Phương pháp giải:

Phương pháp:

Tính $\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{u}_{n}}$ hoặc $\underset{n\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,{{u}_{n}}$ và kết luận.

Lời giải chi tiết:

Cách giải:

Ta thấy $-\frac{2}{3}<0\Rightarrow \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( -\frac{2}{3} \right)}^{n}}=0$.

Chọn A.

Phương pháp giải:

Tính như $\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \dfrac{{2n + 1}}{{n + 1}}$: Chia cả tử và mẫu cho bậc cao nhất của mẫu

Lời giải chi tiết:

$I = \lim \dfrac{{2n + 1}}{{n + 1}} = \lim \dfrac{{2 + \dfrac{1}{n}}}{{1 + \dfrac{1}{n}}} = \lim \dfrac{2}{1} = 2$

Chọn đáp án C

Phương pháp giải:

Chia cả tử mẫu của phân thức cho ${{n}^{2}}$.

Lời giải chi tiết:

$\lim {{u}_{n}}=\lim \frac{{{n}^{2}}-3n}{1-4{{n}^{2}}}=\lim \frac{1-\frac{3}{n}}{\frac{1}{{{n}^{2}}}-4}=\frac{1}{-4}=-\frac{1}{4}.$

Chọn B.

Phương pháp giải:

Chia cả tử mẫu của phân thức cho ${{n}^{3}}$.

Lời giải chi tiết:

$\lim {{u}_{n}}=\lim \frac{{{n}^{2}}-3n}{1-4{{n}^{3}}}=\lim \frac{\frac{1}{n}-\frac{3}{{{n}^{2}}}}{\frac{1}{{{n}^{3}}}-4}=\frac{0}{-4}=0.$

Chọn A.

Phương pháp giải:

Chia cả tử mẫu của phân thức cho ${{5}^{n}}$.

Lời giải chi tiết:

$\lim {{u}_{n}}=\lim \frac{{{3}^{n}}+{{5}^{n}}}{{{5}^{n}}}=\lim \frac{{{\left( \frac{3}{5} \right)}^{n}}+1}{1}=\frac{1}{1}=1.$

Chọn B.

Phương pháp giải:

Chia cả tử mẫu của phân thức cho bậc cao nhất của tử và mẫu.

Lời giải chi tiết:

$\begin{align}  & \lim \frac{2{{n}^{2}}-3}{-2{{n}^{3}}-4}=\lim \frac{\frac{2}{n}-\frac{3}{{{n}^{3}}}}{-2-\frac{4}{{{n}^{3}}}}=\frac{0}{-2}=0. \\ & \lim \frac{2{{n}^{2}}-3}{-2{{n}^{2}}-1}=\lim \frac{2-\frac{3}{{{n}^{2}}}}{-2-\frac{1}{{{n}^{2}}}}=\frac{2}{-2}=-1. \\ & \lim \frac{2{{n}^{2}}-3}{2{{n}^{2}}+1}=\lim \frac{2-\frac{3}{{{n}^{2}}}}{2+\frac{1}{{{n}^{2}}}}=\frac{2}{2}=1. \\ & \lim \frac{2{{n}^{3}}-3}{2{{n}^{2}}-1}=\lim \frac{2-\frac{3}{{{n}^{3}}}}{\frac{2}{n}-\frac{1}{{{n}^{3}}}}=+\infty . \\\end{align}$

Chọn B.

Phương pháp giải:

Chia cả tử mẫu của phân thức cho ${{n}^{2}}$.

Lời giải chi tiết:

$\begin{align}  & \lim \frac{{{n}^{2}}-2n}{5n+5{{n}^{2}}}=\lim \frac{1-\frac{2}{n}}{\frac{5}{n}+5}=\frac{1}{5}. \\ & \lim \frac{1+{{n}^{2}}}{5n+5}=\lim \frac{\frac{1}{{{n}^{2}}}+1}{\frac{5}{n}+\frac{5}{{{n}^{2}}}}=+\infty . \\ & \lim \frac{1+2n}{5n+5{{n}^{2}}}=\lim \frac{\frac{1}{{{n}^{2}}}+\frac{2}{n}}{\frac{5}{n}+5}=\frac{0}{5}=0. \\ & \lim \frac{1-{{n}^{2}}}{5n+5}=\lim \frac{\frac{1}{{{n}^{2}}}-1}{\frac{5}{n}+\frac{5}{{{n}^{2}}}}=-\infty . \\\end{align}$

Chọn B.

Phương pháp giải:

+) Sử dụng quy tắc tính giới hạn của dãy số.

Lời giải chi tiết:

Ta có:  $I=\lim \frac{5n+2017}{2n+2018}=\lim \frac{5+\frac{2017}{n}}{2+\frac{2018}{n}}=\frac{5}{2}.$

Chọn A.

Phương pháp giải:

Chia cả tử và mẫu cho bậc cao nhất của mẫu số hoặc bấm máy tính casio

Lời giải chi tiết:

Ta có $\lim \dfrac{8n-1}{\sqrt{4{{n}^{2}}+n+1}}=\lim \dfrac{n\left( 8-\dfrac{1}{n} \right)}{\left| n \right|\sqrt{4+\dfrac{1}{n}+\frac{1}{{{n}^{2}}}}}=\lim \dfrac{8-\dfrac{1}{n}}{\sqrt{4+\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{{{n}^{2}}}}}=4.$

Chọn D.

Lời giải chi tiết:

$\lim {{n}^{k}}=+\infty ,\,\,k\in {{\mathbb{Z}}^{+}}$

Chọn: C

Phương pháp giải:

Dựa vào giới hạn của dãy số để tính.

Lời giải chi tiết:

$\lim \frac{1}{{5n + 2}} = 0$

Chọn B.

Phương pháp giải:

Ta sử dụng cách tìm giới hạn của dãy số: Chia cả tử và mẫu của biểu thức lấy giới hạn cho $n.$ Sau đó áp dụng các công thức $\lim \left( {f\left( x \right) \pm g\left( x \right)} \right) = \lim f\left( x \right) \pm g\left( x \right);\,\lim \dfrac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \dfrac{{\lim \,f\left( x \right)}}{{\lim \,g\left( x \right)}}\,\,;\,\,\left( {\lim \,g\left( x \right) \ne 0} \right)$  với điều kiện các giới hạn tồn tại hữu hạn.

Lời giải chi tiết:

Ta có $I = \lim \dfrac{{3n - 2}}{{n + 1}} = \lim \dfrac{{\dfrac{{3n}}{n} - \dfrac{2}{n}}}{{\dfrac{n}{n} + \dfrac{1}{n}}} = \lim \dfrac{{3 - \dfrac{2}{n}}}{{1 + \dfrac{1}{n}}} = \dfrac{3}{1} = 3$

Chọn  D.

Phương pháp giải:

Khi tìm $\lim \frac{{f(n)}}{{g(n)}}$  ta chia cả tử và mẫu cho ${n^k}$, trong đó $k$ là bậc lớn nhất của tử và mẫu.

$\lim \frac{1}{{{n^k}}} = 0$ với $k \in \mathbb{N}*$

Chú ý:  $\left[ \begin{array}{l}\lim \frac{0}{a} = 0\\\lim \frac{a}{0} = \infty \end{array} \right.$ (a là số bất kì, $a \in R$)

Lời giải chi tiết:

$D = \lim \frac{{\frac{1}{n} - \frac{3}{{{n^2}}} + \frac{2}{{{n^4}}}}}{{1 + \frac{4}{n} + \frac{1}{{{n^4}}}}} = \frac{{0 + 0 + 0}}{{1 + 0 + 0}} = 0$

Chọn C.

Phương pháp giải:

$\lim \frac{1}{{{n^k}}} = 0$ với $k \in \mathbb{N}*$

$\left\{ \begin{array}{l}\lim \,\,{u_n} =  + \infty \\\lim \,\,{v_n} = a > 0\end{array} \right. \Rightarrow \lim \,\,\left( {{u_n}.{v_n}} \right) =  + \infty$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $B = \lim n\left( {\sqrt {2 + \dfrac{1}{n^2}}  - 1} \right) =  + \infty$ do $\lim \,\,n =  + \infty$ và $\lim \left( {\sqrt {2 + \dfrac{1}{n^2}}  - 1} \right) = \sqrt 2  - 1 > 0$

Chọn A.

Phương pháp giải:

Sử dụng quy tắc tính giới hạn của dãy số để tính.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{1 + 2 + 3 + .... + \left( {n - 1} \right) + n}}{{{n^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}}}{{{n^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{n^2} + n}}{{2{n^2}}} = \frac{1}{2}.$

Chọn  D.

Phương pháp giải:

Sử dụng các quy tắc tính giới hạn.

Lời giải chi tiết:

Khẳng định sai là A vì $\lim {\left( { - \sqrt 3 } \right)^{2n}} =  + \infty .$

Chọn A.

Phương pháp giải:

Nếu hàm số $y = f\left( x \right),\,\,y = g\left( x \right)$ liên tục tại điểm $x = {x_0} \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {af\left( b \right) + bg\left( x \right)} \right] = a\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) + b\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right)$

Lời giải chi tiết:

$I = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right) - 3g\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) - 3\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) =  - 2 - 3.7 =  - 23$.

Chọn D.

Phương pháp giải:

$\lim {q^n} = 0\,\,\left( {\left| q \right| < 1} \right)$.

Lời giải chi tiết:

Dễ thấy $\lim {\left( {\dfrac{4}{5}} \right)^n} = 0,\,\,\lim \dfrac{1}{{2n}} = 0,\,\,\lim {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^n} = 0$.

Chọn B.

Phương pháp giải:

Chia cả tử và mẫu cho $n$ với số mũ cao nhất.

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l}\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right) = \lim \left( {\dfrac{{2n + 1}}{{n + 2}} + \dfrac{{3n - 2}}{{ - n + 3}}} \right)\\ = \lim \dfrac{{ - 2{n^2} + 6n - n + 3 + 3{n^2} - 2n + 6n - 4}}{{ - {n^2} + 3n - 2n + 6}}\\ = \lim \dfrac{{{n^2} + 9n - 1}}{{ - {n^2} + n + 6}} = \lim \dfrac{{1 + \dfrac{9}{n} - \dfrac{1}{{{n^2}}}}}{{ - 1 + \dfrac{1}{n} + \dfrac{6}{{{n^2}}}}} =  - 1\end{array}$

Chọn C

Lời giải chi tiết:

$\lim {u_n} = 1 \Rightarrow \lim \left( {{u_n} - 1} \right) = 0$.

Chọn C.

Phương pháp giải:

Đưa $(2n - 1)$ vào trong dấu căn sau đó áp dụng các quy tắc tính giới hạn của dãy số để làm bài.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\mathop {\lim \left( {1 - 2n} \right)}\limits_{} \sqrt {\frac{{n + 3}}{{{n^3} + n + 1}}}  =  - \mathop {\lim }\limits_{} \sqrt {\frac{{\left( {n + 3} \right){{\left( {2n - 1} \right)}^2}}}{{{n^3} + n + 1}}}  =  - \mathop {\lim }\limits_{} \sqrt {\frac{{\left( {1 + \frac{1}{n}} \right){{\left( {2 - \frac{1}{n}} \right)}^2}}}{{1 + \frac{1}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{n^3}}}}}}  =  - 2$

Chọn B.

Phương pháp giải:

Chia cả tử và mẫu cho ${3^{n + 1}}$.

Lời giải chi tiết:

$\lim \dfrac{{1 + {3^n}}}{{{3^{n + 1}}}} = \lim \dfrac{{\dfrac{1}{{{3^{n + 1}}}} + \dfrac{1}{3}}}{1} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 3\end{array} \right. \Rightarrow a + b = 1 + 3 = 4$

Chọn D.

Phương pháp giải:

Phương pháp: Xem mục 2. Một vài giới hạn đặc biệt (SGK Toán 11 trang 114)

Lời giải chi tiết:

Cách giải:

$\begin{array}{l}\lim \dfrac{1}{n} = 0\\\lim \dfrac{1}{{{n^k}}} = 0\\{u_n} = c \Rightarrow \lim {u_n} = c\\\lim {q^n} = 0\,\left( {{\rm{khi }}\left| q \right| < 1} \right)\end{array}$

Chọn đáp án B

Phương pháp giải:

- Nhân liên hợp,

- Chia cả tử mẫu của phân thức cho ${{n}^{2}}$.

Lời giải chi tiết:

Cách 1:

$\begin{array}{l} \lim \frac{{\sqrt {{n^2} - 3n - 5} - \sqrt {9{n^2} + 3} }}{{2n - 1}} = \lim \frac{{\left( {\sqrt {{n^2} - 3n - 5} - \sqrt {9{n^2} + 3} } \right).\left( {\sqrt {{n^2} - 3n - 5} + \sqrt {9{n^2} + 3} } \right)}}{{\left( {\sqrt {{n^2} - 3n - 5} + \sqrt {9{n^2} + 3} } \right).(2n - 1)}}\\ = \lim \frac{{({n^2} - 3n - 5) - (9{n^2} + 3)}}{{\left( {\sqrt {{n^2} - 3n - 5} + \sqrt {9{n^2} + 3} } \right).(2n - 1)}} = \lim \frac{{ - 8{n^2} - 3n - 8}}{{\left( {\sqrt {{n^2} - 3n - 5} + \sqrt {9{n^2} + 3} } \right).(2n - 1)}}\\ = \lim \frac{{ - 8 - \frac{3}{n} - \frac{8}{{{n^2}}}}}{{\left( {\sqrt {1 - \frac{3}{n} - \frac{5}{{{n^2}}}} + \sqrt {9 + \frac{3}{{{n^2}}}} } \right)\left( {2 - \frac{1}{n}} \right)}} = \frac{{ - 8}}{{4.2}} = - 1. \end{array}$

Cách 2: Chia cả tử và mẫu cho n.

$\lim \frac{\sqrt{{{n}^{2}}-3n-5}-\sqrt{9{{n}^{2}}+3}}{2n-1}=\lim \frac{\sqrt{1-\frac{3}{n}-\frac{5}{{{n}^{2}}}}-\sqrt{9+\frac{3}{{{n}^{2}}}}}{2-\frac{1}{n}}=\lim \frac{1-3}{2}=-1$

Chọn D.

Phương pháp giải:

Chia cả tử mẫu của phân thức cho ${{n}^{5}}$.

Lời giải chi tiết:

$\lim \frac{{{(2-5n)}^{3}}{{(n+1)}^{2}}}{2-25{{n}^{5}}}=\lim \frac{\frac{{{(2-5n)}^{3}}}{{{n}^{3}}}.\frac{{{(n+1)}^{2}}}{{{n}^{2}}}}{\frac{2-25{{n}^{5}}}{{{n}^{5}}}}=\lim \frac{{{\left( \frac{2}{n}-5 \right)}^{3}}.{{\left( 1+\frac{1}{n} \right)}^{2}}}{\frac{2}{{{n}^{5}}}-25}=\frac{{{(-5)}^{3}}{{.1}^{2}}}{-25}=5$.

Chọn C.

Phương pháp giải:

Chia cả tử mẫu của phân thức cho ${{n}^{2}}$.

Lời giải chi tiết:

$\lim \frac{2{{n}^{2}}-n+4}{\sqrt{2{{n}^{4}}-{{n}^{2}}+1}}=\lim \frac{2-\frac{1}{n}+\frac{4}{{{n}^{2}}}}{\sqrt{2-\frac{1}{{{n}^{2}}}+\frac{1}{{{n}^{4}}}}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}.$

Chọn B.

Phương pháp giải:

Chia cả tử mẫu của phân thức cho ${{5}^{n}}$.

Lời giải chi tiết:

$\lim \dfrac{{{2}^{n+1}}-{{3.5}^{n}}+5}{{{3.2}^{n}}+{{9.5}^{n}}}=\lim \dfrac{{{2.2}^{n}}-{{3.5}^{n}}+5}{{{3.2}^{n}}+{{9.5}^{n}}}$

$=\lim \dfrac{2.{{\left( \frac{2}{5} \right)}^{n}}-3+5.{{\left( \dfrac{1}{5} \right)}^{n}}}{3.{{\left( \dfrac{2}{5} \right)}^{n}}+9}=\dfrac{-3}{9}=-\dfrac{1}{3}.$

Chọn D.

Phương pháp giải:

${a_n} \le {u_n} \le {b_n},\lim {a_n} = \lim {b_n} = c \Leftrightarrow \lim {u_n} = c$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\left| {{u_n}} \right| \le \dfrac{{n + 2}}{{{n^2}}},\,\,\forall n \ge 1 \Leftrightarrow 0 \le \left| {{u_n}} \right| \le \dfrac{{n + 2}}{{{n^2}}},\,\,\forall n \ge 1 \Rightarrow 0 \le \lim {u_n} \le \lim \dfrac{{n + 2}}{{{n^2}}}$

Sử dụng MTC, nhập $\dfrac{{n + 2}}{{{n^2}}}$ : , nhấn phím [CALC], chọn $x = {10^{10}}$ ta được  $\Rightarrow \lim \dfrac{{n + 2}}{{{n^2}}} = 0$

$\Rightarrow 0 \le \lim {u_n} \le 0 \Rightarrow \lim {u_n} = 0$

Chọn C.

Phương pháp giải:

- Rút gọn dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ , tìm số hạng tổng quát của dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$

- Tính $\lim {{u}_{n}}$.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

${{u}_{n}}=\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+...+\frac{1}{\left( 2n-1 \right)\left( 2n+1 \right)}=\frac{1}{2}\left( 1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+...+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1} \right)=\frac{1}{2}\left( 1-\frac{1}{2n+1} \right)$

Do đó:

$\lim {{u}_{n}}=\lim \frac{1}{2}\left( 1-\frac{1}{2n+1} \right)=\frac{1}{2}.\left( 1-0 \right)=\frac{1}{2}$

Chọn A.

Phương pháp giải:

Chia cả tử và mẫu cho $n$.

Lời giải chi tiết:

$\lim \dfrac{{\sqrt {4{n^2} + 1}  - \sqrt {n + 2} }}{{2n - 3}} = \lim \dfrac{{\sqrt {4 + \dfrac{1}{{{n^2}}}}  - \sqrt {\dfrac{1}{n} + \dfrac{2}{{{n^2}}}} }}{{2 - \dfrac{3}{n}}} = \dfrac{2}{2} = 1$.

Chọn B.

Phương pháp giải:

Khi tìm $\lim \frac{{f(n)}}{{g(n)}}$ ta chia cả tử và mẫu cho ${n^k}$, trong đó $k$ là bậc lớn nhất của tử và mẫu.

$\lim \frac{1}{{{n^k}}} = 0$ với $k \in \mathbb{N}*$

Chú ý: $\left[ \begin{array}{l}\lim \frac{0}{a} = 0\\\lim \frac{a}{0} = \infty \end{array} \right.$ (a là số bất kì, $a \in R$)

Lời giải chi tiết:

Chia cả tử và mẫu cho ${n^2}$ ta có được : $C = \lim \frac{{\sqrt[4]{{\frac{3}{{{n^5}}} + \frac{1}{{{n^8}}}}} - \frac{1}{n}}}{{\sqrt {2 + \frac{3}{{{n^3}}} + \frac{1}{{{n^4}}}}  + \frac{1}{n}}} = 0$.

Chọn C.

Phương pháp giải:

Nhân và chia với biểu thức liên hợp của $n - \sqrt {{n^2} - 4n}$.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\lim \left( {n - \sqrt {{n^2} - 4n} } \right) = \lim \dfrac{{{n^2} - {n^2} + 4n}}{{n + \sqrt {{n^2} - 4n} }} = \lim \dfrac{{4n}}{{n + \sqrt {{n^2} - 4n} }} = \lim \dfrac{4}{{1 + \sqrt {1 - \dfrac{4}{n}} }} = 2$.

Chọn B.

Phương pháp giải:

- Nhân liên hợp khử dạng $\infty  - \infty$.

- Chia cả tử và mẫu cho $n$.

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l}I = \lim \left[ {n\left( {\sqrt {{n^2} + 2}  - \sqrt {{n^2} - 1} } \right)} \right]\\I = \lim \dfrac{{n\left( {{n^2} + 2 - {n^2} + 1} \right)}}{{\sqrt {{n^2} + 2}  + \sqrt {{n^2} - 1} }}\\I = 3\lim \dfrac{n}{{\sqrt {{n^2} + 2}  + \sqrt {{n^2} - 1} }}\\I = 3\lim \dfrac{1}{{\sqrt {1 + \dfrac{2}{{{n^2}}}}  + \sqrt {1 - \dfrac{1}{{{n^2}}}} }}\\I = 3\lim \dfrac{1}{{1 + 1}} = \dfrac{3}{2}\end{array}$

Chọn C.

Phương pháp giải:

- Tìm giới hạn của hàm số bằng cách chia cả tử và mẫu cho ${n^3}$.

- Tìm $a$, từ đó tính $a - {a^2}$.

Lời giải chi tiết:

Ta có $\lim \frac{{2{n^3} + {n^2} - 4}}{{a{n^3} + 2}} = \lim \frac{{2 + \frac{1}{n} - \frac{4}{{{n^3}}}}}{{a + \frac{2}{{{n^3}}}}} = \frac{2}{a}.$

Theo bài ra ta có: $\frac{2}{a} = \frac{1}{2} \Rightarrow a = 4$.

Vậy $a - {a^2} = 4 - {4^2} =  - 12.$

Chọn C.

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp nhân liên hợp. Sau đó chia cả tử và mẫu cho $n$.

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l}\lim {u_n} = \lim \left( {\sqrt {{n^2} + an - 3}  - \sqrt {{n^2} + n} } \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \lim \dfrac{{{n^2} + an - 3 - {n^2} - n}}{{\sqrt {{n^2} + an - 3}  + \sqrt {{n^2} + n} }}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \lim \dfrac{{\left( {a - 1} \right)n - 3}}{{\sqrt {{n^2} + an - 3}  + \sqrt {{n^2} + n} }}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \lim \dfrac{{\left( {a - 1} \right) - \dfrac{3}{n}}}{{\sqrt {1 + \dfrac{a}{n} - \dfrac{3}{{{n^2}}}}  + \sqrt {1 + \dfrac{1}{n}} }}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{a - 1}}{2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{a - 1}}{2} = 3 \Leftrightarrow a - 1 = 6 \Leftrightarrow a = 7\end{array}$.

Chọn A.

Phương pháp giải:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( x \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } g\left( x \right)$.

Lời giải chi tiết:

$\mathop {\lim }\limits_{} \left( {{u_n} + \dfrac{{{2^n}}}{{{2^n} + 3}}} \right) = \lim {u_n} + \lim \dfrac{{{2^n}}}{{{2^n} + 3}} = \lim {u_n} + \lim \dfrac{1}{{1 + \dfrac{3}{{{2^n}}}}} = 2 + 1 = 3$.

Chọn C.

Phương pháp giải:

+) Chứng minh ${1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {n^2} = \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{6}\,\,\forall n \ge 1,\,\,n \in \mathbb{Z}$ bằng phương pháp quy nạp.

+) Tính giới hạn bằng cách chia cả tử và mẫu cho $n$ với số mũ là số mũ cao nhất của tử và mẫu.

Lời giải chi tiết:

Bằng phương pháp quy nạp toán học ta chứng minh ${1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {n^2} = \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{6}\,\,\forall n \ge 1,\,\,n \in \mathbb{Z}$.

Đẳng thức trên đúng với $n = 1$ vì $1 = \dfrac{{1.2.3}}{6}$.

Giả sử đẳng thức trên đúng đến $n = k \Rightarrow {1^2} + {2^2} + ... + {k^2} = \dfrac{{k\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 1} \right)}}{6}$, ta cần chứng minh nó đúng đến $n = k + 1$, tức là cần chứng minh ${1^2} + {2^2} + ... + {\left( {k + 1} \right)^2} = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {2k + 3} \right)}}{6}$.

Ta có:

$\begin{array}{l}VT = {1^2} + {2^2} + ... + {\left( {k + 1} \right)^2} = \dfrac{{k\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 1} \right)}}{6} + {\left( {k + 1} \right)^2}\\ = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {2{k^2} + k + 6k + 6} \right)}}{6} = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {2{k^2} + 7k + 6} \right)}}{6} = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {2k + 3} \right)}}{6} = VP\end{array}$

$\Rightarrow$ Đẳng thức được chứng minh. Khi đó ta có:

$\begin{array}{l}\lim \dfrac{{{1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {n^2}}}{{{n^3} + 3n}} = \lim \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{{6\left( {{n^3} + 3n} \right)}}\\ = \lim \dfrac{{1.\left( {1 + \dfrac{1}{n}} \right)\left( {2 + \dfrac{1}{n}} \right)}}{{6\left( {1 + \dfrac{3}{{{n^2}}}} \right)}} = \dfrac{{1.1.2}}{{6.1}} = \dfrac{1}{3}\end{array}$

Chọn A.

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức để tìm các số hạng tiếp theo rồi suy ra quy luật.

Lời giải chi tiết:

Ta có ${u_{n + 1}} = 4{u_n} - 3{u_{n - 1}}$.

+) ${u_2} = 4{u_1} - 3{u_0} = 2022 = {u_0} + {3^0} + {3^1}$

Tương tự ${u_3} = 4{u_2} - 3{u_1} = 2031 = {u_0} + {3^0} + {3^1} + {3^2}$

               ${u_4} = 4{u_3} - {u_2} = 2058 = {u_0} + {3^0} + {3^1} + {3^2} + {3^3}$  

Suy ra ${u_n} = {u_0} + {3^0} + {3^1} + {3^2} + ... + {3^{n - 1}}$.

Ta có ${3^0} + {3^1} + ... + {3^{n - 1}} = 1.\dfrac{{1 - {3^n}}}{{1 - 3}} = \dfrac{{{3^n} - 1}}{2}$.

$\Rightarrow {u_n} = 2018 + \dfrac{{{3^n} - 1}}{2} = \dfrac{{4035}}{2} + \dfrac{1}{2}{3^n}$.

Vậy $\lim \dfrac{{{u_n}}}{{{3^n}}} = \lim \dfrac{{\dfrac{{4035}}{2} + \dfrac{1}{2}{3^n}}}{{{3^n}}} = \lim \left( {\dfrac{{4035}}{{{{2.3}^n}}} + \dfrac{1}{2}} \right) = \dfrac{1}{2}.$

Chọn C.

Phương pháp giải:

- Tách tử thành các giới hạn $\dfrac{0}{0}$.

- Sử dụng phương pháp nhân liên hợp để khử dạng $\dfrac{0}{0}$, từ đó tính giới hạn của hàm số.

- Giải hệ phương trình tìm $a,\,\,b$. Thay vào các đáp án để tìm đáp án sai.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sqrt[3]{{ax + 1}} - \sqrt {1 - bx} }}{x} = 2\\ \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sqrt[3]{{ax + 1}} - 1}}{x} + \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{1 - \sqrt {1 - bx} }}{x} = 2\\ \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{ax + 1 - 1}}{{x\left( {{{\sqrt[3]{{ax + 1}}}^2} + \sqrt[3]{{ax + 1}} + 1} \right)}} + \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{1 - 1 + bx}}{{x\left( {1 + \sqrt {1 - bx} } \right)}} = 2\\ \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{a}{{{{\sqrt[3]{{ax + 1}}}^2} + \sqrt[3]{{ax + 1}} + 1}} + \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{b}{{1 + \sqrt {1 - bx} }} = 2\\ \Leftrightarrow \dfrac{a}{3} + \dfrac{b}{2} = 2\end{array}$

Kết hợp với đề bài ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{a}{3} + \dfrac{b}{2} = 2\\a + b = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 2\end{array} \right.$.

Khi đó ta có:

${a^2} + {b^2} = {3^2} + {2^2} = 13 > 10 \Rightarrow$ Đáp án A đúng.

${a^2} - {b^2} = {3^2} - {2^2} = 5 < 6 \Rightarrow$ Đáp án B sai.

$a - b = 3 - 2 = 1 \ge 0 \Rightarrow$ Đáp án C đúng.

$a = 3 \Rightarrow 1 \le a \le 3 \Rightarrow$ Đáp án D đúng.

Chọn B.

Phương pháp giải:

Nếu ${x_n} < {u_n} < {v_n}$  mà  $\lim \,\,{x_n} = \lim \,\,{v_n} = a \Rightarrow \lim \,\,{u_n} = a$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\frac{k}{{(k + 1)!}} = \frac{1}{{k!}} - \frac{1}{{(k + 1)!}}$ nên ${x_k} = 1 - \frac{1}{{(k + 1)!}}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {x_k} - {x_{k + 1}} = 1 - \frac{1}{{\left( {k + 1} \right)!}} - 1 + \frac{1}{{(k + 2)!}} = \frac{1}{{(k + 2)!}} - \frac{1}{{(k + 1)!}} < 0\\ \Rightarrow {x_k} < {x_{k + 1}} \Rightarrow {x_1} < {x_2} < ... < {x_{2011}}\\ \Rightarrow x_1^n < x_2^n < ... < x_{2011}^n \Rightarrow \sqrt[n]{{x_1^n + x_2^n + ... + x_{2011}^n}} < \sqrt[n]{{x_{2011}^n + x_{2011}^n + ... + x_{2011}^n}} = \sqrt[n]{{2011.x_{2011}^n}} = \sqrt[n]{{2011}}.{x_{2011}}\end{array}$

Lại có: ${x_{2011}} = \sqrt[n]{{x_{2011}^n}} < \sqrt[n]{{x_1^n + x_2^n + ... + x_{2011}^n}}$

Vậy: ${x_{2011}} < \sqrt[n]{{x_1^n + x_2^n + ... + x_{2011}^n}} < \sqrt[n]{{2011}}{x_{2011}}$

Ta có: ${x_{2011}} = 1 - \frac{1}{{\left( {2011 + 1} \right)!}} = 1 - \frac{1}{{2012!}}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \lim {x_{2011}} = {x_{2011}} = 1 - \frac{1}{{2012!}}\\ \Rightarrow \lim \sqrt[n]{{2011}}{x_{2011}} = \lim \,\,{2011^{\frac{1}{n}}}{x_{2011}} = {2011^0}.{x_{2011}} = {x_{2011}} = 1 - \frac{1}{{2012!}}\end{array}$

Vậy $\lim {u_n} = 1 - \frac{1}{{2012!}}$.

Chọn C.