Phương pháp giải:

+) Tìm điều kiện xác định của biểu thức.

+) Quy đồng mẫu các phân thức, biến đổi và rút gọn biểu thức.

+) Giải phương trình \(P =  - 1,\) tìm \(x,\) đối chiếu với điều kiện rồi kết luận.

+) Giải bất phương trình đã cho với điều kiện \(x > 9\) rồi tìm \(m.\)

Lời giải chi tiết:

a) Rút gọn \(P.\)

Điều kiện: \(x > 0,x \ne 4,x \ne 9\)

\(\begin{array}{l}P = \left( {\frac{{4\sqrt x }}{{2 + \sqrt x }} + \frac{{8x}}{{4 - x}}} \right):\left( {\frac{{\sqrt x  - 1}}{{x - 2\sqrt x }} - \frac{2}{{\sqrt x }}} \right)\\ = \left( {\frac{{4\sqrt x }}{{2 + \sqrt x }} + \frac{{8x}}{{\left( {2 - \sqrt x } \right)\left( {2 + \sqrt x } \right)}}} \right):\left( {\frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 2} \right)}} - \frac{2}{{\sqrt x }}} \right)\\ = \frac{{4\sqrt x \left( {2 - \sqrt x } \right) + 8x}}{{\left( {2 - \sqrt x } \right)\left( {2 + \sqrt x } \right)}}:\frac{{\sqrt x  - 1 - 2\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 2} \right)}}\\ = \frac{{8\sqrt x  + 4x}}{{\left( {2 - \sqrt x } \right)\left( {2 + \sqrt x } \right)}}.\frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{3 - \sqrt x }}\\ = \frac{{4\sqrt x \left( {2 + \sqrt x } \right)}}{{\left( {2 - \sqrt x } \right)\left( {2 + \sqrt x } \right)}}.\frac{{\sqrt x \left( {2 - \sqrt x } \right)}}{{\sqrt x  - 3}}\\ = \frac{{4x}}{{\sqrt x  - 3}}\end{array}\)

b) Tìm \(x\)  để  \(P =  - 1.\)

Điều kiện: \(x > 0,x \ne 4,x \ne 9\) .

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,P =  - 1 \Leftrightarrow \frac{{4x}}{{\sqrt x  - 3}} =  - 1 \Leftrightarrow 4x + \sqrt x  - 3 = 0\\ \Leftrightarrow 4x + 4\sqrt x  - 3\sqrt x  - 3 = 0 \Leftrightarrow 4\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right) - 3\left( {\sqrt x  + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {4\sqrt x  - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x  =  - 1\,\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\\\sqrt x  = \frac{3}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{9}{{16}}\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

c) Tìm \(m\)  để với mọi giá trị \(x > 9\) ta có: \(m\left( {\sqrt x  - 3} \right)P > x + 1.\)  

Điều kiện: \(x > 0,x \ne 4,x \ne 9\) .

\(\begin{array}{l}\forall x > 9:m\left( {\sqrt x  - 3} \right)P > x + 1 \Leftrightarrow m\left( {\sqrt x  - 3} \right).\frac{{4x}}{{\sqrt x  - 3}} > x + 1\\ \Leftrightarrow m.4x > x + 1 \Leftrightarrow m > \frac{{x + 1}}{{4x}}\end{array}\)

Ta có: với mọi giá trị \(x > 9 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 1 > 9 + 1 = 10\\4x > 36\end{array} \right..\)  

Vậy \(m > \frac{{10}}{{36}} = \frac{5}{{18}}.\)

Phương pháp giải:

Quy đồng mẫu các phân thức, biến đổi và rút gọn biểu thức \(A.\) Chứng minh \(A = const.\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}A = \frac{{2x}}{{x + 3\sqrt x  + 2}} + \frac{{5\sqrt x  + 1}}{{x + 4\sqrt x  + 3}} + \frac{{\sqrt x  + 10}}{{x + 5\sqrt x  + 6}}\\ = \frac{{2x}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}} + \frac{{5\sqrt x  + 1}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}} + \frac{{\sqrt x  + 10}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}\end{array}\)

\(\begin{array}{l} = \frac{{2x\left( {\sqrt x  + 3} \right) + \left( {5\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right) + \left( {\sqrt x  + 10} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}\\ = \frac{{2x\sqrt x  + 6x + 5x + 11\sqrt x  + 2 + x + 11\sqrt x  + 10}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}} = \frac{{2x\sqrt x  + 12x + 22\sqrt x  + 12}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}\\ = \frac{{2x\sqrt x  + 2x + 10x + 10\sqrt x  + 12\sqrt x  + 12}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}\\ = \frac{{2x\left( {\sqrt x  + 1} \right) + 10\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right) + 12\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}\\ = \frac{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {2x + 10\sqrt x  + 12} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}} = \frac{{2\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}} = 2.\end{array}\)

Vậy giá trị của \(A\)  không phụ thuộc vào biến \(x.\)

Phương pháp giải:

+) Tìm điều kiện của \(a,\,\,b\) để biểu thức \(M\) xác định.

+) Quy đồng mẫu và biến đổi các biểu thức, từ đó rút gọn biểu thức đã cho.

Lời giải chi tiết:

a) Rút gọn \(M.\)

\(\begin{array}{l}M = \left( {\frac{{\sqrt a  + 1}}{{\sqrt {ab}  + 1}} + \frac{{\sqrt {ab}  + \sqrt a }}{{\sqrt {ab}  - 1}} - 1} \right):\left( {\frac{{\sqrt a  + 1}}{{\sqrt {ab}  + 1}} - \frac{{\sqrt {ab}  + \sqrt a }}{{\sqrt {ab}  - 1}} + 1} \right)\\ = \left( {\frac{{\left( {\sqrt a  + 1} \right)\left( {\sqrt {ab}  - 1} \right) + \left( {\sqrt {ab}  + \sqrt a } \right)\left( {\sqrt {ab}  + 1} \right) - \left( {\sqrt {ab}  + 1} \right)\left( {\sqrt {ab}  - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt {ab}  + 1} \right)\left( {\sqrt {ab}  - 1} \right)}}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,:\left( {\frac{{\left( {\sqrt a  + 1} \right)\left( {\sqrt {ab}  - 1} \right) - \left( {\sqrt {ab}  + \sqrt a } \right)\left( {\sqrt {ab}  + 1} \right) + \left( {\sqrt {ab}  + 1} \right)\left( {\sqrt {ab}  - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt {ab}  + 1} \right)\left( {\sqrt {ab}  - 1} \right)}}} \right)\\ = \frac{{a\sqrt b  - \sqrt a  + \sqrt {ab}  - 1 + ab + \sqrt {ab}  + a\sqrt b  + \sqrt a  - ab + 1}}{{\left( {\sqrt {ab}  + 1} \right)\left( {\sqrt {ab}  - 1} \right)}}.\frac{{\left( {\sqrt {ab}  + 1} \right)\left( {\sqrt {ab}  - 1} \right)}}{{a\sqrt b  - \sqrt a  + \sqrt {ab}  - 1 - ab - \sqrt {ab}  - a\sqrt b  - \sqrt a  + ab - 1}}\\ = \frac{{2a\sqrt b  + 2\sqrt {ab} }}{{ - 2\sqrt a  - 2}} = \frac{{ - \sqrt {ab} \left( {\sqrt a  + 1} \right)}}{{\sqrt a  + 1}} =  - \sqrt {ab} .\end{array}\)

b. Tìm giá trị của \(M\) nếu \(a = 2 - \sqrt 3 ;\,\,\,\,b = \frac{{\sqrt 3  - 1}}{{1 + \sqrt 3 }}.\)

\(a = 2 - \sqrt 3 ;\,\,\,\,b = \frac{{\sqrt 3  - 1}}{{1 + \sqrt 3 }} = \frac{{{{\left( {\sqrt 3  - 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt 3  + 1} \right)\left( {\sqrt 3  - 1} \right)}} = 2 - \sqrt 3 \)

Khi đó ta có:  \(M =  - \sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}^2}}  =  - \left| {2 - \sqrt 3 } \right| =  - 2 + \sqrt 3 .\)

Phương pháp giải:

a) Thay giá trị \(x = 25\,\,\left( {tm} \right)\) vào biểu thức và tính giá trị của biểu thức \(A.\)

b) Quy đồng mẫu và biến đổi để rút gọn biểu thức.

c) Dựa vào điều kiện của \(x\) để đánh giá tập giá trị của biểu thức \(P,\) từ đó suy ra các giá trị nguyên của \(P\) và từ đó tìm \(x.\) Đối chiếu với điều kiện rồi kết luận.

Lời giải chi tiết:

a) Tính giá trị của \(A\) khi \(x = 25.\)

Điều kiện \(x \ge 0.\)

Với \(x = 25\,\,\left( {tm} \right)\)  ta có: \(A = \frac{7}{{\sqrt {25}  + 8}} = \frac{7}{{5 + 8}} = \frac{7}{{13}}.\)

b) Rút gọn biểu thức \(B.\)

Rút gọn B: với \(x \ge 0;\,\,x \ne 9.\)

\(\begin{array}{l}B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}} + \frac{{2\sqrt x  - 24}}{{x - 9}} = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 3} \right) + 2\sqrt x  - 24}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}\\\,\,\,\, = \frac{{x + 3\sqrt x  + 2\sqrt x  - 24}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}} = \frac{{x + 5\sqrt x  - 24}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}} = \frac{{x - 3\sqrt x  + 8\sqrt x  - 24}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}\\\,\,\,\, = \frac{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 8} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}} = \frac{{\sqrt x  + 8}}{{\sqrt x  + 3}}.\end{array}\)

c) Tìm \(x\) để \(P = A.B\) có giá trị nguyên.

Ta có: \(P = A.B = \frac{7}{{\sqrt x  + 8}}.\frac{{\sqrt x  + 8}}{{\sqrt x  + 3}} = \frac{7}{{\sqrt x  + 3}}.\)

Vì \(x \ge 0 \Rightarrow P > 0.\)

Có \(x \ge 0 \Rightarrow \sqrt x  + 3 \ge 3 \Rightarrow \frac{1}{{\sqrt x  + 3}} \le \frac{1}{3} \Leftrightarrow \frac{7}{{\sqrt x  + 3}} \le \frac{7}{3}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 0 < P \le \frac{7}{3} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}P = 1\\P = 2\end{array} \right.\,\,\,\left( {do\,\,\,P \in Z} \right).\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{7}{{\sqrt x  + 3}} = 1\\\frac{7}{{\sqrt x  + 3}} = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x  + 3 = 7\\\sqrt x  + 3 = \frac{7}{2}\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x  = 4\\\sqrt x  = \frac{1}{2}\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 16\,\,\left( {tm} \right)\\x = \frac{1}{4}\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

ĐK:\(x \ge 0;\,\,x \ne 9.\)

Vậy \(x = 16\)  hoặc \(x = \frac{1}{4}\)  thì \(P = A.B\)  nguyên.

Chú ý khi giải: Chú ý, với bài toán này, đề bài yêu cầu tìm \(x \in \mathbb{R}\) để \(P \in \mathbb{Z}\) nên mình cần đánh giá tập giá trị của biểu thức của \(P,\) từ đó suy ra các giá trị nguyên của \(P\) rồi tìm \(x.\)

Các bạn học sinh thường hay nhầm lẫn với dạng toán \(x \in \mathbb{Z}\)  để \(P \in \mathbb{Z}.\)

Phương pháp giải:

a) Tìm điều kiện xác định để biểu thức xác định.

Quy đồng mẫu, biến đổi và rút gọn giá trị của biểu thức.

b) Biến đổi biểu thức \(P\)  về dạng \(a + \frac{b}{{MS}}\) với \(a,\,\,b \in \mathbb{Z}.\)

Từ đó, biểu thức \(P \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow b\,\, \vdots \,\,\,MS \Leftrightarrow MS \in U\left( b \right) \Rightarrow x = ...\)

Đối chiếu với điều kiện của \(x\) rồi kết luận.

c) Giải bất phương trình \(P < 1,\) tìm \(x,\) đối chiếu với điều kiện rồi kết luận.

Lời giải chi tiết:

a) Rút gọn biểu thức \(P.\)

ĐKXĐ: \(x \ge 0,\,\,\,x \ne 1.\)

\(\begin{array}{l}P = \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 1}} + \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}} - \frac{{3\sqrt x  + 1}}{{x - 1}}\\\,\,\, = \frac{{{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2} + {{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2} - 3\sqrt x  - 1}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\\\,\,\, = \frac{{x + 2\sqrt x  + 1 + x - 2\sqrt x  + 1 - 3\sqrt x  - 1}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\\\,\,\, = \frac{{2x - 3\sqrt x  + 1}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}} = \frac{{2x - 2\sqrt x  - \sqrt x  + 1}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\\\,\,\, = \frac{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {2\sqrt x  - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}} = \frac{{2\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}}.\end{array}\)

b) Tìm các giá trị nguyên của \(x\) để \(P\) là số nguyên.

ĐKXĐ: \(x \ge 0,\,\,\,x \ne 1.\)

Ta có: \(P = \frac{{2\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}} = \frac{{2\sqrt x  + 2 - 3}}{{\sqrt x  + 1}} = 2 - \frac{3}{{\sqrt x  + 1}}.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow P \in Z \Leftrightarrow \left( {2 - \frac{3}{{\sqrt x  + 1}}} \right) \in Z \Leftrightarrow \frac{3}{{\sqrt x  + 1}} \in Z\\ \Leftrightarrow \left( {\sqrt x  + 1} \right) \in U\left( 3 \right) \Leftrightarrow \left( {\sqrt x  + 1} \right) \in \left\{ {1;\,\,3} \right\}\,\,\left( {do\,\,\sqrt x  + 1 \ge 1\,\,\forall x \ge 0;\,\,x \ne 1} \right).\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x  + 1 = 1\\\sqrt x  + 1 = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x  = 0\\\sqrt x  = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = 4\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(x = 0\)   hoặc \(x = 4\)  thì \(P\)  nguyên.

c) Tìm \(x\) để \(P < 1.\)

ĐKXĐ: \(x \ge 0,\,\,\,x \ne 1.\)

\(\begin{array}{l}P < 1 \Leftrightarrow \frac{{2\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}} < 1 \Leftrightarrow \frac{{2\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}} - 1 < 0\\ \Leftrightarrow \frac{{2\sqrt x  - 1 - \sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}} < 0\\ \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  + 1}} < 0\\ \Leftrightarrow \sqrt x  - 2 < 0\,\,\,\left( {do\,\,\sqrt x  + 1 > 0\,\,\forall x \ge 0;\,x \ne 1} \right)\\ \Leftrightarrow \sqrt x  < 2\\ \Leftrightarrow x < 4.\end{array}\)

Kết hợp với điều kiện ta được \(0 \le x < 4;\,\,x \ne 1\) thì \(P < 1.\)

Phương pháp giải:

a) Tìm điều kiện để biểu thức xác định.

Quy đồng mẫu, biến đổi và rút gọn biểu thức.

b) Biến đổi biểu thức \(Q = P - \sqrt x \)  về dạng \(a + \frac{b}{{MS}}\) với \(a,\,\,b \in \mathbb{Z}.\)

Từ đó, biểu thức \(Q \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow b\,\, \vdots \,\,\,MS \Leftrightarrow MS \in U\left( b \right) \Rightarrow x = ...\)

Đối chiếu với điều kiện của \(x\) rồi kết luận.

Lời giải chi tiết:

a) Tìm điều kiện của \(x\) để \(P\) có nghĩa và rút gọn \(P.\)

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\\sqrt x  - 1 \ne 0\\x\sqrt x  + \sqrt x  - x - 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 1\\\left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right) \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 1\end{array} \right..\)

\(\begin{array}{l}P = \left( {1 + \frac{{\sqrt x }}{{x + 1}}} \right):\left( {\frac{1}{{\sqrt x  - 1}} - \frac{{2\sqrt x }}{{x\sqrt x  + \sqrt x  - x - 1}}} \right) - 1\\ = \frac{{x + 1 + \sqrt x }}{{x + 1}}:\left( {\frac{1}{{\sqrt x  - 1}} - \frac{{2\sqrt x }}{{\left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}} \right) - 1\\ = \frac{{x + \sqrt x  + 1}}{{x + 1}}:\frac{{x + 1 - 2\sqrt x }}{{\left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}} - 1\\ = \frac{{x + \sqrt x  + 1}}{{x + 1}}.\frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{{{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2}}} - 1\\ = \frac{{x + \sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 1}} - 1 = \frac{{x + \sqrt x  + 1 - \sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 1}}\\ = \frac{{x + 2}}{{\sqrt x  - 1}}.\end{array}\)

b) Tìm các giá trị \(x \in \mathbb{Z}\) để biểu thức \(Q = P - \sqrt x \) nhận giá trị nguyên.

Điều kiện \(x \ge 0,x \ne 1\)

 Ta có: \(Q = P - \sqrt x  = \frac{{x + 2}}{{\sqrt x  - 1}} - \sqrt x  = \frac{{x + 2 - \sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{{\sqrt x  - 1}} = \frac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  - 1}} = \frac{{\sqrt x  - 1 + 3}}{{\sqrt x  - 1}} = 1 + \frac{3}{{\sqrt x  - 1}}.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow Q \in Z \Leftrightarrow \left( {1 + \frac{3}{{\sqrt x  - 1}}} \right) \in Z \Leftrightarrow \frac{3}{{\sqrt x  - 1}} \in Z\\ \Leftrightarrow \left( {\sqrt x  - 1} \right) \in U\left( 3 \right) \Leftrightarrow \left( {\sqrt x  - 1} \right) \in \left\{ { \pm 1;\, \pm 3} \right\}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x  - 1 =  - 3\\\sqrt x  - 1 =  - 1\\\sqrt x  - 1 = 1\\\sqrt x  - 1 = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x  =  - 2\,\left( {ktm} \right)\\\sqrt x  = 0\\\sqrt x  = 2\\\sqrt x  = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = 4\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = 16\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy với \(x = 0,\,\,x = 4\)  hoặc \(x = 16\) thì \(Q = P - \sqrt x \) nguyên.

Phương pháp giải:

a) Tìm điều kiện của \(x\) để \(P\) xác định.

Quy đồng mẫu, biến đổi và rút gọn biểu thức đã cho.

b) Biến đổi biểu thức \(P\)  về dạng \(a + \frac{b}{{MS}}\) với \(a,\,\,b \in \mathbb{Z}.\)

Từ đó, biểu thức \(P \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow b\,\, \vdots \,\,\,MS \Leftrightarrow MS \in U\left( b \right) \Rightarrow x = ...\)

Đối chiếu với điều kiện của \(x\) rồi kết luận.

Lời giải chi tiết:

a) Rút gọn biểu thức \(P.\)

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\1 - x \ne 0\\2\sqrt x  - 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 1\\\sqrt x  \ne \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 1\\x \ne \frac{1}{4}\end{array} \right..\)

\(\begin{array}{l}P = 1 - \left( {\frac{{2x - 1 + \sqrt x }}{{1 - x}} + \frac{{2x\sqrt x  + x - \sqrt x }}{{1 + x\sqrt x }}} \right)\left[ {\frac{{\left( {x - \sqrt x } \right)\left( {1 - \sqrt x } \right)}}{{2\sqrt x  - 1}}} \right]\\ = 1 - \left[ {\frac{{\left( {2\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\left( {1 - \sqrt x } \right)\left( {1 + \sqrt x } \right)}} + \frac{{\sqrt x \left( {2\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {x - \sqrt x  + 1} \right)}}} \right].\frac{{\left( {x - \sqrt x } \right)\left( {1 - \sqrt x } \right)}}{{2\sqrt x  - 1}}\\ = 1 - \left( {\frac{{2\sqrt x  - 1}}{{1 - \sqrt x }} + \frac{{\sqrt x \left( {2\sqrt x  - 1} \right)}}{{x - \sqrt x  + 1}}} \right).\frac{{\left( {x - \sqrt x } \right)\left( {1 - \sqrt x } \right)}}{{2\sqrt x  - 1}}\\ = 1 - \left( {2\sqrt x  - 1} \right)\left( {\frac{1}{{1 - \sqrt x }} + \frac{{\sqrt x }}{{x - \sqrt x  + 1}}} \right).\frac{{\left( {x - \sqrt x } \right)\left( {1 - \sqrt x } \right)}}{{2\sqrt x  - 1}}\\ = 1 - \frac{{x - \sqrt x  + 1 + \sqrt x \left( {1 - \sqrt x } \right)}}{{\left( {1 - \sqrt x } \right)\left( {x - \sqrt x  + 1} \right)}}.\left( {x - \sqrt x } \right)\left( {1 - \sqrt x } \right)\\ = 1 - \frac{{x - \sqrt x  + 1 + \sqrt x  - x}}{{x - \sqrt x  + 1}}.\left( {x - \sqrt x } \right)\\ = 1 - \frac{{x - \sqrt x }}{{x - \sqrt x  + 1}} = \frac{{x - \sqrt x  + 1 - x + \sqrt x }}{{x - \sqrt x  + 1}}\\ = \frac{1}{{x - \sqrt x  + 1}}.\end{array}\)

b) Tìm các giá trị \(x\)  nguyên để \(P\)  nguyên.

ĐKXĐ: \(x \ge 0,\,\,x \ne 1,\,\,x \ne \frac{1}{4}.\)

\(\begin{array}{l}P \in Z \Leftrightarrow \frac{1}{{x - \sqrt x  + 1}} \in Z \Leftrightarrow \left( {x - \sqrt x  + 1} \right) \in U\left( 1 \right)\\ \Leftrightarrow x - \sqrt x  + 1 = 1\,\,\,\,\left( {do\,\,x - \sqrt x  + 1 = {{\left( {\sqrt x  - \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{3}{4} > 0\,\,\forall x \ge 0} \right)\\ \Leftrightarrow x - \sqrt x  = 0 \Leftrightarrow \sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x  = 0\\\sqrt x  = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = 1\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy với \(x = 0\)  thì \(P\)  nguyên.

Phương pháp giải:

a) Tìm điều kiện của \(x\) để \(P\) xác định.

Quy đồng mẫu, biến đổi và rút gọn biểu thức đã cho.

b) Biến đổi \(x = 4 - 2\sqrt 3 \,\,\left( {tm} \right)\) rồi thay vào biểu thức, tính giá trị của biểu thức \(P.\)

c) Để \(\frac{1}{P}\) là số tự nhiên thì \(P = 1.\) Giải phương trình, tìm \(x\) rồi kết luận nghiệm.

Lời giải chi tiết:

a) Tìm điều kiện xác định của \(P\)  và rút gọn \(P.\)

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x + \sqrt x  - 2 \ne 0\\x - 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right) \ne 0\\x \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 1\end{array} \right..\)

\(\begin{array}{l}P = \left( {\frac{{3x + \sqrt {9x}  - 3}}{{x + \sqrt x  - 2}} + \frac{1}{{\sqrt x  - 1}} + \frac{1}{{\sqrt x  + 2}} - 2} \right):\frac{1}{{x - 1}}\\ = \left( {\frac{{3x + 3\sqrt x  - 3}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}} + \frac{1}{{\sqrt x  - 1}} + \frac{1}{{\sqrt x  + 2}} - 2} \right).\left( {x - 1} \right)\\ = \frac{{3x + 3\sqrt x  - 3 + \sqrt x  + 2 + \sqrt x  - 1 - 2\left( {x + \sqrt x  - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}.\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)\\ = \frac{{3x + 5\sqrt x  - 2 - 2x - 2\sqrt x  + 4}}{{\sqrt x  + 2}}.\left( {\sqrt x  + 1} \right)\\ = \frac{{x + 3\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  + 2}}.\left( {\sqrt x  + 1} \right)\\ = \frac{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}{{\sqrt x  + 2}}.\left( {\sqrt x  + 1} \right)\\ = {\left( {\sqrt x  + 1} \right)^2}.\end{array}\)

b) Tính giá trị của \(P\)  khi \(x = 4 - 2\sqrt 3 .\)

Điều kiện: \(x \ge 0,\,\,x \ne 1.\)

Ta có: \(x = 4 - 2\sqrt 3  = {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} - 2.\sqrt 3 .1 + 1 = {\left( {\sqrt 3  - 1} \right)^2}.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt x  = \sqrt {{{\left( {\sqrt 3  - 1} \right)}^2}}  = \left| {\sqrt 3  - 1} \right| = \sqrt 3  - 1.\\ \Rightarrow P = {\left( {\sqrt 3  - 1 + 1} \right)^2} = {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} = 3.\end{array}\)

Vậy với \(x = 4 - 2\sqrt 3 \) thì \(P = 3.\)

c) Tìm các số tự nhiên \(x\)  để \(\frac{1}{P}\) là một số tự nhiên.

Điều kiện: \(x \ge 0,\,\,x \ne 1.\)

Ta có: \(\frac{1}{P} = \frac{1}{{{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}}}.\)

Ta thấy với \(\forall x \ge 0\,\, \Rightarrow 0 < \frac{1}{P} \le 1 \Rightarrow \frac{1}{P} = 1\,\,\,\,\left( {do\,\,\frac{1}{P} \in \mathbb{N}} \right).\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\left( {\sqrt x  + 1} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow \sqrt x  + 1 = 1\\ \Leftrightarrow \sqrt x  = 0 \Leftrightarrow x = 0\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

Vậy \(x = 0\)  thì \(\frac{1}{P}\) là số tự nhiên.

Phương pháp giải:

a) Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa.

Quy đồng mẫu, biến đổi rồi rút gọn biểu thức đã cho.

b) Biến đổi biểu thức \(A\)  về dạng \(m + \frac{n}{{MS}}\) với \(m,\,\,n \in \mathbb{Z}.\)

Từ đó, biểu thức ..

Đối chiếu với điều kiện của \(a\) rồi kết luận.

Lời giải chi tiết:

a) Rút gọn \(A.\)

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}a \ge 0\\8 + 2\sqrt a  - a \ne 0\\4 - \sqrt a  \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ge 0\\\left( {\sqrt a  + 2} \right)\left( {4 - \sqrt a } \right) \ne 0\\\sqrt a  \ne 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ge 0\\a \ne 16\end{array} \right..\)

\(\begin{array}{l}A = \frac{{\sqrt a \left( {2\sqrt a  + 1} \right)}}{{8 + 2\sqrt a  - a}} + \frac{{\sqrt a  + 4}}{{\sqrt a  + 2}} - \frac{{\sqrt a  + 2}}{{4 - \sqrt a }}\\ = \frac{{2a + \sqrt a }}{{\left( {\sqrt a  + 2} \right)\left( {4 - \sqrt a } \right)}} + \frac{{\sqrt a  + 4}}{{\sqrt a  + 2}} - \frac{{\sqrt a  + 2}}{{4 - \sqrt a }}\\ = \frac{{2a + \sqrt a  + \left( {\sqrt a  + 4} \right)\left( {4 - \sqrt a } \right) - {{\left( {\sqrt a  + 2} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt a  + 2} \right)\left( {4 - \sqrt a } \right)}}\\ = \frac{{2a + \sqrt a  + 16 - a - a - 4\sqrt a  - 4}}{{\left( {\sqrt a  + 2} \right)\left( {4 - \sqrt a } \right)}}\\ = \frac{{12 - 3\sqrt a }}{{\left( {\sqrt a  + 2} \right)\left( {4 - \sqrt a } \right)}} = \frac{{3\left( {4 - \sqrt a } \right)}}{{\left( {\sqrt a  + 2} \right)\left( {4 - \sqrt a } \right)}}\\ = \frac{3}{{\sqrt a  + 2}}.\end{array}\)

b) Tìm \(a\)  để \(A\)  nguyên.

Điều kiện: \(a \ge 0,\,\,a \ne 16.\)

Ta có với \(\forall a \ge 0 \Rightarrow A = \frac{3}{{\sqrt a  + 2}} > 0.\)

Có \(\sqrt a  \ge 0 \Rightarrow \sqrt a  + 2 \ge 2 &  \Rightarrow \frac{1}{{\sqrt a  + 2}} \le \frac{1}{2} &  \Rightarrow \frac{3}{{\sqrt a  + 1}} \le \frac{3}{2}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 0 < A \le \frac{3}{2} \Rightarrow A = 1\,\,\,\left( {do\,\,A \in \mathbb{Z}} \right)\\ \Leftrightarrow \sqrt a  + 2 = 3\\ \Leftrightarrow \sqrt a  = 1\\ \Leftrightarrow a = 1\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

Vậy \(a = 1\)  thì \(A\)  nguyên.

Phương pháp giải:

a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức.

Quy đồng mẫu, biến đổi và rút gọn biểu thức.

b) Giải bất phương trình \(P < 1,\) tìm \(x\) sau đó đối chiếu với điều kiện rồi kết luận.

c)  Biến đổi biểu thức \(P\)  về dạng \(a + \frac{b}{{MS}}\) với \(a,\,\,b \in \mathbb{Z}.\)

Từ đó, biểu thức \(P \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow b\,\, \vdots \,\,\,MS \Leftrightarrow MS \in U\left( b \right) \Rightarrow x = ...\)

Đối chiếu với điều kiện của \(x\) rồi kết luận.

Lời giải chi tiết:

a) Rút gọn biểu thức \(P.\)   

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x - 5\sqrt x  + 6 \ne 0\\\sqrt x  - 2 \ne 0\\3 - \sqrt x  \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right) \ne 0\\\sqrt x  \ne 2\\\sqrt x  \ne 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 4\\x \ne 9\end{array} \right..\)

\(\begin{array}{l}P = \frac{{2\sqrt x  - 9}}{{x - 5\sqrt x  + 6}} - \frac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  - 2}} - \frac{{2\sqrt x  + 1}}{{3 - \sqrt x }}\\ = \frac{{2\sqrt x  - 9}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}} - \frac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  - 2}} + \frac{{2\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 3}}\\ = \frac{{2\sqrt x  - 9 - \left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right) + \left( {2\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}\\ = \frac{{2\sqrt x  - 9 - x + 9 + 2x - 4\sqrt x  + \sqrt x  - 2}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}\\ = \frac{{x - \sqrt x  - 2}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}} = \frac{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}\\ = \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 3}}.\end{array}\)

b) Tìm \(x\)  để \(P < 1.\)

ĐKXĐ: \(x \ge 0,\,\,x \ne 4,\,\,x \ne 9.\) 

\(\begin{array}{l}P < 1 \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 3}} < 1\\ \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 3}} - 1 < 0 \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x  + 1 - \sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  - 3}} < 0\\ \Leftrightarrow \frac{4}{{\sqrt x  - 3}} < 0 \Leftrightarrow \sqrt x  - 3 < 0\,\,\,\\ \Leftrightarrow \sqrt x  < 3 \Leftrightarrow x < 9\end{array}\)

Kết hợp với ĐKXĐ ta được \(0 \le x < 9;\,\,\,x \ne 4\) thì \(P < 1.\)

c) Tìm các giá trị nguyên của \(x\)  để \(P\)  nguyên.

ĐKXĐ: \(x \ge 0,\,\,x \ne 4,\,\,x \ne 9.\) 

Ta có: \(P = \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 3}} = \frac{{\sqrt x  - 3 + 4}}{{\sqrt x  - 3}} = 1 + \frac{4}{{\sqrt x  - 3}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow P \in Z \Leftrightarrow \left( {1 + \frac{4}{{\sqrt x  - 3}}} \right) \in Z \Leftrightarrow \frac{4}{{\sqrt x  - 3}} \in Z\\ \Leftrightarrow \left( {\sqrt x  - 3} \right) \in U\left( 4 \right) \Leftrightarrow \left( {\sqrt x  - 3} \right) \in \left\{ { \pm 1;\,\, \pm 2;\,\, \pm 4} \right\}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x  - 3 =  - 4\\\sqrt x  - 3 =  - 2\\\sqrt x  - 3 =  - 1\\\sqrt x  - 3 = 1\\\sqrt x  - 3 = 2\\\sqrt x  - 3 = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x  =  - 1\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\\\sqrt x  = 1\\\sqrt x  = 2\\\sqrt x  = 4\\\sqrt x  = 5\\\sqrt x  = 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = 4\,\,\,\,(ktm)\\x = 16\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = 25\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = 49\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(x \in \left\{ {1;\,\,16;\,\,25;\,\,49} \right\}\) thì \(P\)  nguyên.

Phương pháp giải:

a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức.

Quy đồng mẫu, biến đổi và rút gọn biểu thức.

b) Chứng minh yêu cầu bài toán bằng phương pháp biến đổi tương đương.

Lời giải chi tiết:

a) Rút gọn \(K.\)

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\\sqrt {xy}  + 2\sqrt x  - 3\sqrt y  - 6 \ne 0\\\sqrt {xy}  + 2\sqrt x  + 3\sqrt y  + 6 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\\left( {\sqrt y  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right) \ne 0\\\left( {\sqrt y  + 2} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right) \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\\sqrt x  \ne 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\x \ne 9\end{array} \right..\)

\(\begin{array}{l}K = \frac{{2\sqrt x  + 3\sqrt y }}{{\sqrt {xy}  + 2\sqrt x  - 3\sqrt y  - 6}} - \frac{{6 - \sqrt {xy} }}{{\sqrt {xy}  + 2\sqrt x  + 3\sqrt y  + 6}}\\ = \frac{{2\sqrt x  + 3\sqrt y }}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt y  + 2} \right)}} - \frac{{6 - \sqrt {xy} }}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt y  + 2} \right)}}\\ = \frac{{\left( {2\sqrt x  + 3\sqrt y } \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right) - \left( {6 - \sqrt {xy} } \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt y  + 2} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}\\ = \frac{{2x + 6\sqrt x  + 3\sqrt {xy}  + 9\sqrt y  - \left( {6\sqrt x  - 18 - x\sqrt y  + 3\sqrt {xy} } \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt y  + 2} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}\\ = \frac{{2x + x\sqrt y  + 9\sqrt y  + 18}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt y  + 2} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}} = \frac{{\left( {\sqrt y  + 2} \right)\left( {x + 9} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt y  + 2} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}\\ = \frac{{x + 9}}{{x - 9}}.\end{array}\)

b) Chứng minh rằng: Nếu \(K = \frac{{y + 81}}{{y - 81}}\) thì \(\frac{y}{x}\) là số nguyên chia hết cho \(3.\)

Điều kiện: \(x \ge 0,\,\,y \ge 0,\,\,\,x \ne 9.\)

 \(\begin{array}{l}K = \frac{{y + 81}}{{y - 81}} \Rightarrow \frac{{x + 9}}{{x - 9}} = \frac{{y + 81}}{{y - 81}}\\ \Leftrightarrow \left( {x + 9} \right)\left( {y - 81} \right) = \left( {y + 81} \right)\left( {x - 9} \right)\\ \Leftrightarrow xy + 9y - 81x - 9.81 = xy - 9y + 81x - 9.81\\ \Leftrightarrow 9y = 81x\\ \Leftrightarrow \frac{y}{x} = \frac{{81}}{9} = 9.\end{array}\)

Vậy nếu \(K = \frac{{y + 81}}{{y - 81}}\) thì \(\frac{y}{x}\) là số nguyên chia hết cho 3.

Phương pháp giải:

a) Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa.

Quy đồng mẫu, biến đổi rồi rút gọn biểu thức đã cho.

b) Biến đổi biểu thức \(A\)  về dạng \(m + \frac{n}{{MS}}\) với \(m,\,\,n \in \mathbb{Z}.\)

Từ đó, biểu thức \(A \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow n\,\,\, \vdots \,\,\,MS \Leftrightarrow MS \in U\left( n \right) \Rightarrow a = ...\)

Đối chiếu với điều kiện của \(a\) rồi kết luận.

Lời giải chi tiết:

a) Tìm điều kiện của \(a\)  để \(A\)  xác định và rút gọn \(A.\)

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}a \ge 0\\a - \sqrt a  \ne 0\\a + \sqrt a  \ne 0\\a - 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ge 0\\\sqrt a \left( {\sqrt a  - 1} \right) \ne 0\\\sqrt a \left( {\sqrt a  + 1} \right) \ne 0\\a \ne 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ge 0\\\sqrt a  \ne 0\\\sqrt a  - 1 \ne 0\\a \ne 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\a \ne 1\\a \ne 2\end{array} \right..\)

\(\begin{array}{l}A = \left( {\frac{{a\sqrt a  - 1}}{{a - \sqrt a }} - \frac{{a\sqrt a  + 1}}{{a + \sqrt a }}} \right):\frac{{a + 2}}{{a - 2}}\\ = \left[ {\frac{{\left( {\sqrt a  - 1} \right)\left( {a + \sqrt a  + 1} \right)}}{{\sqrt a \left( {\sqrt a  - 1} \right)}} - \frac{{\left( {\sqrt a  + 1} \right)\left( {a - \sqrt a  + 1} \right)}}{{\sqrt a \left( {\sqrt a  + 1} \right)}}} \right].\frac{{a - 2}}{{a + 2}}\\ = \left( {\frac{{a + \sqrt a  + 1}}{{\sqrt a }} - \frac{{a - \sqrt a  + 1}}{{\sqrt a }}} \right).\frac{{a - 2}}{{a + 2}}\\ = \frac{{2\sqrt a }}{{\sqrt a }}.\frac{{a - 2}}{{a + 2}} = \frac{{2\left( {a - 2} \right)}}{{a + 2}}.\end{array}\)

b) Tìm \(a\)  nguyên để \(A\)  nguyên.  

Điều kiện: \(a > 0,\,\,a \ne 1,\,\,a \ne 2.\)

Ta có: \(A = \frac{{2\left( {a - 2} \right)}}{{a + 2}} = \frac{{2\left( {a + 2} \right) - 8}}{{a + 2}} = 2 - \frac{8}{{a + 2}}.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow A \in Z \Leftrightarrow \left( {2 - \frac{8}{{a + 2}}} \right) \in Z \Leftrightarrow \left( {a + 2} \right) \in U\left( 8 \right)\\ \Leftrightarrow \left( {a + 2} \right) \in \left\{ {4;\,8} \right\}\,\,\left( {do\,\,a + 2\, > 2\,\,\forall \,x > 0} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a + 2 = 4\\a + 2 = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 2\,\,\left( {ktm} \right)\\a = 6\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(a = 6\)  thì \(A\)  nguyên.

Lời giải chi tiết:

a) Rút gọn biểu thức \(P.\)

Ta có: \(8 - x\sqrt x  = 8 - {\left( {\sqrt x } \right)^3} = \left( {2 - \sqrt x } \right)\left( {4 + 2\sqrt x  + x} \right).\)

và \(1 - \frac{2}{{2 + \sqrt x }} = \frac{{2 + \sqrt x  - 2}}{{2 + \sqrt x }} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}}\).

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\2 - \sqrt x  \ne 0\\8 - x\sqrt x  \ne 0\\\sqrt x  \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 4\\x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x \ne 4\end{array} \right..\)

\(\begin{array}{l}P = \left[ {\frac{{\sqrt x {{\left( {\sqrt x  + 2} \right)}^2}}}{{{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2} + 3}} - \frac{4}{{2 - \sqrt x }} + \frac{{8\sqrt x  + 32}}{{8 - x\sqrt x }}} \right]:\left( {1 - \frac{2}{{2 + \sqrt x }}} \right)\\\,\,\,\,\, = \left[ {\frac{{\sqrt x \left( {x + 4\sqrt x  + 4} \right)}}{{x + 2\sqrt x  + 1 + 3}} - \frac{4}{{2 - \sqrt x }} + \frac{{8\sqrt x  + 32}}{{\left( {2 - \sqrt x } \right)\left( {x + 2\sqrt x  + 4} \right)}}} \right]:\left( {\frac{{2 + \sqrt x  - 2}}{{2 + \sqrt x }}} \right)\\\,\,\,\,\, = \left[ {\frac{{x\sqrt x  + 4x + 4\sqrt x }}{{x + 2\sqrt x  + 4}} - \frac{4}{{2 - \sqrt x }} + \frac{{8\sqrt x  + 32}}{{\left( {2 - \sqrt x } \right)\left( {x + 2\sqrt x  + 4} \right)}}} \right]:\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}}\\\,\,\,\,\, = \frac{{\left( {x\sqrt x  + 4x + 4\sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right) - 4\left( {x + 2\sqrt x  + 4} \right) + 8\sqrt x  + 32}}{{\left( {2 - \sqrt x } \right)\left( {x + 2\sqrt x  + 4} \right)}}.\frac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x }}\\\,\,\,\,\, = \frac{{ - 2x\sqrt x  - {x^2} + 4x + 8\sqrt x  - 4x - 8\sqrt x  - 16 + 8\sqrt x  + 32}}{{\left( {2 - \sqrt x } \right)\left( {x + 2\sqrt x  + 4} \right)}}.\frac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x }}\\\,\,\,\,\, = \frac{{ - {x^2} - 2x\sqrt x  + 8\sqrt x  + 16}}{{\left( {2 - \sqrt x } \right)\left( {x + 2\sqrt x  + 4} \right)}}.\frac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x }}\\\,\,\,\,\, = \frac{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {8 - x\sqrt x } \right)}}{{\left( {2 - \sqrt x } \right)\left( {x + 2\sqrt x  + 4} \right)}}.\frac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x }}\\\,\,\,\,\, = \frac{{{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)}^2}}}{{\sqrt x }}.\end{array}\)

b) Tính giá trị của \(P\)  khi \(x = 9 - 4\sqrt 5 .\)

Điều kiện: \(x > 0,\,\,\,x \ne 4.\)

Với \(x = 9 - 4\sqrt 5  = {\left( {\sqrt 5 } \right)^2} - 2.\sqrt 5 .2 + {2^2} = {\left( {\sqrt 5  - 2} \right)^2}.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt x  = \sqrt {{{\left( {\sqrt 5  - 2} \right)}^2}}  = \left| {\sqrt 5  - 2} \right| = \sqrt 5  - 2\,\,\left( {do\,\,\sqrt 5  > 2} \right).\\ \Rightarrow P = \frac{{{{\left( {\sqrt 5  - 2 + 2} \right)}^2}}}{{\sqrt 5  - 2}} = \frac{5}{{\sqrt 5  - 2}} = \frac{{5\left( {\sqrt 5  + 2} \right)}}{{5 - 4}} = 5\sqrt 5  + 10.\end{array}\)

c) Tìm các giá trị chính phương của \(x\)  để \(P\)  có giá trị nguyên.

Điều kiện: \(x > 0,\,\,\,x \ne 4.\)

Ta có: \(P = \frac{{{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)}^2}}}{{\sqrt x }} = \frac{{x + 4\sqrt x  + 4}}{{\sqrt x }} = \sqrt x  + 4 + \frac{4}{{\sqrt x }}.\)

Vì \(x\)  là số chính phương \( \Rightarrow x \in N;\,\,\sqrt x  \in N.\)

\(P\)  có giá trị nguyên \( \Leftrightarrow \frac{4}{{\sqrt x }} \in Z \Leftrightarrow \sqrt x  \in U\left( 4 \right) \Leftrightarrow \sqrt x  \in \left\{ {1;\,\,2;\,\,4} \right\}.\)

Kết hợp với điều kiện \(x > 0,x \ne 4\)

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x  = 1\\\sqrt x  = 2\\\sqrt x  = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\,\,\left( {tm} \right)\\x = 4\,\,\left( {ktm} \right)\\x = 16\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right..\)

Vậy với các giá trị \(x = 1\)  hoặc \(x = 16\)  thì \(P\)  đạt giá trị nguyên.

Phương pháp giải:

+) Tìm điều kiện xác định của biểu thức.

+) Sử dụng biểu thức liên hợp.

+) Đặt nhân tử chung.

+) Rút gọn các phân thức trước khi tiến hành tính toán.

+) Giải phương trình

+) Đối chiếu nghiệm với điều kiện đã tìm được ở ý a).

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ :\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0}\\{x \ne 4}\end{array}} \right.\)

\(P =  - 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {\frac{{2 + \sqrt x }}{{2 - \sqrt x }} + \frac{{\sqrt x }}{{2 + \sqrt x }} - \frac{{4x + 2\sqrt x  - 4}}{{x - 4}}} \right):\left( {\frac{2}{{2 - \sqrt x }} - \frac{{\sqrt x  + 3}}{{2\sqrt x  - x}}} \right) =  - 1\\ \Leftrightarrow \frac{{2 + \sqrt x }}{{2 - \sqrt x }} + \frac{{\sqrt x }}{{2 + \sqrt x }} - \frac{{4x + 2\sqrt x  - 4}}{{x - 4}} =  - \left( {\frac{2}{{2 - \sqrt x }} - \frac{{\sqrt x  + 3}}{{2\sqrt x  - x}}} \right)\\ \Leftrightarrow \frac{{2 + \sqrt x }}{{2 - \sqrt x }} + \frac{{\sqrt x }}{{2 + \sqrt x }} - \frac{{4x + 2\sqrt x  - 4}}{{x - 4}} = \frac{{\sqrt x  + 3}}{{2\sqrt x  - x}} - \frac{2}{{2 - \sqrt x }}\\ \Leftrightarrow \frac{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 + \sqrt x } \right)}}{{\left( {2 - \sqrt x } \right)\left( {2 + \sqrt x } \right)}} + \frac{{\sqrt x \left( {2 - \sqrt x } \right)}}{{\left( {2 - \sqrt x } \right)\left( {2 + \sqrt x } \right)}} + \frac{{4x + 2\sqrt x  - 4}}{{4 - x}} = \frac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x \left( {2 - \sqrt x } \right)}} - \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {2 - \sqrt x } \right)}}\\ \Leftrightarrow \frac{{x + 4\sqrt x  + 4 + 2\sqrt x  - x + 4x + 2\sqrt x  - 4}}{{\left( {2 - \sqrt x } \right)\left( {2 + \sqrt x } \right)}} = \frac{{\sqrt x  + 3 - 2\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {2 - \sqrt x } \right)}}\\ \Leftrightarrow \frac{{8\sqrt x  + 4x}}{{\left( {2 - \sqrt x } \right)\left( {2 + \sqrt x } \right)}} = \frac{{3 - \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {2 - \sqrt x } \right)}}\\ \Leftrightarrow \frac{{4\sqrt x \left( {2 + \sqrt x } \right)}}{{\left( {2 - \sqrt x } \right)\left( {2 + \sqrt x } \right)}} = \frac{{3 - \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {2 - \sqrt x } \right)}}\\ \Leftrightarrow \frac{{4\sqrt x }}{{\left( {2 - \sqrt x } \right)}} = \frac{{3 - \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {2 - \sqrt x } \right)}}\\ \Leftrightarrow \frac{{4x}}{{\sqrt x \left( {2 - \sqrt x } \right)}} = \frac{{3 - \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {2 - \sqrt x } \right)}}\\ \Leftrightarrow 4x = 3 - \sqrt x \\ \Leftrightarrow 4x + \sqrt x  - 3 = 0{\rm{        }}\left( 1 \right)\end{array}\)

Đặt \(\sqrt x  = t,\,\,t > 0,\,\,t \ne 2\), khi đó pt \(\left( 1 \right)\) trở thành : \(4{t^2} + t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{3}{4}\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\t =  - 1\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow x = {t^2} = {\left( {\frac{3}{4}} \right)^2} = \frac{9}{{16}}\) (TM ĐKXĐ)

Vậy \(x = \frac{9}{{16}}.\)

Phương pháp giải:

- Sử dụng biểu thức liên hợp

- Rút gọn biểu thức

Lời giải chi tiết:

1) Ta có:

\(\begin{array}{l}P = \frac{{3\sqrt a }}{{\sqrt a  + 2}} + \frac{{\sqrt a  + 1}}{{\sqrt a  - 2}} + \frac{{5\sqrt a  + 2}}{{4 - a}}\\P = \frac{{3\sqrt a \left( {\sqrt a  - 2} \right) + \left( {\sqrt a  + 1} \right)\left( {\sqrt a  + 2} \right) - \left( {5\sqrt a  + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt a  + 2} \right)\left( {\sqrt a  - 2} \right)}}\\P = \frac{{\left( {3a - 6\sqrt a } \right) + \left( {a + 3\sqrt a  + 2} \right) - \left( {5\sqrt a  + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt a  + 2} \right)\left( {\sqrt a  - 2} \right)}}\\P = \frac{{4a - 8\sqrt a }}{{\left( {\sqrt a  + 2} \right)\left( {\sqrt a  - 2} \right)}}\\P = \frac{{4\sqrt a \left( {\sqrt a  - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt a  + 2} \right)\left( {\sqrt a  - 2} \right)}} = \frac{{4\sqrt a }}{{\sqrt a  + 2}}\end{array}\)

2) Với \(a = \sqrt[3]{{1 + \frac{{\sqrt {84} }}{9}}} + \sqrt[3]{{1 - \frac{{\sqrt {84} }}{9}}}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{a^3} = {\left( {\sqrt[3]{{1 + \frac{{\sqrt {84} }}{9}}} + \sqrt[3]{{1 - \frac{{\sqrt {84} }}{9}}}} \right)^3}\\\,\,\,\,\,\, = \left( {1 + \frac{{\sqrt {84} }}{9} + 1 - \frac{{\sqrt {84} }}{9}} \right) + 3.\left( {\sqrt[3]{{1 + \frac{{\sqrt {84} }}{9}}} + \sqrt[3]{{1 - \frac{{\sqrt {84} }}{9}}}} \right).\sqrt[3]{{1 + \frac{{\sqrt {84} }}{9}}}.\sqrt[3]{{1 - \frac{{\sqrt {84} }}{9}}}\\\,\,\,\,\,\, = \,2 + 3.a.\sqrt[3]{{\left( {1 + \frac{{\sqrt {84} }}{9}} \right)\left( {1 - \frac{{\sqrt {84} }}{9}} \right)}}\\\,\,\,\,\,\, = \,2 + 3a\sqrt[3]{{\frac{{ - 1}}{{27}}}}\\\,\,\,\,\,\, = \,2 - a\end{array}\)

Vậy a là nghiệm của phương trình

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{a^3} = 2 - a\\ \Leftrightarrow {a^3} + a - 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {a - 1} \right)\left( {{a^2} + a + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow a = 1\,\,\,\,\,\,\,\left( {do\,{a^2} + a + 2 = {{\left( {a + 1} \right)}^2} + 1 > 0\,\forall a} \right)\end{array}\)

Thay \(a = 1\) vào P ta được \(P = \frac{4}{3}\).

Phương pháp giải:

+) Tính \({a^2}\) và \({a^4}\) theo a.

+) Thế thích hợp vào biểu thức của C và rút gọn.

Lời giải chi tiết:

Ta có: a là nghiệm dương của phương trình \(\sqrt 2 {x^2} + x - 1 = 0\) nên

\(\sqrt 2 {a^2} + a - 1 = 0\, \Leftrightarrow \,{a^2} = \frac{{1 - a}}{{\sqrt 2 }}\,\,\,\left( {0 < a < 1} \right) \Rightarrow {a^4} = \frac{{1 - 2a + {a^2}}}{2}\)

Thay lại vào C, ta được:

\(\begin{array}{l}C = \,\frac{{2a - 3}}{{\sqrt {2\left( {2{a^4} - 2a + 3} \right)}  + 2{a^2}}}\\C = \frac{{\left( {2a - 3} \right)\left[ {\sqrt {2\left( {2{a^4} - 2a + 3} \right)}  - 2{a^2}} \right]}}{{\left[ {\sqrt {2\left( {2{a^4} - 2a + 3} \right)}  + 2{a^2}} \right]\left[ {\sqrt {2\left( {2{a^4} - 2a + 3} \right)}  - 2{a^2}} \right]}}\\C = \frac{{\left( {2a - 3} \right)\left[ {\sqrt {2\left( {2{a^4} - 2a + 3} \right)}  - 2{a^2}} \right]}}{{2\left( {2{a^4} - 2a + 3} \right) - 4{a^4}}}\\C = \frac{{\left( {2a - 3} \right)\left[ {\sqrt {2\left( {2{a^4} - 2a + 3} \right)}  - 2{a^2}} \right]}}{{2\left( { - 2a + 3} \right)}}\\C =  - \frac{{\sqrt {2\left( {2{a^4} - 2a + 3} \right)}  - 2{a^2}}}{2}\\C = \frac{{ - 1}}{2}\left[ {\sqrt {2\left( {2.\frac{{1 - 2a + {a^2}}}{2} - 2a + 3} \right)}  - 2{a^2}} \right]\\C = \frac{{ - 1}}{2}\left[ {\sqrt {2\left( {{a^2} - 4a + 4} \right)}  - 2{a^2}} \right]\\C = \frac{{ - 1}}{2}\left[ {\sqrt {2{{\left( {2 - a} \right)}^2}}  - 2{a^2}} \right]\\C = \frac{{ - 1}}{2}\left( {\sqrt 2 \left( {2 - a} \right) - 2{a^2}} \right)\\C = \frac{{a - 2}}{{\sqrt 2 }} + {a^2} = \frac{{a - 2}}{{\sqrt 2 }} + \frac{{1 - a}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{ - 1}}{{\sqrt 2 }}\end{array}\)

Vậy \(C = \frac{{ - 1}}{{\sqrt 2 }}\) .

Phương pháp giải:

Do \(\frac{{{x^2} + x + 1}}{x} = 4\)nên \({x^2} + x + 1 = 4x\)

Phân tích tử số và mẫu số, làm xuất hiện \({x^2} + x + 1\) và thay thế \({x^2} + x + 1\) bởi \(4x\).

Lời giải chi tiết:

Do \(\frac{{{x^2} + x + 1}}{x} = 4\)nên \({x^2} + x + 1 = 4x\)

Xét tử số:

 \(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,x{}^5 - 4{x^3} - 3x + 9\\ = \left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {{x^3} - {x^2} - 4x + 5} \right) + \left( { - 4x + 4} \right)\\ = \,4x\left( {{x^3} - {x^2} - 4x + 5} \right) + \left( { - 4x + 4} \right)\\ = 4\left( {{x^4} - {x^3} - 4{x^2} + 4x + 1} \right)\\ = 4\left[ {\left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {{x^2} - 2x - 3} \right) + 9x + 4} \right]\\ = 4\left[ {4x\left( {{x^2} - 2x - 3} \right) + 9x + 4} \right]\\ = 4\left[ {4x\left( {{x^2} + x + 1 - 3x - 4} \right) + 9x + 4} \right]\\ = 4\left[ {4x\left( {4x - 3x - 4} \right) + 9x + 4} \right]\\ = 4\left( {4{x^2} - 7x + 4} \right)\\ = 16\left( {{x^2} + x + 1} \right) - 44x\\ = 16.4x - 44x = 20x\end{array}\)

Tương tự, mẫu số:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,{x^4} + 3{x^2} + 11\\ = \left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 3} \right) - 2x + 8\\ = 4x\left( {{x^2} + x + 1 - 2x + 2} \right) - 2x + 8\\ = 4x\left( {4x - 2x + 2} \right) - 2x + 8\\ = 8{x^2} + 6x + 8\\ = 8\left( {{x^2} + x + 1} \right) - 2x\\ = 8.4x - 2x = 30x\end{array}\)

Vậy \(P = \frac{{20x}}{{30x}} = \frac{2}{3}\) .

Phương pháp giải:

Tìm mối quan hệ giữa x, y, z thay vào biểu thức cần tìm.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({\left\{ \begin{array}{l}xy + yz + zx = 3z\\x + 2y = 3z\end{array} \right.^2} \Leftrightarrow {\left\{ \begin{array}{l}\frac{{xy + yz + zx}}{{{z^2}}} = 3\\\frac{x}{z} + 2\frac{y}{z} = 3\end{array} \right.^{}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{x}{z}.\frac{y}{z} + \frac{y}{z} + \frac{x}{z} = 3\,\,\,\,\,\left( {chia\,\,ca\,\,2\,\,ve\,\,cho\,\,{z^2}} \right)\\\frac{x}{z} + 2\frac{y}{z} = 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {chia\,\,ca\,\,2\,\,ve\,\,cho\,\,z} \right)\end{array} \right.\)

Đặt \(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\frac{x}{z} = a > 0\\\frac{y}{z} = b > 0\end{array} \right.\\\end{array}\) ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\frac{x}{z}.\frac{y}{z} + \frac{y}{z} + \frac{x}{z} = 3\\\frac{x}{z} + 2\frac{y}{z} = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b + ab = 3\\a + 2b = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 - 2b + b + \left( { - 2b + 3} \right)b = 3\\a =  - 2b + 3\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2{b^2} + 2b = 0\\a =  - 2b + 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}b = 0\,\,(loai)\\b = 1\end{array} \right.\\a = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{x}{z} = 1\\\frac{y}{z} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = z\\\end{array}\)

Thay vào P ta có \(P = \frac{{x + 2z}}{y} = \frac{{3z}}{z} = 3\).

Vậy \(P = 3\).

Phương pháp giải:

Tìm mối quan hệ a, b, c, d  sau đó thay vào phương trình P.

Lời giải chi tiết:

\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{a + b}}{{c + d}} = 1\\\frac{{2a + 3d}}{{b + 4c}} = 1\\\frac{{2a}}{{b + c}} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b = c + d\\2a + 3d = b + 4c\\2a = b + c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b - c = d\\2a - b - 4c =  - 3d\\2a - b - c = 0\end{array} \right.\)

Tìm mối quan hệ \(a + b + 2c\) và d như sau:

\(\left\{ \begin{array}{l}a + b - c = d\\2a - b - 4c =  - 3d\\2a - b - c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}X\left( {a + b - c} \right) = Xd\\Y\left( {2a - b - 4c} \right) =  - 3Yd\\Z\left( {2a - b - c} \right) = 0\end{array} \right.\)

Suy ra: \(\left( {X + 2Y + 2Z} \right)a + b\left( {X - Y - Z} \right) + c\left( { - X - 4Y - Z} \right) = \left( {X - 3Y} \right)d\)

Đồng nhất hệ số ta có:

\(\begin{array}{l}\left( {X + 2Y + 2Z} \right)a + b\left( {X - Y - Z} \right) + c\left( { - X - 4Y - Z} \right) = \left( {X - 3Y} \right)d = a + b + 2c\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}X + 2Y + 2Z = 1\\X - Y - Z = 1\\ - X - 4Y - Z = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}X = 1\\Y =  - 1\\Z = 1\end{array} \right.\\ \Rightarrow a + b + 2c = 4d \Leftrightarrow \frac{{a + 2b + 3c}}{d} = 4\end{array}\)

Vậy \(P = \frac{{a + 2b + 3c}}{d} = 4\)

Phương pháp giải:

Từ giả thiết tìm mối liên hệ giữa a,b,c thay vào tính P

Lời giải chi tiết:

Ta có :

\(\begin{array}{l}{a^2} + {b^2} + {c^2} = ab + bc + ca\\ \Leftrightarrow 2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) - 2\left( {ab + bc + ca} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{a^2} - 2ca + {c^2}} \right) + \left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right) + \left( {{b^2} - 2bc + {c^2}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {a - c} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {c - a} \right)^2} = 0\\Do\,\,\left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - c} \right)^2} \ge 0\\{\left( {b - c} \right)^2} \ge 0\\{\left( {c - a} \right)^2} \ge 0\end{array} \right. \Rightarrow {\left( {a - c} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {c - a} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow a = b = c\end{array}\)

Thay vào P ta có \(P = {\left( {a + b} \right)^2} - 2\left[ {{{\left( {a + b - c} \right)}^2} + {{(a + c - b)}^2}} \right] = {\left( {a + a} \right)^2} - 2\left[ {{a^2} + {a^2}} \right] = 0\)

Vậy \(P = 0.\)

Phương pháp giải:

Thay \(a + b + c = 3\) vào phương trình thứ 2, sau đó quy đồng, biến đổi, đưa phương trình về dạng tích, giải tìm a, b, c hoặc mối liên hệ giữa a, b, c.

Lời giải chi tiết:

Từ giả thiết ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{{a + b + c}}\\ \Leftrightarrow \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{{a + b + c}} - \frac{1}{c}\\ \Leftrightarrow \frac{{a + b}}{{ab}} = \frac{{c - \left( {a + b + c} \right)}}{{c\left( {a + b + c} \right)}}\\ \Leftrightarrow \frac{{a + b}}{{ab}} = \frac{{ - \left( {a + b} \right)}}{{c\left( {a + b + c} \right)}}\\ \Leftrightarrow \left( {a + b} \right)\left( {\frac{1}{{ab}} + \frac{1}{{c\left( {a + b + c} \right)}}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {a + b} \right).\frac{{c\left( {a + b + c} \right) + ab}}{{abc\left( {a + b + c} \right)}} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {a + b} \right)\left( {ca + cb + {c^2} + ab} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {a + b} \right)\left( {c + a} \right)\left( {b + c} \right) = 0\end{array}\)

Do a, b, c có vai trò như nhau, giả sử \(a + b = 0\) thì \(c = 3\).

Với \(c = 3\)thì \(c - 3 = 0\) nên \(P = 0\).

Vậy \(P = 0\).

Phương pháp giải:

+) Sử dụng linh hoạt giả thiết đã cho

+) Vận dụng thành thạo phân tích đa thức thành nhân tử, quy đồng phân thức, hằng đẳng thức

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\frac{a}{{1 + {a^2}}} + \frac{b}{{1 + {b^2}}} = \frac{a}{{ab + a + b + {a^2}}} + \frac{b}{{ab + a + b + {b^2}}}\\ = \frac{a}{{a\left( {a + b} \right) + \left( {a + b} \right)}} + \frac{b}{{b\left( {a + b} \right) + \left( {a + b} \right)}}\\ = \frac{a}{{\left( {a + b} \right)\left( {a + 1} \right)}} + \frac{b}{{\left( {a + b} \right)\left( {b + 1} \right)}}\\ = \frac{{a\left( {b + 1} \right) + b\left( {a + 1} \right)}}{{\left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right)\left( {a + b} \right)}}\\ = \frac{{ab + a + ab + b}}{{\left( {ab + a + b + 1} \right)\left( {a + b} \right)}}\\ = \frac{{1 + ab}}{{\left( {1 + 1} \right)\left( {a + b} \right)}}\\ = \frac{{1 + ab}}{{2\left( {a + b} \right)}}\end{array}\)

Bây giờ ta cần chứng minh \(2\left( {a + b} \right) = \sqrt {2\left( {1 + {a^2}} \right)\left( {1 + {b^2}} \right)} \) là bài toán được giải quyết.

Ta có \(ab + a + b = 1 \Leftrightarrow ab = 1 - a - b\)

   \(\begin{array}{l}\left( {1 + {a^2}} \right)\left( {1 + {b^2}} \right) = \left( {1 + {a^2} + {b^2} + {a^2}{b^2}} \right) = 1 + {a^2} + {b^2} + {\left( {1 - a - b} \right)^2}\\ = 1 + {a^2} + {b^2} + 1 + {a^2} + {b^2} - 2a - 2b + 2ab = 2\left( {{a^2} + {b^2} + ab + 1 - a - b} \right)\\ = 2\left( {{a^2} + {b^2} + ab + ab} \right) = 2\left( {{a^2} + {b^2} + 2ab} \right) = 2{\left( {a + b} \right)^2}\end{array}\)

Suy ra \(\sqrt {2\left( {1 + {a^2}} \right)\left( {1 + {b^2}} \right)}  = \sqrt {2.2{{\left( {a + b} \right)}^2}}  = 2\left( {a + b} \right)\) (dpcm).

Phương pháp giải:

Chứng minh bằng phản chứng

Lời giải chi tiết:

Giả sử bốn số \({a^2} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c};{b^2} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d};{c^2} + \frac{1}{d} + \frac{1}{a};{d^2} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b}\) đều nhỏ hơn 3

Suy ra \({a^2} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + {b^2} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d} + {c^2} + \frac{1}{d} + \frac{1}{a} + {d^2} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} < 12\)   (1)

Ta lại có

\(\begin{array}{l}{a^2} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + {b^2} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d} + {c^2} + \frac{1}{d} + \frac{1}{a} + {d^2} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = {a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} + \frac{2}{a} + \frac{2}{b} + \frac{2}{c} + \frac{2}{d}\\{a^2} + \frac{1}{a} + \frac{1}{a} \ge 3\sqrt[3]{{{a^2}.\frac{1}{a}.\frac{1}{a}}} = 3\,\,\left( {BDT\,\,Co - si} \right)\end{array}\)

Tương tự với b; c; d

Suy ra \({a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} + \frac{2}{a} + \frac{2}{b} + \frac{2}{c} + \frac{2}{d} \ge 3.4 = 12\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và  (2) suy ra vô lý

Vậy tồn tại ít nhất 1 số không nhỏ hơn 3 (đpcm).

Phương pháp giải:

Sử dụng linh hoạt giả thiết \(xyz = 1\), chứng minh

\(\begin{array}{l}\frac{1}{{1 + x + xy}} + \frac{1}{{1 + y + yz}} = \frac{{yz + 1}}{{1 + y + yz}}\\\frac{1}{{1 + z + zx}} = \frac{y}{{y + yz + 1}}\end{array}\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\frac{1}{{1 + x + xy}} + \frac{1}{{1 + y + yz}} = \frac{1}{{xyz + x + xy}} + \frac{1}{{1 + y + yz}} = \frac{{xyz}}{{x\left( {yz + 1 + y} \right)}} + \frac{1}{{1 + y + yz}} = \frac{{yz + 1}}{{1 + y + yz}}\\\frac{1}{{1 + z + zx}} = \frac{{xyz}}{{xzy + z.\left( {xyz} \right) + zx}} = \frac{{xyz}}{{xz\left( {y + yz + 1} \right)}} = \frac{y}{{y + yz + 1}}\end{array}\)

Suy ra :\(\frac{1}{{1 + x + xy}} + \frac{1}{{1 + y + yz}} + \frac{1}{{1 + z + zx}} = \frac{{yz + 1}}{{1 + y + yz}} + \frac{y}{{y + yz + 1}} = \frac{{1 + y + yz}}{{1 + y + yz}} = 1\) (đpcm)

Phương pháp giải:

+) Sử dụng hàng đẳng thức.

+) Rút gọn biểu thức.

Lời giải chi tiết:

\(A = \left( {\frac{{a\sqrt a  + b\sqrt b }}{{\sqrt a  + \sqrt b }} - \sqrt {ab} } \right).\left( {\frac{{a\sqrt a  - b\sqrt b }}{{\sqrt a  - \sqrt b }} + \sqrt {ab} } \right)\)

\(A = \left( {\frac{{{{\left( {\sqrt a } \right)}^3} + {{\left( {\sqrt b } \right)}^3}}}{{\sqrt a  + \sqrt b }} - \sqrt {ab} } \right).\left( {\frac{{{{\left( {\sqrt a } \right)}^3} - {{\left( {\sqrt b } \right)}^3}}}{{\sqrt a  - \sqrt b }} + \sqrt {ab} } \right)\)

\(A = \left( {\frac{{\left( {\sqrt a  + \sqrt b } \right)\left( {a - \sqrt {ab}  + b} \right)}}{{\sqrt a  + \sqrt b }} - \sqrt {ab} } \right).\left( {\frac{{\left( {\sqrt a  - \sqrt b } \right)\left( {a + \sqrt {ab}  + b} \right)}}{{\sqrt a  - \sqrt b }} + \sqrt {ab} } \right)\)

\(A = \left( {\left( {a - \sqrt {ab}  + b} \right) - \sqrt {ab} } \right).\left( {\left( {a + \sqrt {ab}  + b} \right) + \sqrt {ab} } \right)\)

\(A = \left( {a + b - 2\sqrt {ab} } \right).\left( {a + b + 2\sqrt {ab} } \right)\)

\(A = {\left( {a + b} \right)^2} - 4ab{\rm{                      }}\left( 1 \right)\)

Với \(a + b = 5;\,\,ab = 2\), thay vào (1) ta có: \(A = {\left( {a + b} \right)^2} - 4ab{\rm{  = }}{{\rm{5}}^2} - 4.2 = 17\)

Vậy \(A = 17.\)

Phương pháp giải:

-          Rút gọn biểu thức bằng cách quy đồng mẫu .

-          Phân tích nhân tử để rút gọn

-          Tìm giá trị nhỏ nhất bằng cô-si 2 số dương: \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \)

Lời giải chi tiết:

a)      Với \(x > 0;\,\,x \ne 4\)

Ta có :

\(\begin{array}{l}Q = \dfrac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 2}} + \dfrac{{5\sqrt x  - 2}}{{x - 4}} = \dfrac{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}} + \dfrac{{5\sqrt x  - 2}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}\\ = \dfrac{{x - 3\sqrt x  + 2 + 5\sqrt x  - 2}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}} = \dfrac{{x + 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}} = \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}} = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 2}}\end{array}\)

Vậy \(Q = \)\(\dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 2}}\)

b)      Với \(x > 0;\,\,x \ne 4\).

Ta có : \(\dfrac{P}{Q} = \dfrac{{x + 3}}{{\sqrt x  - 2}}:\dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 2}} = \dfrac{{x + 3}}{{\sqrt x }} = \sqrt x  + \dfrac{3}{{\sqrt x }}\)

Áp dụng bất đẳng thức cô-si cho 2 số \(\sqrt x ;\dfrac{3}{{\sqrt x }}\) ta có

\(\sqrt x  + \dfrac{3}{{\sqrt x }} \ge 2\sqrt {\sqrt x .\dfrac{3}{{\sqrt x }}}  = 2\sqrt 3 \)( dấu “=” xảy ra khi \(\sqrt x  = \dfrac{3}{{\sqrt x }} \Leftrightarrow x = 3\))

Suy ra  min \(\dfrac{P}{Q}=2\sqrt 3 \) dấu “=” khi \(x = 3\).

Vậy \(\min \dfrac{P}{Q} = 2\sqrt 3\) khi và chỉ  khi \(x = 3\)