Phương pháp giải:

Thay \(x = 7\,\,\,\left( {tm} \right)\)vào biểu thức \(\frac{4}{{\sqrt {x + 2}  - 1}}\) ta tính được giá trị của biểu thức tại \(x = 7\).

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2 \ge 0\\\sqrt {x + 2}  - 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 2\\x \ne  - 1\end{array} \right..\)

Thay \(x = 7\,\,\left( {tm} \right)\) vào biểu thức \(\frac{4}{{\sqrt {x + 2}  - 1}}\) ta được: \(\frac{4}{{\sqrt {7 + 2}  - 1}} = \frac{4}{{3 - 1}} = 2\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Với \(B \ge 0\), ta có \(\sqrt {{A^2}.B}  = \left| A \right|\sqrt B  = \left\{ \begin{array}{l}A\sqrt B \,\,\,\,khi\,\,\,\,A \ge 0\\ - A\sqrt B \,\,\,khi\,\,\,A < 0\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

Với \(x < 0\) ta có : \(x\sqrt {\frac{{ - 29}}{x}}  =  - \sqrt {{x^2}.\frac{{ - 29}}{x}}  =  - \sqrt { - 29x} \)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Với \(B \ge 0\), ta có \(\sqrt {{A^2}.B}  = \left| A \right|\sqrt B  = \left\{ \begin{array}{l}A\sqrt B \,\,\,\,khi\,\,\,\,A \ge 0\\ - A\sqrt B \,\,\,khi\,\,\,A < 0\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

Với \(x > 0\) ta có : \(\sqrt {25{x^3}}  = \sqrt {25{x^2}.x}  = \left| {5x} \right|\sqrt x  = 5x\sqrt x .\)

Chọn B.

Lời giải chi tiết:

Phương pháp giải:

- Viết  \(7 - 4\sqrt 3 \) dưới dạng bình phương của một hiệu.

- Sử dụng định lí: Với mọi số \(a\), ta có \(\sqrt {{a^2}}  = \left| a \right| = \left\{ \begin{array}{l}a\;\;khi\;\;a \ge 0\\ - a\;\;khi\;\;a < 0\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\sqrt {7 - 4\sqrt 3 }  + \sqrt 3 \, = \sqrt {4 - 2.2.\sqrt 3  + 3}  + \sqrt 3  = \sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}^2}}  + \sqrt 3 \\ = \left| {2 - \sqrt 3 } \right| + \sqrt 3  = 2 - \sqrt 3  + \sqrt 3  = 2\end{array}\)

Vậy rút gọn biểu thức \(\sqrt {7 - 4\sqrt 3 }  + \sqrt 3 \,\) ta được kết quả là \(2\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \(\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right|\).

Lời giải chi tiết:

\(P = \frac{{\sqrt {16}  + \sqrt {36} }}{{2\sqrt {25} }} = \frac{{4 + 6}}{{2.5}} = \frac{{10}}{{10}} = 1\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức: \(\sqrt {{A^2}B}  = \left| A \right|\sqrt B ;\,\,\,\sqrt {AB}  = \sqrt A .\sqrt B .\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}P = \sqrt 5 \left( {\sqrt {10}  - \sqrt {40} } \right) = \sqrt 5 \left( {\sqrt {10}  - \sqrt {4.10} } \right) = \sqrt 5 \left( {\sqrt {10}  - 2\sqrt {10} } \right)\\ = \sqrt 5 .\left( { - \sqrt {10} } \right) =  - \sqrt 5 .\sqrt {10}  =  - \sqrt {5.10}  =  - \sqrt {50}  =  - \sqrt {25.2}  =  - 5\sqrt 2 .\end{array}\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức: \(\sqrt {{A^2}B}  = \left| A \right|\sqrt B  = \left\{ \begin{array}{l}A\sqrt B \,\,\,khi\,\,\,A \ge 0\\ - A\sqrt B \,\,khi\,\,A < 0\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}P = \sqrt {125}  + \sqrt {20}  - \sqrt {80}  = \sqrt {{5^2}.5}  + \sqrt {{2^2}.5}  - \sqrt {{4^2}.5} \\\,\,\,\,\, = 5\sqrt 5  + 2\sqrt 5  - 4\sqrt 5  = 3\sqrt 5 .\end{array}\)

Chọn  C.

Phương pháp giải:

Đặt nhân tử chung ở tử số sau đó rút gọn phân thức hoặc sử dụng phương pháp trục căn thức ở mẫu.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\frac{{3 + \sqrt 3 }}{{\sqrt 3  + 1}} = \frac{{\sqrt 3 \left( {\sqrt 3  + 1} \right)}}{{\sqrt 3  + 1}} = \sqrt 3 .\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Sử dụng hằng đẳng thức \(\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right|\).

Lời giải chi tiết:

\(A = 2\sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 5 } \right)}^2}}  + \sqrt {20}  - 20\sqrt {\dfrac{1}{5}} \)

\(\begin{array}{l}A = 2\left| {2 - \sqrt 5 } \right| + \sqrt {4.5}  - 4.5.\dfrac{1}{{\sqrt 5 }}\\A = 2\left( {\sqrt 5  - 2} \right) + 2\sqrt 5  - 4\sqrt 5 \,\,\,\,\left( {Do\,\,2 - \sqrt 5  < 0} \right)\\A = 2\sqrt 5  - 4 + 2\sqrt 5  - 4\sqrt 5 \\A =  - 4\end{array}\)

Vậy \(A =  - 4\).

Phương pháp giải:

Với \(B \ge 0\), ta có \(\sqrt {{A^2}.B}  = \left| A \right|\sqrt B  = \left\{ \begin{array}{l}A\sqrt B \,\,\,\,khi\,\,\,\,A \ge 0\\ - A\sqrt B \,\,\,khi\,\,\,A < 0\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\sqrt {75}  + \sqrt {48}  - \sqrt {300} \\ = \sqrt {25.3}  + \sqrt {16.3}  - \sqrt {100.3} \\ = \sqrt {{5^2}.3}  + \sqrt {{4^2}.3}  - \sqrt {{{10}^2}.3} \\ = 5\sqrt 3  + 4\sqrt 3  - 10\sqrt 3 \\ = \left( {5 + 4 - 10} \right)\sqrt 3  =  - \sqrt 3 .\end{array}\)                                                          

Chọn C.

Phương pháp giải:

Với \(B \ge 0\), ta có \(\sqrt {{A^2}.B}  = \left| A \right|\sqrt B  = \left\{ \begin{array}{l}A\sqrt B \,\,\,\,khi\,\,\,\,A \ge 0\\ - A\sqrt B \,\,\,khi\,\,\,A < 0\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

+ Đáp án A. \(0,1\sqrt {40000}  = 0,1\sqrt {{{200}^2}} \)\( = 0,1.200 = 20\)\( \Rightarrow \) A đúng

+ Đáp án B. \( - 0,005\sqrt {62500}  =  - 0,005\sqrt {{{250}^2}} \)\( =  - 0.005.250 =  - 1,25\)\( \Rightarrow \) B đúng

+ Đáp án C. \(\sqrt {98}  - \sqrt {72}  + 0,5\sqrt 8 \) \( = \sqrt {49.2}  - \sqrt {36.2}  + 0,5\sqrt {4.2} \)

\( = \sqrt {{7^2}.2}  - \sqrt {{6^2}.2}  + 0,5\sqrt {{2^2}.2} \)

\( = 7\sqrt 2  - 6\sqrt 2  + 0,5.2\sqrt 2 \)

\(\begin{array}{l} = \left( {7 - 6 + 0,5.2} \right)\sqrt 2 \\ = \left( {7 - 6 + 1} \right)\sqrt 2 \\ = 2\sqrt 2 \end{array}\)

\( \Rightarrow \) C đúng.

Chọn D.

Phương pháp giải:

Với \(B \ge 0\), ta có \(\sqrt {{A^2}.B}  = \left| A \right|\sqrt B  = \left\{ \begin{array}{l}A\sqrt B \,\,\,\,khi\,\,\,\,A \ge 0\\ - A\sqrt B \,\,\,khi\,\,\,A < 0\end{array} \right..\)

Sử dụng công thức hằng đẳng thức : \(\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,\,khi\,\,\,A \ge 0\\ - A\,\,\,khi\,\,\,A < 0\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,2\sqrt {40\sqrt {12} }  - 2\sqrt {\sqrt {75} }  - 3\sqrt {5\sqrt {48} } \\ = 2\sqrt {40\sqrt {4.3} }  - 2\sqrt {\sqrt {25.3} }  - 3\sqrt {5\sqrt {16.3} } \\ = 2\sqrt {40.2\sqrt 3 }  - 2\sqrt {5\sqrt 3 }  - 3\sqrt {5.4\sqrt 3 } \\ = 2\sqrt {80} .\sqrt {\sqrt 3 }  - 2\sqrt 5 .\sqrt {\sqrt 3 }  - 3\sqrt {20} .\sqrt {\sqrt 3 } \\ = 2\sqrt {16.5} \sqrt {\sqrt 3 }  - 2\sqrt 5 .\sqrt {\sqrt 3 }  - 3\sqrt {4.5} .\sqrt {\sqrt 3 } \\ = 2.4\sqrt 5 .\sqrt {\sqrt 3 }  - 2\sqrt 5 .\sqrt {\sqrt 3 }  - 3.2\sqrt 5 .\sqrt {\sqrt 3 } \\ = \left( {2.4 - 2 - 3.2} \right)\sqrt 5 .\sqrt {\sqrt 3 } \\ = 0.\sqrt 5 .\sqrt {\sqrt 3 }  = 0.\end{array}\)

Chọn B.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}a)\,\,\frac{1}{{xy}}\sqrt {\frac{{{x^2}{y^2}}}{2}}  = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\sqrt 2 }}{2}.\sqrt {\frac{{{x^2}{y^2}}}{{{x^2}{y^2}}}} \,\,\,khi\,\,\,xy > 0\\ - \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\sqrt {\frac{{{x^2}{y^2}}}{{{x^2}{y^2}}}} \,\,\,khi\,\,\,xy < 0\end{array} \right. = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\sqrt 2 }}{2}\,\,\,khi\,\,\,xy > 0\\ - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\,\,\,khi\,\,\,xy < 0\end{array} \right..\\b)\,\,\,a\sqrt 2  = \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {2{a^2}} \,\,\,\,khi\,\,\,a \ge 0\\ - \sqrt {2{a^2}} \,\,\,\,khi\,\,\,a < 0\end{array} \right..\\c)\,\, - \frac{a}{b}\sqrt {\frac{b}{a}} \,\,\,\,\left( {a > 0,\,\,b > 0} \right)\end{array}\)

Ta có: \(a > 0;\,\,b > 0 \Rightarrow \frac{a}{b} > 0\)

\( \Rightarrow  - \frac{a}{b}\sqrt {\frac{b}{a}}  =  - \sqrt {{{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^2}\frac{b}{a}}  =  - \sqrt {\frac{a}{b}} .\)

\(d)\,\,a\sqrt {\frac{3}{a}} \)

Điều kiện: \(a > 0.\)

Ta có: \(a\sqrt {\frac{3}{a}}  = \sqrt {{a^2}.\frac{3}{a}}  = \sqrt {3a} .\)

\(e)\,\,\frac{1}{{2x - 1}}\sqrt {5\left( {1 - 4x + 4{x^2}} \right)} = \left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {\frac{1}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}.5{{\left( {1 - 2x} \right)}^2}} \,\,\,khi\,\,\,2x - 1 > 0\\
- \sqrt {\frac{1}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}.5{{\left( {1 - 2x} \right)}^2}} \,\,\,\,khi\,\,\,2x - 1 < 0
\end{array} \right. = \left\{ \begin{array}{l}
\sqrt 5 \,\,\,khi\,\,\,x > \frac{1}{2}\\
- \sqrt 5 \,\,\,\,khi\,\,\,x < \frac{1}{2}\,\,\,
\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

Lời giải chi tiết:

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{& a)\,\,2x - 7\sqrt x  - 9 = 2x + 2\sqrt x  - 9\sqrt x  - 9  \cr &  = 2\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right) - 9\left( {\sqrt x  + 1} \right)  \cr &  = \left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {2\sqrt x  - 9} \right).  \cr  & b)\,x - 9 = {\left( {\sqrt x } \right)^2} - {3^2}  \cr &  = \left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right).  \cr & c)\,\,x\sqrt x  - 1 = {\left( {\sqrt x } \right)^3} - 1  \cr &  = \left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {x + \sqrt x  + 1} \right).  \cr &  \cr} \)

\( \eqalign{& d)\,3x + 2\sqrt x  - 5 = 3x - 3\sqrt x  + 5\sqrt x  - 5  \cr  &  = 3\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right) + 5\left( {\sqrt x  - 1} \right)  \cr  &  = \left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {3\sqrt x  + 5} \right).  \cr & e)\,4\sqrt x  - x - 4 =  - \left( {x - 4\sqrt x  + 4} \right)  \cr &  =  - {\left( {\sqrt x  - 2} \right)^2}.  \cr & f)\,x + \sqrt x  - 6 = x + 3\sqrt x  - 2\sqrt x  - 6  \cr  &  = \sqrt x \left( {\sqrt x  + 3} \right) - 2\left( {\sqrt x  + 3} \right)  \cr  &  = \left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right). \cr} \)

Phương pháp giải:

Phương  pháp:

+) Câu a: Khai căn thức bậc hai dựa vào công thức: \(\sqrt{{{A}^{2}}.B}=\left| A \right|\sqrt{B}.\) Sau đó rút gọn biểu thức bằng cách thực hiện các phép tính.

+) Câu b: Bỏ căn bậc hai bằng công thức: \(\sqrt{{{A}^{2}}}=\left| A \right|=\left\{ \begin{align}  & A\,\,\,\,khi\,\,\,\,A\ge 0 \\ & -A\,\,\,\,khi\,\,\,A<0 \\\end{align} \right..\)

  Và bỏ căn thức ở mẫu bằng cách trục căn thức ở mẫu: \(\frac{C}{A-\sqrt{B}}=\frac{C\left( A+\sqrt{B} \right)}{{{A}^{2}}-B}.\)

Lời giải chi tiết:

Giải:

a)

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\sqrt {18} - \frac{1}{2}\sqrt {48} - \sqrt 8 + \frac{{4 - 5\sqrt 2 }}{{5 - 2\sqrt 2 }}\\ = 3\sqrt 2 - \frac{1}{2}.4\sqrt 3 - 2\sqrt 2 + \frac{{\sqrt 2 \left( {2\sqrt 2 - 5} \right)}}{{5 - 2\sqrt 2 }}\\ = \sqrt 2 - 2\sqrt 3 - \sqrt 2 = - 2\sqrt 3 .\end{array}\)

b) 

\(\begin{array}{l}\,\,\,\sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 7 } \right)}^2}} - \sqrt {\frac{1}{{8 - 3\sqrt 7 }}} = \left| {2 - \sqrt 7 } \right| - \sqrt {\frac{{{{\left( {3 + \sqrt 7 } \right)}^2}}}{{64 - 63}}} \\ = \sqrt 7 - 2 - \left| {3 + \sqrt 7 } \right| = \sqrt 7 - 2 - 3 - \sqrt 7 = - 5.\end{array}\)

c)

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\frac{{\sqrt {8 - 4\sqrt 3 } }}{{\sqrt {\sqrt 6 - \sqrt 2 } }}.\sqrt {\sqrt 6 + \sqrt 2 } = \frac{{\sqrt {6 - 2.\sqrt 6 .\sqrt 2 + } 2}}{{\sqrt {\sqrt 6 - \sqrt 2 } }}.\sqrt {\sqrt 6 + \sqrt 2 } \\ = \sqrt {\frac{{{{\left( {\sqrt 6 - \sqrt 2 } \right)}^2}}}{{\sqrt 6 - \sqrt 2 }}} .\sqrt {\sqrt 6 + \sqrt 2 } = \sqrt {\left( {\sqrt 6 - \sqrt 2 } \right)\left( {\sqrt 6 + \sqrt 2 } \right)} \\ = \sqrt {6 - 2} = \sqrt 4 = 2.\end{array}\)

Phương pháp giải:

+) Sử dụng công thức: \(\sqrt {{A^2}B}  = \left| A \right|\sqrt B  = \left\{ \begin{array}{l}A\sqrt B \;\;\;khi\;\;\;A \ge 0\\ - A\sqrt B \;\;\;khi\;\;\;A < 0\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}a)\;A = 5\sqrt {27}  - 5\sqrt 3  - 2\sqrt {12} \\\;\;\;\;\;\;\; = 5\sqrt {{3^2}.3}  - 5\sqrt 3  - 2\sqrt {{2^2}.3} \\\;\;\;\;\;\;\; = 5.3\sqrt 3  - 5\sqrt 5  - 2.2\sqrt 3 \\\;\;\;\;\;\;\; = 6\sqrt 3 .\end{array}\)                                      \(\begin{array}{l}b)\;B = \frac{{\sqrt {15}  - \sqrt 3 }}{{\sqrt 5  - 1}} - \frac{{\sqrt {15}  + \sqrt 3 }}{{\sqrt 5  + 1}}\\\;\;\;\;\;\;\; = \frac{{\sqrt 3 \left( {\sqrt 5  - 1} \right)}}{{\sqrt 5  - 1}} - \frac{{\sqrt 3 \left( {\sqrt 5  + 1} \right)}}{{\sqrt 5  + 1}}\\\;\;\;\;\;\;\; = \sqrt 3  - \sqrt 3  = 0.\end{array}\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

1) Áp dụng công thức \(\sqrt {{a^2}b}  = a\sqrt b \left( {a,b \ge 0} \right)\)

2) Áp dụng công thức \(\sqrt {{a^2}}  = \left| a \right| = \left\{ \begin{array}{l}a\;\;khi\;\;a \ge 0\\ - a\;\;khi\;a\; < \;0\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

Thực hiện phép tính:

\(\begin{array}{l}1)\;\;A = \sqrt {12}  - 2\sqrt {48}  + \frac{7}{5}\sqrt {75} \\\;\;\; = \sqrt {{2^2}.3}  - 2\sqrt {{4^2}.3}  + \frac{7}{5}\sqrt {{5^2}.3} \\\;\;\; = 2\sqrt 3  - 2.4\sqrt 3  + \frac{7}{5}.5\sqrt 3  = \sqrt 3 .\end{array}\)

Vậy \(A = \sqrt 3 \).\(\)

\(\begin{array}{l}2)\;\;B = \sqrt {14 - 6\sqrt 5 }  + \sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 5 } \right)}^2}} \\\;\;\;\;\;\;\; = \sqrt {{3^2} + 2.3.\sqrt 5  + {{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2}}  + \sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 5 } \right)}^2}} \\\;\;\;\;\;\;\; = \sqrt {{{\left( {3 + \sqrt 5 } \right)}^2}}  + \sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 5 } \right)}^2}} \\\;\;\;\;\;\;\; = \left| {3 + \sqrt 5 } \right| + \left| {2 - \sqrt 5 } \right|\\\;\;\;\;\;\;\; = 3 + \sqrt 5  + \sqrt 5  - 2\; = 2\sqrt {5 + 1} .\;\;\;\left( {do\;\;\;\sqrt 5  - 2 > 0} \right)\end{array}\)

Vậy \(B = 2\sqrt 5  + 1\)

Chọn A.