40 bài tập trắc nghiệm xác suất của biến cố mức độ vận dụng

Làm đề thi

Câu hỏi 1 :

Có \(60\) quả cầu được đánh số từ \(1\) đến \(60.\) Lấy ngẫu nhiên đồng thời hai quả cầu rồi nhân các số trên hai quả cầu với nhau. Tính xác suất để tích nhận được là số chia hết cho \(10.\)

  • A \(\dfrac{{209}}{{590}}\)
  • B \(\dfrac{{161}}{{590}}\)         
  • C \(\dfrac{{53}}{{590}}\)
  • D \(\dfrac{{78}}{{295}}\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Gọi biến cố A: “Lấy được hai quả cầu mà tích hai số trên hai quả cầu chia hết cho 10”.

TH1: Hai quả cầu lấy được có đúng một quả mang số chia hết cho 10

TH2: Hai quả cầu lấy dược đều là số chia hết cho 10

TH3: Hai quả cầu lấy được có 1 quả cầu là số chia hết cho 2 (nhưng không chia hết cho 5) và 1 quả cầu mang số chia hết cho 5 (nhưng không chia hết cho 2)

Xác suất của biến cố A là: \(P\left( A \right) = \dfrac{{{n_A}}}{{{n_\Omega }}}.\)

 

Lời giải chi tiết:

Số cách lấy ngẫu nhiên hai quả cầu trong số 60 quả cầu đã cho là: \(C_{60}^2\) cách lấy.

Gọi biến cố A: “Lấy được hai quả cầu mà tích hai số trên hai quả cầu chia hết cho 10”.

TH1: Hai quả cầu lấy được có đúng một quả mang số chia hết cho 10

\( \Rightarrow \) Có \(C_6^1.C_{54}^1\) cách lấy.

TH2: Hai quả cầu lấy dược đều là số chia hết cho 10

\( \Rightarrow \) Có \(C_6^2\) cách lấy.

TH3: Hai quả cầu lấy được có 1 quả cầu là số chia hết cho 2 (nhưng không chia hết cho 5) và 1 quả cầu mang số chia hết cho 5 (nhưng không chia hết cho 2)

\( \Rightarrow \) Có \(\left( {30 - 6} \right)\left( {12 - 6} \right) = 24.6 = 144\) cách lấy.

\( \Rightarrow {n_A} = C_6^1.C_{54}^1 + C_6^2 + 144 = 483\) cách lấy.

\( \Rightarrow P\left( A \right) = \dfrac{{483}}{{C_{60}^2}} = \dfrac{{161}}{{590}}.\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 2 :

Gọi A là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 8 chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số thuộc A. Xác suất để số tự nhiên được chọn chia hết cho 25 bằng:

  • A \(\dfrac{{43}}{{324}}\)
  • B \(\dfrac{1}{{27}}\)
  • C \(\dfrac{{11}}{{324}}\)
  • D \(\dfrac{{17}}{{81}}\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

- Gọi số tự nhiên có 8 chữ số khác nhau là \(X = \overline {{a_1}{a_2}...{a_8}} \,\,\left( {{a_1} \ne 0} \right)\). Tìm số các số tự nhiên có 8 chữ số khác nhau.

- Tính số phần tử của không gian mẫu.

- Gọi M là biến cố: “số tự nhiên được chọn chia hết cho 25”. Phân tích \(X = \overline {{a_1}{a_2}...{a_8}}  = {a_1}{.10^7} + {a_2}{.10^6} + {a_3}{.10^5} + {a_4}{.10^4} + {a_5}{.10^3} + {a_6}{.10^2} + {a_7}.10 + {a_8}\), chứng minh \(X\,\, \vdots \,\,25 \Leftrightarrow 10{a_7} + {a_8}\,\, \vdots \,\,25\).

- Xác định các cặp số \(\left( {{a_7};{a_8}} \right)\) thỏa mãn \(10{a_7} + {a_8}\,\, \vdots \,\,25\), từ đó tính số phần tử của biến cố M.

- Tính xác suất của biến cố M: \(P\left( M \right) = \dfrac{{n\left( M \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}}\).

Lời giải chi tiết:

Gọi số tự nhiên có 8 chữ số khác nhau là \(X = \overline {{a_1}{a_2}...{a_8}} \,\,\left( {{a_1} \ne 0} \right)\).

Số cách chọn \({a_1}\): 9 cách.

Số cách chọn 7 chữ số còn lại: \(A_9^7\) cách.

\( \Rightarrow \) Tập hợp A có \(9.A_9^7\) số tự nhiên có 8 chữ số khác nhau.

Chọn ngẫu nhiên 1 số thuộc A \( \Rightarrow \) Không gian mẫu \(n\left( \Omega  \right) = C_{9.A_9^7}^1 = 9.A_9^7\).

Gọi M là biến cố: “số tự nhiên được chọn chia hết cho 25”.

Ta có: \(X = \overline {{a_1}{a_2}...{a_8}}  = {a_1}{.10^7} + {a_2}{.10^6} + {a_3}{.10^5} + {a_4}{.10^4} + {a_5}{.10^3} + {a_6}{.10^2} + {a_7}.10 + {a_8}\).

Vì \({10^k}\,\, \vdots \,\,25\,\,\forall k = \overline {2;8} ,\,\,k \in \mathbb{N}\) nên \(X\,\, \vdots \,\,25 \Leftrightarrow 10{a_7} + {a_8}\,\, \vdots \,\,25\).

Do \({a_7},\,\,{a_8} \in \mathbb{N},\,\,0 \le {a_7},\,\,{a_8} \le 9\), \({a_7} \ne {a_8}\)  nên \(0 < 10{a_7} + {a_8} \le 99\).

\( \Rightarrow 10{a_7} + {a_8} \in \left\{ {25;50;75} \right\}\).

Lại có số chia hết cho 25 là số có tận cùng là 0 hoặc 5 nên \({a_8} \in \left\{ {0;5} \right\}\).

TH1: \(10{a_7} + {a_8} = 25 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{a_8} = 0\\{a_7} = \dfrac{{25}}{{10}}\end{array} \right.\,\,\left( {KTM} \right)\\\left\{ \begin{array}{l}{a_8} = 5\\{a_7} = 2\end{array} \right.\,\,\left( {TM} \right)\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow \) Có 1 cách chọn \({a_7},\,\,{a_8}\).

Số cách chọn \({a_1}\): 7 cách \(\left( {{a_1} \ne 0,\,\,{a_1} \ne {a_7},\,{a_8}} \right)\).

Số cách chọn 5 chữ số còn lại: \(A_7^5\) cách.

\( \Rightarrow \) Có \(7.A_7^5\) số.

TH2:  \(10{a_7} + {a_8} = 50 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{a_8} = 0\\{a_7} = 5\end{array} \right.\,\,\left( {TM} \right)\\\left\{ \begin{array}{l}{a_8} = 5\\{a_7} = \dfrac{{45}}{{10}}\end{array} \right.\,\,\left( {KTM} \right)\end{array} \right.\).

\(\) Có 1 cách chọn \({a_7},\,\,{a_8}\).

Số cách chọn \({a_1}\): 8 cách \(\left( {{a_1} \ne {a_7},\,{a_8}} \right)\).

Số cách chọn 5 chữ số còn lại: \(A_7^5\) cách.

\( \Rightarrow \) Có \(8.A_7^5\) số.

TH3:  \(10{a_7} + {a_8} = 75 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{a_8} = 0\\{a_7} = \dfrac{{75}}{{10}}\end{array} \right.\,\,\left( {KTM} \right)\\\left\{ \begin{array}{l}{a_8} = 5\\{a_7} = 7\end{array} \right.\,\,\left( {TM} \right)\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow \) Có 1 cách chọn \({a_7},\,\,{a_8}\).

Số cách chọn \({a_1}\): 7 cách \(\left( {{a_1} \ne 0,\,\,{a_1} \ne {a_7},\,{a_8}} \right)\).

Số cách chọn 5 chữ số còn lại: \(A_7^5\) cách.

\( \Rightarrow \) Có \(7.A_7^5\) số.

\( \Rightarrow n\left( M \right) = 2.7.A_7^5 + 8.A_7^5 = 55440\).

Vậy xác suất của biến cố M là \(P\left( M \right) = \dfrac{{n\left( M \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \dfrac{{55440}}{{9.A_9^7}} = \dfrac{{11}}{{324}}\) 

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 3 :

Cho các chữ số 0,1,2,3,4,5,6. Gọi \(S\) là tập hợp các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số đã cho. Lấy ngẫu nhiên 2 chữ số từ \(S\), gọi \(A\) là biến cố: “tổng hai số lấy được là một số chẵn”. Xác suất của biến cố \(A\) là:

  • A \(P\left( A \right) = \dfrac{{C_{480}^2 + C_{240}^2}}{{C_{720}^2}}\)
  • B \(P\left( A \right) = \dfrac{{C_{400}^2 + C_{320}^2}}{{C_{720}^2}}\)
  • C \(P\left( A \right) = \dfrac{{C_{300}^2 + C_{420}^2}}{{C_{720}^2}}\)
  • D \(P\left( A \right) = 1 - \dfrac{{C_{300}^2 + C_{420}^2}}{{C_{720}^2}}\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

- Gọi số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau là \(\overline {abcd} \,\,\left( {a \ne 0,\,\,a \ne b \ne c \ne d} \right)\). Chọn lần lượt từng chữ số, áp dụng quy tắc nhân tính số phần tử của tập hợp \(S\).

- Chọn ngẫu nhiên 2 số từ \(S\) \( \Rightarrow \) Không gian mẫu.

- Tính số các số chẵn và số các số lẻ trong tập hợp \(S\).

- Gọi A là biến cố: “tổng hai số lấy được là một số chẵn” \( \Rightarrow \) Cả hai số lấy được hoặc cùng chẵn, hoặc cùng lẻ. Tính số phần tử của biến cố A.

- Tính xác suất của biến cố A là: \(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}}\).

Lời giải chi tiết:

Gọi số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau là \(\overline {abcd} \,\,\left( {a \ne 0,\,\,a \ne b \ne c \ne d} \right)\).

- Số cách chọn \(a\): 6 cách.

- Số cách chọn \(b,c,d\): \(A_6^3\) cách.

\( \Rightarrow \) Có \(6.A_6^3 = 720\) số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

\( \Rightarrow \) Tập hợp \(S\) có 720 phần tử.

Chọn ngẫu nhiên 2 số từ \(S\) \( \Rightarrow \) Không gian mẫu: \(n\left( \Omega  \right) = C_{720}^2\).

Trong các số \(0,1,2,3,4,5,6\) có 4 số chẵn và 3 số lẻ.

a. Tính số các số chẵn được lập từ 7 chữ số trên:

Nếu số đó có dạng \(\overline {abc0}  \Rightarrow \) có \(A_6^3 = 120\) số thỏa mãn.

Nếu số đó dạng \(\overline {abcd} ;\,\,\,d \in \left\{ {2;4;6} \right\} \Rightarrow \) có \(3.5.A_5^2 = 300\) số thỏa mãn.

Vậy có 420 số chẵn được tạo từ các số đã cho.

b. Tính số các số lẻ được lập từ 7 chữ số trên:

Số các số lẻ \( = 720 - 420 = 300\) số.

Gọi A là biến cố: “tổng hai số lấy được là một số chẵn” \( \Rightarrow \) Cả hai số lấy được hoặc cùng chẵn, hoặc cùng lẻ.

- Lấy hai số chẵn từ tập \(S\) có \(C_{420}^2\) cách.

- Lấy hai số lẻ từ tập \(S\) có \(C_{300}^2\) cách.

\( \Rightarrow n\left( A \right) = C_{420}^2 + C_{300}^2\).

Vậy xác suất của biến cố A là: \(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \dfrac{{C_{300}^2 + C_{420}^2}}{{C_{720}^2}}\).

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 4 :

Có 6 học sinh gồm 2 học sinh lớp A, 2 học sinh lớp B và 2 học sinh lớp C xếp ngẫu nhiên thành một hàng ngang. Tính xác suất để nhóm bất kì 3 học sinh liền kề nhau trong hàng luôn có mặt học sinh của ba lớp A, B, C

  • A \(\dfrac{1}{{120}}\).
  • B \(\dfrac{1}{3}\).
  • C \(\dfrac{1}{{30}}\).
  • D \(\dfrac{1}{{15}}\).

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Xác suất của biến cố A: \(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}}\)

Lời giải chi tiết:

Số phần tử của không gian mẫu: \(n\left( \Omega  \right) = 6!\)

Để nhóm bất kì 3 học sinh liền kề nhau trong hàng luôn có mặt học sinh của ba lớp A, B, C thì dãy 6 học sinh là 2 bộ hoán vị trùng nhau của bộ 3 hs A, B, C

Ví dụ: ABC.ABC

Số phần tử của A là: \(n\left( A \right) = 3! = 6\)\( \Rightarrow P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \dfrac{6}{{6!}} = \dfrac{1}{{120}}\).

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 5 :

Một người chơi trò gieo súc sắc. Mỗi ván gieo đồng thời ba con súc sắc. Người chơi thắng cuộc nếu xuất hiện ít nhất 2 mặt sáu chấm. Tính xác suất để trong ba ván, người đó thắng ít nhất hai ván

  • A \(\dfrac{1}{{1296}}\)
  • B \(\dfrac{{308}}{{19683}}\)
  • C \(\dfrac{{58}}{{19683}}\)
  • D \(\dfrac{{53}}{{23328}}\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

- Tính xác suất để người đó gieo súc sắc thắng.

- Tính xác suất để người đó thắng ít nhất hai ván.

Chi thành hai TH: thắng 2 ván và thắng 3 ván.

Lời giải chi tiết:

- Tính xác suất để người đó gieo súc sắc thắng trong 1 ván (nghĩa là gieo được ít nhất 2 mặt 6 chấm).

Số phần tử của không gian mẫu \(n\left( \Omega  \right) = {6^3} = 216\)

Gọi A là biến cố: “Gieo được ít nhất 2 mặt 6 chấm”

Số cách gieo được hai mặt 6 chấm là: \(C_3^2.1.1.5 = 15\) cách

Số cách gieo được ba mặt 6 chấm là: \(1\) cách

Số cách gieo được ít nhất 2 mặt 6 chấm là: \(n\left( A \right) = 15 + 1 = 16\) cách

Xác suất để người đó gieo thắng 1 ván là: \(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \dfrac{{16}}{{216}} = \dfrac{2}{{27}}\)

Do đó xác suất để thua 1 ván là \(1 - P\left( A \right) = 1 - \dfrac{2}{{27}} = \dfrac{{25}}{{27}}\)

- Tính xác suất để người đó thắng ít nhất 2 ván.

TH1: Thắng 2 ván, thua 1 ván

Xác suất để người đó thắng 2 ván thua 1 ván là \(C_3^2.\dfrac{2}{{27}}.\dfrac{2}{{27}}.\dfrac{{25}}{{27}} = \dfrac{{100}}{{6561}}\)

Xác suất để người đó thắng cả 3 ván là: \({\left( {\dfrac{2}{{27}}} \right)^3} = \dfrac{8}{{19683}}\)

Theo quy tắc cộng xác suất ta có: Xác suất để người đó thắng ít nhất 2 ván là:

\(P = \dfrac{{100}}{{6561}} + \dfrac{8}{{19683}} = \dfrac{{308}}{{19683}}\).

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 6 :

Nhân ngày khai trương siêu thị MC, các khách hàng vào siêu thị được đánh số thứ tự là các số tự nhiên liên tiếp và có thể được tặng quà (khách hàng đầu tiên được đánh số thứ tự là số 1). Cứ 4 khách vào MC thì khách thứ 4 được tặng một cái lược chải tóc, cứ 5 khách vào MC thì khách thứ 5 được tặng một cái khăn mặt, cứ 6 khách vào MC thì khách thứ 6 được tặng một hộp kem đánh răng. Sau 30 phút mở cửa, có 200 khách đầu tiên vào MC và tất cả khách vẫn ở trong MC. Chọn ngẫu nhiên 1 khách trong 200 khách đầu tiên, xác suất để chọn được khách hàng được tặng cả 3 món quà là:

  • A \(\dfrac{1}{{200}}\)
  • B \(\dfrac{1}{{100}}\)
  • C \(\dfrac{3}{{100}}\)
  • D \(\dfrac{3}{{200}}\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

- Tính số phần tử của không gian mẫu.

- Gọi A là biến cố: “chọn được khách hàng được tặng cả 3 món quà”. Để khách hàng nhận được cả ba món quà thì số thứ tự của khách hàng đó phải đồng thời chia hết cho 4, 5, 6. Tìm số các số thứ tự thỏa mãn điều kiện.

- Tính xác suất của biến cố A: \(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}}\).

Lời giải chi tiết:

Chọn ngẫu nhiên một khách trong 200 khách \( \Rightarrow n\left( \Omega  \right) = C_{200}^1 = 200\).

Gọi A là biến cố: “chọn được khách hàng được tặng cả 3 món quà”.

Để khách hàng nhận được cả ba món quà thì số thứ tự của khách hàng đó phải đồng thời chia hết cho 4, 5, 6.

Ta có BCNN(4;5;6) = 60.

Gọi \(x\) là số thứ tự của khách hàng được tặng cả 3 món quà \( \Rightarrow x\,\, \vdots \,\,60,\,\,x \in \left[ {2;100} \right],\,\,x \in \mathbb{N}\).

\( \Rightarrow x \in \left\{ {60;120;180} \right\}\) \( \Rightarrow n\left( A \right) = 3\).

Vậy \(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \dfrac{3}{{200}}\).

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 7 :

Có 50 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 50. Rút ngẫu nhiên 3 thẻ. Xác suất để tổng các số ghi trên 3 thẻ chia hết cho 3 bằng:

  • A \(\dfrac{8}{{89}}\)
  • B \(\dfrac{{11}}{{171}}\)
  • C \(\dfrac{{769}}{{2450}}\)
  • D \(\dfrac{{409}}{{1225}}\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

- Tính số phần tử của không gian mẫu.

- Gọi A là biến cố: “tổng các số ghi trên 3 thẻ chia hết cho 3”.

Ta có các trường hợp sau:

   TH1: Cả 3 số chia hết cho 3 .

   TH2: Cả 3 số chia cho 3 dư 1 .

   TH3: Cả 3 số chia cho 3 dư 2 .

- Tính xác suất của biến cố A: \(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}}\).

Lời giải chi tiết:

Rút ngẫu nhiên 3 thẻ từ 50 tấm thẻ \( \Rightarrow n\left( \Omega  \right) = C_{50}^3\).

Gọi A là biến cố: “tổng các số ghi trên 3 thẻ chia hết cho 3”.

Ta chia 50 tấm thẻ thành 3 tập hợp:

\(\begin{array}{l}A = \left\{ {1;4;7;10;13;16;....;49} \right\}\,\,\,\left( {17pt} \right)\\B = \left\{ {2;5;8;11;14;17;...;50} \right\}\,\,\,\,\left( {17pt} \right)\\C = \left\{ {3;6;9;12;15;18;...;48} \right\}\,\,\,\left( {16pt} \right)\end{array}\)

Để tổng 3 số trên 3 tấm thẻ chia hết cho 3 ta có các trường hợp sau:

TH1: Cả 3 số chia hết cho 3 \( \Rightarrow \) Có \(C_{16}^3\) cách chọn.

TH2: Cả 3 số chia cho 3 dư 1 \( \Rightarrow \) Có \(C_{17}^3\) cách chọn.

TH3: Cả 3 số chia cho 3 dư 2 \( \Rightarrow \) Có \(C_{17}^3\) cách chọn.

TH4: 1 số chia hết cho 3, 1 số chia 3 dư 1, 1 số chia 3 dư 2 \( \Rightarrow \) Có \(C_{16}^1.C_{17}^1.C_{17}^1\) cách chọn.

\( \Rightarrow n\left( A \right) = C_{16}^3 + C_{17}^3 + C_{17}^3 + C_{16}^1.C_{17}^1.C_{17}^1 = 6544\).

Vậy xác suất của biến cố A là: \(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \dfrac{{6544}}{{C_{50}^3}} = \dfrac{{409}}{{1225}}\).

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 8 :

Một hộp chứa 10 quả cầu được đánh số theo thứ tự từ 1 đến 10, lấy ngẫu nhiên 5 quả cầu. Xác suất để tích các số ghi trên 5 quả cầu đó chia hết cho 3 bằng:

  • A \(\dfrac{5}{{12}}\)
  • B \(\dfrac{7}{{12}}\)
  • C \(\dfrac{1}{{12}}\)
  • D \(\dfrac{{11}}{{12}}\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

- Tính số phần tử của không gian mẫu.

- Gọi A là biến cố: “tích các số ghi trên 5 quả cầu đó chia hết cho 3”. Để tích 5 số chia hết cho 3 thì trong 5 số phải có ít nhất 1 số thuộc tập X. Xét biến cố đối.

- Sử dụng công thức \(P\left( A \right) = 1 - P\left( {\bar A} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Chọn ngẫu nhiên 5 quả cầu từ 10 quả cầu \( \Rightarrow \) Không gian mẫu: \(n\left( \Omega  \right) = C_{10}^5\).

Gọi A là biến cố: “tích các số ghi trên 5 quả cầu đó chia hết cho 3”.

Ta chia các số từ 1 đến 10 thành 2 tập hợp: \(X = \left\{ {3;6;9} \right\}\) và \(Y = \left\{ {1;2;4;5;7;8;10} \right\}\).

Để tích 5 số chia hết cho 3 thì trong 5 số phải có ít nhất 1 số thuộc tập X.

Xét biến cố đối: “Không có số nào trong 5 số chia hết cho 3” \( \Rightarrow \) Chọn 5 số từ tập hợp Y có \(C_7^5\) cách.

\( \Rightarrow n\left( {\bar A} \right) = C_7^5\) \( \Rightarrow P\left( {\bar A} \right) = \dfrac{{C_7^5}}{{C_{10}^5}} = \dfrac{1}{{12}}\).

Vậy \(P\left( A \right) = 1 - P\left( {\bar A} \right) = \dfrac{{11}}{{12}}\).

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 9 :

Một hộp chứa 12 tấm thẻ được đánh bằng các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 12. Chọn ngẫu nhiên ra ba tấm thẻ. Xác suất để tích số ghi trên ba tấm thẻ là một số chẵn bằng:

  • A \(\dfrac{{11}}{{12}}\)
  • B \(\dfrac{1}{3}\)
  • C \(\dfrac{{10}}{{11}}\)
  • D \(\dfrac{1}{2}\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

- Tính số phần tử của không gian mẫu.

- Gọi Gọi A là biến cố: “tích số ghi trên ba tấm thẻ là một số chẵn” \( \Rightarrow \) Biến cố đối: \(\bar A\): “tích số ghi trên ba tấm thẻ là một số lẻ”. Khi đó cả 3 tấm thẻ được chọn mang số lẻ, tính \(n\left( {\bar A} \right)\).

- Tính xác suất của biến cố: \(P\left( A \right) = 1 - P\left( {\bar A} \right) = 1 - \dfrac{{n\left( {\bar A} \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}}\).

Lời giải chi tiết:

Không gian mẫu: \(n\left( \Omega  \right) = C_{12}^3 = 220\).

Gọi A là biến cố: “tích số ghi trên ba tấm thẻ là một số chẵn” \( \Rightarrow \) Biến cố đối: \(\bar A\): “tích số ghi trên ba tấm thẻ là một số lẻ”.

\( \Rightarrow \) Cả 3 tấm thẻ được chọn mang số lẻ \( \Rightarrow n\left( {\bar A} \right) = C_6^3 = 20\).

\( \Rightarrow P\left( {\bar A} \right) = \dfrac{{n\left( {\bar A} \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \dfrac{{20}}{{220}} = \dfrac{1}{{11}}\).

Vậy \(P\left( A \right) = 1 - P\left( {\bar A} \right) = 1 - \dfrac{1}{{11}} = \dfrac{{10}}{{11}}\).

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 10 :

Có 8 quyển sách Địa lí, 12 quyển sách Lịch sử, 10 quyển sách Giáo dục công dân (các quyển sách cùng một môn thì giống nhau) được chia thành 15 phần quà, mỗi phần gồm 2 quyển khác loại. Lấy ngẫu nhiên 2 phần quà từ 15 phần quà. Xác suất để hai phần quà lấy được khác nhau là:

  • A \(\dfrac{{71}}{{105}}\)
  • B \(\dfrac{{59}}{{190}}\)
  • C \(\dfrac{{131}}{{190}}\)
  • D \(\dfrac{7}{{45}}\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

- Gọi số phần quà Sử - Địa là \(x\), số phần quà Sử - GDCD là \(y\) và số phần quà Địa – GDCD là \(z\), lập hệ phương trình giải tìm \(x,\,\,y,\,\,z\).

- Tính không gian mẫu.

- Gọi A là biến cố: “hai phần quà lấy được khác nhau”, tính số phần tử của biến cố A.

- Tính xác suất của biến cố A: \(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}}\).

Lời giải chi tiết:

Gọi số phần quà Sử - Địa là \(x\), số phần quà Sử - GDCD là \(y\) và số phần quà Địa – GDCD là \(z\) ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}x + y + z = 15\\x + y = 12\\y + z = 10\\x + z = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = 7\\z = 3\end{array} \right.\)

Suy ra số phần qùa Sử - Địa là 5.

            Số phần quà Sử - GDCD là 7.

            Số phần quà Địa – GDCD là 3.

Chọn 2 trong 15 phần quà \( \Rightarrow \) Không gian mẫu \(n\left( \Omega  \right) = C_{15}^2 = 105\).

Gọi A là biến cố: “hai phần quà lấy được khác nhau”, khi đó ta có:

\(n\left( A \right) = C_5^1.C_7^1 + C_7^1.C_3^1 + C_3^1.C_5^1 = 71\).

Vậy \(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \dfrac{{71}}{{105}}\).

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 11 :

Gọi \(S\) là tập hợp các số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập \(S\). Tìm xác suất để số được chọn có các chữ số sắp xếp theo thứ tự tăng dần và không chứa hai chữ số nguyên nào liên tiếp nhau.

  • A \(\dfrac{1}{{36}}\)
  • B \(\dfrac{2}{3}\)
  • C \(\dfrac{5}{{63}}\)
  • D \(\dfrac{5}{{1512}}\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

- Gọi số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau là \(\overline {abcd} \,\,\left( {a \ne 0,\,\,a,b,c,d \in \mathbb{N},\,\,0 \le a,b,c,d \le 9} \right)\). Tính số phần tử của không gian mẫu.

- Gọi A là biến cố: “Số được chọn có các chữ số sắp xếp theo thứ tự tăng dần và không chứa hai chữ số nguyên nào liên tiếp nhau” \( \Rightarrow 1 \le a < b < c < d \le 9\).

- Từ yêu cầu bài toán, suy ra được điều kiện \(1 \le a < b - 1 < c - 2 < d - 3 \le 6\), chọn cặp các chữ số \(\left( {a;b - 1;c - 2;d - 3} \right)\) thỏa mãn điều kiện trên, từ đó tính được \(n\left( A \right)\).

- Tính xác suất của biến cố A: \(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}}\).

Lời giải chi tiết:

Gọi số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau là \(\overline {abcd} \,\,\left( {a \ne 0,\,\,a,b,c,d \in \mathbb{N},\,\,0 \le a,b,c,d \le 9} \right)\).

- Số cách chọn \(a\): 9 cách \(\left( {a \ne 0} \right)\).

- Số cách chọn \(b,\,\,c,\,\,d\): \(A_9^3 = 504\) cách.

\( \Rightarrow \) Số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega  \right) = 9.504 = 4536\).

Gọi A là biến cố: “Số được chọn có các chữ số sắp xếp theo thứ tự tăng dần và không chứa hai chữ số nguyên nào liên tiếp nhau”.

\( \Rightarrow 1 \le a < b < c < d \le 9\).

Vì các số \(a,\,\,b,\,\,c,\,\,d\) không có hai số nào là hai số nguyên liên tiếp nên ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}b > a + 1\\c > b + 1\\d > c + 1\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a < b - 1\\b < c - 1 \Rightarrow b - 1 < c - 2\\c < d - 1 \Rightarrow c - 2 < d - 3\end{array} \right.\).

Khi đó ta có \(1 \le a < b - 1 < c - 2 < d - 3 \le 6\).

Số cách chọn được 1 bộ số \(\left( {a;b - 1;c - 2;d - 3} \right)\) là \(C_6^4 = 15\) cách. Ứng với mỗi cách chọn 1 bộ số \(\left( {a;b - 1;c - 2;d - 3} \right)\) ta được 1 bộ số \(\left( {a;b;c;d} \right)\) thỏa mãn yêu cầu bài toán \( \Rightarrow n\left( A \right) = 15\).

Vậy xác suất của biến cố A là \(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \dfrac{{15}}{{4536}} = \dfrac{5}{{1512}}\).

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 12 :

Xếp ngẫu nhiên 3 học sinh lớp A, 2 học sinh lớp B và 1 học sinh lớp C vào sáu ghế xếp quanh một bàn tròn (một học sinh ngồi đúng một ghế). Tính xác suất để học sinh lớp C ngồi giữa 2 học sinh lớp B.

  • A \(\dfrac{2}{{13}}\)
  • B \(\dfrac{1}{{10}}\)
  • C \(\dfrac{2}{7}\)
  • D \(\dfrac{3}{{14}}\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

- Tính số phần tử của không gian mẫu.

- Gọi A là biến cố: “Học sinh lớp C ngồi giữa 2 học sinh lớp B”.

   + Xếp cố định 1 học sinh lớp C.

   + Xếp 2 học sinh lớp B.

   + Xếp 3 học sinh còn lại.

- Tính xác suất của biến cố A: \(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}}\).

Lời giải chi tiết:

Xếp 6 học sinh quanh một bàn tròn \( \Rightarrow n\left( \Omega  \right) = 5! = 120\).

Gọi A là biến cố: “Học sinh lớp C ngồi giữa 2 học sinh lớp B”.

Cố định học sinh lớp C, xếp 2 học sinh lớp B ngồi hai bên học sinh lớp C có \(2! = 2\) cách.

Xếp 3 học sinh lớp A vào 3 ghế còn lại có \(3! = 6\) cách.

\( \Rightarrow n\left( A \right) = 2.6 = 12\).

Vậy xác suất của biến cố A là: \(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \dfrac{{12}}{{120}} = \dfrac{1}{{10}}\).

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 13 :

Gieo con xúc xắc được chế tạo cân đối và đồng chất 2 lần liên tiếp độc lập. Gọi a là số chấm xuất hiện trong lần gieo thứ nhất, b là số chấm xuất hiện trong lần gieo thứ hai. Xác suất để phương trình \({x^2} + ax + b = 0\) có nghiệm bằng:

  • A \(\frac{{17}}{{36}}\)
  • B \(\frac{{19}}{{36}}\)
  • C \(12\)
  • D \(\frac{4}{9}\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

- Dựa vào phương trình để tìm điêu kiện của \(a;b.\)

- Tính xác suất của bài toán.

Lời giải chi tiết:

Ta có \({x^2} + ax + b = 0\) có nghiệm khi \(\Delta  = {a^2} - 4b \ge 0 \Leftrightarrow {a^2} \ge 4b\).

Mà \(1 \le a;\,\,\,b \le 6\) nên ta xét các trường hợp sau:

\( + )\,\,\,b = 1 \Rightarrow a \in \left\{ {2;3;4;5;6} \right\} \Rightarrow \) có 5 cặp số thỏa mãn.

\( + )\,\,\,b = 2 \Rightarrow a \in \left\{ {3;4;5;6} \right\} \Rightarrow \) có 4 cặp thỏa mãn.

\( + )\,\,\,b = 3 \Rightarrow a \in \left\{ {4;5;6} \right\} \Rightarrow \) có 3 cặp thỏa mãn.

\( + )\,\,\,b = 4 \Rightarrow a \in \left\{ {4;5;6} \right\} \Rightarrow \) có 3 cặp thỏa mãn.

\( + )\,\,\,\,b = 5 \Rightarrow a \in \left\{ {5;6} \right\} \Rightarrow \) có 2 cặp thỏa mãn.

\( + )\,\,\,b = 6 \Rightarrow a \in \left\{ {5;6} \right\} \Rightarrow \) có 2 cặp thỏa mãn.

Vậy tổng có 19 cặp thỏa mãn\( \Rightarrow n\left( A \right) = 19\). Mà không gian mẫu là \({6^2} = 36\).

Vậy xác suất của bài toán là \(P = \frac{{19}}{{36}}\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 14 :

Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 4 chữ số đội một khác nhau lập thành từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập \(S\). Tính xác suất để số được chọn có đúng 2 chữ số chẵn.

  • A \(\dfrac{{24}}{{35}}\)
  • B \(\dfrac{{144}}{{245}}\)
  • C \(\dfrac{{72}}{{245}}\)
  • D \(\dfrac{{18}}{{35}}\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

- Tính số phần tử của không gian mẫu.

- Gọi A là biến cố: “Số được chọn có đúng 2 chữ số chẵn”, số phần tử của A bằng Số các số có 4 chữ số khác nhau trong đó có 2 chữ số chẵn, hai chữ số lẻ là \({\left( {C_4^2} \right)^2}.4!\) (bao gồm cả số có chữ số 0 đứng đầu) - Số các số có 4 chữ số khác nhau trong đó có 2 chữ số chẵn, hai chữ số lẻ trong đó bắt buộc chữ số 0 đứng đầu.

- Tính xác suất của biến cố A: \(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}}\).

Lời giải chi tiết:

Gọi số tự nhiên có 4 chữ số là \(\overline {abcd} \,\,\,\left( {a \ne 0} \right)\).

Không gian mẫu: \(n\left( \Omega  \right) = 7.A_7^3 = 1470\).

Gọi A là biến cố: “Số được chọn có đúng 2 chữ số chẵn”.

Chọn 2 chữ số chẵn trong các số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có \(C_4^2\) cách, chọn 2 chữ số lẻ trong các số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có \(C_4^2\) cách.

\( \Rightarrow \) Số các số có 4 chữ số khác nhau trong đó có 2 chữ số chẵn, hai chữ số lẻ là \({\left( {C_4^2} \right)^2}.4!\) (bao gồm cả số có chữ số 0 đứng đầu).

Số các số có 4 chữ số khác nhau trong đó có 2 chữ số chẵn, hai chữ số lẻ trong đó bắt buộc chữ số 0 đứng đầu là: \(C_3^1.C_4^2.3!\).

\( \Rightarrow n\left( A \right) = {\left( {C_4^2} \right)^2}.4! - C_3^1.C_4^2.3! = 756\).

Vậy \(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \dfrac{{756}}{{1470}} = \dfrac{{18}}{{35}}\).

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 15 :

Một lớp có 36 chiếc ghế đơn được xếp thành hình vuông \(6 \times 6\). Giáo viên muốn xếp 36 học sinh của lớp, trong đó có em Kỷ và Hợi ngồi vào số ghế trên, mỗi học sinh ngồi một ghế. Xác suất để hai em Kỷ và Hợi ngồi cạnh nhau theo hàng dọc hoặc hàng ngang là

  • A \(\dfrac{1}{{21}}.\)
  • B \(\dfrac{1}{7}.\)
  • C \(\dfrac{4}{{21}}.\)
  • D \(\dfrac{2}{{21}}.\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

- Tìm số cách để sắp xếp Kỷ và Hợi.

- Tìm số cách sắp xếp 34 bạn còn lại.

- Áp dụng quy tắc nhân rồi tính xác suất.

Lời giải chi tiết:

Xếp 36 em học sinh vào 36 ghế \( \Rightarrow \) Không gian mẫu \(n\left( \Omega  \right) = 36!\).

Gọi A là biến cố: “Hai em Kỷ và Hợi ngồi cạnh nhau theo một hàng ngang hoặc một hàng dọc”.

Chọn 1 hàng hoặc cột để xếp Kỷ và Hợi có 12 cách.

Trên mỗi hàng hoặc cột xếp 2 em Kỷ và Hợi gần nhau có \(5.2 = 10\) cách.

Sắp xếp 34 bạn còn lại có 34! cách.

\( \Rightarrow n\left( A \right) = 12.10.34!\).

Vậy xác suất của biến cố A là: \(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \dfrac{{12.10.34!}}{{36!}} = \dfrac{2}{{21}}\).

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 16 :

Ban chỉ đạo phòng chống dịch Covid-19 của sở Y tế Nghệ An có 9 người, trong đó có đúng 4 bác sĩ. Chia ngẫu nhiên Ban đó thành 3 tổ, mỗi tổ có 3 người để đi kiểm tra công tác phòng dịch ở địa phương. Trong mỗi tổ, chọn ngẫu nhiên một người làm Tổ trưởng. Xác suất để ba tổ trưởng đều là ba bác sĩ là:

  • A \(\dfrac{1}{{42}}\)
  • B \(\dfrac{1}{{21}}\)
  • C \(\dfrac{1}{{14}}\)
  • D \(\dfrac{1}{7}\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

- Tính số phần tử của không gian mẫu: Chọn mỗi tổ 3 người, sau đó chọn 1 người làm đội trưởng.

- Gọi A là biến cố: “ba tổ trường đều là ba bác sĩ”. Tính số phần tử của biến cố A.

- Tính xác suất của biến cố A.

Lời giải chi tiết:

+ Tính số phần tử của không gian mẫu:

Chọn 3 người cho tổ 1 có \(C_9^3\) cách. Chọn 1 người làm tổ trưởng có 3 cách.

Chọn 3 người cho tổ 2 có \(C_6^3\) cách. Chọn 1 người làm tổ trưởng có 3 cách.

Chọn 3 người cho tổ 3 có \(C_3^3\) cách. Chọn 1 người làm tổ trưởng có 3 cách.

\( \Rightarrow n\left( \Omega  \right) = C_9^3.C_6^3.C_3^3{.3^3} = 45360\).

+ Gọi A là biến cố: “ba tổ trường đều là ba bác sĩ”, tức là mỗi tổ có ít nhất 1 bác sĩ.

TH1: Tổ 1 có 2 bác sĩ, chọn 1 bác sĩ làm tổ trưởng, 2 tổ còn lại mỗi tổ có 1 bác sĩ.

\( \Rightarrow \) Có \(C_4^2.C_2^1.C_5^1.C_2^1.C_4^2 = 720\) cách.

TH2: Tổ 2 có 2 bác sĩ, chọn 1 bác sĩ làm tổ trưởng, 2 tổ còn lại mỗi tổ có 1 bác sĩ.

Tương tự TH1, có \(720\) cách.

TH3: Tổ 3 có 2 bác sĩ, chọn 1 bác sĩ làm tổ trưởng, 2 tổ còn lại mỗi tổ có 1 bác sĩ.

Tương tự TH1, có \(720\) cách.

\( \Rightarrow n\left( A \right) = 720.3 = 2160\).

Vậy \(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \dfrac{{2160}}{{45360}} = \dfrac{1}{{21}}\).

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 17 :

Một số điện thoại có bảy chữ số, trong đó chữ số đầu tiên là 8 . Số điện thoại này được gọi là may mắn nếu bốn chữ số đầu là chữ số chẵn phân biệt và ba chữ số còn lại là lẻ, đồng thời hai chữ số 0 và 9 không đứng liền nhau. Tính xác suất để một người khi lắp điện thoại ngẫu nhiên được số điện thoại may mắn.

  • A \(P\left( A \right) = \dfrac{{51}}{{{{10}^4}}}\).
  • B \(P\left( A \right) = \dfrac{{285}}{{{{10}^6}}}\).
  • C \(P\left( A \right) = \dfrac{{51}}{{{{10}^5}}}\).
  • D \(P\left( A \right) = \dfrac{{285}}{{{{10}^5}}}\).

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Xác suất của biến cố A là: \(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}}\).

Lời giải chi tiết:

Gọi số đó là: \(\overline {8{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}{a_6}} \).

Số phần tử của không gian mẫu: \(n\left( \Omega  \right) = {10^6}\)

Giả sử, biến cố A: ‘Số điện thoại này là may mắn”

Trong các số đó, số các số mà bốn chữ số đầu là chữ số chẵn phân biệt và ba chữ số còn lại là lẻ là: \(A_4^3{.5^3}\) (số)

Trong các số đó, số các số mà bốn chữ số đầu là chữ số chẵn phân biệt và ba chữ số còn lại là lẻ, đồng thời, số 0 và 9 đứng liền nhau (tức là : \({a_3} = 0,\,\,{a_4} = 9\))  là: \(A_3^2{.5^2}\) (số)

\( \Rightarrow n\left( A \right) = A_4^3{.5^3} - A_3^2{.5^2}\)\( \Rightarrow P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \dfrac{{2850}}{{{{10}^6}}} = \dfrac{{285}}{{{{10}^5}}}\).

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 18 :

Xếp ngẫu nhiên 5 học sinh A, B, C, D, E ngồi vào một dãy 5 ghế thẳng hàng (mỗi bạn ngồi 1 ghế). Tính xác suất để hai bạn AB không ngồi cạnh nhau.

  • A \(\dfrac{1}{5}.\)
  • B \(\dfrac{3}{5}.\)
  • C \(\dfrac{2}{5}.\)
  • D \(\dfrac{4}{5}.\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

- Tính số phần tử của không gian mẫu, sử dụng hoán vị.

- Gọi X là biến cố: “hai bạn A và B không ngồi cạnh nhau”, xác định biến cố đối \(\bar X\).

- Tính số phần tử của biến cố đối \(\bar X\).

- Tính xác suất của biến cố đối \(\bar X\).

- Tính xác suất của biến cố X: \(P\left( X \right) = 1 - P\left( {\bar X} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Xếp 5 học sinh A, B, C, D, E vào một dãy 5 ghế thẳng hàng có \(5!\) cách xếp \( \Rightarrow n\left( \Omega  \right) = 5! = 120\).

Gọi X là biến cố: “hai bạn A và B không ngồi cạnh nhau” \( \Rightarrow \) Biến cố đối \(\bar X\): “hai bạn A và B ngồi cạnh nhau”.

Buộc hai bạn A và B coi là 1 phần tử, có 2! cách đổi chỗ 2 bạn A và B trong buộc này.

Bài toán trở thành xếp 4 bạn (AB), C, D, E vào một dãy 4 ghế thẳng hàng \( \Rightarrow \) Có 4! cách xếp.

\( \Rightarrow n\left( {\bar X} \right) = 2!.4! = 48\).

\( \Rightarrow P\left( {\bar X} \right) = \dfrac{{n\left( {\bar X} \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \dfrac{{48}}{{120}} = \dfrac{2}{5}\).

Vậy \(P\left( X \right) = 1 - P\left( {\bar X} \right) = 1 - \dfrac{2}{5} = \dfrac{3}{5}\).

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 19 :

Xếp 4 bạn nam và 2 bạn nữ thành một hàng ngang. Xác suất để 2 bạn nữ không ngồi cạnh nhau bằng

  • A \(\dfrac{1}{6}\)
  • B \(\dfrac{1}{3}\)
  • C \(\dfrac{1}{4}\)
  • D \(\dfrac{2}{3}\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Sử dụng nguyên tắc vách ngăn: Xếp 4 bạn nam trước, tạo thành 5 vách ngăn, sau đó xếp 2 bạn nữ vào 2 trong 5 vách ngăn đó.

Lời giải chi tiết:

Xếp 4 bạn nam và 2 bạn nữ thành một hàng ngang \( \Rightarrow n\left( \Omega  \right) = 6! = 720\).

Gọi A là biến cố: “2 bạn nữ không ngồi cạnh nhau”.

Xếp 4 bạn nam có 4! cách, khi đó sẽ tạo ra 5 khoảng trống giữa 4 bạn nam, xếp 2 bạn nữ vào 2 trong 5 khoảng trống này có \(A_5^2\) cách.

\( \Rightarrow n\left( A \right) = 4!.A_5^2 = 480\).

Vậy \(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \dfrac{{480}}{{720}} = \dfrac{2}{3}\).

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 20 :

Một công ty may mặc có hai hệ thống máy may chạy song song. Xác suất để hệ thống máy thứ nhất hoạt động tốt là 90%, hệ thống thứ hai hoạt động tốt là 85%. Công ty chỉ có thể hoàn thành đơn hàng đúng hạn nếu ít nhất một trong hai hệ thống máy may hoạt động tốt. Xác suất để công ty hoàn thành đơn hàng đúng hạn là:

  • A \(2\% \)
  • B \(72\% \)
  • C \(98\% \)
  • D \(80\% \)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

- Gọi \({A_1}\) là biến cố máy thứ nhất hoạt động tốt, \({A_2}\) là biến cố máy thứ hai hoạt động tốt.

- Dựa vào giả thiết xác định \(P\left( {{A_1}} \right),\,\,P\left( {\overline {{A_1}} } \right)\), \(P\left( {{A_2}} \right),\,\,P\left( {\overline {{A_2}} } \right)\).

- Xác suất để công ty hoàn thành đơn hàng đúng hạn là: \(P = P\left( {{A_1}} \right).P\left( {\overline {{A_2}} } \right) + P\left( {{A_2}} \right).P\left( {\overline {{A_1}} } \right) + P\left( {{A_1}} \right).P\left( {{A_2}} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \({A_1}\) là biến cố máy thứ nhất hoạt động tốt, \({A_2}\) là biến cố máy thứ hai hoạt động tốt.

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}P\left( {{A_1}} \right) = 90\% ,\,\,P\left( {\overline {{A_1}} } \right) = 10\% \\P\left( {{A_2}} \right) = 85\% ,\,\,P\left( {\overline {{A_2}} } \right) = 15\% \end{array} \right.\).

Vậy xác suất để công ty hoàn thành đơn hàng đúng hạn là:

\(\begin{array}{l}P = P\left( {{A_1}} \right).P\left( {\overline {{A_2}} } \right) + P\left( {{A_2}} \right).P\left( {\overline {{A_1}} } \right) + P\left( {{A_1}} \right).P\left( {{A_2}} \right)\\\,\,\,\,\, = 90\% .15\%  + 85\% .10\%  + 90\% .85\% \\\,\,\,\,\, = 98,5\% \end{array}\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 21 :

Chọn ngẫu nhiên một số từ tập các số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau. Xác suất để số được chọn có tổng các chữ số là chẵn bằng:

  • A \(\dfrac{{41}}{{81}}\)
  • B \(\dfrac{4}{9}\)
  • C \(\dfrac{1}{2}\)     
  • D \(\dfrac{{16}}{{81}}\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

- Đường thẳng đi qua \(M,\,\,N\) nhận \(\overrightarrow {MN} \) là 1 VTCP.

- Mọi vectơ cùng phương với \(\overrightarrow {MN} \) đều là VTCP của đường thẳng \(d\).

Lời giải chi tiết:

Gọi số có 3 chữ số là \(\overline {abc} \,\,\left( {a,\,\,b,\,\,c \in \mathbb{N},\,\,0 \le a,\,b,\,\,c \le 9,\,\,a \ne 0} \right)\) \(\left( {a \ne b \ne c} \right)\).

Số cách chọn \(a\) là 9 cách \(\left( {a \ne 0} \right)\).

Số cách chọn \(b\) là 9 cách.

Số cách chọn \(c\) là 8 cách.

\( \Rightarrow \) Không gian mẫu \(n\left( \Omega  \right) = 9.9.8 = 648\).

Gọi A là biến cố: “Số được chọn có tổng các chữ số là chẵn”.

\( \Rightarrow a + b + c\) là số chẵn, khi đó ta có các trường hợp sau:

TH1: \(a,\,\,b,\,\,c\) đều là các số chẵn.

Chọn \(a\) có 4 cách chọn \(\left( {a \in \left\{ {2;4;6;8} \right\}} \right)\).

Chọn \(b\) có 4 cách chọn \(\left( {b \in \left\{ {0;2;4;6;8} \right\},\,\,b \ne a} \right)\),

Chọn \(c\) có 3 cách chọn \(\left( {c \in \left\{ {0;2;4;6;8} \right\},\,\,c \ne a,\,\,c \ne b} \right)\).

\( \Rightarrow \) Có \(4.4.3 = 48\) số.

TH2: \(a\) chẵn, \(b,\,\,c\) lẻ.

Chọn \(a\) có 4 cách chọn \(\left( {a \in \left\{ {2;4;6;8} \right\}} \right)\).

Chọn \(b\) có 5 cách chọn \(\left( {b \in \left\{ {1;3;5;7;9} \right\}} \right)\),

Chọn \(c\) có 4 cách chọn \(\left( {c \in \left\{ {1;3;5;7;9} \right\},\,\,c \ne b} \right)\).

\( \Rightarrow \) Có \(4.5.4 = 80\) số.

TH3: \(b\) chẵn, \(a,\,\,c\) lẻ.

Chọn \(a\) có 5 cách chọn \(\left( {a \in \left\{ {1;3;5;7;9} \right\}} \right)\).

Chọn \(b\) có 5 cách chọn \(\left( {b \in \left\{ {0;2;4;6;8} \right\}} \right)\),

Chọn \(c\) có 4 cách chọn \(\left( {c \in \left\{ {1;3;5;7;9} \right\},\,\,c \ne a} \right)\).

\( \Rightarrow \) Có \(5.5.4 = 100\) số.

TH4: \(c\) chẵn, \(a,\,\,b\) lẻ.

Chọn \(a\) có 5 cách chọn \(\left( {a \in \left\{ {1;3;5;7;9} \right\}} \right)\).

Chọn \(b\) có 4 cách chọn \(\left( {b \in \left\{ {1;3;5;7;9} \right\},\,\,b \ne a} \right)\),

Chọn \(c\) có 5 cách chọn \(\left( {c \in \left\{ {0;2;4;6;8} \right\}} \right)\).

\( \Rightarrow \) Có \(5.5.4 = 100\) số.

\( \Rightarrow n\left( A \right) = 48 + 80 + 100 + 100 = 328\).

Vậy xác suất của biến cố A là \(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \dfrac{{328}}{{648}} = \dfrac{{41}}{{81}}\).

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 22 :

Chọn ngẫu nhiên một số từ tập các số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau. Xác suất để số chọn được có tổng các chữ số hàng trăm và hàng đơn vị bằng hai lần chữ số hàng chục là:

  • A \(\dfrac{5}{{81}}\)
  • B

    \(\dfrac{1}{{18}}\)

  • C \(\dfrac{5}{{162}}\)
  • D \(\dfrac{2}{{81}}\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

- Gọi số có 3 chữ số là \(\overline {abc} \,\,\left( {0 \le a,\,\,b,\,\,c \le 9,\,\,a \ne 0,\,\,a,\,\,b,\,\,c \in \mathbb{N}} \right)\). Tính số phần tử của không gian mẫu.

- Gọi A là biến cố: “số chọn được có tổng các chữ số hàng trăm và hàng đơn vị bằng hai lần chữ số hàng chục”. Suy ra \(a + c = 2b\) \( \Rightarrow \) \(a,\,\,c\) cùng tính chẵn lẻ.

- Chia các TH: TH1: \(\left\{ {a;c} \right\} \in \left\{ {1;3;5;7;9} \right\}\) và TH2: \(\left\{ {a;c} \right\} \in \left\{ {0;2;4;6;8} \right\}\).

- Tính số phần tử của biến cố A.

- Tính xác suất của biến cố A: \(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}}\).

Lời giải chi tiết:

Gọi số có 3 chữ số là \(\overline {abc} \,\,\left( {0 \le a,\,\,b,\,\,c \le 9,\,\,a \ne 0,\,\,a,\,\,b,\,\,c \in \mathbb{N}} \right)\).

Số cách chọn \(a\) là: 9 cách \(\left( {a \ne 0} \right)\).

Số cách chọn \(b\) là 9 cách \(\left( {b \ne a} \right)\).

Số cách chọn \(c\) là: 8 cách \(\left( {c \ne a,\,\,b} \right)\).

Không gian mẫu: \(n\left( \Omega  \right) = 9.9.8 = 648\).

Gọi A là biến cố: “số chọn được có tổng các chữ số hàng trăm và hàng đơn vị bằng hai lần chữ số hàng chục”.

Ta có: \(a + c = 2b\) \( \Rightarrow a + c\) là số chẵn, \(a + c > 0\), do đó \(a,\,\,c\) cùng tính chẵn lẻ.

TH1: \(\left\{ {a;c} \right\} \in \left\{ {1;3;5;7;9} \right\}\).

- Số cách chọn \(a,\,\,c\) là \(A_5^2 = 20\) cách.

- Ứng với mỗi cách chọn \(a,\,\,c\) có duy nhất 1 cách chọn \(b\).

\( \Rightarrow \) TH1 có \(20\) số thỏa mãn.

TH2: \(\left\{ {a;c} \right\} \in \left\{ {0;2;4;6;8} \right\}\).

- Số cách chọn \(a,\,\,c\) là \(A_5^2 - 4 = 16\) cách (Trừ 4 bộ số mà \(a = 0\)).

- Ứng với mỗi cách chọn \(a,\,\,c\) có duy nhất 1 cách chọn \(b\).

\( \Rightarrow \) TH2 có \(16\) số thỏa mãn.

\( \Rightarrow n\left( A \right) = 20 + 16 = 36\).

Vậy \(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \dfrac{{36}}{{648}} = \dfrac{1}{{18}}\).

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 23 :

Chọn ngẫu nghiên một số từ tập các số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau. Xác suất để số được chọn có tích các chữ số là số dương và chia hết cho 6.

  • A \(\dfrac{{55}}{{108}}\)
  • B \(\dfrac{{23}}{{54}}\)
  • C \(\dfrac{{13}}{{27}}\)
  • D \(\dfrac{{49}}{{108}}\)

Đáp án: A

Lời giải chi tiết:

Gọi số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau là \(\overline {abc} \,\,\left( {0 \le a,\,\,b,\,\,c \le 9,\,\,a,\,\,b,\,\,c \in \mathbb{N},\,\,a \ne 0} \right)\).

Số cách chọn \(a\) là 9 cách \(\left( {a \ne 0} \right)\).

Số cách chọn \(b\) là 9 cách \(\left( {b \ne a} \right)\).

Số cách chọn \(c\) là 8 cách \(\left( {c \ne a,\,\,b} \right)\).

\( \Rightarrow n\left( \Omega  \right) = 9.9.8 = 648\).

Gọi A là biến cố: “số được chọn có tích các chữ số là số dương và chia hết cho 6.”

Ta có \(abc > 0,\,\,abc\,\, \vdots \,\,6 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}abc\,\, \vdots \,\,2\\abc\,\, \vdots \,\,3\end{array} \right.\).

+ Vì \(abc\,\, \vdots \,\,2\) thì ít nhất một trong các số \(a,\,\,b,\,\,c\) thuộc \(\left\{ {2;4;6;8} \right\}\).

+ Vì \(abc\,\, \vdots \,\,3\) thì ít nhất một trong các số \(a,\,\,b,\,\,c\) thuộc \(\left\{ {3;6;9} \right\}\).

Khi đó ta có các trường hợp sau:

+ TH1: \(\overline {abc} \) có mặt chữ số 6, suy ra có \(3.A_8^2 = 168\) (số).

+ TH2: \(\overline {abc} \) có mặt chữ số 3 hoặc 9, không có mặt chữ số 6 và có ít nhất một trong các số \(a,\,\,b,\,\,c\) thuộc \(\left\{ {2;4;8} \right\}\), có \(2.\left( {C_3^1.C_3^1.3! + C_3^2.3!} \right) + C_3^1.3! = 162\) (số).

\( \Rightarrow n\left( A \right) = 168 + 162 = 330\) (số).

Vậy \(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \dfrac{{330}}{{6498}} = \dfrac{{55}}{{108}}\).

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 24 :

Chọn ngẫu nghiên một số từ tập các số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau. Xác suất để số được chọn là số chia hết cho 3.

  • A \(\dfrac{1}{{36}}\)
  • B \(\dfrac{1}{9}\)
  • C \(\dfrac{{19}}{{54}}\)
  • D \(\dfrac{{11}}{{108}}\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

- Tính số phần tử của không gian mẫu.

- Tính số phần tử của biến cố. Số chia hết cho 3 là số có tổng các chữ số chia hết cho 3.

- Tính xác suất.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(n\left( \Omega  \right) = 9.9.8 = 648\).

Gọi \(N = \overline {abc} \) (với a, b, c \( \in \left\{ {0;1;2;3;4;5;6;7;8;9} \right\}\), a, b, c đôi một khác nhau, \(a \ne 0\) và \(a + b + c\) là số chia hết cho 3).

Gọi \(A = \left\{ {0;3;6;9} \right\},\,\,B = \left\{ {1;4;7} \right\};\,\,C = \left\{ {2;5;8} \right\}\).

Để \(a + b + c\) chia hết cho 3 ta có các trường hợp sau:

+ TH1: a, b, c thuộc A hoặc thuộc B hoặc thuộc C, có \(3.A_3^2 + 3! = 30\) (số).

+ TH2: 3 số a, b, c thuộc 3 tập khác nhau A, B, C, có \(2.C_3^1.C_3^1.2! + C_3^1.C_3^1.C_3^1.3! = 198\) (số).

Vậy có tất cả: 30 + 198 = 228 (số).

Vậy xác suất cần tìm là: \(P = \dfrac{{228}}{{648}} = \dfrac{{19}}{{54}}\).

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 25 :

Cho tập \(A = \left\{ {1;2;...;10} \right\}\). Chọn ngẫu nhiên ba số khác nhau từ tập \(A\). Xác suất để ba số được chọn ra không có hai số nào là hai số nguyên liên tiếp là:

  • A \(\dfrac{{11}}{{15}}\)
  • B \(\dfrac{1}{5}\)
  • C \(\dfrac{7}{{15}}\)
  • D \(\dfrac{8}{{15}}\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Sử dụng biến cố đối: Gọi \(A\) là biến cố: “Ba số được chọn không có 2 số nào là hai số nguyên liên tiếp” \( \Rightarrow \overline A \): “Ba số được chọn có 2 số nguyên liên tiếp”.

Lời giải chi tiết:

Số cách chọn ra ngẫu nhiên 3 số là \(C_{10}^3 \Rightarrow n\left( \Omega  \right) = C_{10}^3 = 120.\)

Gọi \(A\) là biến cố: “Ba số được chọn không có 2 số nào là hai số nguyên liên tiếp” \( \Rightarrow \overline A \): “Ba số được chọn có 2 số nguyên liên tiếp”.

TH1: 3 số chọn ra là 3 số tự nhiên liên tiếp: 8 cách.

TH2: 3 số chọn ra có 2 số tự nhiên liên tiếp.

+ 3 số chọn ra có cặp \(\left( {1;2} \right)\) hoặc \(\left( {9;10} \right)\) có: \(2.7 = 14\) cách.

+ 3 số chọn ra có cặp \(\left\{ {\left( {2;3} \right);\left( {3;4} \right);...;\left( {8;9} \right)} \right\}\) có \(7.6 = 42\) cách.

\( \Rightarrow n\left( A \right) = 120 - 8 - 14 - 42 = 56\).

Vậy \(P\left( A \right) = \dfrac{{56}}{{120}} = \dfrac{7}{{15}}\).  

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 26 :

Chọn ngẫu nhiên hai số khác nhau từ \(25\) số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được hai số có tổng là một số chẵn bằng:

  • A \(\dfrac{1}{2}\)
  • B \(\dfrac{{13}}{{25}}\)            
  • C \(\dfrac{{12}}{{25}}\)
  • D \(\dfrac{{313}}{{625}}\)

Đáp án: C

Lời giải chi tiết:

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 27 :

Ba người cùng bắn vào \(1\) bia. Xác suất để người thứ nhất, thứ hai, thứ ba bắn trúng đích lần lượt là \(0,8\); \(0,6\);\(0,5\). Xác suất để có đúng \(2\) người bắn trúng đích bằng:

  • A \(0,24\)
  • B \(0,96\)
  • C \(0,46\)
  • D \(0,92\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

- Liệt kê và tính xác suất của mỗi trường hợp mà có 2 người trùng đích.

- Sử dụng quy tắc cộng xác suất suy ra đáp án.

Lời giải chi tiết:

Xác suất để người thứ nhất, thứ hai, thứ ba bán trúng đích lần lượt là: \(P\left( {{A_1}} \right) = 0,8\); \(P\left( {{A_2}} \right) = 0,6\) ; \(P\left( {{A_3}} \right) = 0,5.\)

Xác suất để có đúng hai người bán trúng đích bằng:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,P\left( {{A_1}} \right).P\left( {{A_2}} \right).\overline {P\left( {{A_3}} \right)}  + P\left( {{A_1}} \right).\overline {P\left( {{A_2}} \right)} .P\left( {{A_3}} \right) + \overline {P\left( {{A_1}} \right)} .P\left( {{A_2}} \right).P\left( {{A_3}} \right)\\ = 0,8.0,6.0,5 + 0,8.0,4.0,5 + 0.2.0,6.0,5\\ = 0,46.\end{array}\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 28 :

Xác suất bắn trúng đích của một người bắn súng là 0,6. Xác suất để trong ba lần bắn độc lập người đó bắn trúng đích đúng một lần.

  • A \(0,4\)                
  • B \(0,6\)                         
  • C \(0,096\)                   
  • D \(0,288\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức tính xác suất.

Nếu A và B là hai biến cố độc lập thì \(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right)\) . Nếu A và B là hai biến cố xung khắc thì \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)\) . Nếu A và B là hai biến cố đối nhau thì \(P\left( A \right) + P\left( B \right) = 1\)

Lời giải chi tiết:

Gọi A là biến cố “người bắn súng bắn trúng đích”. Ta có \(P\left( A \right) = 0,6\)

Suy ra \(\bar A\)  là  biến cố “người bắn súng không bắn trúng đích”. Ta có \(P\left( {\bar A} \right) = 1 - P\left( A \right) = 1 - 0,6 = 0,4.\)

Xét phép thử “bắn ba lần độc lập” với biến cố “người đó bắn trúng đích đúng một lần”, ta có các biến cố xung khắc sau:

\(B\): “Bắn trúng đích lần đầu và trượt ở hai lần bắn sau”. Ta có \(P\left( B \right) = 0,6.0,4.0,4 = 0,096.\) C: “Bắn trúng đích ở lần bắn thứ hai và trượt ở lần đầu và lần thứ ba”. Ta có

\(P\left( C \right) = 0,4.0,6.0,4 = 0,096.\)

D: “Bắn trúng đích ở lần bắn thứ ba và trượt ở hai lần đầu”. Ta có:

\(P\left( D \right) = 0,4.0,4.0,6 = 0,096.\)

Xác suất để người đó bắn trúng đích đúng một lần là:

\(P = P\left( A \right) + P\left( B \right) + P\left( C \right) = 0,096 + 0,096 + 0,096 = 0,288.\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 29 :

Từ một hộp chứa 19 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 19, chọn ngẫu nhiên 2 thẻ. Xác suất để tích của hai số ghi trên hai thẻ là một số chẵn bằng:

  • A \(\dfrac{{15}}{{19}}\).
  • B \(\dfrac{{14}}{{19}}\).
  • C \(\dfrac{4}{{19}}\).
  • D \(\dfrac{5}{{19}}\).

Đáp án: B

Phương pháp giải:

- Tính số phần tử của không gian mẫu.

- Gọi biến cố A : "Tích của hai số ghi trên thẻ là số chẵn" \( \Rightarrow \overline A \) : " Tích của hai số ghi trên thẻ là số lẻ".

- Tích của hai số ghi trên thẻ là số lẻ khi và chỉ khi cả 2 số đều là số lẻ.

- Tính số cách chọn 2 số lẻ từ các số từ 1 đến 19.

- Tính xác suất của biến cố \(\overline A \) : \(P\left( {\overline A } \right) = \dfrac{{n\left( {\overline A } \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}}\)

- Tính xác suất của biến cố \(A\) : \(P\left( A \right) = 1 - P\left( {\overline A } \right)\).

Lời giải chi tiết:

Số phần tử của không gian mẫu : \(n\left( \Omega  \right) = C_{19}^2.\)

Giả sử biến cố A: ‘Tích của hai số ghi trên hai thẻ là một số chẵn’

\( \Rightarrow \overline A \) : ‘Tích của hai số ghi trên hai thẻ là một số lẻ’ (tức là cả hai số đều lẻ).

Từ 1 đến 19 có \(\left( {19 - 1} \right):2 + 1 = 10\) số lẻ.

Số cách chọn 2 số lẻ từ 10 số lẻ trên là \(C_{10}^2\) \( \Rightarrow {n_{\overline A }} = C_{10}^2.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow P\left( {\overline A } \right) = \dfrac{{C_{10}^2}}{{C_{19}^2}} = \dfrac{5}{{19}}\\ \Rightarrow P\left( A \right) = 1 - \dfrac{5}{{19}} = \dfrac{{14}}{{19}}.\end{array}\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 30 :

Cho tập \(A = \left\{ {1;2;3;4;5;6} \right\}\). Trong các số tự nhiên gồm 6 chữ số được lập từ các chữ số thuộc tập \(A\) ngẫu nhiên một số. Tính xác suất để trong số đó luôn xuất hiện 3 chữ số 2, các chữ số còn lại đôi một khác nhau.

  • A \(\dfrac{{25}}{{972}}\)
  • B \(\dfrac{{35}}{{972}}\)
  • C \(\dfrac{{45}}{{972}}\)  
  • D \(\dfrac{{55}}{{972}}\)  

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Tìm số phần tử của không gian mẫu.

Tính số các cách xếp các chữ số thỏa mãn yêu cầu bài toán và tính xác suất cần tìm.

Lời giải chi tiết:

Lập số tự nhiên có 6 chữ số từ các chữ số thuộc tập \(A\) nên số phần tử của không gian mẫu là:\(\left| \Omega  \right| = {6^6} = 46656\) (phần tử).

Gọi \(X\) là biến cố: “ Lấy ra ngẫu nhiên một số có 6 chữ số lập được sao cho số đó luôn xuất hiện 3 chữ số 2, các chữ số còn lại đôi một khác nhau”. Ta sẽ tìm số phần tử có lợi cho biến cố \(X\).

      Xếp 3 chữ số 2 vào 3 trong 6 vị trí bất kì có \(C_6^3\) cách xếp.

      Lấy ra 3 trong 5 số còn lại của tập \(A\) xếp vào 3 vị trí còn lại của số có 6 chữ số ta có \(C_5^3.3!\) cách xếp

Do đó, số phần tử có lợi cho biến cố \(X\) là \(C_6^3.C_5^3.3! = 1200\)

Vậy xác suất cần tìm là:\({P_X} = \dfrac{{1200}}{{\left| \Omega  \right|}} = \dfrac{{25}}{{972}}\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 31 :

Hai xạ thủ bắn mỗi người một viên đạn vào bia, biết xác suất bắn trúng vòng 10 của xạ thủ thứ nhất là 0,75 và của xạ thủ thứ hai là 0,85. Tính xác suất để có ít nhất một viên bi trúng vòng 10.

  • A \(0,9625\) 
  • B \(0,325\)
  • C \(0,6375\) 
  • D \(0,0375\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp tính xác suất của biến cố đối:

- Tính xác suất để không có viên bi nào trúng vòng 10.

- Từ đó suy ra kết quả của bài toán.

Lời giải chi tiết:

Gọi A là biến cố: “Có ít nhất một viên trúng vòng 10”.

Khi đó biến cố đối của biến cố A là: \(\overline A \): “Không có viên nào trúng vòng 10”.

\( \Rightarrow P\left( {\overline A } \right) = \left( {1 - 0,75} \right).\left( {1 - 0,85} \right) = 0,0375\).

\( \Rightarrow P\left( A \right) = 1 - P\left( {\overline A } \right) = 1 - 0,0375 = 0,9625\).

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 32 :

Một chiếc tàu khoan thăm dò dầu khí trên thềm lục địa có xác suất khoan trúng túi dầu là 0,4. Xác suất để trong 5 lần khoan độc lập, chiếc tàu đó khoan trúng túi dầu ít nhất một lần.

  • A \(0,07776\)      
  • B \(0,84222\)      
  • C \(0,15778\)
  • D \(0,92224\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức tính xác suất.

·        Nếu A và B là hai biến cố độc lập thì \(P(AB) = P(A).P(B)\) .

·        Nếu A và B là hai biến cố xung khắc thì \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\) .

Nếu A và B là hai biến cố đối nhau thì \(P\left( A \right) + P(B) = 1\)

Lời giải chi tiết:

Gọi A là biến cố “chiếc tàu khoan trúng túi dầu”. Ta có \(P\left( A \right) = 0,4\)

Suy ra \(\bar A\)  là  biến cố “chiếc tàu khoan không trúng túi dầu”. Ta có \(P(\bar A) = 0,6\)

Xét phép thử “tàu khoan 5 lần độc lập” với biến cố

B:“chiếc tàu không khoan trúng túi dầu lần nào”, ta có \(P(B) = 0,{6^5} = 0,07776\)

Khi đó ta có \(\bar B\) “chiếc tàu khoan trúng túi dầu ít nhất một lần”. Ta có

\(P\left( {\bar B} \right) = 1 - P(B) = 1 - 0,07776 = 0,92224\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 33 :

Một người chơi trò gieo súc sắc. Mỗi ván gieo đồng thời ba con súc sắc. Người chơi thắng cuộc nếu xuất hiện ít nhất 2 mặt sáu chấm. Tính xác suất để trong ba ván, người đó thắng ít nhất hai ván.

  • A \(\dfrac{1}{{1296}}\)
  • B \(\dfrac{{308}}{{19683}}\)
  • C \(\dfrac{{58}}{{19683}}\)
  • D \(\dfrac{{53}}{{23328}}\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Ta tính xác suất người đó thắng 1 ván.

Sau đó tính xác suất người đó thắng ít nhất hai ván.

Lời giải chi tiết:

Xác suất xuất hiện mặt 6 chấm là \(\dfrac{1}{6}\), xác suất không xuất hiện mặt 6 chấm là \(\dfrac{5}{6}.\)

Người đó chơi thắng nếu xuất hiện ít nhất 2 mặt sáu chấm:

TH1: 2 mặt sáu chấm, 1 mặt không phải sáu chấm \( \Rightarrow \) Xác suất là: \({\left( {\dfrac{1}{6}} \right)^2}.\dfrac{5}{6}\).

TH2: 3 mặt sáu chấm \( \Rightarrow \) Xác suất là \({\left( {\dfrac{1}{6}} \right)^3}\).

\( \Rightarrow \) Xác suất để người đó thắng cuộc: \({\left( {\dfrac{1}{6}} \right)^2}.\dfrac{5}{6} + {\left( {\dfrac{1}{6}} \right)^3} = \dfrac{1}{{36}}\), suy ra xác suất thua 1 ván là \(\dfrac{{35}}{{36}}\).

Vậy xác suất để trong 3 ván, người đó thắng ít nhất hai ván là \({\left( {\dfrac{1}{{36}}} \right)^3} + C_3^2{\left( {\dfrac{1}{{36}}} \right)^2}.\dfrac{{35}}{{36}} = \dfrac{{53}}{{23328}}.\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 34 :

Gọi X là tập các số tự nhiên gồm 9 chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số từ X, tính xác suất để chọn được một số có mặt bốn chữ số lẻ và chữ số 0 luôn đứng giữa hai chữ số lẻ.

  • A \(\dfrac{5}{{54}}\)
  • B \(\dfrac{1}{{7776}}\)
  • C \(\dfrac{{45}}{{54}}\)
  • D \(\dfrac{{49}}{{54}}\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Xác suất của biến cố A là: \(P(A) = \dfrac{{n(A)}}{{n(\Omega )}}\).

Lời giải chi tiết:

Số phần tử của không gian mẫu: \(n\left( \Omega  \right) = 9.9.8.7.6.5.4.3.2 = 648.7!\)

Gọi biến cố A: “chọn được một số có mặt bốn chữ số lẻ và chữ số 0 luôn đứng giữa hai chữ số lẻ”

- Chọn và sắp xếp 2 chữ số lẻ để đặt chữ số 0 vào giữa 2 chữ số đó, có: \(A_5^2\) (cách)

Coi bộ 2 chữ số lẻ đó và chữ số 0 là 1 bộ (3chữ số)

- Chọn 2 chữ số lẻ khác và 4 chữ số chẵn khác 0, có: \(C_3^2.1\) (cách)

Hoán vị 1 bộ (3 chữ số trên) và 6 chữ số vừa được chọn, có: \(7!\) (cách)

\( \Rightarrow n\left( A \right) = A_5^2.C_3^2.7!\)\( \Rightarrow P(A) = \dfrac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \dfrac{{A_5^2.C_3^2.7!}}{{648.7!}} = \dfrac{5}{{54}}\).

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 35 :

Một lớp học có 40 học sinh tỏng đó có 4 cặp anh em sinh đôi. Trong buổi họp đầu năm thầy giáo chủ nhiệm lớp muốn chọn ra 3 học sinh để làm cán sự lớp gồm lớp trưởng, lớp phó và bí thư. Tính xác suất để chọn ra 3 học sinh làm cán bộ lớp mà không có cặp anh em sinh đôi nào

  • A \(\dfrac{{64}}{{65}}\)
  • B \(\dfrac{1}{{65}}\)
  • C \(\dfrac{1}{{256}}\)
  • D \(\dfrac{{255}}{{256}}\)

Đáp án: A

Lời giải chi tiết:

\( + )\) Gọi Số cách chọn ra 3 học sinh bất kỳ là không gian mẫu \( \Rightarrow {n_\Omega } = C_{40}^3 = 9880\)

\( + )\) Gọi A là biến cố chọn 3 cán bộ lớp mà không có cặp sinh đôi nào.

\( \Rightarrow \overline A \) là biến cố chọn 1 cặp sinh đôi.

\( + )\) Đầu tiên chọn 1 cặp sinh đôi trong 4 cặp sinh đôi

Thứ hai chọn 1 cặp sinh đôi còn lại từ 38 bạn

\( \Rightarrow \) Số cách chọn ra 1 cặp sinh đôi là:  \(C_4^1.C_{38}^1 = 152\)

\( \Rightarrow {P_{\overline A }} = \dfrac{{152}}{{9880}} = \dfrac{1}{{65}}\)

\( \Rightarrow {P_A} = 1 - {P_{\overline A }} = 1 - \dfrac{1}{{65}} = \dfrac{{64}}{{65}}\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 36 :

Một trường THPT có 10 lớp 12, mỗi lớp cử 3 học sinh tham gia vẽ tranh cổ động. Các lớp tiến hành bắt tay giao lưu với nhau (các học sinh cùng lớp không bắt tay với nhau). Tính số lần bắt tay của các học sinh với nhau, biết rằng hai học sinh khác nhau ở hai lớp khác nhau chỉ bắt tay đúng 1 lần

  • A 405      
  • B 435      
  • C 30
  • D 45

Đáp án: A

Lời giải chi tiết:

Mỗi lớp cử ra 3 học sinh nên 10 lớp cử ra 30 học sinh

\( \Rightarrow \) Số lần bắt tay (bao gồm cả học sinh cùng lớp) bằng \(C_{30}^2\)

Mà số lần bắt tay của học sinh cùng lớp bằng \(10.C_3^2\)

\( \Rightarrow \) Số lần bắt tay nhau của các học sinh là: \(C_{30}^2 - 10.C_3^2 = 405\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 37 :

Có 5 đoạn thẳng có độ dài lần lượt là 2cm, 4cm, 6cm, 8cm và 10cm. Lấy ngẫu nhiên 3 đoạn thẳng trong 5 đoạn thẳng trên, tính xác suất để 3 đoạn thẳng lấy ra lập thành một tam giác

  • A \(\dfrac{3}{{10}}\)
  • B \(\dfrac{9}{{10}}\)
  • C \(\dfrac{7}{{10}}\)
  • D \(\dfrac{4}{5}\)

Đáp án: A

Lời giải chi tiết:

3 đoạn thẳng với chiều dài a, b, c tạo thành 1 tam giác \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b > c\\a + c > b\\b + c > a\end{array} \right.\)

Gọi: Số cách chọn 3 đoạn thẳng từ 5 đoạn thẳng là không gian mẫu\( \Rightarrow {n_\Omega } = C_5^3 = 10\)

Gọi: A là biến cố: “3 cạnh tạo thành 1 tam giác” \( \Rightarrow {n_A} = 3\left( {2;4;6/2;4;8/4;6;8} \right)\)

\( \Rightarrow {P_A} = \dfrac{3}{{10}}\) .

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 38 :

Có hai hộp. Hộp I đựng 4 gói quà màu đỏ và 6 gói quà màu xanh, hộp II đựng 2 gói quà màu đỏ và 8 gói quà màu xanh. Gieo một con súc sắc, nếu được mặt 6 chấm thì lấy một gói quà từ hộp I, nếu được mặt khác thì lấy một gói quà từ hộp II. Tính xác suất để lấy được gói quà màu đỏ.

  • A \(\dfrac{2}{3}\).
  • B \(\dfrac{7}{{30}}\).
  • C \(\dfrac{{23}}{{30}}\).
  • D \(\dfrac{1}{3}\).

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức cộng và nhân xác suất.

Lời giải chi tiết:

Xác suất lấy được gói quà màu đỏ từ hộp I là: \(\dfrac{1}{6}.\dfrac{4}{{10}} = \dfrac{4}{{60}}\)

Xác suất lấy được gói quà màu đỏ từ hộp II là: \(\dfrac{5}{6}.\dfrac{2}{{10}} = \dfrac{{10}}{{60}}\)

\( \Rightarrow \)Xác suất để lấy được gói quà màu đỏ là: \(\dfrac{4}{{60}} + \dfrac{{10}}{{60}} = \dfrac{{14}}{{60}} = \dfrac{7}{{30}}\).

Chọn: B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 39 :

Trong một kỳ thi vấn đáp thí sinh A phải đứng trước ban giám khảo chọn ngẫu nhiên 3 phiếu câu hỏi từ một thùng phiếu gồm 50 phiếu câu hỏi, trong đó có 4 cặp phiếu câu hỏi mà mỗi cặp phiếu có nội dung khác nhau từng đôi một và trong mỗi một cặp phiếu có nội dung giống nhau. Tính xác suất để thí sinh A chọn được 3 phiếu câu hỏi có nội dung khác nhau

  • A \(\dfrac{3}{4}\)
  • B \(\dfrac{{12}}{{1225}}\)
  • C \(\dfrac{4}{7}\)
  • D \(\dfrac{{1213}}{{1225}}\)

Đáp án: D

Lời giải chi tiết:

\( + )\) Số phần tử của không gian mẫu bốc ngẫu nhiêm 3 phiếu là: \(C_{50}^3\)

\( + )\) Gọi 4 cặp đó là: A; B; C; D, số phiếu không nằm trong 4 cặp trên là 45

Xét biến cố T trong 3 phiếu được chọn sẽ có 2 câu hỏi có cùng nội dung.

Số cách chọn ra 2 phiếu có cùng nội dung là: 4

Số cách chọn ra phiếu còn lại là: 48

\( \Rightarrow \) Số phần tử của T là: \(4.48\)

\( \Rightarrow {P_T} = \dfrac{{4.48}}{{C_{50}^3}}\)

\( \Rightarrow {P_{\overline T }} = 1 - \dfrac{{4.48}}{{C_{50}^3}} = \dfrac{{1213}}{{1225}}\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 40 :

Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có hai chữ số. Chọn ngẫu nhiên đồng thời hai số từ tập hợp S. tính xác suất để hai số được chọn có chữ số hàng đơn vị giống nhau.

  • A \(\dfrac{8}{{89}}\)
  • B \(\dfrac{{81}}{{89}}\)
  • C \(\dfrac{{36}}{{89}}\)
  • D \(\dfrac{{53}}{{89}}\)

Đáp án: A

Lời giải chi tiết:

\( + )\) Số tự nhiên có 2 chữ số là: \(C_9^1.C_{10}^1 = 90\) số

\( + )\)\(\Omega \): “Chọn ngẫu nhiên 2 số từ tập hợp S” \( \Rightarrow {n_\Omega } = C_{90}^2\)

\( + )\) A: “Chọn được 2 số có chữ số hàng đơn vị giống nhau”.

\( \bullet \) TH1: Chữ số hàng đơn vị là 0 \( \Rightarrow \) Có 9 chữ số là: \(10;20;30;40;50;60;70;80;90\)

\( \Rightarrow \) Số cách chọn 2 số là: \(C_9^2\)

Tương tự với các số có chữ số hàng đơn vị là: \(1;2;3;4;5;6;7;8;9\)

\( \Rightarrow \) Có tất cả 10 trường hợp giống nhau.

\( \Rightarrow {n_A} = 10.C_9^2\)

\( \Rightarrow {P_A} = \dfrac{{10.C_9^2}}{{C_{90}^2}} = \dfrac{8}{{89}}\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Xem thêm

>> Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.



Hỏi bài