 5\sqrt 2 = - 2\sqrt 2$

Vậy $A = - 2\sqrt 2$

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu 2: $B = \left( {\frac{1}{{\sqrt a - 2}} + \frac{1}{{\sqrt a + 2}}} \right).\frac{{a - 4}}{{\sqrt a }}$ với $a > 0,\,a \ne 4$

$B = \frac{{\sqrt a }}{{\sqrt a + 2}}$
$B = \frac{1}{{a - 4}}$
$B = 1$
$B = 2$

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức: $\sqrt {{A^2}B} = \left| A \right|\sqrt B = \left\{ \begin{array}{l}A\sqrt B \,\,\,khi\,\,A \ge 0\\ - A\sqrt B \,\,\,khi\,\,\,\,A < 0\end{array} \right..$

Lời giải chi tiết:

Với $a > 0,\,\,a \ne 4$ ta có:

$\begin{array}{l}B = \left( {\frac{1}{{\sqrt a - 2}} + \frac{1}{{\sqrt a + 2}}} \right).\frac{{a - 4}}{{\sqrt a }} = \left( {\frac{{\sqrt a + 2}}{{a - 4}} + \frac{{\sqrt a - 2}}{{a - 4}}} \right).\frac{{a - 4}}{{\sqrt a }}\\\,\,\,\, = \frac{{2\sqrt a }}{{a - 4}}.\frac{{a - 4}}{{\sqrt a }} = 2.\end{array}$

Vậy $B = 2$ .

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 40 :

Cho biểu thức: $A = \frac{{x + 5}}{{\sqrt x - 3}}$ và $B = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 3}} + \frac{{7\sqrt x - 3}}{{x - 9}}.$

Câu 1: Tính giá trị của biểu thức $A$ khi $x = 25.$

$A = 5.$
$A = 10.$
$A = 12.$
$A = 15.$

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Khi $x = 25\,\,\,\left( {tm} \right)$ ta thay vào biểu thức và tính giá trị biểu thức $A.$

Lời giải chi tiết:

Điều kiện để biểu thức $A$ xác định là $x \ge 0,\,\,x \ne 9.$

Khi $x = 25\,\,\left( {tm} \right)$ ta được: $A = \frac{{25 + 5}}{{\sqrt {25} - 3}} = \frac{{30}}{2} = 15.$

Vậy khi $x = 25$ thì $A = 15.$

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu 2: Rút gọn biểu thức $B.$

$B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}}$
$B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}}$
$B = \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x + 3}}$
$B = \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 3}}$

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức $B.$

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: $x \ge 0,\,\,x \ne 9.$

$\begin{array}{l}B = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 3}} + \frac{{7\sqrt x - 3}}{{x - 9}} = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 3}} + \frac{{7\sqrt x - 3}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\\\,\,\,\, = \frac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right) + 7\sqrt x - 3}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} = \frac{{x - 3\sqrt x - \sqrt x + 3 + 7\sqrt x - 3}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\\\,\,\,\, = \frac{{x + 3\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}}.\end{array}$

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của $\frac{A}{B}.$

$\sqrt 5$
$2\sqrt 5$
$- \sqrt 5$
$5\sqrt 5$

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Biến đổi biểu thức, sử dụng bất đẳng thức Cô-si để làm bài.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: $x \ge 0,\,\,\,x \ne 9.$

Ta có: $\frac{A}{B} = \frac{{x + 5}}{{\sqrt x - 3}}.\frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x }} = \frac{{x + 5}}{{\sqrt x }} = \sqrt x + \frac{5}{{\sqrt x }}$

Áp dụng bất đăng thức Cô-si cho hai số $\sqrt x ,\,\,\frac{5}{{\sqrt x }}$ dương ta có:

$\sqrt x + \frac{5}{{\sqrt x }} \ge 2\sqrt {\sqrt x .\frac{5}{{\sqrt x }}} = 2\sqrt 5 .$

Dâu “=” xảy ra $\Leftrightarrow \sqrt x = \frac{5}{{\sqrt x }} \Leftrightarrow x = 5\,\,\left( {tm} \right).$

Vậy với $x = 5$ thì biểu thức $\frac{A}{B}$ đạt giá trị nhỏ nhất là $2\sqrt 5 .$

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 41 :

Cho biểu thức $M = \left( {\frac{{2x\sqrt x + x - \sqrt x }}{{x\sqrt x - 1}} - \frac{{x + \sqrt x }}{{x - 1}}} \right)\frac{{x - 1}}{{2x + \sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{2\sqrt x - 1}}$

Câu 1: Hãy tìm điều kiện của $x$ để biểu thức $M$ có nghĩa, sau đó rút gọn $M.$

$M = \frac{{\sqrt x + 1}}{{x + \sqrt x + 1}}$
$M = \frac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}}$
$M = \frac{{x + \sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}}$
$M = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}$

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Tìm điều kiện xác định sau đó quy đồng, biến đổi và rút gọn biểu thức.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: $x \ge 0;\,\,\,x \ne 1;\,\,\,x \ne \frac{1}{4}.$

$\begin{array}{l}M = \left( {\frac{{2x\sqrt x + x - \sqrt x }}{{x\sqrt x - 1}} - \frac{{x + \sqrt x }}{{x - 1}}} \right)\frac{{x - 1}}{{2x + \sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{2\sqrt x - 1}}\\\,\,\,\,\,\,\,\, = \left[ {\frac{{2x\sqrt x + x - \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}} - \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}} \right].\frac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {2\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} + \frac{{\sqrt x }}{{2\sqrt x - 1}}\\\,\,\,\,\,\,\,\, = \left[ {\frac{{2x\sqrt x + x - \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}} - \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}}} \right].\frac{{\sqrt x - 1}}{{2\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{2\sqrt x - 1}}\\\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{2x\sqrt x + x - \sqrt x - \sqrt x \left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}.\frac{{\sqrt x - 1}}{{2\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{2\sqrt x - 1}}\\\,\,\,\,\,\, = \frac{{2x\sqrt x + x - \sqrt x - x\sqrt x - x - \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}.\frac{{\sqrt x - 1}}{{2\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{2\sqrt x - 1}}\\\,\,\,\,\,\, = \frac{{x\sqrt x - 2\sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}}.\frac{1}{{2\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{2\sqrt x - 1}}\\\,\,\,\,\,\, = \frac{{x\sqrt x - 2\sqrt x + \sqrt x \left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {2\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}} = \frac{{x\sqrt x + x\sqrt x + x + \sqrt x }}{{\left( {2\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}\\\,\,\,\,\,\, = \frac{{2x\sqrt x + x - \sqrt x }}{{\left( {2\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}} = \frac{{2x\sqrt x + 2x - x - \sqrt x }}{{\left( {2\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}\\\,\,\,\,\,\, = \frac{{2x\left( {\sqrt x + 1} \right) - \sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {2\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}} = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {2\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {2\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}\\\,\,\,\,\,\, = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{x + \sqrt x + 1}} = \frac{{x + \sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}}.\end{array}$

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu 2: Với giá trị nào của $x$ thì biểu thức $M$ đạt giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất đó của $M?$

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Biến đổi biểu thức sau đó áp dụng bất đẳng thức Cô-si để làm bài.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: $x \ge 0;\,\,\,x \ne 1;\,\,\,x \ne \frac{1}{4}.$

Ta có: $P = \frac{{x + \sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}}$

Với mọi $x \ge 0$ ta có: $x \ge 0;\,\,\,\sqrt x \ge 0 \Rightarrow x + \sqrt x \ge 0 \Rightarrow P \ge 0.$

Dấu ‘‘=’’ xảy ra $\Leftrightarrow x = 0.$

Vậy $Min\,\,P = 0\,$ khi $x = 0.$

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 42 :

Cho $P = \frac{{x + 3}}{{\sqrt x - 2}};\,\,\,Q = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}} + \frac{{5\sqrt x - 2}}{{x - 4}}\quad \quad \left( {x > 0;\,\,\,x \ne 4} \right)$

Câu 1: Tính giá trị của $P$ khi $x = 9.$

$10$
$11$
$12$
$13$

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Với $x = 9\,\,\left( {tm} \right),$ thay vào biểu thức $P$ và tính giá trị của biểu thức $P.$

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: $x > 0,\,\,\,x \ne 4.$

Ta có: $x = 9\,\,\left( {tm} \right),$ ta có: $P = \frac{{9 + 3}}{{\sqrt 9 - 2}} = \frac{{12}}{{3 - 2}} = 12.$

Vậy với $x = 9$ thì $P = 12.$

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu 2: Rút gọn $Q.$

$Q = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}$
$Q = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}$
$Q = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 2}}$
$Q = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 2}}$

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Quy đồng mẫu, biến đổi và rút gọn biểu thức.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: $x > 0,\,\,\,x \ne 4.$

$\begin{array}{l}Q = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}} + \frac{{5\sqrt x - 2}}{{x - 4}} = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}} + \frac{{5\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\\\,\,\,\,\, = \frac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right) + 5\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} = \frac{{x - 3\sqrt x + 2 + 5\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\\\,\,\,\,\, = \frac{{x + 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}.\end{array}$

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu 3: Tìm $x$ để biểu thức $\frac{P}{Q}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

$x = 1$
$x = 2$
$x = 3$
$x = 4$

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Rút gọn biểu thức $\frac{P}{Q}$ sau đó tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng bất đẳng thức Cô-si.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: $x > 0,\,\,\,x \ne 4.$

Ta có: $\frac{P}{Q} = \frac{{x + 3}}{{\sqrt x - 2}}:\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} = \frac{{x + 3}}{{\sqrt x - 2}}.\frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x }} = \frac{{x + 3}}{{\sqrt x }} = \sqrt x + \frac{3}{{\sqrt x }}.$

Với mọi $x > 0,\,\,x \ne 4$ ta có hai số $\sqrt x ,\,\,\,\frac{3}{{\sqrt x }}$ là các số dương.

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số $\sqrt x ,\,\,\,\frac{3}{{\sqrt x }}$ ta được:

$P = \sqrt x + \frac{3}{{\sqrt x }} \ge 2\sqrt {\sqrt x .\frac{3}{{\sqrt x }}} = 2\sqrt 3 .$

Dấu ‘‘=’’ xảy ra $\Leftrightarrow \sqrt x = \frac{3}{{\sqrt x }} \Leftrightarrow x = 3\,\,\,\left( {tm} \right).$

Vậy $Min\,\,P = 2\sqrt 3$ khi $x = 3.$

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 43 :

Chọn đáp án đúng nhất:

Câu 1:

Giải phương trình $3\left( {x - 1} \right) = 5x + 2.$

$x = - \frac{5}{2}.$
$x = - \frac{1}{2}.$
$x = - 1.$
$x = - \frac{2}{5}.$

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Giải phương trình bằng quy tắc chuyển vế, đổi dấu.

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,3\left( {x - 1} \right) = 5x + 2 \Leftrightarrow 3x - 3 = 5x + 2\\ \Leftrightarrow 5x - 3x = - 3 - 2 \Leftrightarrow 2x = - 5 \Leftrightarrow x = - \frac{5}{2}.\end{array}$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = - \frac{5}{2}.$

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu 2:

Cho biểu thức: $A = \sqrt {x + 2\sqrt {x - 1} } + \sqrt {x - 2\sqrt {x - 1} }$ với $x \ge 1.$

a) Tính giá trị biểu thức $A$ khi $x = 5.$

b) Rút gọn biểu thức $A$ khi $1 \le x \le 2.$

$\begin{array}{l}{\rm{a)}}\,\,A = 3\\{\rm{b)}}\,\,A = 1\end{array}$
$\begin{array}{l}{\rm{a)}}\,\,A = 4\\{\rm{b)}}\,\,A = 2\end{array}$
$\begin{array}{l}{\rm{a)}}\,\,A = 2\\{\rm{b)}}\,\,A = 2\end{array}$
$\begin{array}{l}{\rm{a)}}\,\,A = 3\\{\rm{b)}}\,\,A = 4\end{array}$

Đáp án: B

Phương pháp giải:

a) Khi $x = 5\,\,\left( {tm} \right),$ thay vào biểu thức $A$ để tính giá trị biểu thức.

b) Thêm bớt 1 vào các căn bậc hai và rút gọn biểu thức nhờ công thức: $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,\,khi\,\,\,A \ge 0\\ - A\,\,\,khi\,\,\,A < 0\end{array} \right..$

Lời giải chi tiết:

a) Tính giá trị biểu thức $A$ khi $x = 5.$

Điều kiện: $x \ge 1.$

Khi $x = 5\,\,\left( {tm\,\,\,x \ge 1} \right),$ thay vào biểu thức ta được:

$\begin{array}{l}A = \sqrt {5 + 2\sqrt {5 - 1} } + \sqrt {5 - 2\sqrt {5 - 1} } = \sqrt {5 + 2\sqrt 4 } + \sqrt {5 - 2\sqrt 4 } \\\,\,\,\,\, = \sqrt {5 + 2.2} + \sqrt {5 - 2.2} = \sqrt 9 + \sqrt 1 = 3 + 1 = 4.\end{array}$

Vậy khi $x = 5$ thì $A = 4.$

b) Rút gọn biểu thức $A$ khi $1 \le x \le 2.$

Điều kiện: $1 \le x \le 2.$

$\begin{array}{l}A = \sqrt {x + 2\sqrt {x - 1} } + \sqrt {x - 2\sqrt {x - 1} } \\\,\,\,\,\,\, = \sqrt {x - 1 + 2\sqrt {x - 1} + 1} + \sqrt {x - 1 - 2\sqrt {x - 1} + 1} \\\,\,\,\,\,\, = \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 1} + 1} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 1} - 1} \right)}^2}} \\\,\,\,\,\,\, = \left| {\sqrt {x - 1} + 1} \right| + \left| {\sqrt {x - 1} - 1} \right|\\\,\,\,\,\,\, = \sqrt {x - 1} + 1 + 1 - \sqrt {x - 1} \,\,\,\,\left( {do\,\,\,\,1 \le x \le 2 \Rightarrow 0 \le \sqrt {x - 1} \le 1 \Rightarrow \sqrt {x - 1} - 1 \le 0} \right)\\\,\,\,\,\,\, = 2.\,\,\end{array}$

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 44 :

a) Rút gọn biểu thức $A = \sqrt 5 \left( {\sqrt {20} - 3} \right) + \sqrt {45} .$

b) Chứng minh rằng $\sqrt {24 + 16\sqrt 2 } - \sqrt {24 - 16\sqrt 2 } = 4\sqrt 2 .$

c) Tìm tập hợp các giá trị của $x$ sao cho $\sqrt {2x + 1} \le 5$

$\begin{array}{l}{\rm{a)}}\,\,A = 10\\{\rm{c)}}\,\, - \frac{1}{2} \le x \le 12\end{array}$
$\begin{array}{l}{\rm{a)}}\,\,A = 5\\{\rm{c)}}\,\,x \le 12\end{array}$
$\begin{array}{l}{\rm{a)}}\,\,A = 3\sqrt 5 \\{\rm{c)}}\,\,x \le 12\end{array}$
$\begin{array}{l}{\rm{a)}}\,\,A = 6\sqrt 5 \\{\rm{c)}}\,\,\frac{1}{2} \le x \le 12\end{array}$

Đáp án: A

Phương pháp giải:

a) Sử dụng quy tắc đưa thừa số ra ngoài dấu căn: Với hai biểu thức $A,B$ mà $B \ge 0$ , ta có:

$\begin{array}{l}\sqrt {{A^2}.\,B} = A\sqrt B ,\,\,khi\,\,A \ge 0\\\sqrt {{A^2}.B} = - A\sqrt B ,\,\,khi\,\,A < 0\end{array}$

b) Sử dụng công thức: $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,\,khi\,\,\,A \ge 0\\ - A\,\,\,khi\,\,A < 0\end{array} \right..$

c) $\sqrt {f\left( x \right)} \ge g\left( x \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}g\left( x \right) < 0\\f\left( x \right) \ge 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}g\left( x \right) \ge 0\\f\left( x \right) \ge {\left[ {g\left( x \right)} \right]^2}\end{array} \right.\end{array} \right.$

Lời giải chi tiết:

a) Rút gọn biểu thức $A = \sqrt 5 \left( {\sqrt {20} - 3} \right) + \sqrt {45} .$

Ta có:

$\begin{array}{l}A = \sqrt 5 \left( {\sqrt {20} - 3} \right) + \sqrt {45} \\A = \sqrt 5 .\sqrt {20} - 3.\sqrt 5 + \sqrt {{3^2}.5} \\A = \sqrt {100} - 3\sqrt 5 + 3\sqrt 5 \\A = 10 + \left( { - 3\sqrt 5 + 3\sqrt 5 } \right)\\A = 10\end{array}$

b) Chứng minh rằng $\sqrt {24 + 16\sqrt 2 } - \sqrt {24 - 16\sqrt 2 } = 4\sqrt 2 .$

Ta có:

$\begin{array}{l}VT = \sqrt {24 + 16\sqrt 2 } - \sqrt {24 - 16\sqrt 2 } \\VT = \sqrt {16 + 2.4.2\sqrt 2 + 8} - \sqrt {16 - 2.4.\sqrt 2 + 8} \\VT = \sqrt {{{\left( {4 + 2\sqrt 2 } \right)}^2}} - \sqrt {{{\left( {4 - 2\sqrt 2 } \right)}^2}} \\VT = \left| {4 + 2\sqrt 2 } \right| - \left| {4 - 2\sqrt 2 } \right|\\VT = 4 + 2\sqrt 2 - \left( {4 - 2\sqrt 2 } \right)\,\,\,\left( {do\,\,4 - 2\sqrt 2 > 0} \right)\\VT = 4 + 2\sqrt 2 - 4 + 2\sqrt 2 \\VT = 4\sqrt 2 = VP\,\,\,\left( {dpcm} \right)\end{array}$

c) Tìm tập hợp các giá trị của $x$ sao cho $\sqrt {2x + 1} \le 5\,\,\,\left( * \right)$

Điều kiện: $2x + 1 \ge 0 \Leftrightarrow 2x \ge - 1 \Leftrightarrow x \ge - \frac{1}{2}$

Khi đó, bất phương trình $\left( * \right) \Leftrightarrow 2x + 1 \le 25$

$\Leftrightarrow 2x \le 24 \Leftrightarrow x \le 12$

Kết hợp với điều kiện, ta có: $- \frac{1}{2} \le x \le 12$

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 45 :

Cho biểu thức $M = \frac{{x\sqrt y + y\sqrt x }}{{\sqrt {xy} }}:\frac{1}{{\sqrt x - \sqrt y }} - x$ .

Câu 1:

Tìm $x,\,\,y$ để biểu thức $M$ có nghĩa.

$x > 0;y > 0$
$x > 1;y > 1$
$x > 0;y > 0;\,x \ne y$
$x > 1;y > 1;\,x \ne y$

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Điều kiện để biểu thức có nghĩa: $\sqrt A$ có nghĩa $\Leftrightarrow A \ge 0$ và $\frac{A}{B}$ có nghĩa $\Leftrightarrow B \ne 0$ .

Lời giải chi tiết:

Điều kiện để biểu thức M có nghĩa là: $\left\{ \begin{array}{l}y \ge 0\\x \ge 0\\xy > 0\\\sqrt x - \sqrt y \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\y > 0\\\sqrt x \ne \sqrt y \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\y > 0\\x \ne y\end{array} \right..$

Vậy $x > 0;y > 0;\,x \ne y$ .

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu 2:

Tìm tất cả các giá trị của $x,\,\,y$ để $M = - 1$ .

$x > 1$ và $y = 1$
$x = 1$ và $y = 1$
$x > 0;\,x \ne 1$ và $y > 0$
$x > 0;\,x \ne 1$ và $y = 1$

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Rút gọn biểu thức.

Lời giải chi tiết:

Đkxđ: $x > 0;y > 0;\,x \ne y$

Ta có: $M = \frac{{x\sqrt y + y\sqrt x }}{{\sqrt {xy} }}:\frac{1}{{\sqrt x - \sqrt y }} - x$

$\begin{array}{l}M = \frac{{\sqrt {xy} \left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}}{{\sqrt {xy} }}.\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right) - x\\M = \left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right) - x\\M = {\left( {\sqrt x } \right)^2} - {\left( {\sqrt y } \right)^2} - x\\M = x - y - x\\M = - y\end{array}$

Để $M = - 1$ $\Rightarrow - y = - 1\,\, \Rightarrow y = 1\,\,\,\left( {tm} \right)$

Vậy với mọi $x > 0;\,x \ne 1$ và $y = 1$ thì $M = - 1$ .

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 46 :

Cho các biểu thức: $A = \frac{6}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)}}$ và $B = \frac{{2\sqrt x }}{{x - 9}} - \frac{2}{{\sqrt x + 3}}$ với $x > 0;x \ne 9$

Câu 1:

Tính giá trị của $A$ khi $x = 4.$

$A = - 1.$
$A = 3.$
$A = - 2.$
$A = - 3.$

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Thay giá trị của $x = 4$ (tmđk) vào biểu thức $A$ để tính.

Lời giải chi tiết:

Với $x = 4$ thỏa mãn điều kiện $x > 0\,\,;\,\,x \ne 9$

Thay $x = 4$ vào biểu thức $A = \frac{6}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)}}$ ta được:

$A = \frac{6}{{\sqrt 4 .\left( {\sqrt 4 - 3} \right)}} = \frac{6}{{2.\left( {2 - 3} \right)}} = \frac{6}{{ - 2}} = - 3$

Vậy khi $x = 4$ thì $A = - 3.$

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu 2:

Rút gọn biểu thức $M = A:B.$

$M = \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x }}.$
$M = \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x }}.$
$M = \frac{{\sqrt x + 3}}{x}.$
$M = \frac{{\sqrt x - 3}}{x}.$

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Quy đồng, rút gọn phân thức.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: $x > 0\,\,;\,\,x \ne 9$

$\begin{array}{l}M = A:B = \frac{6}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)}}:\left( {\frac{{2\sqrt x }}{{x - 9}} - \frac{2}{{\sqrt x + 3}}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\, = \frac{6}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)}}:\frac{{2\sqrt x - 2\left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\\\,\,\,\,\,\,\, = \frac{6}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)}}:\frac{6}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\\\,\,\,\,\,\,\, = \frac{6}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)}}.\frac{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}{6}\\\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x }}\end{array}$

Vậy $M = \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x }}.$

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu 3:

Tìm các giá trị của $x$ để $3\sqrt x + 5 = 2M.$

$x = 1.$
$x = 2.$
$x = 3.$
$x = 4.$

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Biến đổi để đưa về phương trình tích $f\left( x \right).g\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) = 0\\g\left( x \right) = 0\end{array} \right.$

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: $x > 0.$

$\begin{array}{l}3\sqrt x + 5 = 2M \Leftrightarrow 3\sqrt x + 5 = 2.\frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x }}\\ \Leftrightarrow \sqrt x \left( {3\sqrt x + 5} \right) = 2\sqrt x + 6\\ \Leftrightarrow 3x + 5\sqrt x = 2\sqrt x + 6 \Leftrightarrow 3x + 3\sqrt x - 6 = 0\\ \Leftrightarrow x + \sqrt x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x - 1 = 0\\\sqrt x + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x = 1\\\sqrt x = - 2\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1\,\,\left( {tm} \right)\end{array}$

Vậy $x = 1.$

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 47 :

Cho hai biểu thức $A = \frac{{2\sqrt x - 4}}{{\sqrt x - 1}}$ và $B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} + \frac{3}{{\sqrt x + 1}} + \frac{{6\sqrt x - 4}}{{1 - x}}$ $\left( {x \ge 0;\,\,x \ne 1} \right)$ .

Câu 1:

Tính giá trị của biểu thức $A$ khi $x = 9$ .

$1$
$-1$
$2$
$0$

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Thay $x = 9$ vào $A$ và tính giá trị.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện : $x \ge 0,\,\,\,x \ne 1.$

Thay $x = 9$ (tmđk) vào biểu thức $A$ , ta có : $A = \frac{{2\sqrt 9 - 4}}{{\sqrt 9 - 1}} = \frac{{2.3 - 4}}{{3 - 1}} = \frac{2}{2} = 1$

Vậy với $x = 9$ thì $A = 1.$

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu 2:

Rút gọn $B$ .

$B = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}$
$B = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}$
$B = \frac{1}{{\sqrt x + 1}}$
$B = \frac{1}{{\sqrt x - 1}}$

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Qui đồng, khử mẫu và rút gọn.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện : $x \ge 0,\,\,\,x \ne 1.$

$\begin{array}{l}B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} + \frac{3}{{\sqrt x + 1}} + \frac{{6\sqrt x - 4}}{{1 - x}}\\\,\,\,\, = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} + \frac{3}{{\sqrt x + 1}} - \frac{{6\sqrt x - 4}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\\\,\,\, = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right) + 3\left( {\sqrt x - 1} \right) - 6\sqrt x + 4}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\\\,\,\, = \frac{{x + \sqrt x + 3\sqrt x - 3 - 6\sqrt x + 4}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\\\,\,\, = \frac{{x - 2\sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \frac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\\\,\,\, = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}.\end{array}$

Vậy $B = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}$ với $x \ge 0;\,\,x \ne 1$ .

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu 3:

Đặt $P = A.B$ . So sánh giá trị của $P$ với $2$ .

$P < 2$
$P > 2$
$P = 2$
D Không so sánh được

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Tính $P = AB$ và xét dấu của hiệu $P - 2$ .

Lời giải chi tiết:

Điều kiện : $x \ge 0,\,\,\,x \ne 1.$

Có $P = A.B = \frac{{2\sqrt x - 4}}{{\sqrt x - 1}}.\frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{2\sqrt x - 4}}{{\sqrt x + 1}}$

Xét $P - 2 = \frac{{2\sqrt x - 4}}{{\sqrt x + 1}} - 2$ $= \frac{{2\sqrt x - 4 - 2\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{ - 6}}{{\sqrt x + 1}}$

Vì $- 6 < 0;\,\,\sqrt x + 1 \ge 0$ với mọi $x \ge 0;\,\,x \ne 1$

$\Rightarrow \frac{{ - 6}}{{\sqrt x + 1}} < 0$ $\Rightarrow P - 2 < 0 \Rightarrow P < 2$ .

Vậy $P < 2$ .

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 48 :

Cho hai biểu thức $P = \frac{2}{{\sqrt 2 - \sqrt x }} - \frac{{\sqrt x + \sqrt 2 }}{{\sqrt {2x} - x}}$ và $Q = \frac{1}{{\sqrt x - \sqrt {x - 1} }} - \frac{{x - 3}}{{\sqrt {x - 1} - \sqrt 2 }};$ với $x > 1$ và $x \ne 2,\,x \ne 3.$

1) Tính giá trị của biểu thức $P$ khi $x = 16.$

2) Chứng minh rằng $Q + \sqrt 2 = \sqrt x .$

3) Tìm $x$ để $P.Q \ge 0.$

$\begin{array}{l}1)\,\,\frac{1}{4}\\3)\,\,1 < x < 3\end{array}$
$\begin{array}{l}1)\,\, - \frac{1}{2}\\3)\,\,1 < x < 5\end{array}$
$\begin{array}{l}1)\,\,\frac{1}{2}\\3)\,\,1 < x < 4\end{array}$
$\begin{array}{l}1)\,\, - \frac{1}{4}\\3)\,\,1 < x < 2\end{array}$

Đáp án: D

Phương pháp giải:

1) Rút gọn $P.$ Thay $x = 16\left( {tmdk} \right)$ vào $P$ để tính toán

2) Rút gọn $Q$ bằng cách trục căn thức ở mẫu rồi tính $Q + \sqrt 2 .$

3) Đánh giá mẫu thức rồi suy ra điều kiện của tử thức

Lời giải chi tiết:

1) Tính giá trị của biểu thức $P$ khi $x = 16.$

Điều kiện: $x > 0,\,\,x \ne 2.$

$\begin{array}{l}P = \frac{2}{{\sqrt 2 - \sqrt x }} - \frac{{\sqrt x + \sqrt 2 }}{{\sqrt {2x} - x}}\\\,\,\,\, = \frac{2}{{\sqrt 2 - \sqrt x }} - \frac{{\sqrt x + \sqrt 2 }}{{\sqrt x \left( {\sqrt 2 - \sqrt x } \right)}}\\\,\,\, = \frac{{2\sqrt x - \sqrt x - 2}}{{\sqrt x \left( {\sqrt 2 - \sqrt x } \right)}}\\\,\, = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x \left( {2 - \sqrt x } \right)}} = - \frac{1}{{\sqrt x }}.\end{array}$

Thay $x = 16\,\,\,\,\left( {tmdk} \right)$ vào $P = - \frac{1}{{\sqrt x }}$ ta được :

$P = \frac{{ - 1}}{{\sqrt {16} }} = - \frac{1}{4}.$

Vậy với $x = 16$ thì $P = - \frac{1}{4}.$

2) Chứng minh rằng $Q + \sqrt 2 = \sqrt x .$

Điều kiện: $x > 1,\,\,x \ne 2,\,\,\,x \ne 3.$

$\begin{array}{l}Q = \frac{1}{{\sqrt x - \sqrt {x - 1} }} - \frac{{x - 3}}{{\sqrt {x - 1} - \sqrt 2 }}\\\,\,\,\, = \frac{{\left( {\sqrt x + \sqrt {x - 1} } \right)}}{{\left( {\sqrt x - \sqrt {x - 1} } \right)\left( {\sqrt x + \sqrt {x - 1} } \right)}} - \frac{{\left( {x - 3} \right)\left( {\sqrt {x - 1} + \sqrt 2 } \right)}}{{\left( {\sqrt {x - 1} - \sqrt 2 } \right)\left( {\sqrt {x - 1} + \sqrt 2 } \right)}}\\\,\,\, = \frac{{\sqrt x + \sqrt {x - 1} }}{{x - \left( {x - 1} \right)}} - \frac{{\left( {x - 3} \right)\left( {\sqrt {x - 1} + \sqrt 2 } \right)}}{{\left( {x - 1} \right) - 2}}\\\,\,\, = \sqrt x + \sqrt {x - 1} - \left( {\sqrt {x - 1} + \sqrt 2 } \right)\\\,\,\, = \sqrt x - \sqrt 2 .\end{array}$

Từ đó $Q + \sqrt 2 = \sqrt x - \sqrt 2 + \sqrt 2 = \sqrt x$

Vậy $Q + \sqrt 2 = \sqrt x .$

3) Tìm $x$ để $P.Q \ge 0.$

Ta có: $P = - \frac{1}{{\sqrt x }};Q = \sqrt x - \sqrt 2$ với $x > 1;x \ne 2;x \ne 3$

Nên $M = P.Q = \frac{{\left( {\sqrt x - \sqrt 2 } \right) \cdot \left( { - 1} \right)}}{{\sqrt x }} = \frac{{\sqrt 2 - \sqrt x }}{{\sqrt x }}$

Để $M \ge 0 \Leftrightarrow \frac{{\sqrt 2 - \sqrt x }}{{\sqrt x }} \ge 0$

Với $x > 1$ và $x \ne 2,\,x \ne 3$ thì $\sqrt x > 0$

Nên $M \ge 0 \Leftrightarrow \frac{{\sqrt 2 - \sqrt x }}{{\sqrt x }} \ge 0 \Leftrightarrow \sqrt 2 - \sqrt x \ge 0$

$\Leftrightarrow \sqrt x \le \sqrt 2 \Leftrightarrow 0 \le x \le 2$

Kết hợp điều kiện $x > 1$ và $x \ne 2,\,x \ne 3$ ta có $1 < x < 2$

Vậy $1 < x < 2$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 49 :

Chọn đáp án đúng nhất:

Câu 1:

Tính giá trị của biểu thức $A = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}$ khi $x = 25.$

$A = \frac{2}{3}$
$A = \frac{5}{6}$
$A = \frac{5}{4}$
$A = \frac{1}{2}$

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Tìm điều kiện xác định, thay giá trị của $x = 25\,\,\left( {tm} \right)$ vào biểu thức và tính giá trị của biểu thức.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện xác đinh: $x \ge 0.$

Thay $x = 25\,\,\,\left( {tm} \right)$ vào biểu thức ta có: $A = \frac{{\sqrt {25} }}{{\sqrt {25} + 1}} = \frac{5}{6}.$

Vậy $x = 25$ thì $A = \frac{5}{6}.$

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu 2:

Rút gọn biểu thức $B = \frac{{5\sqrt x - 9}}{{x - 5\sqrt x + 6}} + \frac{{\sqrt x + 2}}{{3 - \sqrt x }} + \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x - 2}}$ với $x \ge 0;x \ne 4;x \ne 9.$

$B = \frac{1}{{\sqrt x - 2}}$
$B = \frac{1}{{\sqrt x - 3}}$
$B = \frac{1}{{\sqrt x + 3}}$
$B = \frac{1}{{\sqrt x + 2}}$

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Quy đồng mẫu các phân thức, biến đổi và rút gọn biểu thức đã cho.

Lời giải chi tiết:

Với $x \ge 0;x \ne 4;x \ne 9,$ ta có:

$\begin{array}{l}B = \frac{{5\sqrt x - 9}}{{x - 5\sqrt x + 6}} + \frac{{\sqrt x + 2}}{{3 - \sqrt x }} + \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x - 2}}\\B = \frac{{5\sqrt x - 9}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} - \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 3}} + \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x - 2}}\\B = \frac{{5\sqrt x - 9 - \left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right) + \left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\\B = \frac{{5\sqrt x - 9 - x + 4 + x - 4\sqrt x + 3}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\\B = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\\B = \frac{1}{{\sqrt x - 3}}.\end{array}$

Vậy $B = \frac{1}{{\sqrt x - 3}}$ với $x \ge 0;x \ne 4;x \ne 9.$

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu 3:

Tìm giá trị của $x$ thỏa mãn $\left( {x - 9} \right).B < 2x.$

$x < \frac{9}{4}$
$x > \frac{4}{9}$
$x > \frac{9}{4},\,\,x \ne 4,\,\,x \ne 9$
$x > \frac{4}{9},\,\,x \ne 4,\,\,x \ne 9$

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Thay biểu thức $B$ vừa rút gọn ở câu trên vào bất phương trình, giải bất phương trình tìm $x.$

Đối chiếu với điều kiện rồi kết luận.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: $x \ge 0;x \ne 4;x \ne 9.$

$\begin{array}{l}\left( {x - 9} \right).B < 2x \Leftrightarrow \left( {x - 9} \right).\frac{1}{{\sqrt x - 3}} < 2x\\ \Leftrightarrow \sqrt x + 3 < 2x \Leftrightarrow 2x - \sqrt x - 3 > 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {2\sqrt x - 3} \right) > 0\\ \Leftrightarrow 2\sqrt x - 3 > 0\,\,\,\left( {do\,\,\,\sqrt x + 1 > 0} \right)\\ \Leftrightarrow \sqrt x > \frac{3}{2} \Leftrightarrow x > \frac{9}{4}.\end{array}$

Kết hợp điều kiện, ta được $x > \frac{9}{4};x \ne 4;x \ne 9$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Vậy $x > \frac{9}{4},\,\,x \ne 4,\,\,x \ne 9$ thỏa mãn điều kiện bài toán.

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 50 :

Cho biểu thức $A = \frac{{ - 4x - 9\sqrt x + 3}}{{x + 3\sqrt x + 2}} + \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}} - \frac{{2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}}\left( {x \ge 0} \right)$ .

Câu 1:

Rút gọn biểu thức $A$ .

$A = \frac{1 - 5\sqrt {x}}{\sqrt {x} + 2}$
$A = \frac{1 - 3\sqrt {x}}{\sqrt {x} + 1}$
$A = \frac{1 - 3\sqrt {x}}{\sqrt {x} + 2}$
$A = \frac{1 - 5\sqrt {x}}{\sqrt {x} + 1}$

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Quy đồng mẫu các phân thức, biến đổi và rút gọn biểu thức đã cho.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: $x \ge 0.$

$\begin{array}{l}A = \frac{{ - 4x - 9\sqrt x + 3}}{{x + 3\sqrt x + 2}} + \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}} - \frac{{2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}}\\\,\,\,\,\, = \frac{{ - 4x - 9\sqrt x + 3}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} + \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}} - \frac{{2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}}\\\,\,\,\,\, = \frac{{ - 4x - 9\sqrt x + 3 + \left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right) - \left( {2\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\\\,\,\,\,\, = \frac{{ - 4x - 9\sqrt x + 3 + x + \sqrt x - 2 - 2x - \sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\\\,\,\,\,\, = \frac{{ - 5x - 9\sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} = \frac{{ - 5x - 10\sqrt x + \sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\\\,\,\,\,\, = \frac{{ - 5\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right) + \left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} = \frac{{\left( {1 - 5\sqrt x } \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} = \frac{{1 - 5\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}\end{array}$

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu 2:

Tìm giá trị lớn nhất của $A$ .

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Dựa vào điều kiện xác định của $x$ để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: $x \ge 0.$

Ta có: $A = \frac{{1 - 5\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} = - 5 + \frac{6}{{\sqrt x + 1}}.$

Với mọi $x \ge 0$ ta có: $\sqrt x + 1 \ge 1$ nên $\frac{6}{{\sqrt x + 1}} \le 6$

Do đó $A = - 5 + \frac{6}{{\sqrt x + 1}} \le 1.$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow x = 0.$

Vậy giá trị lớn nhất của $A$ là 1 khi $x = 0.$

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Xem thêm

20 bài tập cơ bản ôn tập chương 1: Căn bậc hai. Căn bậc ba

20 bài tập cơ bản ôn tập chương 1: Căn bậc hai. Căn bậc ba có đáp án và lời giải chi tiết

Xem chi tiết

30 bài tập vận dụng cao Chương 1: Căn bậc hai. Căn bậc ba

30 bài tập vận dụng cao Chương 1: Căn bậc hai. Căn bậc ba có đáp án và lời giải chi tiết

Xem chi tiết

>> Học trực tuyến Lớp 9 & Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com

>> Chi tiết khoá học xem: TẠI ĐÂY

Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.

Các bài khác cùng chuyên mục

Bài giải mới nhất

50 bài tập vận dụng ôn tập chương 1: Căn bậc hai. Căn bậc ba

Báo lỗi góp ý