30 bài tập trắc nghiệm công thức lượng giác mức độ vận dụng, vận dụng cao
Làm đề thiCâu hỏi 1 :
Cho biết sinx+siny=√3sinx+siny=√3 và cosx−cosy=1cosx−cosy=1. Tính cos(x+y)cos(x+y).
- A cos(x+y)=1cos(x+y)=1
- B cos(x+y)=−1cos(x+y)=−1
- C cos(x+y)=0cos(x+y)=0
- D cos(x+y)=12cos(x+y)=12
Đáp án: B
Phương pháp giải:
Bình phương mỗi đẳng thức đã cho và cộng vế với vế các đẳng thức có được.
Chú ý: cos(x+y)=cosxcosy−sinxsinycos(x+y)=cosxcosy−sinxsiny
Lời giải chi tiết:
Ta có: sinx+siny=√3sinx+siny=√3⇒(sinx+siny)2=(√3)2⇒(sinx+siny)2=(√3)2
⇒sin2x+2sinxsiny+sin2y=3(1)⇒sin2x+2sinxsiny+sin2y=3(1)
cosx−cosy=1cosx−cosy=1⇒(cosx−cosy)2=12⇒(cosx−cosy)2=12 ⇒cos2x−2cosxcosy+cos2y=1(2)⇒cos2x−2cosxcosy+cos2y=1(2)
Lấy (1) cộng (2) vế với vế ta được:
(sin2x+2sinxsiny+sin2y)+(cos2x−2cosxcosy+cos2y)=3+1⇒(sin2x+cos2x)+(2sinxsiny−2cosxcosy)+(sin2y+cos2y)=4⇒1−2(cosxcosy−sinxsiny)+1=4⇒2−2cos(x+y)=4⇒2cos(x+y)=−2⇔cos(x+y)=−1
Chọn B.
Câu hỏi 2 :
Rút gọn biểu thức P=2cos2x−1cosx+sinx ta được
- A P=|cosx−sinx|
- B P=sinx−cosx
- C P=cosx−sinx
- D P=cosx+sinx
Đáp án: C
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức: cos2x=2cos2x−1=cos2x−sin2x
Thay vào biểu thức và rút gọn.
Lời giải chi tiết:
Ta có: P=2cos2x−1cosx+sinx =cos2xcosx+sinx=cos2x−sin2xcosx+sinx=(cosx−sinx)(cosx+sinx)cosx+sinx=cosx−sinx
Chọn C.
Câu hỏi 3 :
Cho biết sinx+cosx=−12. Tính sin2x.
- A sin2x=−34
- B sin2x=34
- C sin2x=12
- D sin2x=−1
Đáp án: A
Phương pháp giải:
Bình phương đẳng thức đã cho, sử dụng các công thức: sin2x+cos2x=1;sin2x=2sinxcosx.
Lời giải chi tiết:
Ta có: sinx+cosx=−12
⇒(sinx+cosx)2=14⇔sin2x+cos2x+2sinxcosx=14⇔1+2sinxcosx=14⇔1+sin2x=14⇔sin2x=14−1=−34⇒sin2x=−34
Chọn A.
Câu hỏi 4 :
Biết π2<α<π và sin2α=m với −1≤m<0 thì cos(α+3π2)+cos(α−π) bằng
- A √m+1.
- B −√m+1.
- C √1−m2.
- D √1−m.
Đáp án: D
Phương pháp giải:
Sử dụng các công thức {cos(−α)=cosαcos(π−α)=−cosαcos(a+b)=cosacosb−sinasinb để biến đổi biểu thức.
Sau đó bình phương làm xuất hiện sin2α để sử dụng giả thiết sin2α=m(−1≤m<0)
Cuối cùng kết hợp điều kiện π2<α<π để chọn nghiệm phù hợp
Lời giải chi tiết:
cos(α+3π2)+cos(α−π)=cosα.cos(3π2)−sinαsin(3π2)+cos(π−α)=sinα−cosα
Ta có: sin2α=m⇔2sinαcosα=m
Theo đề bài ta có: π2<α<π⇒{sinα>0cosα<0 ⇒sinα−cosα>0
⇒(sinα−cosα)2=sin2α+cos2α−2sinα.cosα=1−sin2α=1−m⇒sinα−cosα=√1−m(do−1≤m<0⇒1−m>0)
Chọn D.
Câu hỏi 5 :
Hãy chỉ ra hệ thức sai?
- A 4cos(a−b)cos(b−c)cos(c−a)=cos2(a−b)+cos2(b−c)+cos2(c−a)
- B cos2xsin5xcos3x=sin10x+sin6x+sin4x4
- C sin400cos100cos80=sin580+sin420+cos804
- D sina.sin2a.sin3a=sin4a−sin6a+sin2a4
Đáp án: A
Phương pháp giải:
Sử dụng linh hoạt các công thức biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng và các công thức nhân đôi.
Lời giải chi tiết:
* Đáp án A:
VT=4cos(a−b)cos(b−c)cos(c−a)=2[cos(a−c)+cos(a−2b+c)]cos(a−c)=2cos2(a−c)+2cos(a−2b+c)cos(a−c)VP=cos2(a−b)+cos2(b−c)+cos2(c−a)=2cos(a−c)cos(a−2b+c)+cos2(a−c)=2cos(a−2b+c)cos(a−c)+2cos2(a−c)−1⇒VT≠VP
⇒ Đáp án A sai.
* Đáp án B:
VP=sin10x+sin6x+sin4x4=2sin5xcos5x+2sin5xcosx4=2sin5x(cos5x+cosx)4=sin5x.2cos3xcos2x2=cos2xsin5xcos3x=VT
⇒ Đáp án B đúng.
* Đáp án C:
VP=sin580+sin420+cos804=2sin500cos80+cos804=cos80(2sin500+1)4VT=sin400cos100cos80=12(sin500+sin300)cos80=12(sin500+12)cos80=(2sin500+1)cos804⇒VT=VP
⇒ Đáp án C đúng.
* Đáp án D:
VP=sin4a−sin6a+sin2a4=(sin4a+sin2a)−sin6a4=2sin3acosa−2sin3acos3a4=2sin3a(cosa−cos3a)4=−sin3a.2sin2asin(−a)2=sinasin2asin3a=VT
⇒ Đáp án D đúng.
Chọn A.
Câu hỏi 6 :
Trong các hệ thức sau, hệ thức nào sai?
- A √3−2cosx=4sin(x2+150)sin(x2−150)
- B tan2x−3=4sin(x+π3)sin(x−π3)cos2x
- C sin27x−cos25x=cos12xcos2x
- D +sinx+cosx=2√2cosx2cos(x2−π4)
Đáp án: D
Phương pháp giải:
Sử dụng linh hoạt các công thức biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng, các công thức nhân đôi và công thức hạ bậc.
Lời giải chi tiết:
* Xét đáp án A:
VP=4sin(x2+150)sin(x2−150)=−2[cosx−cos300]=−2(cosx−√32)=−2cosx+√3=VP
⇒ Đáp án A đúng.
* Xét đáp án B:
VP=4sin(x+π3)sin(x−π3)cos2x=−2cos(2x−cos2π3)cos2x=−2(cos2x+12)cos2x=−2cos2x−1cos2x=−2(1−2sin2x)−1cos2x=4sin2x−3cos2x=4tan2x−3(1+tan2x)=tan2x−3=VP
⇒ Đáp án B đúng.
* Xét đáp án C:
VT=sin27x−cos25x=1−cos14x2−1−cos10x2=cos10x−cos14x2=2cos12xcos2x2=cos12xcos2x=VP
⇒ Đáp án C đúng.
Chọn D.
Câu hỏi 7 :
Cho A,B,C là ba góc của một tam giác. Khẳng định nào sau đây sai ?
- A sinA+sinB+sinC=4cosA2cosB2cosC2
- B cosA+cosB+cosC=1+4sinA2sinB2sinC2
- C sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC
- D cos2A+cos2B+cos2C=4cosAcosBcosC
Đáp án: D
Phương pháp giải:
Sử dụng linh hoạt các công thức biến đổi tổng thành tích và tích thành tổng.
Lời giải chi tiết:
* Xét đáp án A:
sinA+sinB+sinC=2sinA+B2cosA−B2+sinC=2sinπ−C2cosA−B2+sinC=2sin(π2−C2)cosA−B2+2sinC2cosC2=2cosC2cosA−B2+2sinC2cosC2=2cosC2(cosA−B2+sinC2)=2cosC2(cosA−B2+cos(π2−C2))=2cosC2(cosA−B2+cosA+B2)=2cosC2.2cosA2cosB2=4cosA2cosB2cosC2
⇒ Đáp án A đúng.
* Xét đáp án B:
cosA+cosB+cosC=1+4sinA2sinB2sinC2⇔cosA+cosB+cosC−1=4sinA2sinB2sinC2⇔2cosA+B2cosA−B2−2sin2C2=4sinA2sinB2sinC2⇔2cos(π2−C2)cosA−B2−2sin2C2=4sinA2sinB2sinC2⇔2sinC2cosA−B2−2sin2C2=4sinA2sinB2sinC2⇔2sinC2(cosA−B2−sinC2)=4sinA2sinB2sinC2⇔cosA−B2−cos(π2−C2)=2sinA2sinB2⇔cosA−B2−cosA+B2=2sinA2sinB2⇔−2sinA−B+A+B4sinA−B−A−B4=2sinA2sinB2⇔−sinA2sin−B2=sinA2sinB2(luondung)
⇒ Đáp án B đúng.
* Xét đáp án C:
sin2A+sin2B+sin2C=2sin(A+B)cos(A−B)+sin2C=2sin(π−C)cos(A−B)+sin2C=2sinCcos(A−B)+2sinCcosC=2sinC(cos(A−B)+cosC)=2sinC.2cosC+A−B2cosC−A+B2=4sinCcosπ−2B2cosπ−2A2=4sinCcos(π2−B)cos(π2−A)=4sinCsinBsinA=4sinAsinBsinC
⇒ Đáp án C đúng.
Chọn D.
Câu hỏi 8 :
Biểu thức rút gọn của: A=cos2a+cos2(a+b)−2cosa.cosb.cos(a+b) bằng:
- A cos2b
- B sin2a
- C sin2b
- D cos2a
Đáp án: C
Phương pháp giải:
Sử dụng các công thức: {cosa+cosb=2cosa+b2.cosa−b2sina.cosb=12[sin(a+b)+sin(a−b)]sin2a=2sinacosacos2a=cos2a−cos2b.
Lời giải chi tiết:
A=cos2a+cos2(a+b)−2cosa.cosb.cos(a+b)=cos2a+cos2(a+b)−2.12[cos(a+b)+cos(a−b)].cos(a+b)=cos2a+cos2(a+b)−cos2(a+b)−cos(a−b).cos(a+b)=1+cos2a2−12(cos2a+cos2b)=12−cos2b2=sin2b.
Chọn C.
Câu hỏi 9 :
Rút gọn biểu thức: E=sin6x−2sinx(cos3x+cos5x).
- A E=sin2x.
- B E=cos2x.
- C E=sinx.
- D E=cosx.
Đáp án: A
Phương pháp giải:
Sử dụng các công thức: {cosa+cosb=2cosa+b2.cosa−b2sina.cosb=12[sin(a+b)+sin(a−b)]sin2a=2sinacosa.
Lời giải chi tiết:
E=sin6x−2sinx(cos3x+cos5x)=sin6x−2sinx.2.cos4x.cos(−x)=sin6x−4sinx.cos4x.cosx=sin6x−2sin2x.cos4x=sin6x−(sin6x+sin(−2x))=sin6x−sin6x+sin2x=sin2x.
Vậy E=sin2x.
Chọn A.
Câu hỏi 10 :
Biểu thức sin2x+sin2(2π3+x)+sin2(2π3−x) không phụ thuộc vào x và kết quả rút gọn bằng:
- A 23
- B 32
- C 34
- D 43
Đáp án: B
Phương pháp giải:
+) Sử dụng công thức hạ bậc: sin2x=1−cos2x2.
+) Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích: cosa+cosb=2cosa+b2cosa−b2.
Lời giải chi tiết:
sin2x+sin2(2π3+x)+sin2(2π3−x)=1−cos2x2+1−cos(4π3+2x)2+1−cos(4π3−2x)2=3−cos2x−[cos(4π3+2x)+cos(4π3−2x)]2=3−cos2x−2cos4π3cos2x2=3−cos2x(1+2cos4π3)2=3−cos2x(1+2.−12)2=32
Chọn B.
Câu hỏi 11 :
Cho góc lượng giác a thỏa mãn sin2a+sin5a−sin3a2cos22a+cosa−1=−2. Tính sina.
- A −14
- B −1
- C 1
- D 14
Đáp án: B
Phương pháp giải:
Áp dụng công thức nhân đôi và công thức biến tổng thành tích để biến đổi đề bài tính sina
Lời giải chi tiết:
sin2a+sin5a−sin3a2cos22a+cosa−1=−2⇔2sinacosa+2cos4asinacos4a+cosa=−2⇔2sina(cos4a+cosa)cos4a+cosa=−2⇔2sina=−2⇔sina=−1
Chọn B.
Câu hỏi 12 :
Cho A,B,C là các góc của tam giác ABC thì:
- A sin2A+sin2B+sin2C=4cosAcosBcosC
- B sin2A+sin2B+sin2C=−4cosAcosBcosC
- C sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC
- D sin2A+sin2B+sin2C=−4sinAsinBsinC
Đáp án: C
Phương pháp giải:
Sử dụng linh hoạt các công thức biến đôi tổng thành tích, tích thành tổng.
Lời giải chi tiết:
sin2A+sin2B+sin2C=2sin(A+B)cos(A−B)+sin2C=2sin(π−C)cos(A−B)+sin2C=2sinCcos(A−B)+2sinCcosC=2sinC(cos(A−B)+cosC)=2sinC.2cosC+A−B2cosC−A+B2=4sinCcosπ−2B2cosπ−2A2=4sinCcos(π2−B)cos(π2−A)=4sinCsinBsinA=4sinAsinBsinC
Chọn C.
Câu hỏi 13 :
Kết quả biến đổi nào dưới đây là kết quả sai ?
- A 1+2cosx+cos2x=4cosxcos2x2
- B sinxcos3x+sin4xcos2x=sin5xcosx
- C cos2x+cos22x+cos23x−1=2cos3xcos2xcosx
- D sin2x−sin22x−sin23x=2sin3xsin2xsinx
Đáp án: D
Phương pháp giải:
Sử dụng linh hoạt các công thức biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng, các công thức nhân đôi và công thức hạ bậc.
Lời giải chi tiết:
Xét đáp án A:
VT=1+2cosx+cos2x=2cos2x+2cosx=2cosx(cosx+1)=2cosx.2cos2x2=4cosxcos2x2=VP
⇒ Đáp án A đúng.
Xét đáp án B:
VT=sinxcos3x+sin4xcos2x=12(sin4x+sin(−2x))+12(sin6x+sin2x)=12(sin4x−sin2x+sin6x+sin2x)=12.2sin5xcosx=sin5xcosx
⇒ Đáp án B đúng.
Xét đáp án C:
VP=2cos3xcos2xcosx=(cos4x+cos2x)cos2x=cos4xcos2x+cos22x=12(cos6x+cos2x)+cos22x=12(2cos23x−1+2cos2x−1)+cos22x=cos23x+cos2x−1+cos22x=VT
⇒ Đáp án C đúng.
Chọn D.
Câu hỏi 14 :
Cho hai góc lượng giác a,b (0<a,b<π2) thỏa mãn tana=17;tanb=34. Tính a+b.
- A 5π4.
- B π4.
- C −π4.
- D π3.
Đáp án: B
Phương pháp giải:
tan(a+b)=tana+tanb1−tanatanb
Lời giải chi tiết:
Ta có: tan(a+b)=tana+tanb1−tanatanb=17+341−17.34=1
⇒[a+b=π4a+b=5π4⇒a+b=π4(do0<a,b<π2⇒0<a+b<π)
Chọn B.
Câu hỏi 15 :
Tính tổng S=sin25o+sin210o+sin215o+...+sin285o.
- A S=9.
- B S=8.
- C S=192.
- D S=172.
Đáp án: D
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức: sina=cos(π2−a);sin2a+cos2a=1.
Lời giải chi tiết:
S=sin25o+sin210o+sin215o+...+sin285o=(sin25o+sin285o)+(sin210o+sin280o)+...+(sin240o+sin250o)+sin245o=(sin25o+cos25o)+(sin210o+cos210o)+...+(sin240o+cos240o)+sin245o=8+(√22)2=8+12=172.
Chọn D.
Câu hỏi 16 :
Cho góc lượng giác α thỏa mãn sinα+cosα=1. Tính sin(α+π4).
- A −1
- B −√22
- C 1
- D √22
Đáp án: D
Phương pháp giải:
Nhân cả 2 vế phương trình đã cho với √22=sinπ4=cosπ4
Lời giải chi tiết:
Ta có: sinα+cosα=1⇔sinα.√22+cosα.√22=√22⇔sin(α+π4)=√22
Chọn D.
Câu hỏi 17 :
Cho tam giác ABC có các góc thỏa mãn sinA+sinB=cosA+cosB. Tính số đo góc C của tam giác ABC.
- A 90o
- B 120o
- C 60o
- D 45o
Đáp án: A
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức biến tổng thành tích và công thức lượng giác của các cung đặc biệt để biến đổi dữ kiện đề bài, kết hợp định lý tổng 3 góc trong tam giác để kết luận.
Lời giải chi tiết:
sinA+sinB=cosA+cosB⇔sinA+B2cosA−B2=cosA+B2cosA−B2(1)
TH1: cosA−B2=0⇒A−B2=90o⇒A−B=180o=A+B+C⇔2B+C=0 vô lý
TH2: cosA−B2≠0 khi đó (1)⇔sinA+B2=cosA+B2⇔sinA+B2=sinC2(doA+B2+C2=90o)
⇒A+B2=C2⇔A+B=C⇔180o−C=C⇔2C=180o⇔C=90o
Chọn A.
Câu hỏi 18 :
Cho tanα=−√5(π2<α<π), Tính cosα và sin2α.
- A cosα=−√66;sin2α=−√53
- B cosα=√66;sin2α=√53
- C cosα=−√36;sin2α=−√33
- D cosα=√36;sin2α=√33
Đáp án: A
Phương pháp giải:
1+tan2x=1cos2x;sin2x+cos2x=1;sin2x=2sinxcosx
Lời giải chi tiết:
Do π2<α<π⇒cosα<0
Ta có: 1cos2α=1+tan2α=6⇒cosα=−√66
sinα=cosα.tanα=√306⇒sin2α=2sinαcosα=−√53
Chọn A.
Câu hỏi 19 :
Cho tanα=3. Giá trị của biểu thức A=3sinα+cosαsinα−cosα là:
- A 73
- B 53
- C 7
- D 5
Đáp án: D
Phương pháp giải:
Chia cả tử và mẫu của P cho cosx≠0
Lời giải chi tiết:
Ta có tanα=3⇒cosx≠0
Chia cả tử và mẫu của P cho cosx≠0 ta được:
P=3sinα+cosαsinα−cosα=3tanα+1tanα−1=3.3+13−1=102=5
Chọn D.
Câu hỏi 20 :
Nếu tanx2=ab thì asinx+bcosx bằng:
- A a
- B b
- C √5−12
- D √6−12
Đáp án: B
Phương pháp giải:
tanx2=a⇒{sinx=2a1+a2cosx=1−a21+a2
Lời giải chi tiết:
tanx2=ab⇒{sinx=2ab1+(ab)2=2aba2+b2b2=2aba2+b2cosx=1−(ab)21+(ab)2=b2−a2a2+b2⇒asinx+bcosx=a2aba2+b2+bb2−a2a2+b2=2a2b+b3−a2ba2+b2=a2b+b3a2+b2=b(a2+b2)a2+b2=b
Chọn B.
Câu hỏi 21 :
Tính các góc của ΔABC biết (1+1sinA)(1+1sinB)(1+1sinC)=(1+13√sinAsinBsinC)3.
- A ∠A=∠B=∠C=600
- B ∠A=900;∠B=300;∠C=600
- C ∠A=900;∠B=∠C=450
- D ∠A=1200;∠B=∠C=300
Đáp án: A
Phương pháp giải:
Chứng minh 1+1sinA≤1+13√sinAsinBsinC từ đó tìm dấu “=” xảy ra để tính các góc của ΔABC
Lời giải chi tiết:
Tính các góc của ΔABC biết (1+1sinA)(1+1sinB)(1+1sinC)=(1+13√sinAsinBsinC)3.
(1+1sinA)(1+1sinB)(1+1sinC)=(1+13√sinAsinBsinC)3⇔(sinA+1)(sinB+1)(sinC+1)sinAsinBsinC=(3√sinAsinBsinC+1)3sinAsinBsinC⇔sinAsinBsinC+sinAsinB+sinBsinC+sinAsinC+sinA+sinB+sinC+1=sinAsinBsinC+33√sin2Asin2Bsin2C+33√sinAsinBsinC+1⇔sinAsinB+sinBsinC+sinAsinC+sinA+sinB+sinC=33√sin2Asin2Bsin2C+33√sinAsinBsinC
Ta có A,B,C là các góc trong tam giác ⇒0<sinA,sinB,sinC≤1
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta được:
{sinAsinB+sinBsinC+sinAsinC≥33√sin2Asin2Bsin2CsinA+sinB+sinC≥33√sinAsinBsinC⇒sinAsinB+sinBsinC+sinAsinC+sinA+sinB+sinC≥33√sin2Asin2Bsin2C+33√sinAsinBsinC
Dấu “=” xảy ra ⇔sinA=sinB=sinC mà A,B,C là các góc trong ΔABC
⇒A=B=C=60o
Chọn A.
Câu hỏi 22 :
Giá trị đúng của biểu thức M=cosπ15cos2π15cos3π15cos4π15cos5π15cos6π15cos7π15 bằng:
- A 18
- B 116
- C 164
- D 1128
Đáp án: D
Phương pháp giải:
+) Nhân cả 2 vế với 2sinπ15 và áp dụng công thức sin2a=2sinacosa.
+) Sử dụng tính chất của các góc bù nhau và hơn kém nhau π.
Lời giải chi tiết:
M=cosπ15cos2π15cos3π15cos4π15cos5π15cos6π15cos7π15⇔2sinπ15M=2sinπ15cosπ15cos2π15cos3π15cos4π15cos5π15cos6π15cos7π15⇔2sinπ15M=sin2π15cos2π15cos3π15cos4π15cos5π15cos6π15cos7π15⇔2sinπ15M=12sin4π15cos3π15cos4π15cos5π15cos6π15cos7π15⇔2sinπ15M=14sin8π15cos3π15cos5π15cos6π15cos(π−7π15)⇔2sinπ15M=−14sin8π15cos8π15cos3π15cosπ3cos6π15⇔2sinπ15M=−116sin16π15cos3π15cos6π15⇔2sinπ15M=−116sin(π+π15)cos3π15cos6π15⇔2sinπ15M=116sinπ15cos3π15cos6π15⇔M=132cos3π15cos6π15⇔2sin3π15M=1322sin3π15cos3π15cos6π15⇔2sin3π15M=132sin6π15cos6π15⇔2sin3π15M=164sin12π15⇔2sin3π15M=164sin(π−3π15)⇔2sin3π15M=164sin3π15⇔M=1128
Chọn D.
Câu hỏi 23 :
Cho tam giác ABC thỏa mãn cos2A+cos2B+cos2C=−1 thì:
- A Tam giác ABC vuông
- B Không tồn tại tam giác ABC
- C Tam giác ABC đều
- D Tam giác ABC cân.
Đáp án: A
Phương pháp giải:
+) Chuyển vế, sử dụng công thức cos2A+1=2cos2A,cos2B+cos2C=2cos(B+C)cos(B−C).
+) Sử dụng tính chất: cosA=−cos(π−A).
Lời giải chi tiết:
cos2A+cos2B+cos2C=−1⇔cos2A+1+2cos(B+C)cos(B−C)=0⇔2cos2A+2cos(π−A)cos(B−C)=0⇔2cos2A−2cosAcos(B−C)=0⇔2cosA[cosA−cos(B−C)]=0⇔[cosA=0cosA=cos(B+C)⇔[A=900A=B+C⇔[A=900A=B+C=900⇔A=900
Vậy tam giác ABC vuông tại A.
Chọn A.
Câu hỏi 24 :
Giả sử A=tanxtan(π3−x)tan(π3+x) được rút gọn thành A=tannx. Khi đó n bằng:
- A 2
- B 1
- C 4
- D 3
Đáp án: D
Phương pháp giải:
+) Sử dụng công thức sinasinb=−12[cos(a+b)−cos(a−b)];cosacosb=12[cos(a+b)+cos(a−b)].
+) Sử dụng công thức nhân đôi: cos2x=1−2sin2x=2cos2−1.
+) Sử dụng công thức nhân ba: sin3x=3sinx−4sin3x,cos3x=4cos3x−3cosx.
Lời giải chi tiết:
A=tanxtan(π3−x)tan(π3+x)⇔A=tanxsin(π3−x)sin(π3+x)cos(π3−x)cos(π3+x)⇔A=tanx−12[cos2π3−cos2x]12[cos2π3+cos2x]⇔A=tanx−(−12−cos2x)−12+cos2x⇔A=tanx12+cos2x−12+cos2x⇔A=tanx2cos2x+12cos2x−1⇔A=sinxcosx2(1−2sin2x)+12(2cos2x−1)−1⇔A=sinx(−4sin2x+3)cosx(4cos2x−3)⇔A=3sinx−4sin3x4cos3x−3cosx=sin3xcos3x=tan3x
Vậy n=3.
Chọn D.
Câu hỏi 25 :
Cho tam giác ABC thỏa mãn cosAcosBcosC=18 thì:
- A Không tồn tại tam giác ABC
- B Tam giác ABC đều
- C Tam giác ABC cân
- D Tam giác ABC vuông
Đáp án: B
Phương pháp giải:
+) Sử dụng công thức cosacosb=12[cos(a+b)+cos(a−b)].
+) ABC là tam giác ⇒A+B+C=π. Sử dụng mối quan hệ cosA=−cos(π−A).
+) Thêm bớt tạo hằng đẳng thức, đưa đẳng thức về dạng A2+B2≥0⇔{A=0B=0.
Lời giải chi tiết:
cosAcosBcosC=18⇔12[cos(A+B)+cos(A−B)]cosC=18⇔[cos(π−C)+cos(A−B)]cosC=14⇔[cos(π−C)+cos(A−B)]cosC−14=0⇔[−cosC+cos(A−B)]cosC−14=0⇔cos2C−cos(A−B)cosC+14=0⇔cos2C−cos(A−B)cosC+14cos2(A−B)−14cos2(A−B)+14=0⇔(cosC−12cos(A−B))2+14(1−cos2(A−B))=0⇔(cosC−12cos(A−B))2+14sin2(A−B)=0
Do {(cosC−12cos(A−B))2≥014sin2(A−B)≥0⇒(cosC−12cos(A−B))2+14sin2(A−B)≥0
Dấu “=” xảy ra ⇔{cosC−12cos(A−B)=014sin2(A−B)=0⇔{2cosC=cos(A−B)A−B=0⇔{2cosC=1A=B⇔{C=π3A=B .
Vậy tam giác ABC đều.
Chọn B.
Câu hỏi 26 :
Nếu tanα và tanβ là hai nghiệm của phương trình x2−px+q=0(q≠1) thì giá trị biểu thức P=cos2(α+β)+psin(α+β).cos(α+β)+qsin2(α+β) bằng:
- A p
- B q
- C 1
- D pq
Đáp án: C
Phương pháp giải:
Áp dụng định lý Vi-ét và công thức lượng giác để tính tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanα.tanβ
Áp dụng công thức cos2(α+β)=11+tan2(α+β) tính cos2(α+β) theo p,q
Nhân và chia biểu thức P cho cos2(α+β)≠0, biến đổi để tính.
Lời giải chi tiết:
Ta có tanα và tanβ là hai nghiệm của phương trình x2−px+q=0(q≠1)
Theo định lý Vi-ét ta có: {tanα+tanβ=ptanα.tanβ=q⇒tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanα.tanβ=p1−q
⇒cos2(α+β)=11+tan2(α+β)=11+p2(1−q)2=(1−q)2(1−q)2+p2
q≠1⇒sinα.sinβcosα.cosβ≠1⇒sinα.sinβ≠cosα.cosβ⇒cos(α+β)=cosα.cosβ−sinα.sinβ≠0⇒P=cos2(α+β)[1+p.sin(α+β)cos(α+β)+q.sin2(α+β)cos2(α+β)]=cos2(α+β)[1+p.tan(α+β)+q.tan2(α+β)]=(1−q)2(1−q)2+p2[1+p21−q+p2q(1−q)2]=(1−q)2(1−q)2+p2.(1−q)2+p2(1−q)+p2q(1−q)2=(1−q)2(1−q)2+p2.(1−q)2+p2(1−q)2=1.
Chọn C.
Câu hỏi 27 :
Cho x thỏa mãn (cos4x−sin4x)2=13. Tính giá trị của biểu thức cos8x.
- A −79
- B 79
- C −119
- D 119
Đáp án: A
Phương pháp giải:
Từ dữ kiện đề bài tính cos2x từ đó áp dụng công thức góc nhân đôi để tính cos8x
Lời giải chi tiết:
Cho x thỏa mãn (cos4x−sin4x)2=13. Tính giá trị của biểu thức cos8x.
Ta có: 13=(cos4x−sin4x)2=(cos2x−sin2x)2.(cos2x+sin2x)2=cos22x
cos8x=2cos24x−1=2(2cos22x−1)2−1=2(2.13−1)2−1=2(−13)2−1=−79
Vậy cos8x=−79.
Chọn A.
Câu hỏi 28 :
Cho sinα.cos(α+β)=sinβ với α+β≠π2+kπ,α≠π2+lπ,(k,l∈Z). Ta có:
- A tan(α+β)=2cotα.
- B tan(α+β)=2cotβ.
- C tan(α+β)=2tanβ.
- D tan(α+β)=2tanα.
Đáp án: D
Phương pháp giải:
Áp dụng các công thức lượng giác biến tổng thành tích và biến tích thành tổng để biến đổi
Lời giải chi tiết:
sinα.cos(α+β)=sinβ⇔12[sin(2α+β)−sinβ]=sinβ⇔sin(2α+β)=3sinβ⇔sin(2α+β)+sinβ=4sinβ⇔2sin(α+β)cosα=4sinβ⇔sin(α+β)cosα=2sinαcos(α+β)
Vì α+β≠π2+kπ,α≠π2+lπ,(k,l∈Z)⇒{cos(α+β)≠0cosα≠0
Chia cả 2 vế cho cosα.cos(α+β) ta được:
2sinαcosα=sin(α+β)cos(α+β)⇔tan(α+β)=2tanα
Chọn D.
Câu hỏi 29 :
Rút gọn biểu thức B=sin3a3+3sin3a32+32sin3a33+...+3n−1sin3a3n bằng :
- A B=3nsina3n−3sina4
- B B=3nsina3n−sina4
- C B=3n+1sina3n−sina2
- D B=3n−1sina3n2
Đáp án: B
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức sin3α=3sinα−sin3α4
Lời giải chi tiết:
B=sin3a3+3sin3a32+32sin3a33+...+3n−1sin3a3n=3sina3−sina4+3.3sina32−sina34+32.3sina33−sina324+....+3n−1.3sina3n−sina3n−14=14.(−sina+3sina3−3sina3+32sina32−32sina32+33sina33−...−3n−1sina3n−1+3nsina3n)=14(3nsina3n−sina)=3nsina3n−sina4
Chọn: B
Câu hỏi 30 :
Rút gọn biểu thức S=1sin2x+1sin4x+...+1sin2nx:
- A cotx−cot2n+1x
- B tanx−tan2n+1x
- C cotx−cot2nx
- D tanx−tan2nx
Đáp án: C
Phương pháp giải:
Tổng quát: 1sin2α=sinαsinα.sin2α=sin(2α−α)sinα.sin2α=sin2αcosα−cos2αsinαsinα.sin2α=cotα−cot2α
Lời giải chi tiết:
Ta có: 1sin2α=sinαsinα.sin2α=sin(2α−α)sinα.sin2α=sin2αcosα−cos2αsinαsinα.sin2α=cotα−cot2α
S=1sin2x+1sin4x+...+1sin2nx=cotx−cot2x+cot2x−cot4x+...+cot2n−1x−cot2nx=cotx−cot2nx
Chọn C.
Tổng hợp các bài tập trắc nghiệm công thức lượng giác mức độ thông hiểu có đáp án và lời giải chi tiết
Tổng hợp các bài tập trắc nghiệm công thức lượng giác mức độ nhận biết có đáp án và lời giải chi tiết
Các bài khác cùng chuyên mục