Phương pháp giải:

Áp dụng công thức \(\sqrt {{a^2}b}  = a\sqrt b \left( {a,b \ge 0} \right)\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}2\sqrt {48}  + \frac{1}{3}\sqrt {108}  - 5\sqrt 3  - 3\sqrt {27} \\ = 2.\sqrt {{4^2}.3}  + \frac{1}{3}\sqrt {{6^2}.3}  - 5\sqrt 3  - 3.\sqrt {{3^2}.3} \\ = 8\sqrt 3  + 2\sqrt 3  - 5\sqrt 3  - 9\sqrt 3  =  - 4\sqrt 3 \end{array}\)

Vậy \(2\sqrt {48}  + \frac{1}{3}\sqrt {108}  - 5\sqrt 3  - 3\sqrt {27}  =  - 4\sqrt 3 \).

Chọn A.

Phương pháp giải:

Sử dụng biểu thức liên hợp, phân tích tử số để triệt tiêu với mẫu số.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\frac{{6 - \sqrt 6 }}{{\sqrt 6  - 1}} - 9\sqrt {\frac{2}{3}}  - \frac{4}{{2 - \sqrt 6 }}\\ = \frac{{\sqrt 6 .\sqrt 6  - \sqrt 6 }}{{\sqrt 6  - 1}} - 3.{\left( {\sqrt 3 } \right)^2}\frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }} - \frac{{4\left( {2 + \sqrt 6 } \right)}}{{\left( {2 - \sqrt 6 } \right)\left( {2 + \sqrt 6 } \right)}}\\ = \frac{{\sqrt 6 \left( {\sqrt 6  - 1} \right)}}{{\sqrt 6  - 1}} - 3.\sqrt 3 .\sqrt 2  - \frac{{4\left( {2 + \sqrt 6 } \right)}}{{{2^2} - {{\left( {\sqrt 6 } \right)}^2}}} = \sqrt 6  - 3\sqrt 6  - \frac{{4\left( {2 + \sqrt 6 } \right)}}{{ - 2}}\\ =  - 2\sqrt 6  + 2\left( {2 + \sqrt 6 } \right) = 4\end{array}\).

Vậy \(\frac{{6 - \sqrt 6 }}{{\sqrt 6  - 1}} - 9\sqrt {\frac{2}{3}}  - \frac{4}{{2 - \sqrt 6 }} = 4\).

Chọn B.

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức: \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {a.b}  = \sqrt a .\sqrt b \\a.b = a.\sqrt b .\sqrt b \\\sqrt {{a^2}b}  = \left| a \right|\sqrt b \end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}a)\;4\sqrt {12}  - 15\sqrt {\frac{1}{3}}  - \frac{{9 - \sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }} = 4\sqrt {{2^2}.3}  - \frac{{15}}{{\sqrt 3 }} - \frac{{\sqrt 3 \left( {3\sqrt 3  - 1} \right)}}{{\sqrt 3 }}\\ = 8\sqrt 3  - 5\sqrt 3  - 3\sqrt 3  + 1 = 1.\end{array}\)

Vậy \(4\sqrt {12}  - 15\sqrt {\frac{1}{3}}  - \frac{{9 - \sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }} = 1\).

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức \(\sqrt {{a^2}}  = |a|\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}b)\;\sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 5 } \right)}^2}}  - \sqrt {\frac{8}{{7 - 3\sqrt 5 }}}  = \left| {2 - \sqrt 5 } \right| - \sqrt {\frac{{16}}{{14 - 6\sqrt 5 }}} \\ = \sqrt 5  - 2 - \frac{{\sqrt {16} }}{{\sqrt {14 - 6\sqrt 5 } }}\;\;\;\left( {do\;\;2 - \sqrt 5  < 0} \right)\\ = \sqrt 5  - 2 - \frac{4}{{\sqrt {{3^2} - 2.3.\sqrt 5  + {{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2}} }} = \sqrt 5  - 2 - \frac{4}{{\sqrt {{{\left( {3 - \sqrt 5 } \right)}^2}} }}\\ = \sqrt 5  - 2 - \frac{4}{{\left| {3 - \sqrt 5 } \right|}} = \sqrt 5  - 2 - \frac{4}{{3 - \sqrt 5 }}\;\;\left( {do\;\;3 - \sqrt 5  > 0} \right)\\ = \sqrt 5  - 2 - \frac{{4\left( {3 + \sqrt 5 } \right)}}{{{3^2} - {{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2}}} = \sqrt 5  - 2 - \frac{{4\left( {3 + \sqrt 5 } \right)}}{4}\\ = \sqrt 5  - 2 - 3 - \sqrt 5  =  - 5.\end{array}\)

Vậy \(\sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 5 } \right)}^2}}  - \sqrt {\frac{8}{{7 - 3\sqrt 5 }}}  =  - 5\)

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức \(\sqrt {{a^2}b}  = a\sqrt b \left( {a,b \ge 0} \right)\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}3\sqrt {80}  - 2\sqrt {45}  - \sqrt {125}  = 3.\sqrt {{4^2}.5}  - 2.\sqrt {{3^2}.5}  - \sqrt {{5^2}.5} \\ = 12\sqrt 5  - 6\sqrt 5  - 5\sqrt 5  = \sqrt 5 \end{array}\).

Vậy \(3\sqrt {80}  - 2\sqrt {45}  - \sqrt {125}  = \sqrt 5 \).

Chọn A.  

Phương pháp giải:

Sử dụng biểu thức liên hợp để khử căn ở mẫu ở phân thức thứ nhất, rút gọn tử và mẫu ở phân thức thứ hai, sau đó tiến hành rút gọn

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\frac{3}{{\sqrt 7  - 1}} - \frac{{\sqrt 7  - \sqrt {21} }}{{2 - 2\sqrt 3 }} = \frac{{3.\left( {\sqrt 7  + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt 7  - 1} \right).\left( {\sqrt 7  + 1} \right)}} - \frac{{\sqrt 7  - \sqrt 7 .\sqrt 3 }}{{2.\left( {1 - \sqrt 3 } \right)}}\\ = \frac{{3\left( {\sqrt 7  + 1} \right)}}{{{{\left( {\sqrt 7 } \right)}^2} - 1}} - \frac{{\sqrt 7 \left( {1 - \sqrt 3 } \right)}}{{2\left( {1 - \sqrt 3 } \right)}}\\ = \frac{{3\left( {\sqrt 7  + 1} \right)}}{6} - \frac{{\sqrt 7 }}{2} = \frac{{\sqrt 7  + 1}}{2} - \frac{{\sqrt 7 }}{2} = \frac{1}{2}\end{array}\)

Vậy \(\frac{3}{{\sqrt 7  - 1}} - \frac{{\sqrt 7  - \sqrt {21} }}{{2 - 2\sqrt 3 }} = \frac{1}{2}\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

Tách bên trong căn thức thứ hai thành hằng đẳng thức để khử dấu căn, áp dụng công thức \(\sqrt {{a^2}}  = |a|\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\sqrt {{{\left( {2\sqrt 5  - 5} \right)}^2}}  + \sqrt {24 - 8\sqrt 5 }  = \sqrt {{{\left( {2\sqrt 5  - 5} \right)}^2}}  + \sqrt {{2^2} - 2.2.\left( {2\sqrt 5 } \right) + {{\left( {2\sqrt 5 } \right)}^2}} \\ = \sqrt {{{\left( {2\sqrt 5  - 5} \right)}^2}}  + \sqrt {{{\left( {2 - 2\sqrt 5 } \right)}^2}}  = \left| {2\sqrt 5  - 5} \right| + \left| {2 - 2\sqrt 5 } \right| = 5 - 2\sqrt 5  + 2\sqrt 5  - 2 = 3\end{array}\)

Vậy \(\sqrt {{{\left( {2\sqrt 5  - 5} \right)}^2}}  + \sqrt {24 - 8\sqrt 5 }  = 3\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức: \(\sqrt {{a^2}b}  = a\sqrt b \left( {a,b \ge 0} \right)\)

Lời giải chi tiết:

)\(A = 3\sqrt {32}  - 6\sqrt 2  - \sqrt {50} \)

\(A = 3\sqrt {32}  - 6\sqrt 2  - \sqrt {50}  = 3.\sqrt {{4^2}.2}  - 6\sqrt 2  - \sqrt {{5^2}.2}  = 3.4\sqrt 2  - 6\sqrt 2  - 5\sqrt 2  = \sqrt 2 \)

Vậy \(A = \sqrt 2 \)

Chọn D

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức \(\sqrt {{a^2}}  = |a|\)Với \(a \in \,R\)

Lời giải chi tiết:

\(B = \sqrt {{{\left( {5 + \sqrt 3 } \right)}^2}}  + \sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}^2}} \)

\(B = \sqrt {{{\left( {5 + \sqrt 3 } \right)}^2}}  + \sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}^2}}  = \left| {5 + \sqrt 3 } \right| + \left| {2 - \sqrt 3 } \right| = 5 + \sqrt 3  + 2 - \sqrt 3  = 7\)

Vậy \(B = 7\)

Chọn B

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức \(\sqrt {a.b}  = \sqrt a .\sqrt b \left( {a,b \ge 0} \right)\). Quan sát biểu thức ta thấy ở tử số có \(\sqrt 7 \) chung. Nếu nhóm làm nhân tử chung ta sẽ thấy xuất hiện nhân tử \(\sqrt 2  + 1\) giống với mẫu số \( \Rightarrow \) có thể rút gọn được. \(\)

Lời giải chi tiết:

\(C = \frac{{\sqrt {14}  + \sqrt 7 }}{{\sqrt 2  + 1}} - \sqrt 7 \)

\(C = \frac{{\sqrt {14}  + \sqrt 7 }}{{\sqrt 2  + 1}} - \sqrt 7  = \frac{{\sqrt 7 .\sqrt 2  + \sqrt 7 }}{{\sqrt 2  + 1}} - \sqrt 7  = \frac{{\sqrt 7 \left( {\sqrt 2  + 1} \right)}}{{\sqrt 2  + 1}} - \sqrt 7  = \sqrt 7  - \sqrt 7  = 0\)

Vậy \(C = 0\)

Chọn A

Phương pháp giải:

Nhân biểu thức với 4 rồi lại chia cho 4 để làm xuất hiện các hằng đẳng thức, từ đó phá được căn và rút gọn.

Lời giải chi tiết:

\(D = \left( {4 - \sqrt {15} } \right){\left( {\sqrt {2 - \sqrt 3 }  + \sqrt {3 + \sqrt 5 } } \right)^2}\)

\(\begin{array}{l}D = \left( {4 - \sqrt {15} } \right){\left( {\sqrt {2 - \sqrt 3 }  + \sqrt {3 + \sqrt 5 } } \right)^2} = \frac{1}{4}.\left[ {2.\left( {4 - \sqrt {15} } \right)} \right].\left[ {{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}{{\left( {\sqrt {2 - \sqrt 3 }  + \sqrt {3 + \sqrt 5 } } \right)}^2}} \right]\\ = \frac{1}{4}\left( {8 - 2\sqrt {15} } \right){\left( {\sqrt {4 - 2\sqrt 3 }  + \sqrt {6 + 2\sqrt 5 } } \right)^2}\\ = \frac{1}{4}.\left[ {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} - 2\sqrt 3 .\sqrt 5  + {{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2}} \right].{\left( {\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} - 2\sqrt 3  + 1}  + \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2} + 2\sqrt 5  + 1} } \right)^2}\\ = \frac{1}{4}{\left( {\sqrt 5  - \sqrt 3 } \right)^2}.{\left( {\sqrt {{{\left( {\sqrt 3  - 1} \right)}^2}}  + \sqrt {{{\left( {\sqrt 5  + 1} \right)}^2}} } \right)^2}\\ = \frac{1}{4}{\left( {\sqrt 5  - \sqrt 3 } \right)^2}.{\left( {\left| {\sqrt 3  - 1} \right| + \left| {\sqrt 5  + 1} \right|} \right)^2} = \frac{1}{4}{\left( {\sqrt 5  - \sqrt 3 } \right)^2}{\left( {\sqrt 5  + \sqrt 3 } \right)^2}\\ = \frac{1}{4}{\left( {{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}} \right)^2} = \frac{1}{4}{.2^2} = 1\end{array}\)

Vậy \(D = 1\)

Chọn B

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\,\,\,3\sqrt {18}  - \sqrt {32}  + 4\sqrt 2  + \sqrt {162} \\ = 3\sqrt {{3^2}.2}  - \sqrt {{4^2}.2}  + 4\sqrt 2  + \sqrt {{9^2}.2} \\ = 9\sqrt 2  - 4\sqrt 2  + 4\sqrt 2  + 9\sqrt 2 \\ = 18\sqrt 2 .\end{array}\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\,\,2\sqrt {48}  - 4\sqrt {27}  + \sqrt {75}  + \sqrt {12} \\ = 2\sqrt {{4^2}.3}  - 4\sqrt {{3^2}.3}  + \sqrt {{5^2}.3}  + \sqrt {{2^2}.3} \\ = 8\sqrt 3  - 12\sqrt 3  + 5\sqrt 3  + 2\sqrt 3 \\ = 3\sqrt 3 \end{array}\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\,\,\sqrt {21 + 8\sqrt 5 }  + \sqrt {21 - 8\sqrt 5 } \\ = \sqrt {16 + 2.4.\sqrt 5  + 5}  + \sqrt {16 - 2.4.\sqrt 5  + 5} \\ = \sqrt {{4^2} + 2.4.\sqrt 5  + {{(\sqrt 5 )}^2}}  + \sqrt {{4^2} - 2.4.\sqrt 5  + {{(\sqrt 5 )}^2}} \\ = \sqrt {{{(4 + \sqrt 5 )}^2}}  + \sqrt {{{(4 - \sqrt 5 )}^2}} \\ = \left| {4 + \sqrt 5 } \right| + \left| {4 - \sqrt 5 } \right|\\ = 8.\end{array}\)   

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\,\,\frac{{5\sqrt 2  - 2\sqrt 5 }}{{\sqrt 5  - \sqrt 2 }} - \frac{9}{{\sqrt {10}  + 1}}\\ = \frac{{\sqrt 5 .\sqrt 2 .(\sqrt 5  - \sqrt 2 )}}{{\sqrt 5  - \sqrt 2 }} - \frac{{9(\sqrt {10}  - 1)}}{{10 - 1}}\\ = \sqrt {10}  - (\sqrt {10}  - 1)\\ = 1.\end{array}\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức: \(\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,khi\,\,A \ge 0\\ - A\,\,khi\,\,A < 0\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

\(A = \sqrt {{{\left( {\sqrt 5  - 1} \right)}^2}}  + 1 = \left| {\sqrt 5  - 1} \right| + 1 = \sqrt 5  - 1 + 1 = \sqrt 5 \,\,\,\,\left( {do\,\,\,\sqrt 5  - 1 > 0} \right).\)

\(B = \left( {2\sqrt 3  + \sqrt {20} } \right)\sqrt 3  - \sqrt {60}  = 2.3 + \sqrt {20.3}  - \sqrt {60}  = 6 + \sqrt {60}  - \sqrt {60}  = 6\)

Vậy \(A = \sqrt 5 \,;\,\,\,\,B = 6.\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

a) Quy đồng mẫu các phân thức sau đó biến đổi và rút gọn phân thức.

b) Nhân chéo để rút gọn và tìm biến x, sau đó đối chiếu với điều kiện xác định .

Lời giải chi tiết:

a) Rút gọn \(P.\)

  Điều kiện:  \(x \ge 0;x \ne 1\).

\(\begin{array}{l}P = \frac{{2\sqrt x }}{{x - 1}} - \frac{1}{{1 - \sqrt x }} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 1}}\\\,\,\,\, = \frac{{2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}} + \frac{1}{{\sqrt x  - 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 1}}\\\,\,\,\, = \frac{{2\sqrt x  + \left( {\sqrt x  + 1} \right) + \sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\\\,\,\,\, = \frac{{2\sqrt x  + \sqrt x  + 1 + x - \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\,\,\,\, = \,\,\,\,\frac{{x + 2\sqrt x  + 1}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\\\,\,\,\, = \frac{{{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\,\,\,\,\, = \,\,\,\,\frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 1}}.\end{array}\)

Vậy  \(P = \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 1}}\) với \(x \ge 0;x \ne 1\).

b) Tìm \(x\)  để \(P = 3\).

Ta có: \(P = \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 1}}\) với \(x \ge 0;x \ne 1\).

\(\begin{array}{l}P = 3\, \Rightarrow \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 1}} = 3 \Rightarrow \sqrt x  + 1 = 3\left( {\sqrt x  - 1} \right)\\ \Leftrightarrow \sqrt x  + 1 = 3\sqrt x  - 3 \Leftrightarrow 2\sqrt x  = 4\\ \Leftrightarrow \sqrt x  = 2 \Leftrightarrow x = 4\,\,\,\,\left( {tmdk} \right)\end{array}\)

Vậy \(x = 4\) thì  \(P = 3\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

Quy đồng mẫu của các biểu thức để rút gọn

Rút gọn căn bậc hai bằng công thức: \(\sqrt {{A^2}B}  = \left| A \right|\sqrt B  = \left\{ \begin{array}{l}A\sqrt B \,\;\,khi\,\,A \ge 0\\ - A\sqrt B \,\;\,khi\,\,A < 0\end{array} \right..\)

Phân tích đa thức trên tử số thành nhân tử và rút gọn với mẫu số.

Lời giải chi tiết:

 \(A = \frac{1}{{2 - \sqrt 3 }} + \frac{1}{{2 + \sqrt 3 }} = \frac{{2 + \sqrt 3  + 2 - \sqrt 3 }}{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}} = \frac{4}{{{2^2} - 3}} = 4\)

Vậy \(A = 4.\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Quy đồng mẫu của các biểu thức để rút gọn

Rút gọn căn bậc hai bằng công thức: \(\sqrt {{A^2}B}  = \left| A \right|\sqrt B  = \left\{ \begin{array}{l}A\sqrt B \,\;\,khi\,\,A \ge 0\\ - A\sqrt B \,\;\,khi\,\,A < 0\end{array} \right..\)

Phân tích đa thức trên tử số thành nhân tử và rút gọn với mẫu số.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}B = \sqrt {5 + 2\sqrt {{{\left( {1 - \sqrt 2 } \right)}^2}} }  = \sqrt {5 + 2.\left( {\sqrt 2  - 1} \right)} \\\,\,\,\,\, = \sqrt {5 + 2\sqrt 2  - 2}  = \sqrt {3 + 2\sqrt 2 } \\\,\,\,\,\, = \sqrt {{{\left( {\sqrt 2  + 1} \right)}^2}}  = \sqrt 2  + 1.\end{array}\)

Vậy \(B = \sqrt 2  + 1.\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Quy đồng mẫu của các biểu thức để rút gọn

Rút gọn căn bậc hai bằng công thức: \(\sqrt {{A^2}B}  = \left| A \right|\sqrt B  = \left\{ \begin{array}{l}A\sqrt B \,\;\,khi\,\,A \ge 0\\ - A\sqrt B \,\;\,khi\,\,A < 0\end{array} \right..\)

Phân tích đa thức trên tử số thành nhân tử và rút gọn với mẫu số.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}C = \frac{{x + \sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  + 2}}\,\,\,\left( {x \ge 0} \right)\\\,\,\,\,\, = \frac{{x + 2\sqrt x  - \sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  + 2}} = \frac{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{{\sqrt x  + 2}} = \sqrt x  - 1.\end{array}\)

Vậy \(C = \sqrt x  - 1\) với \(x \ge 0\).

Chọn B.

Phương pháp giải:

Áp dụng quy tắc phá dấu căn: \(\sqrt {{A^2}.B}  = \left[ \begin{array}{l}A.B\,khi\,A \ge 0\\ - A.B\,khi\,A < 0\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

Thực hiện phép tính: \(3\sqrt {12}  + \frac{1}{2}\sqrt {48}  - \sqrt {27} \)

\(\begin{array}{l}3\sqrt {12}  + \frac{1}{2}\sqrt {48}  - \sqrt {27}  = 3\sqrt {4.3}  + \frac{1}{2}\sqrt {16.3}  - \sqrt {9.3}  = 3.2\sqrt 3  + \frac{1}{2}.4\sqrt 3  - 3\sqrt 3 \\ = 6\sqrt 3  + 2\sqrt 3  - 3\sqrt 3  = 5\sqrt 3 \end{array}\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Trục căn thức ở mẫu bằng cách nhân với biểu thức liên hợp

Lời giải chi tiết:

Trục căn thức ở mẫu: \(\frac{2}{{\sqrt 3  - 5}}\).

\(\frac{2}{{\sqrt 3  - 5}} = \frac{{2\left( {\sqrt 3  + 5} \right)}}{{\left( {\sqrt 3  - 5} \right)\left( {\sqrt 3  + 5} \right)}} = \frac{{2\left( {\sqrt 3  + 5} \right)}}{{3 - 25}} = \frac{{2\left( {\sqrt 3  + 5} \right)}}{{ - 22}} =  - \frac{{\sqrt 3  + 5}}{{11}}\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Áp dụng quy tắc phá dấu căn: \(\sqrt {{A^2}.B}  = \left[ \begin{array}{l}A.B\,khi\,A \ge 0\\ - A.B\,khi\,A < 0\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

Khử mẫu của biểu thức lấy căn \(\sqrt {\frac{2}{5}} \)

\(\sqrt {\frac{2}{5}}  = \sqrt {\frac{{2.5}}{{{5^2}}}}  = \frac{{\sqrt {10} }}{5}\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

a) Rút gọn căn bậc hai bằng công thức: \(\sqrt {{A^2}}  = \left[ \begin{array}{l}A\,\,\,\,khi\,\,\,\,A \ge 0\\ - A\,\,\,khi\,\,\,\,A < 0\end{array} \right..\)

b) Quy đồng mẫu số và rút gọn biểu thức.

Lời giải chi tiết:

\(a)\,\,\,A = \sqrt {100}  - \sqrt {16}  + \sqrt {25}  = \sqrt {{{10}^2}}  - \sqrt {{4^2}}  + \sqrt {{5^2}}  = 10 - 4 + 5 = 11.\)             

 \(b)\,\,\,B = \frac{1}{{2 + \sqrt 3 }} - \frac{2}{{2 - \sqrt 3 }} = \frac{{2 - \sqrt 3  - 2\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}}{{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}} = \frac{{2 - \sqrt 3  - 4 - 2\sqrt 3 }}{{{2^2} - 3}} = \frac{{ - 2 - 3\sqrt 3 }}{{4 - 3}} =  - 2 - 3\sqrt 3 \)

Chọn A.

Phương pháp giải:

a) Giải phương trình: \(\sqrt A  = B\left( {A \ge 0;B \ge 0} \right) \Leftrightarrow A = {B^2}\)

b) Giải phương trình: \(\sqrt A  = B\,\,\,\left( {A \ge 0;\,\,\,B \ge 0} \right) \Leftrightarrow A = {B^2}\)

Lời giải chi tiết:

a) \(\sqrt x  - 2 = 0\)                

ĐKXĐ: \(x \ge 0\)

\(\sqrt x  - 2 = 0 \Leftrightarrow \sqrt x  = 2 \Leftrightarrow x = {2^2} \Leftrightarrow x = 4\,\,\,\left( {tmdk} \right)\)

Vậy \(x = 4.\)

b) \(\sqrt {{{\left( {x - 4} \right)}^2}}  = 2x + 1\)

ĐKXĐ: \(2x + 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge \frac{{ - 1}}{2}\)

\(\begin{array}{l}\sqrt {{{\left( {x - 4} \right)}^2}}  = 2x + 1 \Leftrightarrow {\left( {x - 4} \right)^2} = {\left( {2x + 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} - 8x + 16 = 4{x^2} + 4x + 1\\ \Leftrightarrow 3{x^2} + 12x - 15 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + 4x - 5 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + 5x - x - 5 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 5} \right)\left( {x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 5 = 0\\x - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 5\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\\x = 1\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(x = 1\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

Rút gọn căn bậc hai bằng công thức: \(\sqrt {{A^2}B}  = \left| A \right|\sqrt B  = \left\{ \begin{array}{l}A\sqrt B \,\;\,khi\,\,A \ge 0\\ - A\sqrt B \,\;\,khi\,\,A < 0\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}3\sqrt 8  - \sqrt {50}  - \sqrt {{{\left( {\sqrt 2  - 1} \right)}^2}} \\ = 3\sqrt {{2^2}.2}  - \sqrt {{5^2}.2}  - \left| {\sqrt 2  - 1} \right|\\ = 3.2\sqrt 2  - 5\sqrt 2  - \left( {\sqrt 2  - 1} \right)\\ = 6\sqrt 2  - 5\sqrt 2  - \sqrt 2  + 1\\ = 1\end{array}\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

a) Tìm điều kiện xác định sau đó giải phương trình bằng phương pháp đưa phương trình về dạng \(\left| A \right| = m\,\left( {m \ge 0} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A = m\\A =  - m\end{array} \right.\)

b) Tìm điều kiện xác định của phương trình sau đó dùng công thức: \(\sqrt {{A^2}B}  = \left| A \right|\sqrt B  = \left\{ \begin{array}{l}A\sqrt B \,\;\,khi\,\,A \ge 0\\ - A\sqrt B \,\;\,khi\,\,A < 0\end{array} \right.\) để giải phương trình.

Lời giải chi tiết:

a) \(\sqrt {{x^2} - 6x + 9}  = 1\)

Điều kiện xác định: \(x \in \mathbb{R}\) \(({x^2} - 6x + 9 \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 3} \right)^2} \ge 0\) đúng với mọi \(x \in \mathbb{R}\,)\)

\(\begin{array}{l}\sqrt {{x^2} - 6x + 9}  = 1 \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x - 3} \right)}^2}}  = 1\\ \Leftrightarrow \left| {x - 3} \right| = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 3 = 1\\x - 3 =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\x = 2\end{array} \right.\,\,\,\left( {tmdk} \right)\end{array}\)

Vậy \(S = \left\{ {2;4} \right\}.\)

b) \(2\sqrt {12x}  - 3\sqrt {3x}  + 4\sqrt {48x}  = 17.\)

Điều kiện xác định: \(x \ge 0\)

\(\begin{array}{l}2\sqrt {12x}  - 3\sqrt {3x}  + 4\sqrt {48x}  = 17\\ \Leftrightarrow 2\sqrt {{2^2}.3x}  - 3\sqrt {3x}  + 4\sqrt {{4^2}.3x}  = 17\\ \Leftrightarrow 2.2\sqrt {3x}  - 3\sqrt {3x}  + 4.4\sqrt {3x}  = 17\\ \Leftrightarrow 4\sqrt {3x}  - 3\sqrt {3x}  + 16\sqrt {3x}  = 17\\ \Leftrightarrow 17\sqrt {3x}  = 17 \Leftrightarrow \sqrt {3x}  = 1\\ \Leftrightarrow 3x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{1}{3}\,\,\left( {tmdk} \right)\end{array}\)

Vậy \(S = \left\{ {\frac{1}{3}} \right\}.\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

a) Quy đồng mẫu số và rút gọn biểu thức.

b) Rút gọn căn bậc hai bằng công thức: \(\sqrt {{A^2}}  = \left[ \begin{array}{l}A\,\,\,\,khi\,\,\,\,A \ge 0\\ - A\,\,\,khi\,\,\,\,A < 0\end{array} \right.\) và \(\sqrt {\frac{1}{A}}  = \frac{{\sqrt A }}{A}\,\,\left( {A > 0} \right)\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}a)\,\frac{5}{{\sqrt 5  - 1}} - \frac{5}{{\sqrt 5  + 1}} = \frac{{5\left( {\sqrt 5  + 1} \right) - 5\left( {\sqrt 5  - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt 5  + 1} \right)\left( {\sqrt 5  - 1} \right)}}\\ = \frac{{5\sqrt 5  + 5 - 5\sqrt 5  + 5}}{{5 - 1}} = \frac{{10}}{4} = \frac{5}{2}\end{array}\)            

 \(\begin{array}{l}b)\,\sqrt {{{\left( {\sqrt 5  - 3} \right)}^2}}  - \sqrt {\frac{1}{5}}  = \left| {\sqrt 5  - 3} \right| - \frac{{\sqrt 5 }}{5}\\ = 3 - \sqrt 5  - \frac{{\sqrt 5 }}{5} = \frac{{15 - 5\sqrt 5  - \sqrt 5 }}{5} = \frac{{15 - 6\sqrt 5 }}{5}\end{array}\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

a) Biến đổi đưa về giải phương trình: \(\sqrt A  = B\left( {A \ge 0;B \ge 0} \right) \Leftrightarrow A = {B^2}\)

b) Giải phương trình: \(\sqrt A  = \sqrt B \,\,\,\left( {A \ge 0;\,\,\,B \ge 0} \right) \Leftrightarrow A = B\)

Lời giải chi tiết:

a) \(\sqrt {x - 1}  + \sqrt {9x - 9}  + \sqrt {4x - 4}  = 12\)                 

ĐKXĐ: \(x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1\)

\(\begin{array}{l}\sqrt {x - 1}  + \sqrt {9x - 9}  + \sqrt {4x - 4}  = 12\\ \Leftrightarrow \sqrt {x - 1}  + \sqrt {9\left( {x - 1} \right)}  + \sqrt {4\left( {x - 1} \right)}  = 12\\ \Leftrightarrow \sqrt {x - 1}  + 3\sqrt {x - 1}  + 2\sqrt {x - 1}  = 12\\ \Leftrightarrow 6\sqrt {x - 1}  = 12\\ \Leftrightarrow \sqrt {x - 1}  = 2\\ \Leftrightarrow x - 1 = 4\\ \Leftrightarrow x = 5\left( {tmdk} \right)\end{array}\)

Vậy \(x = 5.\)

b) \(\sqrt {{x^2} - 5x}  - \sqrt {x - 5}  = 0\)

ĐKXĐ: \(x - 5 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 5\)

\(\begin{array}{l}\sqrt {{x^2} - 5x}  - \sqrt {x - 5}  = 0\\ \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 5x}  = \sqrt {x - 5} \\ \Leftrightarrow {x^2} - 5x = x - 5\\ \Leftrightarrow x\left( {x - 5} \right) - \left( {x - 5} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 5} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\x - 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\left( {ktm} \right)\\x = 5\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(x = 5\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

Đưa thừa số ra ngoài dấu căn \(\sqrt {{A^2}B}  = \left| A \right|\sqrt B \).

Lời giải chi tiết:

+) Ta có :

\(A = 3\sqrt {\frac{1}{3}}  + \frac{1}{2}\sqrt {48}  + \sqrt {75} \)\( = 3.\frac{{\sqrt 3 }}{3} + \frac{1}{2}.4\sqrt 3  + 5\sqrt 3 \) \( = \sqrt 3  + 2\sqrt 3  + 5\sqrt 3  = 8\sqrt 3 \)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Đưa thừa số ra ngoài dấu căn \(\sqrt {{A^2}B}  = \left| A \right|\sqrt B \).

Trục căn thức ở mẫu \(\frac{C}{{\sqrt A  + \sqrt B }} = \frac{{C\left( {\sqrt A  - \sqrt B } \right)}}{{A - B}}\).

Lời giải chi tiết:

+) Ta có:

\(B = 3\sqrt {20}  - 20\sqrt {\frac{1}{5}}  - \frac{4}{{\sqrt 5  + \sqrt 3 }}\)\( = 3.2\sqrt 5  - 20.\frac{{\sqrt 5 }}{5} - \frac{{4\left( {\sqrt 5  - \sqrt 3 } \right)}}{{\left( {\sqrt 5  + \sqrt 3 } \right)\left( {\sqrt 5  - \sqrt 3 } \right)}}\)

\(B = 6\sqrt 5  - 4\sqrt 5  - \frac{{4\left( {\sqrt 5  - \sqrt 3 } \right)}}{{5 - 3}}\)\( = 2\sqrt 5  - 2\sqrt 5  + 2\sqrt 3  = 2\sqrt 3 \).

Chọn C.

Phương pháp giải:

\(\sqrt {{A^2}B}  = \left| A \right|\sqrt B \,\,\left( {B \ge 0} \right)\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\sqrt {20}  - 3\sqrt 5  + 2\sqrt {45} \)\( = \sqrt {4.5}  - 3\sqrt 5  + 2\sqrt {9.5} \) \( = 2\sqrt 5  - 3\sqrt 5  + 2.3\sqrt 5  = 2\sqrt 5  - 3\sqrt 5  + 6\sqrt 5  = 5\sqrt 5 \)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Sử dụng \(\sqrt {{A^2}B}  = \left| A \right|\sqrt B \,\,\left( {B \ge 0} \right)\) để đưa về dạng \(\sqrt A  = m\left( {m \ge 0} \right) \Leftrightarrow A = {m^2}\,\,\left( {A \ge 0} \right)\)

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1\)

Ta có: \(\sqrt {x - 1}  + \sqrt {4x - 4}  = 9.\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {x - 1}  + \sqrt {4\left( {x - 1} \right)}  = 9\\ \Leftrightarrow \sqrt {x - 1}  + 2\sqrt {x - 1}  = 9\\ \Leftrightarrow 3\sqrt {x - 1}  = 9\\ \Leftrightarrow \sqrt {x - 1}  = 3\\ \Leftrightarrow x - 1 = 9\\ \Leftrightarrow x = 10\left( {tm} \right)\end{array}\)

Vậy \(x = 10.\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

a) Sử dụng công thức đưa thừa số ra ngoài dấu căn : Với \(B \ge 0\) ta có : \(\sqrt {{A^2}B}  = \left| A \right|B = \left\{ \begin{array}{l}AB\,\,\,\,khi\,\,\,\,A \ge 0\\ - AB\,\,\,khi\,\,\,\,A < 0\end{array} \right..\)

b) Sử dụng hằng đẳng thức \(\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right|\)  và trục căn thức ở mẫu : \(\frac{m}{{\sqrt A  - \sqrt B }} = \frac{{m\left( {\sqrt A  + \sqrt B } \right)}}{{A - B}}\,\,\,\left( {A,B \ge 0;A \ne B} \right)\) 

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}a)\,\,\sqrt {20}  - 3\sqrt {125}  + 5\sqrt {45} \\ = 2\sqrt 5  - 15\sqrt 5  + 15\sqrt 5 \\ = 2\sqrt 5 \end{array}\)                 

\(\begin{array}{l}b)\,\,\frac{3}{{\sqrt 3  - \sqrt 2 }} - 2\sqrt {{{\left( {\sqrt 2  - \sqrt 3 } \right)}^2}}  - 5\sqrt 2 \\ = \frac{{3\left( {\sqrt 3  + \sqrt 2 } \right)}}{{3 - 2}} - 2\left| {\sqrt 2  - \sqrt 3 } \right| - 5\sqrt 2 \\ = 3\sqrt 3  + 3\sqrt 2  - 2\left( {\sqrt 3  - \sqrt 2 } \right) - 5\sqrt 2 \\ = 3\sqrt 3  + 3\sqrt 2  - 2\sqrt 3  + 2\sqrt 2  - 5\sqrt 2 \\ = \sqrt 3 \end{array}\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Sử dụng quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác.

Trong tam giác vuông, cạnh góc vuông này bằng cạnh góc vuông còn lại nhân tan góc đối.

Lời giải chi tiết:

Ta đưa về bài toán: Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(AC = 12m,\,\,\,\angle BCA = {35^0}.\)  Tính \(AB.\)

Chiều cao cột là \(AB\).

Do \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) nên ta có :

\(\begin{array}{l}AB = AC.\tan C\\\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 12.\tan 35^\circ \\\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 8,402\,\,\left( m \right)\end{array}\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Đưa thừa số ra ngoài dấu căn, sử dụng \(\sqrt {{A^2}B}  = \left| A \right|\sqrt B \).

Lời giải chi tiết:

\( - 3\sqrt {80}  + 7\sqrt {45}  - \sqrt {500} \)

\(\begin{array}{l} =  - 3\sqrt {16.5}  + 7.\sqrt {9.5}  - \sqrt {100.5} \\ =  - 12\sqrt 5  + 21\sqrt 5  - 10\sqrt 5 \\ =  - \sqrt 5 \end{array}\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Đưa thừa số ra ngoài dấu căn, sử dụng \(\sqrt {{A^2}B}  = \left| A \right|\sqrt B \).

Lời giải chi tiết:

\(\sqrt {{{\left( {\sqrt 3  - 2} \right)}^2}}  + \sqrt {19 + 8\sqrt 3 } \)

\(\begin{array}{l} = \left| {\sqrt 3  - 2} \right| + \sqrt {{{\left( {4 + \sqrt 3 } \right)}^2}} \\ = 2 - \sqrt 3  + 4 + \sqrt 3 \\ = 6\end{array}\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Thực hiện rút gọn bằng cách đưa tử và mẫu về dạng tích kết hợp trục căn thức ở mẫu: \(\frac{C}{{\sqrt A  + \sqrt B }} = \frac{{C\left( {\sqrt A  - \sqrt B } \right)}}{{A - B}}\)

Lời giải chi tiết:

\(\frac{{\sqrt {14} }}{{\sqrt 7 }} - \frac{5}{{1 + \sqrt 2 }} + \frac{{\sqrt {28}  - 2\sqrt 3 }}{{\sqrt 7  - \sqrt 3 }}\)

\(\begin{array}{l} = \sqrt 2  - \frac{{5\left( {1 - \sqrt 2 } \right)}}{{1 - 2}} + \frac{{2\left( {\sqrt 7  - \sqrt 3 } \right)}}{{\sqrt 7  - \sqrt 3 }}\\ = \sqrt 2  + 5\left( {1 - \sqrt 2 } \right) + 2\\ = \sqrt 2  + 5 - 5\sqrt 2  + 2\\ = 7 - 4\sqrt 2 \end{array}\)

Chọn A.