40 bài tập trắc nghiệm công thức lượng giác mức độ thông hiểu

Làm đề thi

Câu hỏi 1 :

Cho biết \(\tan x = 5\). Tính giá trị biểu thức \(Q = \frac{{3\sin x - 4\cos x}}{{\cos x + 2\sin x}}\).

  • A \(Q = 1\)
  • B \(Q = \frac{{19}}{{11}}\)    
  • C \(Q =  - 1\)  
  • D \(Q = \frac{{11}}{9}\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

- Chia cả tử và mẫu của Q cho \(\cos x\) để làm xuất hiện \(\tan x\).

- Thay \(\tan x = 5\) vào tính giá trị của Q.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}Q = \frac{{3\sin x - 4\cos x}}{{\cos x + 2\sin x}} = \frac{{\frac{{3\sin x - 4\cos x}}{{\cos x}}}}{{\frac{{\cos x + 2\sin x}}{{\cos x}}}}\\\,\,\,\, = \frac{{3.\frac{{\sin x}}{{\cos x}} - 4.\frac{{\cos x}}{{\cos x}}}}{{\frac{{\cos x}}{{\cos x}} + 2.\frac{{\sin x}}{{\cos x}}}} = \frac{{3\tan x - 4}}{{1 + 2\tan x}}\end{array}\)

Thay \(\tan x = 5\) ta được: \(Q = \frac{{3.5 - 4}}{{1 + 2.5}} = 1\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 2 :

Cho biết \(\frac{\pi }{2} < x < \pi \) và \(\sin x = \frac{1}{3}\). Tính \(\cos x\).

  • A \(\cos x = \frac{2}{3}\)
  • B \(\cos x =  - \frac{2}{3}\)
  • C \(\cos x = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\)                                          
  • D \(\cos x =  - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\) để tính \({\cos ^2}x\)

Kết hợp điều kiện của \(x\) để suy ra dấu của \(\cos x\) và kết luận.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\) \( \Rightarrow {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} + {\cos ^2}x = 1\)\( \Rightarrow {\cos ^2}x = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}\)

Mà \(\frac{\pi }{2} < x < \pi \) nên \(x\) thuộc góc phần tư thứ II \( \Rightarrow \cos x < 0\)

Vậy \(\cos x =  - \sqrt {\frac{8}{9}}  =  - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 3 :

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn \(\left( C \right):{\mkern 1mu} \,\,{\mkern 1mu} {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 9\) và đường thẳng \(\Delta :3x + 4y - 2m + 4 = 0\) (trong đó \(m\) là tham số). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số \(m\) sao cho đường thẳng \(\Delta \) là tiếp tuyến của đường tròn \((C)\). Tích các số thuộc tập hợp S bằng:

  • A \( - 36\)
  • B \(12\)
  • C \( - 56\)
  • D \(486\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Đường thẳng \(\Delta \) là tiếp tuyến của đường tròn (C) tâm I bán kính R\( \Leftrightarrow d\left( {I,\Delta } \right) = R\)

Lời giải chi tiết:

Đường tròn \((C):{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 9\) có tâm \(I\left( { - 1;2} \right)\) bán kính \(R = 3\).

Đường thẳng \(\Delta \) là tiếp tuyến của đường tròn (C) \( \Leftrightarrow d\left( {I,\Delta } \right) = R\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{\left| {3.\left( { - 1} \right) + 4.2 - 2m + 4} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 3\\ \Leftrightarrow \frac{{\left| {9 - 2m} \right|}}{5} = 3 \Leftrightarrow \left| {9 - 2m} \right| = 15\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}9 - 2m = 15\\9 - 2m =  - 15\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2m =  - 6\\2m = 24\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m =  - 3\\m = 12\end{array} \right.\end{array}\)

Do đó \(S = \left\{ { - 3;12} \right\}\) nên tích cần tìm bằng \(\left( { - 3} \right).12 =  - 36.\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 4 :

Tính giá trị của biểu thức \(P = \frac{{2\sin \alpha  - \sqrt 2 \cos \alpha }}{{4\sin \alpha  + 3\sqrt 2 \cos \alpha }}\) biết \(\cot \alpha  =  - \sqrt 2 \).

  • A \(\frac{2}{5}\).    
  • B \(0\).
  • C \( - 2\).
  • D \( - 7 + 5\sqrt 2 \).

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Vì tồn tại \(\cot \alpha  =  - \sqrt 2  \Rightarrow \sin \alpha  \ne 0\)

Chia cả tử và mẫu cho \(\sin \alpha \) và rút gọn \(P.\)

Lời giải chi tiết:

Vì tồn tại \(\cot \alpha  =  - \sqrt 2  \Rightarrow \sin \alpha  \ne 0\)

Chia cả tử và mẫu của \(P\)cho \(\sin \alpha \)

\( \Rightarrow P = \frac{{2\sin \alpha  - \sqrt 2 \cos \alpha }}{{4\sin 2\alpha  + 3\sqrt 2 \cos \alpha }}\)\( = \frac{{2 - \sqrt 2 \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}}}{{4 + 3\sqrt 2 \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}}}\)\( = \frac{{2 - \sqrt 2 .\left( { - \sqrt 2 } \right)}}{{4 + 3\sqrt 2 .\left( { - \sqrt 2 } \right)}} =  - 2\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 5 :

Giá trị biểu thức \(\frac{{\sin \frac{\pi }{{15}}\cos \frac{\pi }{{10}} + \sin \frac{\pi }{{10}}\cos \frac{\pi }{{15}}}}{{\cos \frac{{2\pi }}{{15}}\cos \frac{\pi }{5} - \sin \frac{{2\pi }}{{15}}\sin \frac{\pi }{5}}}\) là:

  • A \( - \frac{3}{2}\)         
  • B \( - 1\)  
  • C \(1\)                                     
  • D \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\) 

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức: \(\left\{ \begin{array}{l}\sin \left( {a + b} \right) = \sin a\cos b + \cos a\sin b\\\cos \left( {a + b} \right) = \cos a\cos b - \sin a\sin b\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\frac{{\sin \frac{\pi }{{15}}\cos \frac{\pi }{{10}} + \sin \frac{\pi }{{10}}\cos \frac{\pi }{{15}}}}{{\cos \frac{{2\pi }}{{15}}\cos \frac{\pi }{5} - \sin \frac{{2\pi }}{{15}}\sin \frac{\pi }{5}}} = \frac{{\sin \frac{\pi }{{15}}\cos \frac{\pi }{{10}} + \cos \frac{\pi }{{15}}\sin \frac{\pi }{{10}}}}{{\cos \frac{{2\pi }}{{15}}\cos \frac{\pi }{5} - \sin \frac{{2\pi }}{{15}}\sin \frac{\pi }{5}}}\\ = \frac{{\sin \left( {\frac{\pi }{{15}} + \frac{\pi }{{10}}} \right)}}{{\cos \left( {\frac{{2\pi }}{{15}} + \frac{\pi }{5}} \right)}} = \frac{{\sin \frac{\pi }{6}}}{{\cos \frac{\pi }{3}}} = 1.\end{array}\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 6 :

Cho \(\Delta ABC.\) Khẳng định nào sau đây là sai?

  • A \(\sin \frac{{A + C}}{2} = \cos \frac{B}{2}\)                      
  • B \(\cos \left( {A + B} \right) = \cos C\)     
  • C \(\sin \frac{{A + B + 3C}}{2} = \cos C\)
  • D \(\sin \left( {A + B} \right) = \sin C\) 

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Ta có: \(A,\,\,B,\,\,C\) là ba góc của một tam giác \( \Rightarrow A + B + C = {180^0}.\)

Sử dụng công thức: \(\left\{ \begin{array}{l}\sin 2a = 2\sin a\cos a\\\cos \left( {{{180}^0} - x} \right) =  - \cos x\\\cos \left( {{{90}^0} - x} \right) = \sin x\\\sin \left( {{{90}^0} - x} \right) = \cos x\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

+) Xét đáp án A ta có: \(\sin \frac{{A + C}}{2} = \sin \frac{{{{180}^0} - B}}{2}\)\( = \sin \left( {{{90}^0} - \frac{B}{2}} \right) = \cos \frac{B}{2}\)\( \Rightarrow \) đáp án A đúng.

+) Xét đáp án B ta có: \(\cos \left( {A + B} \right) = \cos \left( {{{180}^0} - C} \right) =  - \cos C \ne \cos C\) \( \Rightarrow \) đáp án B sai.

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 7 :

Biểu thức \(\frac{{{{\cos }^3}x\sin x - {{\sin }^3}x\cos x}}{{\sin 4x}}\) không phụ thuộc \(x\) và bằng:

  • A \(4\)      
  • B \(1\)  
  • C \(\frac{1}{4}\)                                    
  • D \(\frac{3}{4}\) 

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức: \(\left\{ \begin{array}{l}\sin 2x = 2\sin x\cos x\\{\cos ^2}x - {\sin ^2}x = \cos 2x\end{array} \right..\) 

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\frac{{{{\cos }^3}x\sin x - {{\sin }^3}x\cos x}}{{\sin 4x}} = \frac{{\sin x\cos x\left( {{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x} \right)}}{{2\sin 2x\cos 2x}}\\ = \frac{{\frac{1}{2}\sin 2x.\cos 2x}}{{2\sin 2x\cos 2x}} = \frac{1}{4}\end{array}\)

\( \Rightarrow \frac{{{{\cos }^3}x\sin x - {{\sin }^3}x\cos x}}{{\sin 4x}}\) là biểu thức không phụ thuộc vào \(x.\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 8 :

Rút gọn biểu thức \(P\) (với điều kiện của \(x\) để \(P\) có nghĩa) \(P = \frac{{\sin 2x\cos x}}{{\left( {1 + \cos 2x} \right)\left( {1 + \cos x} \right)}}.\) 

  • A \(P = \tan x\)    
  • B \(P =  - \tan \frac{x}{2}\)        
  • C \(P = \cot \frac{x}{2}\)           
  • D \(P = \tan \frac{x}{2}\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức: \(\left\{ \begin{array}{l}\sin 2x = 2\sin x\cos x\\\tan x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}}\\1 + \cos 2x = 2{\cos ^2}x\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}P = \frac{{\sin 2x\cos x}}{{\left( {1 + \cos 2x} \right)\left( {1 + \cos x} \right)}} = \frac{{2\sin x{{\cos }^2}x}}{{2{{\cos }^2}x\left( {1 + \cos x} \right)}}\\\,\,\,\,\, = \frac{{\sin x}}{{2{{\cos }^2}\frac{x}{2}}} = \frac{{2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}}}{{2{{\cos }^2}\frac{x}{2}}} = \frac{{\sin \frac{x}{2}}}{{\cos \frac{x}{2}}} = \tan \frac{x}{2}.\end{array}\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 9 :

Cho \(A,\,\,B,\,\,C\) là ba góc của một tam giác. Hãy chọn hệ thức đúng trong các hệ thức sau.

  • A \(\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = 4\cos A\cos B\cos C\)             
  • B \(\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = 4\sin A\sin B\sin C\) 
  • C \(\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C =  - 4\sin A\sin B\sin C\)            
  • D \(\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = 1 - 4\sin A\sin B\sin C\)    

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Ta có: \(A,\,\,B,\,\,C\) là ba góc của một tam giác \( \Rightarrow A + B + C = {180^0}.\)

Sử dụng công thức: \(\left\{ \begin{array}{l}\sin 2a = 2\sin a\cos a\\\cos \left( {{{180}^0} - x} \right) =  - \cos x\\\cos \left( {{{90}^0} - x} \right) = \sin x\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C\)

\(\begin{array}{l} = \sin 2A + 2\sin \frac{{2B + 2C}}{2}\cos \frac{{2B - 2C}}{2}\\ = 2\sin A\cos A + 2\sin \left( {B + C} \right)\cos \left( {B - C} \right)\\ = 2\sin A\cos A + 2\sin \left( {{{180}^0} - A} \right)\cos \left( {B - C} \right)\\ = 2\sin A\cos A + 2\sin A\cos \left( {B - C} \right)\\ = 2\sin A\left[ {\cos A + \cos \left( {B - C} \right)} \right]\\ = 2\sin A.2\cos \frac{{A + B - C}}{2}.\cos \frac{{A - B + C}}{2}\\ = 4\sin A.\cos \frac{{{{180}^0} - 2C}}{2}.\cos \frac{{{{180}^0} - 2B}}{2}\\ = 4\sin A.\cos \left( {{{90}^0} - C} \right).\cos \left( {{{90}^0} - B} \right)\\ = 4\sin A\sin B\sin C.\end{array}\) 

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 10 :

Rút gọn biểu thức \(P = \frac{{\cos a - \cos 5a}}{{\sin 4a + \sin 2a}}\) (với \(\sin 4a + \sin 2a \ne 0\)) ta được:

  • A \(P = 2\cot a\)
  • B \(P = 2\cos a\)      
  • C \(P = 2\tan a\)      
  • D \(P = 2\sin a\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức: \(\left\{ \begin{array}{l}\cos a - \cos b =  - 2\sin \frac{{a + b}}{2}\sin \frac{{a - b}}{2}\\\sin a + \sin b = 2\sin \frac{{a + b}}{2}\cos \frac{{a - b}}{2}\\\sin 2a = 2\sin a\cos a\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}P = \frac{{\cos a - \cos 5a}}{{\sin 4a + \sin 2a}} = \frac{{ - 2\sin 3a.\sin \left( { - 2a} \right)}}{{2\sin 3a.\cos a}}\\ = \frac{{ - \sin \left( { - 2a} \right)}}{{\cos a}} = \frac{{\sin 2a}}{{\cos a}} = \frac{{2\sin a.\cos a}}{{\cos a}} = 2\sin a.\end{array}\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 11 :

Cho \(\sin \alpha  + \cos \alpha  = \frac{5}{4}.\) Khi đó \(\sin 2\alpha \) có giá trị bằng:

  • A \(\frac{5}{2}\)
  • B \(2\)
  • C \(\frac{3}{{32}}\)
  • D \(\frac{9}{{16}}\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức: \(\sin 2\alpha  = 2\sin \alpha .\cos \alpha .\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}\sin \alpha  + \cos \alpha  = \frac{5}{4} \Leftrightarrow {\left( {\sin \alpha  + \cos \alpha } \right)^2} = \frac{{25}}{{16}}\\ \Rightarrow 1 + 2\sin \alpha .\cos \alpha  = \frac{{25}}{{16}}\\ \Rightarrow 1 + \sin 2\alpha  = \frac{{25}}{{16}} \Rightarrow \sin 2\alpha  = \frac{9}{{16}}.\end{array}\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 12 :

Gọi \(M = \cos \left( {a + b} \right)\cos \left( {a - b} \right) - \sin \left( {a + b} \right)\sin \left( {a - b} \right)\) thì:

  • A \(M = 1 - 2{\cos ^2}a\)
  • B \(M = 1 - 2{\sin ^2}a\)
  • C \(M = \cos 4a\)
  • D \(M = \sin 4a\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

+) Sử dụng công thức \(\cos a\cos b = \dfrac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a + b} \right) + \cos \left( {a - b} \right)} \right]\); \(\sin a\sin b =  - \dfrac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a + b} \right) - \cos \left( {a - b} \right)} \right]\).

+) Sử dụng công thức nhân đôi \(\cos 2a = 1 - 2{\sin ^2}a\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}M = \cos \left( {a + b} \right)\cos \left( {a - b} \right) - \sin \left( {a + b} \right)\sin \left( {a - b} \right)\\M = \dfrac{1}{2}\left( {\cos 2a + \cos 2b} \right) + \dfrac{1}{2}\left( {\cos 2a - \cos 2b} \right)\\M = \dfrac{1}{2}\left( {\cos 2a + \cos 2b + \cos 2a - \cos 2b} \right)\\M = \cos 2a = 1 - 2{\sin ^2}a\end{array}\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 13 :

Cho \(\sin \alpha  = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\) với \(0 < \alpha  < \frac{\pi }{2}.\) Tính giá trị của \(\sin \left( {\alpha  + \frac{\pi }{3}} \right).\)

  • A \(\frac{{\sqrt 3 }}{6} - \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\)
  • B \(\frac{{\sqrt 3 }}{3} - \frac{1}{2}.\)
  • C \(\frac{{\sqrt 3 }}{6} + \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\)
  • D \(\sqrt 6  - \frac{1}{2}.\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức cộng: \(\sin \left( {a + b} \right) = \sin a\cos b + \cos a\sin b.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\sin \alpha  = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\) mà \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1 \Rightarrow {\cos ^2}\alpha  = \frac{2}{3}.\)

Lại có \(0 < \alpha  < \frac{\pi }{2}\) nên \(\cos \alpha  > 0 \Rightarrow \cos \alpha  = \sqrt {\frac{2}{3}} \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \sin \left( {\alpha  + \frac{\pi }{3}} \right) = \sin \alpha \cos \frac{\pi }{3} + \cos \alpha \sin \frac{\pi }{3}\\\, = \frac{1}{{\sqrt 3 }}.\frac{1}{2} + \cos \alpha .\frac{{\sqrt 3 }}{2}\\ = \frac{1}{{\sqrt 3 }}.\frac{1}{2} + \sqrt {\frac{2}{3}} .\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{6} + \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\end{array}\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 14 :

Cho \(\sin \alpha  + \cos \alpha  = \frac{3}{4},\frac{\pi }{2} < \alpha  < \pi .\) Tính \(\cos \alpha  - \sin \alpha .\)

  • A \(\frac{{\sqrt {23} }}{4}.\)
  • B \( \pm \frac{{\sqrt {23} }}{4}.\)
  • C \(\frac{{ - \sqrt {30} }}{4}.\)
  • D \(\frac{{ - \sqrt {23} }}{4}.\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Từ \(\sin \alpha  + \cos \alpha  = \frac{3}{4}\) và \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\), tìm \(\cos \alpha ,\sin \alpha .\)

Lời giải chi tiết:

\(\sin \alpha  + \cos \alpha  = \frac{3}{4} \Rightarrow \cos \alpha  = \frac{3}{4} - \sin \alpha .\)

Lại có: \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\)

\( \Rightarrow {\sin ^2}\alpha  + {\left( {\frac{3}{4} - \sin \alpha } \right)^2} = 1 \Rightarrow 2{\sin ^2}\alpha  - \frac{3}{2}\sin \alpha  - \frac{7}{{16}} = 0\)

\( \Rightarrow \sin \alpha  = \frac{{3 + \sqrt {23} }}{8}\) (vì với \(\frac{\pi }{2} < \alpha  < \pi \) thì \(\sin \alpha  > 0)\).

\( \Rightarrow \cos \alpha  = \frac{3}{4} - \sin \alpha  = \frac{3}{4} - \frac{{3 + \sqrt {23} }}{8} = \frac{{3 - \sqrt {23} }}{8}\) \( \Rightarrow \cos \alpha  - \sin \alpha  =  - \frac{{\sqrt {23} }}{4}.\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 15 :

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

  • A \(\tan \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \cot a.\)
  • B \(\tan \left( { - \alpha } \right) =  - \tan \alpha .\)
  • C \(\tan \left( {\pi  + \alpha } \right) =  - \tan a.\)
  • D \(\tan \left( {\pi  - \alpha } \right) =  - \tan \alpha .\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức: \(\left\{ \begin{array}{l}\tan \left( {\alpha  + \pi } \right) = \tan \alpha \\\tan \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \cot \alpha \\\tan \left( { - \alpha } \right) =  - \tan \alpha \\\tan \left( {\pi  - \alpha } \right) =  - \tan \alpha \end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

Trong các đáp án chỉ có đáp án C sai, công thức đúng: \(\tan \left( {\pi  + \alpha } \right) = \tan \alpha .\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 16 :

Cho \(\cos \alpha  = \frac{4}{{13}},0 < \alpha  < \frac{\pi }{2}.\) Khi đó \(\sin \alpha \) bằng:

  • A \(\frac{{ - 3\sqrt {17} }}{{13}}\)          
  • B \(\frac{4}{{3\sqrt {17} }}\)
  • C \(\frac{{3\sqrt {17} }}{{13}}\)
  • D \(\frac{{3\sqrt {17} }}{{14}}\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Sử dụng \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(0 < \alpha  < \frac{\pi }{2} \Rightarrow \sin \alpha  > 0.\)

Có \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1 \Rightarrow \sin \alpha  = \sqrt {1 - {{\cos }^2}\alpha }  = \sqrt {1 - \frac{{16}}{{169}}}  = \frac{{3\sqrt {17} }}{{13}}.\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 17 :

Gọi \(M = \cos x + \cos 2x + \cos 3x\) thì :

  • A \(M = 2\cos 2x\left( {\cos x + 1} \right)\)
  • B \(M = 4\cos 2x\left( {\dfrac{1}{2} + \cos x} \right)\)
  • C \(M = 2\cos 2x\cos \left( {\dfrac{x}{2} + \dfrac{\pi }{6}} \right)\cos \left( {\dfrac{x}{2} - \dfrac{\pi }{6}} \right)\)
  • D \(M = 4\cos 2x\cos \left( {\dfrac{x}{2} + \dfrac{\pi }{6}} \right)\cos \left( {\dfrac{x}{2} - \dfrac{\pi }{6}} \right)\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \(\cos a + \cos b = 2\cos \dfrac{{a + b}}{2}\cos \dfrac{{a - b}}{2}\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,M = \cos x + \cos 2x + \cos 3x \Leftrightarrow M = 2\cos 2x\cos x + \cos 2x\\ \Leftrightarrow M = \cos 2x\left( {2\cos x + 1} \right) \Leftrightarrow M = 2\cos 2x\left( {\cos x + \dfrac{1}{2}} \right)\\ \Leftrightarrow M = 2\cos 2x\left( {\cos x + \cos \dfrac{\pi }{3}} \right) \Leftrightarrow M = 2\cos 2x.2\cos \dfrac{{x + \dfrac{\pi }{3}}}{2}\cos \dfrac{{x - \dfrac{\pi }{3}}}{2}\\M = 4\cos 2x\cos \left( {\dfrac{x}{2} + \dfrac{\pi }{6}} \right)\cos \left( {\dfrac{x}{2} - \dfrac{\pi }{6}} \right)\end{array}\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 18 :

Rút gọn biểu thúc \(\cos {54^0}\cos {4^0} - \cos {36^0}\cos {86^0}\), ta được:

  • A \(\cos {50^0}\)
  • B \(\cos {58^0}\)
  • C \(\sin {50^0}\)
  • D \(\sin {58^0}\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

+) Sử dụng công thức \(\cos a\cos b = \dfrac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a + b} \right) + \cos \left( {a - b} \right)} \right]\).

+) Sử dụng công thức \(\cos a - \cos b =  - 2\sin \dfrac{{a + b}}{2}\sin \dfrac{{a - b}}{2}\).

+) Sử dụng quan hệ \(\sin a = \cos \left( {{{90}^0} - a} \right)\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\cos {54^0}\cos {4^0} - \cos {36^0}\cos {86^0} = \dfrac{1}{2}\left[ {\cos {{58}^0} + \cos {{50}^0}} \right] - \dfrac{1}{2}\left( {\cos {{122}^0} + \cos {{50}^0}} \right)\\ = \dfrac{1}{2}\left( {\cos {{58}^0} + \cos {{50}^0} - \cos {{122}^0} - \cos {{50}^0}} \right) = \dfrac{1}{2}\left( {\cos {{58}^0} - \cos {{122}^0}} \right)\\ = \dfrac{1}{2}.\left( { - 2} \right)\sin {90^0}\sin \left( { - {{32}^0}} \right) = \sin {32^0} = \sin \left( {{{90}^0} - {{58}^0}} \right) = \cos {58^0}\end{array}\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 19 :

Rút gọn biểu thức \(A = \dfrac{{1 + \cos x + \cos 2x + \cos 3x}}{{2{{\cos }^2}x + \cos x - 1}}\).

  • A \(\cos x\)
  • B \(2\cos x - 1\)
  • C \(2\cos x\)
  • D \(\cos x - 1\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \(\cos a + \cos b = 2\cos \dfrac{{a + b}}{2}\cos \dfrac{{a - b}}{2};\,\,\cos 2x = 2{\cos ^2}x - 1\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}A = \dfrac{{1 + \cos x + \cos 2x + \cos 3x}}{{2{{\cos }^2}x + \cos x - 1}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{2{{\cos }^2}x + 2\cos 2x\cos x}}{{\cos x + \left( {2{{\cos }^2}x - 1} \right)}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{2\cos x\left( {\cos x + \cos 2x} \right)}}{{\cos x + \cos 2x}}\\\,\,\,\,\, = 2\cos x\end{array}\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 20 :

Rút gọn biểu thức \(M = \dfrac{{\sin 3x - \sin x}}{{2{{\cos }^2}x - 1}}\).

  • A \(\tan 2x\)
  • B \(\sin x\)
  • C \(2\tan x\)
  • D \(2\sin x\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \(\sin a - \sin b = 2\cos \dfrac{{a + b}}{2}\sin \dfrac{{a - b}}{2}\) và \(\cos 2a = 2{\cos ^2}a - 1\).

Lời giải chi tiết:

\(M = \dfrac{{\sin 3x - \sin x}}{{2{{\cos }^2}x - 1}} = \dfrac{{2\cos 2x\sin x}}{{\cos 2x}} = 2\sin x\).

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 21 :

Cho \(\cos a = \dfrac{3}{4}\). Tính \(\cos \dfrac{{3a}}{2}\cos \dfrac{a}{2}\).

  • A \(\dfrac{{23}}{{16}}\)             
  • B \(\dfrac{{21}}{{16}}\)
  • C \(\dfrac{7}{{16}}\)
  • D \(\dfrac{{23}}{8}\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \(\cos a\cos b = \dfrac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a + b} \right) + \cos \left( {a - b} \right)} \right]\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\cos \dfrac{{3a}}{2}\cos \dfrac{a}{2} = \dfrac{1}{2}\left[ {\cos \left( {\dfrac{{3a}}{2} + \dfrac{a}{2}} \right) + \cos \left( {\dfrac{{3a}}{2} - \dfrac{a}{2}} \right)} \right]\\ = \dfrac{1}{2}\left( {\cos 2a + \cos a} \right) = \dfrac{1}{2}\left( {2{{\cos }^2}a - 1 + \cos a} \right)\\ = \dfrac{1}{2}\left( {2.\dfrac{9}{{16}} - 1 + \dfrac{3}{4}} \right) = \dfrac{7}{{16}}.\end{array}\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 22 :

Biết \(\sin x = \dfrac{1}{3}\) và \({90^0} < x < {180^0}\) thì biểu thức \(\dfrac{{1 + \sin 2x + \cos 2x}}{{1 + \sin 2x - \cos 2x}}\) có giá trị bằng:

  • A \(2\sqrt 2 \)
  • B \(\dfrac{1}{{2\sqrt 2 }}\)
  • C \( - 2\sqrt 2 \)
  • D \( - \dfrac{1}{{2\sqrt 2 }}\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức nhân đôi: \(1 + \cos 2x = 2{\cos ^2}x,\,\,1 - \cos 2x = 2{\sin ^2}x\).

Lời giải chi tiết:

\(\dfrac{{1 + \sin 2x + \cos 2x}}{{1 + \sin 2x - \cos 2x}} = \dfrac{{2{{\cos }^2}x + 2\sin x\cos x}}{{2{{\sin }^2}x + 2\sin x\cos x}} = \dfrac{{2\cos x\left( {\sin x + \cos x} \right)}}{{2\sin x\left( {\sin x + \cos x} \right)}} = \cot x\).

\(1 + {\cot ^2}x = \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}} = 9 \Leftrightarrow {\cot ^2}x = 8\)

Do \({90^0} < x < {180^0} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin x > 0\\\cos x < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \cot x < 0 \Leftrightarrow \cot x =  - 2\sqrt 2 \).

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 23 :

Cho hai góc nhọn \(a,\,\,b\) với \(\sin a=\frac{1}{3}\) và \(\sin b=\frac{1}{2}\). Giá trị của \(\sin 2\left( a+b \right)\) là:

  • A \(\frac{2\sqrt{2}+7\sqrt{3}}{18}\) 
  • B \(\frac{3\sqrt{2}+7\sqrt{3}}{18}\) 
  • C \(\frac{4\sqrt{2}+7\sqrt{3}}{18}\) 
  • D \(\frac{5\sqrt{2}+7\sqrt{3}}{18}\) 

Đáp án: C

Phương pháp giải:

+) Tính \(\cos a,\,\,\cos b\).

+) Sử dụng các công thức \(\sin 2x=2\sin x\cos x,\,\,\sin \left( a+b \right)=\sin a\cos b+\cos a\sin b,\) \(\cos \left( a+b \right)=\cos a\cos b-\sin a\sin b\).

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{align} {{\cos }^{2}}a=1-{{\sin }^{2}}a=1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}\Leftrightarrow \cos a=\frac{2\sqrt{2}}{3}\,\,\left( Do\,\,0<a<{{90}^{0}} \right) \\ {{\cos }^{2}}b=1-{{\sin }^{2}}b=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\Leftrightarrow \cos b=\frac{\sqrt{3}}{2}\,\,\left( Do\,\,{{0}^{0}}<b<{{90}^{0}} \right) \\\end{align}\)

\(\begin{array}{l}\sin 2\left( {a + b} \right) = 2\sin \left( {a + b} \right)\cos \left( {a + b} \right)\\\sin 2\left( {a + b} \right) = 2\left( {\sin a\cos b + \cos a\sin b} \right)\left( {\cos a\cos b - \sin a\sin b} \right)\\\sin 2\left( {a + b} \right) = 2\left( {\dfrac{1}{3}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} + \dfrac{{2\sqrt 2 }}{3}.\dfrac{1}{2}} \right)\left( {\dfrac{{2\sqrt 2 }}{3}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} - \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}} \right)\\\sin 2\left( {a + b} \right) = 2\dfrac{{\sqrt 3  + 2\sqrt 2 }}{6}.\dfrac{{2\sqrt 6  - 1}}{6}\\\sin 2\left( {a + b} \right) = \dfrac{{7\sqrt 3  + 4\sqrt 2 }}{{18}}\end{array}\).

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 24 :

Tính giá trị biểu thức \(A = \dfrac{{2{{\cos }^2}\dfrac{\pi }{8} - 1}}{{1 + 8si{n^2}\dfrac{\pi }{8}{{\cos }^2}\dfrac{\pi }{8}}}\)  

  • A \(\frac{\sqrt{2}}{4}.\)
  • B \(\frac{\sqrt{2}}{2}.\) 
  • C \(-\frac{\sqrt{3}}{4}.\)
  • D \( - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức nhân đôi \(\sin 2x=2\sin x\cos x\) và công thức hạ bậc \(2{{\cos }^{2}}x-1=\cos 2x\).

Lời giải chi tiết:

\(A=\dfrac{2{{\cos }^{2}}\dfrac{\pi }{8}-1}{1+8si{{n}^{2}}\dfrac{\pi }{8}{{\cos }^{2}}\dfrac{\pi }{8}}=\dfrac{\cos \frac{\pi }{4}}{1+2{{\sin }^{2}}\dfrac{\pi }{4}}=\dfrac{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{1+2.\dfrac{1}{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{4}\).

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 25 :

Rút gọn biểu thức \(P = \dfrac{{{{\sin }^2}3a}}{{{{\sin }^2}a}} - \dfrac{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}3a}}{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}a}}\).

  • A \(8\cos 2a\)
  • B \(\cos 2a\) 
  • C \(4\)
  • D \(-\cos 6a\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \(\sin 3a=3\sin a-4{{\sin }^{3}}a,\,\,\cos 3a=4{{\cos }^{3}}a-3\cos a\).

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{
& P = {{{{\sin }^2}3a} \over {{{\sin }^2}a}} - {{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}3a} \over {c{\rm{o}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}a}} \cr
& = {\left( {{{3\sin a - 4{{\sin }^3}a} \over {\sin a}}} \right)^2} - {\left( {{{4{{\cos }^3}a - 3\cos a} \over {\cos a}}} \right)^2} \cr
& = {\left( {3 - 4{{\sin }^2}a} \right)^2} - {\left( {4{{\cos }^2}a - 3} \right)^2} \cr
& = \left( {3 - 4{{\sin }^2}a - 4{{\cos }^2}a + 3} \right)\left( {3 - 4{{\sin }^2}a + 4{{\cos }^2}a - 3} \right) \cr
& = 4\left( {6 - 4\left( {{{\sin }^2}a + {{\cos }^2}a} \right)} \right)\left( {{{\cos }^2}a - {{\sin }^2}a} \right) \cr
& = 4\left( {6 - 4} \right)\cos 2a = 8\cos 2a \cr} \)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 26 :

Với mọi góc lượng giác \(\alpha \) và số nguyên k, mệnh đề nào sau đây sai?

  • A \(\sin \left( {\alpha  + k2\pi } \right) = \sin \alpha \)        
  • B \(\cos \left( {\alpha  + k\pi } \right) = \cos \alpha \)         
  • C \(\tan \left( {\alpha  + k\pi } \right) = \tan \alpha \)
  • D \(\cot \left( {\alpha  + k\pi } \right) = \cot \alpha \)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Nhìn đường tròn lượng giác để kết luận.

Lời giải chi tiết:

Nhìn đường tròn lượng giác ta thấy các góc cách nhau một số lẻ \(\pi \) sẽ có giá trị sin, cos đối nhau và tan, cot bằng nhau nên hệ thức \(\cos \left( {\alpha  + k\pi } \right) = \cos \alpha \) sai

\(\cos \left( {\alpha  + k\pi } \right) = \left\{ \begin{array}{l}\cos \alpha \,\,\,khi\,\,\,k = 2n\\ - \cos \alpha \,\,\,\,khi\,\,\,k = 2n + 1\end{array} \right..\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 27 :

Cho \(\tan \alpha  = 2\). Tính giá trị biểu thức \(P = \frac{{2018\sin \alpha  + 2019\cos \alpha }}{{2020\sin \alpha  + 2021\cos \alpha }}\)

  • A \(P = \frac{{4037}}{{6061}}\)
  • B \(P = \frac{{6053}}{{6061}}\)
  • C \(P = \frac{{6054}}{{6061}}\)
  • D \(P = \frac{{6055}}{{6061}}\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Chia cả tử và mẫu của P cho \(\cos x \ne 0\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\tan \alpha  = 2 \Rightarrow \cos x \ne 0\)

Chia cả tử và mẫu của P cho \(\cos x \ne 0\) ta được:

\(P = \frac{{2018\sin \alpha  + 2019\cos \alpha }}{{2020\sin \alpha  + 2021\cos \alpha }} = \frac{{2018\tan \alpha  + 2019}}{{2020\tan \alpha  + 2021}} = \frac{{2018.2 + 2019}}{{2020.2 + 2021}} = \frac{{6055}}{{6061}}\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 28 :

Rút gọn biểu thức \(P = {\left( {\sin \alpha  - 3\cos \alpha } \right)^2} + {\left( {\cos \alpha  + 3\sin \alpha } \right)^2}\) ta được:

  • A \(P = 16\)     
  • B \(P = 10\)
  • C \(P = 6\sin \alpha \)
  • D \(P =  - 6\sin \alpha \)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Khai triển biểu thức và rút gọn. \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}P = {\left( {\sin \alpha  - 3\cos \alpha } \right)^2} + {\left( {\cos \alpha  + 3\sin \alpha } \right)^2}\\ = {\sin ^2}\alpha  - 6\sin \alpha \cos \alpha  + 9{\cos ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  + 6\sin \alpha \cos \alpha  + 9{\sin ^2}\alpha \\ = 10{\sin ^2}\alpha  + 10{\cos ^2}\alpha  = 10\left( {{{\sin }^2}\alpha  + {{\cos }^2}\alpha } \right) = 10.\end{array}\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 29 :

Biểu thức thu gọn của \(M={{\sin }^{4}}x+{{\cos }^{4}}x\) là:

  • A \(M = 1 + 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x\)
  • B \(M = 1 + {\sin ^2}2x\)
  • C \(M = 1 - 2{\sin ^2}2x\)
  • D \(M = 1 - \dfrac{1}{2}{\sin ^2}2x\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Thêm bớt tạo hằng đẳng thức. Sử dụng công thức nhân đôi \(\sin 2x = 2\sin x\cos x\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}M = {\sin ^4}x + {\cos ^4}x = {\left( {{{\sin }^2}x} \right)^2} + {\left( {{{\cos }^2}x} \right)^2}\\\,\,\,\,\,\,\, = {\left( {{{\sin }^2}x} \right)^2} + {\left( {{{\cos }^2}x} \right)^2} + 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x\\\,\,\,\,\,\,\, = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2} - \dfrac{1}{2}{\left( {2\sin x\cos x} \right)^2}\\\,\,\,\,\,\,\, = 1 - \dfrac{1}{2}{\sin ^2}2x\end{array}\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 30 :

Biểu thức thu gọn của \(M = {\sin ^6}x + {\cos ^6}x\) là :

  • A \(M = 1 + 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x\)
  • B \(M = 1 + 3{\sin ^2}2x\)
  • C \(M = 1 - \dfrac{3}{4}{\sin ^2}2x\)
  • D \(M = 1 - \dfrac{1}{4}{\sin ^2}2x\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Sử dụng biến đổi \({a^3} + {b^3} = {\left( {a + b} \right)^3} - 3ab\left( {a + b} \right)\) và công thức nhân đôi \(\sin 2x = 2\sin x\cos x\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}M = {\sin ^6}x + {\cos ^6}x = {\left( {{{\sin }^2}x} \right)^3} + {\left( {{{\cos }^2}x} \right)^3}\\\,\,\,\,\,\,\, = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^3} - 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)\\\,\,\,\,\,\,\, = 1 - 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x = 1 - \dfrac{3}{4}{\left( {2\sin x\cos x} \right)^2} = 1 - \dfrac{3}{4}{\sin ^2}2x\end{array}\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 31 :

Biểu thức \(\dfrac{{1 + \sin 4a - \cos 4a}}{{1 + \sin 4a + \cos 4a}}\) có kết quả rút gọn bằng :

  • A \(\sin 2a\)
  • B \(\cos 2a\)
  • C \(\tan 2a\)
  • D \(\cot 2a\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \(1 - \cos 2x = 2{\sin ^2}x,\,\,1 + \cos 2x = 2{\cos ^2}x\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{1 + \sin 4a - \cos 4a}}{{1 + \sin 4a + \cos 4a}} = \dfrac{{\sin 4a + \left( {1 - \cos 4a} \right)}}{{\sin 4a + \left( {1 + \cos 4a} \right)}}\\ = \dfrac{{2\sin 2a\cos 2a + 2{{\sin }^2}2a}}{{2\sin 2a\cos 2a + 2{{\cos }^2}2a}}\\ = \dfrac{{2\sin 2a\left( {\cos 2a + \sin 2a} \right)}}{{2\cos 2a\left( {\sin 2a + \cos 2a} \right)}} = \tan 2a\end{array}\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 32 :

Cho hai góc nhọn ab thỏa mãn \(\tan a = \dfrac{1}{7}\) và \(\tan b = \dfrac{3}{4}\). Tính \(a + b\).

  • A  \(\dfrac{\pi }{3}\)
  • B  \(\dfrac{{2\pi }}{3}\)
  • C  \(\dfrac{\pi }{6}\)
  • D  \(\dfrac{\pi }{4}\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \(\tan \left( {a + b} \right) = \dfrac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a.\tan b}}\).

Lời giải chi tiết:

Do \(0 < a,b < \dfrac{\pi }{2} \Rightarrow 0 < a + b < \pi \).

Ta có: \(\tan \left( {a + b} \right) = \dfrac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a.\tan b}} = \dfrac{{\dfrac{1}{7} + \dfrac{3}{4}}}{{1 - \dfrac{1}{7}.\dfrac{3}{4}}} = 1 \Leftrightarrow a + b = \dfrac{\pi }{4}\).

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 33 :

\(\sin 4x\cos 5x - \cos 4x\sin 5x\) có kết quả là:

  • A \(\sin x\)                           
  • B \( - \sin x\)                        
  • C \( - \sin 9x\)
  • D \(\sin 9x\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức cộng: \(\sin \left( {a + b} \right) = \sin a\cos b + \cos a\sin b.\)

Lời giải chi tiết:

\(\sin 4x\cos 5x - \cos 4x\sin 5x = \sin \left( {4x - 5x} \right) = \sin \left( { - x} \right) =  - \sin x\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 34 :

Nếu \(\sin x + \cos x = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\) thì giá trị của \(\sin 2x\) là:

  • A \(\frac{1}{2}\)
  • B \( - \frac{1}{2}\)
  • C \(\frac{1}{4}\)            
  • D \( - \frac{1}{4}\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

\(\sin 2x = 2\sin x\cos x\). Bình phương dữ kiện đề bài để tính.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\sin x + \cos x = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow {\left( {\sin x + \cos x} \right)^2} = \frac{1}{2}\)

      \( \Leftrightarrow 1 + 2\sin x\cos x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin 2x =  - \frac{1}{2}\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 35 :

Cho \(\cos \alpha  = \frac{1}{3}\). Tính giá trị của \(\cos 2\alpha \).

  • A \(\cos 2\alpha  = \frac{2}{3}.\)
  • B \(\cos 2\alpha  =  - \frac{7}{9}.\)
  • C \(\cos 2\alpha  = \frac{7}{9}.\)
  • D \(\cos 2\alpha  = \frac{1}{3}.\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức: \(\cos 2a = 2{\cos ^2}a - 1\)

Lời giải chi tiết:

\(\cos 2\alpha  = 2{\cos ^2}\alpha  - 1 = 2.\frac{1}{9} - 1 =  - \frac{7}{9}\)           

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 36 :

Cho \(\sin a = \frac{1}{{\sqrt 2 }},\cos a = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\). Tính giá trị của \(\sin 2a\).

  • A \(\frac{2}{{\sqrt 2 }}\).
  • B \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
  • C \(1\).
  • D \(\frac{1}{2}\).

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức: \(\sin 2a = 2\sin a\cos a\)

Lời giải chi tiết:

\(\sin 2a = 2\sin a\cos a = 2.\frac{1}{{\sqrt 2 }}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = 1\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 37 :

Cho \(\cot \alpha  = {2 \over 3}\). Tính \(\sin \left( {2\alpha  + {{7\pi } \over 4}} \right)\).

  • A \( - {{7\sqrt 2 } \over {26}}\)
  • B

    \({{7\sqrt 2 } \over {26}}\)      

  • C \( - {{17\sqrt 2 } \over {26}}\)
  • D \({{17\sqrt 2 } \over {26}}\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

- Sử dụng các công thức: 

\(\begin{array}{l}\cot \alpha .\tan \alpha = 1,\,\,\,\sin 2\alpha =\frac{{2\tan \alpha }}{{{{\tan }^2}\alpha + 1}},\,\,\,\cos 2\alpha =\frac{{1 - {{\tan }^2}\alpha }}{{1 + {{\tan }^2}\alpha }}\,,\,\,\\\sin \left( {\alpha + k2\pi } \right) = \sin \alpha ,\,\,(k \in Z),\,\,\,\,\sin \left({a - b} \right) = \sin a\cos b - \cos a\sin b\,\,\end{array}\)

Lời giải chi tiết:

\(\cot \alpha  = {2 \over 3} \Rightarrow \tan \alpha  = {3 \over 2}\)

\(\sin 2\alpha  = {{2\tan \alpha } \over {{{\tan }^2}\alpha  + 1}} = {{2.{3 \over 2}} \over {{{\left( {{3 \over 2}} \right)}^2} + 1}} = {3 \over {{{13} \over 4}}} = {{12} \over {13}},\,\,\,\cos 2\alpha  = {{1 - {{\tan }^2}\alpha } \over {1 + {{\tan }^2}\alpha }} = {{1 - {{\left( {{3 \over 2}} \right)}^2}} \over {1 + {{\left( {{3 \over 2}} \right)}^2}}} = {{ - {5 \over 4}} \over {{{13} \over 4}}} =  - {5 \over {13}}\)

\(\sin \left( {2\alpha  + {{7\pi } \over 4}} \right) = \sin \left( {2\alpha  - {\pi  \over 4} + 2\pi } \right) = \sin \left( {2\alpha  - {\pi  \over 4}} \right) = \sin 2\alpha \cos {\pi  \over 4} - \cos 2\alpha \sin {\pi  \over 4} = {{12} \over {13}}.{{\sqrt 2 } \over 2} - \left( { - {5 \over {13}}} \right).{{\sqrt 2 } \over 2} = {{17\sqrt 2 } \over {26}}\)

Chọn: D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 38 :

Giá trị của biểu thức \({{\cos {{15}^o} + \sin {{15}^o}} \over {\cos {{15}^o} - \sin {{15}^o}}}= ?\)

  • A \( \sqrt 3 \)
  • B \({1 \over 2}\)
  • C \({{\sqrt 3 } \over 2}\)
  • D \({{\sqrt 3 } \over 3}\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Nhân cả tử và mẫu với \(\cos {15^0} - \sin {15^0}\), sử dụng công thức nhân đôi: \({\cos ^2}x - {\sin ^2}x = \cos 2x,\,\,2\sin x\cos x = \sin 2x\)

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{  & {{\cos {{15}^o} + \sin {{15}^o}} \over {\cos {{15}^o} - \sin {{15}^o}}} = {{\left( {\cos {{15}^o} - \sin {{15}^o}} \right)\left( {\cos {{15}^o} + \sin {{15}^o}} \right)} \over {{{\left( {\cos {{15}^o} - \sin {{15}^o}} \right)}^2}}} = {{{{\cos }^2}{{15}^0} - {{\sin }^2}{{15}^0}} \over {{{\cos }^2}{{15}^0} - 2\cos {{15}^0}\sin {{15}^0} + {{\sin }^2}{{15}^0}}}  \cr   &  = {{\cos {{30}^0}} \over {1 - \sin {{30}^0}}} = {{{{\sqrt 3 } \over 2}} \over {1 - {1 \over 2}}} = {{\sqrt 3 } } \cr} \)

Chọn: A

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 39 :

Rút gọn biểu thức \(E = {{1 + \cos x} \over {\sin \,x}}\left[ {1 + {{{{(1 - \cos x)}^2}} \over {{{\sin }^2}x}}} \right]\): 

  • A -1
  • B \({2 \over {\sin x}}\)
  • C \({\sin ^2}x\)
  • D \({\tan ^2}x\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Sử dụng các phương pháp biến đổi tương đương: quy đồng, khai triển hằng đẳng thức.

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{  & E = {{1 + \cos x} \over {\sin \,x}}\left[ {1 + {{{{(1 - \cos x)}^2}} \over {{{\sin }^2}x}}} \right] = {{1 + \cos x} \over {\sin \,x}}\left[ {1 + {{1 - 2\cos x + {{\cos }^2}x} \over {{{\sin }^2}x}}} \right] = {{1 + \cos x} \over {\sin \,x}}.{{{{\sin }^2}x + 1 - 2\cos x + {{\cos }^2}x} \over {{{\sin }^2}x}}  \cr   &  = {{1 + \cos x} \over {\sin \,x}}.{{2 - 2\cos x} \over {{{\sin }^2}x}} = {{2(1 + \cos x)(1 - \cos x)} \over {{{\sin }^3}x}} = {{2(1 - {{\cos }^2}x)} \over {{{\sin }^3}x}} = {{2{{\sin }^2}x} \over {{{\sin }^3}x}} = {2 \over {\sin x}}. \cr} \)

Chọn: B

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 40 :

Cho A, B, C là 3 góc của một tam giác. Hãy xác định hệ thức sai :

  • A \(\sin A = \sin \left( {B + C} \right)\)
  • B \(\sin {{A + B} \over 2} = \cos {C \over 2}\)
  • C \(\cos (3A + B + C) = \cos 2A\)
  • D \(\cos {A \over 2} = \sin {{B + C} \over 2}\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất: \(A + B + C = \pi \). Sử dụng các tính chất của các góc có quan hệ bù nhau, phụ nhau, hơn kém nhau \(\pi \), hơn kém nhau \({\pi  \over 2},...\)

Lời giải chi tiết:

\(\sin \left( {B + C} \right) = \sin (\pi  - A) = \sin A\)

\(\sin {{A + B} \over 2} = \sin \left( {{\pi  \over 2} - {C \over 2}} \right) = \cos {C \over 2}\)

\(\cos (3A + B + C) = \cos (2A + \pi ) =  - \cos 2A\)

\(\sin {{B + C} \over 2} = \sin \left( {{\pi  \over 2} - {A \over 2}} \right) = \cos {A \over 2}\)

Chọn: C.

Đáp án - Lời giải

Xem thêm

>> Học trực tuyến Lớp 10 tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.



Hỏi bài